2019年人教A版必修5高二数学3.1不等关系与不等式2优质课教案
高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
高中数学 3.1不等关系与不等式(第2课时)课件 新人教A版必修5
所以 b＋c＞b＋d. ② 由①、②得，a＋c＞b＋d．
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6
（6）如果 a b 0, c d 0，那么 ac bd ；
（6）
a c
b,c d,b
0 0
ac bc
bc bd
ac
bd
；
（7）如果 a b 0 ，那么 an bn , (n N, n 2) ；
3.1 不等关系与不等式（题 1：等式的性质有哪些？请大家用符号表示出来.
①对称性： a b b a ； ②传递性 a b,b c a c ； ③加法法则： a b a c b c ； ④乘法法则： a b, c 0 ac bc .
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∴n a n b ．
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8
例题 1.已知 a b 0, c 0 ，求证： c c . ab
证明：因为 a b 0 ，所以 ab 0, 1 0 . ab
于是 a 1 b 1 ，即 ab ab 11. ab
由 c 0 ，得
cc. ab
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9
问题 7：请大家思考还有其它证明方法吗？ 请大家尝试一下.
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3
问题 3：上面得到的结论是否正确，需要我们给出证明.因为证明的不等式，是描述两个数之 间的大小关系，可以用什么方法比较呢？ 可以用作差法比较
其原理是什么呢？
ab0a b； ab0a b； a b 0 a b.
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4
问题 4：请大家用作差法证明性质（4）.
证明：因为 a b, c 0 ，
2
问题 2：根据等式的这些性质，你能猜想不等式的类似性质吗？ 请大家加以探究.
（1）如果 a b ，那么 b a ；如果 b a ，那么 a b .即 ab ba.
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.1 不等关系与不等式》优质课教案_11
不等式的基本性质.一、教学背景分析1.教学内容分析不等式是初中代数的重要内容之一，这是继方程后的又一种代数形式，继承了方程的有关思想，并实现了数形结合的思想，是初中数学教学的重点和难点.而不等式的性质是本章的重点内容之一，是在学生学习了数轴、等式的基本性质、不等式的概念的基础上进行的，是不等式变形的依据，也是学习一元二次方程、函数、高中不等式等知识的基础，是学生后继学习的重要基础和必备技能.2.学生情况分析我所任教的教学班的学生活泼好动，对学习充满兴趣，有一定的合作与探究意识，但基本功不扎实，缺乏毅力和恒心，应多给以鼓励；在知识方面已经学习了有理数大小的比较，等式的基本性质，有一定的认知基础，这些都为自主探究不等式的性质提供了条件.二、教学目标及重难点设计通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想；掌握不等式的基本性质，并会运用不等式的基本性质将不等式变形，发展符号表达能力、代数变形能力；通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力.重点：不等式的基本性质的应用.难点：不等式的基本性质的灵活应用.三、教学过程与教学资源设计1.教法分析基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容沿两条主线展开．第一条主线是探究性质，设计4组活动，分别是：自主探索性质→类比猜想性质→归纳得出性质→比较异同.第二条主线是应用性质，设计（三道例题）和3道巩固性变式训练.2.学法分析本节课在学法上突出学生的“探索发现”，通过观察、类比、猜想、验证等一系列探究活动，积累数学的探究方法和获得新知的经验.3.教学手段及媒体的选用在教学过程中，适时提出问题，引发学生思考．并借助多媒体辅助教学，增强图形的动感效应，增强教学的直观性和实效性.4.教学过程（略）四、学习效果评价设计1.学生在本节课的学习中，能够积极主动的参与学习活动，乐于与他人合作交流，尝试运用类比的方法探索不等式的基本性质，并能够用文字语言和符号语言描述性质；2.在应用性质解决问题的过程中，能够准确的运用性质进行推理；3.在畅谈收获中，能够说出收获和体会，建立学好数学的自信.五、教学设计特色总的来说，本节课呈现出以下三个特点：（1）以学生活动思索为主线——使学生主动建构.。
高中数学 人教A版必修五 3.1不等关系与不等式 课件、教学设计
2．判断下列命题的真、假(真命题要说明成立的依据，假 命题要举出反例)：
(1)若 a＞b，则 a2＞b2； (2)若 a＞ b，则 a＞b； (3)若ab>dc>0，则 ad＞bc； (4)若 a＞b＞0＞c＞d，则 ad＜bc.
解：(1)是假命题．例如 a＝1，b＝－2 满足 a＞b， 但 a2＜b2.又如 a＝1，b＝－1，显然 a＞b，但 a2＝b2. (2)是真命题．若 b＝0，则命题显然成立．若 b＞0，则 a＞ 0， b＞0， a＞ b，两边乘以 a，得 a＞ a· b，两边乘以 b， 得 a· b＞b，所以 a＞b. (3)是假命题．例如 a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝1 满足条 件ab>dc>0，但 ad＝－2，bc＝－1 有 ad＜bc. (4)是真命题．显然 ad＜0，bc＜0. 由 d＜c＜0 知：|d|＞|c|＞0， 又 a＞b＞0，∴|ad|＞|bc|，即－ad＞－bc，从而 ad＜bc.
比较a 与b 的大小，归结为判断它们的差a－b 的符号．比较a 与b 大小的步骤是：①作差；②变形(分解因式 或配方)；③判断差的符号．
【变式与拓展】 a 2a＋b
2．已知a>b>0，求证： b>a＋2b.
证明：2a＋b－ a＋2b
a b
＝(ab＋2－2ba)2b＝(b(－a＋a)2(bb＋)ba).
又 2≤a＋b≤4，∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，
即 5≤4a－2b≤10.
方法二：换元法．
令 a＋b＝m, a－b＝n，则 1≤n≤2,2≤m≤4.
由aa＋－bb＝＝mn，，
解得
a＝m＋2 n b＝m－n
2
， .
∴4a－2b＝4·m＋2 n －2·m－2 n＝m＋3n.
人教版高中数学必修(五)3.1不等关系与不等式教案(3)
3．1 不等关系与不等式教学目标1．了解现实世界和日常生活中存在的不等关系；2．了解不等式和不等关系的实际背景；3．掌握常用不等式的基本性质；4．会将一些基本性质结合应用。
教学重点理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由教学难点正确理解现实生活中的不等关系，并能从实际的不等关系中抽象出具体的不等式教学过程一． 从实际问题谈起（1） 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系。
例1．限速40km/h 的路标，指示司机前 方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h.写出不等式。
例2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中的脂肪含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%, 写成不等式组就是2.5%2.3%f p ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥= 例3．某钢铁厂要把长度为4000m 的钢管截成500m 和600m 两种。
按照生产的要求，600m 钢管的数量不能超过500m 钢管的3倍。
写出满足关系的不等式。
5006004000300x y x y x y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩+≤≥≥≥二． 常用不等式的基本性质(1),;(2);(3),0;(4),0;a b b c a c a b a c b c a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒<证明：（1）,0,0()()00a b b c a b b c a b b c a c a c>>⇒->->⇒-+->⇒->⇒>（2）0()()0()()0a b a b a b c c a c b c a c b c⇒>⇒->⇒-+->⇒+-+>⇒+>+（3）,00,0()00a b c a b c a b c ac bc ac bc>>⇒->>⇒->⇒->⇒>（4）,00,0()00a b c a b c a b c ac bc ac bc><⇒-><⇒-<⇒-<⇒<思考P81 让学生明确此类问题的证明要从“小处”入手。
高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面 之间的距离为 d，Ｂ为平面 上任意一点，则点Ａ与平面 的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克， 配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药 至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
人教A版高中数学必修五课件3.1不等关系与不等式(二).pptx
三、总结作业
(乘法法则1)
(5)a b, c d a c b d; (加法法则2)
(6)a b 0, c d 0 ac bd; (乘法法则2)
一、新课引入
(7)a b 0 an bn , (n N , n 2); (乘方法则) (8)a b 0 n a n b (n N , n 2). (开方法则)
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§3.1不等关系与不等式 (二)
一、新课引入
不等式的性质 :
(1)a b b a; (对称性)
(2)a b,b c a c; (传递性)
(3)a b a c b c; (加法法则1)
(4)a b, c 0 ac bc; a b, c 0 ac bc;
例2.某商品计划两次提价,有甲,乙两种方案( p q 0) :
方案 第一次提价 第二次提价
甲
p%
q%
乙
1 ( p q)% 1 ( p q)%
2
2
经过两次提价后,哪种方案提价幅度大 ?
二、新课讲解
练2.已知 0,0 ,求2 取值范围.
2
2
练3.甲,乙两人同时从A出发去B地,已知甲在前一半
二、新课讲解
例1.已知a b 0, c 0,求证 : (1) 1 1 ;
ab (2) c c .
ab
练1.证明以下命题 : (1)若a b, c d,则a c b d; (2)若a b 0, c d 0,则ac bd;
二、新课讲解
(3)a b 0, c d 0, e 0,则 e e . ac bd
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第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）
教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际
问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.
教学重点：从实际问题中找出不等关系.
教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.
教学过程：
一、复习准备：
1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？
2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出
你周围日常生活中的不等关
系吗？
3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；
二、讲授新课：
1、教学用不等式表示不等关系
① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用
不等式来表示这样的不等关系.
② 举例：例如：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，
应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是v≤40.
③ 文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系
对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b是正数;如a
(1)0;(2)0;(3)0abababababab
2、教学例题：
①出示例1：日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入
m克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。
（浓度＝溶质溶液）
②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。若
把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入还不
底于20万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小
顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、
70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将
购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。
２. 练习：教材P83 1、2题. 作业：课本P87 3题；P91
第10题
第二课时 ３.１不等关系与不等式（二）
教学要求：了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基
本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面之间的距离为d，Ｂ为平面上任意一点，则点Ａ
与平面的距离小于或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关
系写成不等式.
二、讲授新课：
1、教学“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质
① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用
配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有
22
00xx，，|x|0，-|x|0
等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得
出结论.
③常用的不等式的基本性质
(1),(2)(3),0(4),0abbcacabacbcabcacbcabcacbc
2、教学例题：
① 出示例1：已知0,0,abc求证：ccab
（教师讲思路→学生板演→小结方法）
② 出示例2.：比较(3)(5)(2)(4)aaaa与的大小.
(比较两个数的大小，基本方法是作差，对差的正、负或零做出判断，
得出结论)
③ 变式训练：已知22420(1)1aaaa，比较与的大小
④ 出示例3：已知1260,1536,aababb求及的取值范围.
(确定取值范围→利用不等式的性质求解)
⑤ 变式训练：已知31,40,abc求（a-b).c的取值范围.
三、 巩固练习：
①.比较233xx与的大小，其中xR.
②.比较当0a时，2222(21)(21)(1)(1)aaaaaaaa与的大小.
③.（2001.济南）设实数,,abc满足
22
643,44,,,bcaacbaaabc则
的大小关系是_____________.
④.配制,AB两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料
3毫克，乙料5毫克，配一剂B药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有
甲料20毫克，乙料25毫克，若,AB两种药至少各配一剂，则,AB两
种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
⑤.作业 教材P91 习题3.1 A组 2、4