统计学-离散型分类计数资料x2检验
x2检验——精选推荐
x2检验本章重点1.熟悉x2检验的基本思想。
2.掌握x2检验在四格表资料、行×列表资料中的应用。
3.掌握配对计数资料的x2检验。
χ2 检验是一种用途广泛的假设检验方法，本章只介绍它在分类变量资料中的应用: χ2 检验的适用范围：1.推断两个或两个以上总体率或构成比之间有无差异；2.配对计数资料差异的显著性。
检验统计量：χ2应用：计数资料第一节 四格表资料的χ2 检验目的：推断两个总体率（构成比）是否有差别要求：两样本的两分类个体数排列成四格表资料一、四格表资料的基本公式x2检验基本思想检验“实际数”和假设“理论数”的差异是否是由于抽样误差引起（两个样本率的差异体现在“实际数”和假设“理论数”的差异中）。
实际数，用四格表表示，称为四格表资料，分别为a 、b 、c 、d ，其他的数据是从这四个实际数推算出来的，称为理论数（表中括号内的数据）。
实际数用A 表示，理论数T 表示。
A ：表示实际频数，即实际观察到的例数。
T ：理论频数，即如果假设检验成立，应该观察到的例数。
TRC ：第R 行C 列的理论频数nR ：相应的行合计，nC ：相应的列合计n 为总例数检验统计量χ2 值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。
Χ2检验是检验实际数与理论数差异程度的指标。
A 与T 的值越接近， χ2越小，相反，实际数与理论数之间的差数越大， χ2值也就越大。
所得χ2值如果小于界值的χ2，P>0.05，即接受了原假设，可认为两组人群的治疗效果差异无统计学意义。
反之，如果所得χ2值大于查表所得χ2值，则P<0.05，即差异有统计学意义。
自由度计算公式Χ2值的大小，除了取决于A-T 的差值外，还取决于格子数的多少，格子数越多， χ2值越大，只有排除了这种影响， χ2值才能正确反映A 与T 的吻合程度，因此，在查χ2表时，要考虑自由度的大小。
22(), ()(1)A T Tχν-=∑=-行数-1列数 R C RC n n T n=计算公式：V=(行-1)(列-1) 四格表资料由2行2列组成，V=(2-1)(2-1)=1自由度即自由变动的范围，由于四格表周边的合计数已经固定，因此只要算出任一格的理论数，其余三个格子的理论数就没有自由变动的余地了，四格表的自由度V=1。
医学统计学x2检验共93页文档
医学统计学x2检验
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而
8-χ2检验
或改用Fisher确切概率法
n (| ad bc | ) 2 n 2 2 (a b)(c d )( a c)(b d )
当n<40，或T<1时，用四格表资料的Fisher确切概率法
当P≈α时，改用四格表资料的Fisher确切概率法。
23
四格表资料的χ2检验
例：甲乙两种药物治疗某病，疗效如表，问两药的有 效率差别有无显著意义。 表 甲乙两药治疗某病的效果比较
TR C
nRnC n
组 别 试验组 对照组 合 计
有效 99(90.48) a 75(83.52) c 174 (a+c)
无效 5(13.52) b 21(12.48) d 26 (b+d)
合计 104 (a+b) 96 (c+d) 200 (n)
有效率（%） 95.20 78.13 87.00
发病率（%） 14 25 20
3
χ 检验的用途
推断两个总体率或构成比之间有无差别
推断多个总体率或构成比之间有无差别
2
多个样本率间的多重比较
两个分类变量（属性）之间有无关联性
4
χ 检验的主要内容
2
四格表资料的χ2 检验及Ｆisher’s精确
概率检验
配对四格表资料的χ2检验
Ｒ×Ｃ表资料的χ2检验
可用于两个或多个样本率（或构成比）的比较、关联性
检验和频数分布拟合优度检验。 四格表资料的专用公式 四格表形式
情况 B 是 否 合计 情况 A 是 a c a+c 否 b d b+d 合计 a+b c+d n
18
四格表资料的χ2检验
中国医科大学研究生医学统计学 第五讲 计数资料及卡方检验2
（四）注意资料的可比性 用以比较的资料应是同质的，除 了要比较的处理因素外，其它条件应 基本相同。对于不同时期、地区、条 件下的资料应注意是否齐同。
• （五）对比不同时期资料应注意客观 条件是否相同 例如，疾病报告制度完善和资料完整 的地区或年份，发病率可以“升高”； 居民因医疗普及，就诊机会增加，或诊 断技术提高，也会引起发病率“升高” 。因此在分析讨论时，应根据各方面情 形全面考虑，慎重对待。
2 ( A T ) 2 RC RC TRC
=
[b- (b+c)/2]2
+
[c- (b+c)/2]2
(b+c)/2 [(c- b)/2]2 (b+c)/2
(b+c)/2
= [ (b-c)/2]2 +
(b+c)/2
= (b-c)2/2
(b+c)/2
(b c) 2 bc
H0：总体B = C H1：总体B≠C α= 0.05 b + c = 12 + 2 = 14 < 40。
本资料若不校正时，X2=4.35，P<0.05，结 论与之相反。
最小理论频数TRC的判断： R行与C列中，行合计数中的最小 值与列合计数中的最小值所对应
格子的理论频数最小。
如本例，第2行与第2列所对应的格子 理论频数最小(4.67)。
第二节 配对设计的四格表资料的χ2检验
（一）配对四格表形式 B 甲种属性 + 合计 A乙种属性 + 合计 a b a+b c d c+d a+c b+d n=a+b+c+d
无效 b d b+d
卡方检验
卡方检验(Chi-square test)Li Junrongstat9@7.1 四格表资料的χ2检验χ2检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人之一，K. Pearson（1857-1936）于1900年提出的一种具有广泛用途的统计方法，可用于两个或多个率（或者构成比）之间的比较，计数资料的关联度分析，拟合优度检验等。
一、卡方检验的基本思想卡方分布⏹属连续型分布⏹可加性是其基本性质⏹唯一参数，即自由度(1) 自由度为1的χ2分布若Z N ~(,),01则Z 2的分布称为自由度为1的χ2分布.(chi-square distribution),记为χ()12或χ21(). 图形:从纵轴某个点开始单调下降,先凸后凹.02468100.00.10.20.3 2220.05(1)0.05/22220.01(1)0.01/23.84(1.96)6.63(2.5758)Z Zχχ======(2) νZ Z Z ,...,,21互相独立,均服从N (,)01,则22221...νZ Z Z +++的分布称自由度为 ν的χ2分布,记为χν()2或)(2νχ,或简记为χ2.* 图形:单峰,正偏峰;自由度ν很大时,2()νχ近似地服从正态分布.有2()2(),22Z ννχνχννν-=服从均数为，方差为的正态分布.00.10.20.30.40.50369121518¿¨·½Öµ×Ý·ß×ÔÓɶȣ½1×ÔÓɶȣ½2×ÔÓɶȣ½3Óɶȣ½62/)12/(2222)2/(21)(χνχνχ--⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=ef 3.847.8112.59P ＝0.05的临界值χ2分布（chi-square distribution ）性质:若χνχν2122(),()互相独立, 则χνχν2122()()+服从χ2分布, 自由度=+νν12 χνχν2122()()-服从χ2分布, 自由度=-νν12卡方检验的基本思想组别有效无效合计有效率(%)试验组99 5 10495.20(p 1)对照组7521 9678.13(p 2)合计1742620087.00(p c )表7-1两组降低颅内压有效率的比较实际频数A (actual frequency)理论频数T (theoretical frequency)nn n column row T C R =⨯=总例数合计列合计行)()(RC四格表(fourfold table)它反映了理论数与实际数的吻合情况，该统计量近似地服从自由度为ν的卡方分布。
应用统计学(第六章 次数资料的χ2检验)
次有极为密切的关系。
若需进一步比较r×c列联表内组间的差异，可将r×c列联表做 成多个2×c列联表进行检验。
例4：碘治疗甲状腺肿效果与年龄关系3×4列联表
年龄（岁） 治愈
显效
好转 无效 合计
11～30 67(45.29) 9(17.87) 10(22.02) 5(5.82) 91
31～50 32(39.32) 23(15.51) 20(19.12) 4(5.05) 79
49.00
59.04
df=2， χ20.05 ＝5.992；χ2＞ χ20.05 ，P＜0.05
推断：否定H0 ，接受HA。三种农药对烟蚜的毒杀效果 存在显著差异。
例3:肺门密度与矽肺期次的3×3列联表
矽肺期次
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 合计
+ 43(249) 1(17.2) 6( 7.9)
50
肺门密度 ++
188(149.9) 96(103.4) 17( 47.7)
例5:为研究53BP2对肿瘤发生易感性的影响，建立了该基因的 基因敲除小鼠，其等位基因杂合型(-/+)和野生型(+/+)小鼠 在接受γ射线照射之后的肿瘤发生情况记录如下表。问该基 因是否影响小鼠对肿瘤的易感性？
肿瘤
无瘤
合计
野生型
3
16
19
杂合型
9
10
19
合计
12
26
38
解：组合概率计算
i
a
b
c
d
ij
T
（i=1，2，…
j=1，2，…）
3.理论数和χ2值的计算
理论数
r
c
Eij Oij Oij
卡方检验
因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
29 2019/1/6
3.2 2×2、2×c、r×c列联表 的独立性检验
通常地，将计数资料按照两个方向
进行分类，可排列为不同类型的列 联表（相依表），根据表进行独立 性检验。
如：研究两类药物对家畜某种疾病治疗效果的好坏，
先将病鱼分为两组，一组用第一种药物治疗，另一
组用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈尾
数和未治愈尾数。
这时需要分析药物种类与疗效是否相关：若两者彼 此相关，表明疗效因药物不同而异，即两种药物疗 效不同；若两者相互独立，表明两药物疗效相同。
这种根据次数资料判断两类因子彼此相关或相互独
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举例说明适合性检验的方法和步骤。
【例4.1】有一鲤鱼遗传试验，以荷包红鲤（红色） 与湘江野鲤（青灰色）杂交，其F2代获得如下表所 列的体色分离尾数。问这一资料的实际观测值是否 符合孟德尔的青∶红＝3∶1一对等位基因的遗传规 律？ 鲤鱼遗传试验F2观测结果 体色 F2观测尾数 理论数 青灰色 1503 1201.5 红色 99 400.5 总数 1602 1602
【举例说明 】
表4-1 齐口裂腹鱼性别实际观察次数与理论次数比较
性别 实际观察次 理论次 数（O） 数（E） 86（O1） 74 （E1） 雄性 62（O2） 74 （E2） 雌性 148 148 总和
O-E
12 -12 0
(O-E)2/E
1.9459 1.9459 3.8918
【连续性矫正】
立的假设检验就是独立性检验。独立性检验实际上
第九章-x2 检验
106(d) … … …
+ …… +
43
• 检验基本公式(Mc-Nemar test) ：
(b - c) x = (b + c)
2
2 2
2
（b+c>40时）
( b - c - 1) （b+c<40时） x = (b + c)
44
48(a)
A培养基 B培养基
24(b) + + … +
20(c) -
(21 15.2) 2 (5 10.8) 2 15.2 10.8 8.40
20
确定概率：
计算自由度：
v=(行-1)(列-1)=(2-1)(2-1)=1 查x2值表： x20.05(1)=3.84 现：x2=8.40>5.63 则： p<0.01
21
x20.01(1)=5.63
判定结果：
2 2 2
47
3、确定概率： v=1
查x2值表：x20.05(1)=3.84 x20.50(1)=0.45
现： 0.36<0.45 则： p>0.50 4、判定结果：
按α =0.05的水准， p>0.50，不拒绝H0。 尚不能认为两种培养基的培养结果不同。
B培养基
注意: 一 一 配对
41
可能出现的结果：
a b + c d -
A培养基 B培养基
+
+
-
+
-
42
A培养基
B培养基 + 48(a) 20(c) 68 24(b) 106(d) 130
合计 72 126 198
医学统计学-第九章计数资料的参数估计与卡方检验
率的标准误的计算公式：
p
(1-)
n
式中，δp 为率的标准误，π为总体率,n为样本含量
在实际工作中，由于总体率π很难知道，常用样本率P来代 替，故公式变为：
sp
Sp为率的标准误的估计值
p(1 p)
n
p为样本率
n为样本含量
方法： 1.查表法：当样本含量较小(如n≤50),特别是np或n(1-p）较小时，p呈偏态 分布， 可根据样本含量n和阳性数x，查相关统计学教材“百分率的可信区间” 表，求得总体率可信区间。 2.正态近似法：当样本含量足够大（如n﹥50），且样本率p或1-p均不太小， 如np和n（1-p）均≥5时，样本率的分布近似正态分布,可按下列公式计算 ：
第二步：计算检验统计量
2 ( A T )2
T
式中： A 为实际频数（actual frequency）T 为理论频数（theoretical frequency）
第三步：确定 P 值，得出结论
x2=9.32
ν=（R-1）（C-1）=（2-1）（2-1） 由 2界值表查得 20.05，1 = 3.84 ，
组别 有效 无效 合计
H0成立下的有效率（%）
中药
T11
T12
160
西药
T21
T22
140
72.7% 72.7%
合计 218
82
300
72.7%
T11 =160 ×72.7%= 160×（218/300）=116.3 T12 =160 ×(1-72.7%)= 160×（82/300）=43.7 T21 =140 ×72.7%= 140×（218/300）=101.8 T22 =140×(1-72.7%)= 140×（82/300）=38.2
《医学统计学》第九章X的平方检验
(3 1) (2 1) 2
3. 确定 P 值，作出推断结论
查界值表得 P < 0.05 ，在α=0.05 的检验水准下，拒绝 H0，接受 H1，可以认为三种
疗法的有效率有差别。
医学统计学（第7版）
实例
➢ 例9-6 某研究人员收集了亚洲、欧洲和北美洲，结果见下表，问不同地区人群的血型
1 : 三种治疗方案的总体有效率不全相等
0.05
2. 计算检验统计量，计算 χ2 值：
512
49 2
35 2
45 2
59 2
15 2
254 （
- 1）
100 145 100 109 80 145 80 109 74 145 74 109
2
254 （0.1794 0.2203 0.1056 0.2322 0.3244 0.0279-1）
2
方法。
了解
在小样本情况下的Fisher确切概率法原理及应用， 检验的
2
注意事项。
第一节
四格表资料的 检验
2
医学统计学（第7版）
一、四格表 检验的原理
2
2 检验（chi-square test）：英国统计学家Pearson提出的一
种主要用于分析分类变量数据的假设检验方法，该方
法主要用途是推断两个或多个总体率及构成比之间有
2. 计算检验统计量
6 25 3 24 58 / 2 58
0.376
2
2
c
49 9 28 30
3. 确定 P 值，作出推断结论