201705考前特训五：导数及其应用 学生版
北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：导数及其应用
北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练导数及其应用一、填空、选择题1、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.3、（东城区2016届高三上学期期中）若曲线f （x ）＝在点（1，a ）处的切线平行于x轴，则a ＝4、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝为实数，若f（x ）在x ＝－1处取得极值，则a ＝5、（海淀区2016届高三上学期期末）直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45，则___.t =6、（广州市2015届高三一模）已知e 为自然对数的底数，则曲线2y =e x在点()1,2e 处的切线斜率为7、（华南师大附中2015届高三三模）函数2ln 2)(x x x f +=在1=x 处的切线方程是 *** 8、（惠州市2015届高三4月模拟）函数32()34f x x x =-+在x = 处取得极小值.二、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.2、（2015年北京高考）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e ⎤⎦上仅有一个零点．3、（2014年北京高考）已知函数3()23f x x x =-. （Ⅰ）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（Ⅱ）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）4、（海淀区2016届高三上学期期末）已知函数1()ln ,0.f x k x k x=+≠ （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x k =有解，求实数k 的取值范围.5、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数()32113f x x x ax =+++. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点（0,1）处切线的斜率为-3，求函数()f x 的单调区间；6、（石景山区2016届高三上学期期末）已知函数mx x g x m x x f -=+-=31)(,2131)(23,R m ∈. （Ⅰ）若)(x f 在1=x 处取得极小值,求m 的值； （Ⅱ）若)(x f 在区间()+∞,2为增函数,求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数)()()(x g x f x h -=有三个零点,求m 的取值范围．7、（顺义区2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x mx =-. （Ⅰ）若2m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值；（Ⅲ）若()0f x m +≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的值.8、（昌平区2016届高三二模）已知函数32()3 1 (0)f x ax x a =-+>,()ln =g x x （I ）求函数()f x 的极值；（II ）用{}max ,m n 表示,m n 中的最大值.设函数{()max (),()}(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数.9、（朝阳区2016届高三二模）已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围.10、（东城区2016届高三二模）设函数()af x x x=-，a ∈R ． （Ⅰ）若1a =-，求()f x 在区间1[,3]2上的最大值；（Ⅱ）设0b ≠，求证：当1a =-时，过点(,)P b b -有且只有一条直线与曲线()y f x =相切； （Ⅲ）若对任意的1[,2]2x ∈，均有()11f x x -≤成立，求a 的取值范围．11、（丰台区2016届高三一模）已知函数2()ln 2m f x x x x =--． （Ⅰ）求曲线:()C y f x =在1x =处的切线l 的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内是单调函数，求m 的取值范围；（Ⅲ）当1m >-时，（Ⅰ）中的直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，求m 的取值范围.12、（海淀区2016届高三二模）已知322()1f x x ax a x =+--,0a >. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x ≤在[1,)+∞上有解，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若存在0x 既是函数()f x 的零点，又是函数()f x 的极值点，请写出此时a 的值. (只需写出结论)13、（石景山区2016届高三一模）已知函数()2xf x e x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当0x >时，2x e x >；（Ⅲ）当0x >时，方程2()2f x kx x =-无解，求k 的取值范围．14、（西城区2016届高三二模）已知函数2()()x af x x a -=+．（Ⅰ）若()1f a '=，求a 的值；（Ⅱ）设0a ≤，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围.参考答案一、填空、选择题 1、C 2、33、12 4、1 5、14 6、2e7、4x －y －3＝08、2 【解析】 由2()360f x x x '=-=得：02x x ==或，列表得：x (,0)-∞0 (0,2)2(2,)+∞()f x ' + 0_+ ()f x↗极大值↘极小值↗所以在=2x 处取得极小值.二、解答题1、解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：x (),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x ' +-0 +()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值(1ln )()2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e =， 所以x e =是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<， 所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 3、解：（Ⅰ） 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得22x =-或22x =.因为()210f -=-，222f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，()22112f f ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为222f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ） 设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-， 所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- .整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：x (0)-∞， 0(01)，1(1)+∞，()g x ' +-+()g x ↗3t + ↘ 1t + ↗所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值．当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点. 综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， . （Ⅲ） 过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ，存在1条直线与曲线()y f x =相切.： 4、解：（Ⅰ）函数1()ln f x k x x=+的定义域为(0)+∞，. …………………………….1分 21'()kf x x x=-+. …………………………….3分 当1k =时，22111'()x f x x x x-=-+=,令'()0f x =，得1x =， …………………………….4分 所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：x (0,1)1(1,)+∞'()f x -+()f x极小值…………………………….6分所以()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =, 无极大值. ………………….7分()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. ……………….8分（Ⅱ）因为关于x 的方程()f x k =有解,令()()g x f x k =-，则问题等价于函数()g x 存在零点, …………………….9分 所以2211'()k kx g x x x x-=-+=. …………………………….10分令'()0g x =，得1x k=. 当0k <时，'()0g x <对(0,)+∞成立，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 而(1)10g k =->，1111111111()(1)110e ee kk kg ek k k ---=+--=-<-<，所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x1(0,)k1k1(,)k+∞ '()g x - 0 +()g x↘极小值 ↗所以11()lnln g k k k k k kk=-+=-为函数()g x 的最小值, 当1()0g k >时，即01k <<时，函数()g x 没有零点,当1()0g k ≤时，即1k ≥时，注意到1()0g k k =+->e e, 所以函数()g x 存在零点.综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. ………………….13分 法二：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(ln 1)0kx x +-=有解， ………………………….9分 令g()(ln 1)1x kx x =-+，所以'()ln g x k x =, ………………………….10分 令'()0g x =，得1x =当0k <时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞'()g x +0 -()g x↗极大值↘所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)(1)10k =-+>.1111111(e)1e(11)1e 0kkk g k k---=+--=-<，所以函数()g x 存在零点. …………………………….11分 当0k >时，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x(0,1)1 (1,)+∞'()g x -+()g x↘极小值↗所以函数g()x 在1x =处取得最小值，而g(1)(1)11k k =-+=-. 当g(1)(1)110k k =-+=->时，即01k <<时，函数()g x 不存在零点.当g(1)(1)110k k =-+=-≤，即1k ≥时， g (e )e (l n e 1)11k =-+=> 所以函数()g x 存在零点. …………………………….13分 综上，当0k <或1k ≥时，关于x 的方程()f x k =有解. 法三：因为关于x 的方程()f x k =有解，所以问题等价于方程1(1ln )x x k=-有解， …………………………….9分 设函数()(1ln )g x x x =-，所以'()ln g x x =-. …………………………….10分令'()0g x =，得1x =，'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞'()g x +0 -()g x↗极大值↘所以函数g()x 在1x =处取得最大值，而g(1)1=， …………………….11分 又当1x >时，1ln 0x -<, 所以(1ln )1ln x x x -<-,所以函数g()x 的值域为(,1]-∞, …………………………….12分 所以当1(,1]k∈-∞时，关于x 的方程()f x k =有解，所以(,0)[1,)k ∈-∞+∞. …………………………….13分5、解（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1)， 又2'()2f x x x a =++，---------------------------2分 所以'(0)3f a ==-，---------------------------3分 所以2'()23f x x x =+-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表---------------------------5分所以函数()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞， 单调递减区间为(3,1)- . ---------------------------7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增， 所以'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立，只要2'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可. ---------------------------9分因为函数2'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-，当21a -<≤-时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'()f a ，解2'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立--------------------------11分当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -， 解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围是1a ≥. ---------------------------13分6、解: （Ⅰ）2()(1)f x x m x '=-+ ………1分由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, ………3分x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1+)∞，'()f x +0 -0 +()f x极大值极小值所以0m =(经检验适合题意) ………4分（Ⅱ）2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, ………5分所以(1)0x x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立,由于2x >,得1m ≤.所以m 的取值范围是1m ≤. ………8分 （Ⅲ）32111()()()323m h x f x g x x x mx +=-=-+-, 故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x =当1m =时, 2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意. ……9分当1m <时, (),()f x f x '随x 的变化情况如下表:x(,)m -∞m(,1)m1(1,)+∞()h x+0 -+()h x '↗极大值32111623m m -+-↘ 极小值12m -↗………10分要使()()f x g x -有三个零点,故需321110623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩, ………12分即2(1)(22)01m m m m ⎧---<⎨<⎩, 解得31-<m所以m 的取值范围是31-<m . ………14分 7、解：（Ⅰ）时切线方程为：，即 【4分】（Ⅱ）当时，在恒成立，在上单调递增，故在上单调递增，【6分】当时，令得，在上，在上在上递增，在上递减.①若，即时，②若，即时，③若，即时，综上：当时，当时，当时，【9分】（Ⅲ）由得设，要在上恒成立，只需当时，在上，，在递增；时，不可能；当时，令得在上，，在递增；在上，，在递减；【12分】只需令，（*），在（0,1）递减，在递增；，在上成立.（**） 由（*）和（**）知，即而在（0,1上递减，在上递增，，【14分】8、解：（I ）因为函数32()31=-+f x ax x ， 所以2'()363(2)=-=-f x ax x x ax . 令'()0=f x ,得 10=x ，或22=x a. 因为0>a ，所以12<x x ， 所以'()f x 及()f x 符号变化如下，x(,0)-∞0 2(0,)a2a 2(,)+∞a'()f x + 0- 0+ ()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极大值为(0)1=f ，极小值为22228124()11=-+=-+f a a a a .……….6分 （II ）令()ln 0==g x x ，则1=x .当01<<x 时，()0<g x ；1=x 时，()0=g x ；当1>x 时，()0>g x . （1）当1>x 时，()0>g x ，()g x 在(1,)+∞上无零点.所以{()max (),()}=h x f x g x 在(1,)+∞上无零点. （2）当1=x 时，(1)0=g ， 所以1为()g x 的一个零点. (1)2=-f a ，①当2=a 时，1是()f x 的一个零点.所以当2=a 时， {()max (),()}=h x f x g x 有一个零点. ②当02a <<时， {()max (),()}=h x f x g x 有一个零点. ③当2a >时， {()max (),()}=h x f x g x 无零点. （3）当01<<x 时，()0<g x ，()g x 在(0,1)上无零点.所以{()max (),()}=h x f x g x 在(0,1)上的零点个数就是()f x 在(0,1)上的零点个数. 当0>a 时，由（I ）可知()f x 在2(0,)a 上为减函数，在2(,)+∞a上为增函数，且(0)1=f ，(1)2=-f a ，222244()1-=-+=a f a a a .① 当21a>，即02a <<时，()f x 在(0,1)上为减函数，且(1)20,(0)10.f a f =-<=> 所以()f x 在(0,1)上有1个零点，即()h x 有1个零点. ② 当21a=，即2a =时，()f x 在(0,1)上为减函数，且(1)20.f a =-=所以()f x 在(0,1)上无零点，即()h x 无零点. ③ 当21<a ，即2>a 时，()f x 在2(0,)a 上为减函数，在2(,1)a上为增函数，222244()10a f a a a-=-+=>，所以()f x 在(0,1)上无零点.即()h x 无零点. 综上，当02a <<时，()h x 有2个零点，当2a =时，()h x 有1个零点，当2a >时，()h x 无零点. ………….13分9、解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=. （1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a（，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x -'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，；令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥.令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增.由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减.所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件； 若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a <<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a上单调递增,在1(,1)a上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =，依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1ef x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分10、解：（Ⅰ）当1a =-时，1()f x x x=--．221(1)(1)()1x x f x x x --+'=-=．令()0f x '=，得1x =-或1x =．当1[,1)2x ∈，有()0f x '>，所以()f x 在区间1[,1)2上是增函数； 当(1,3]x ∈时，有()0f x '<，所以()f x 在区间(1,3]上是减函数；所以()f x 在区间1[,3]2上的最大值为(1)2f =-． …………………5分（Ⅱ）设过点(,)P b b -的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)Q x y ，则0001y x x =--，且切线斜率为0201()1k f x x '==-． 所以000()()y b f x x b--'=-，即00200111x b x x b x --+=--．所以 22000001()(1)()x b x x x b x --+=--，解得02b x =．即存在唯一的切点2(,)22b bb --． 所以过点(,)P b b -有且只有一条直线与曲线()y f x =相切． ………………… 9分 （Ⅲ）当1x =时，对任意a ∈R ，不等式显然成立；当1x ≠时，不等式等价于21xa x x ≤+-． 当1[,1)2x ∈时，不等式等价于21xa x x≤+-恒成立． 令2()1x g x x x =+-， 1[,1)2x ∈， 则21()2(1)g x x x '=+-，当1[,1)2x ∈时，显然()0g x '>， 所以()g x 在区间1[,1)2上单调递增，所以()g x 在区间1[,1)2上有最小值15()24g =．所以54a ≤．当(1,2]x ∈时，不等式等价于21x a x x ≤+-恒成立．令2()1x h x x x =+-，(1,2]x ∈，当(1,2]x ∈时，2221()=11211x h x x x x x x =+++>+>--， 所以，当54a ≤时，不等式21x a x x ≤+-对(1,2]x ∈恒成立．综上，实数a 的取值范围是5(,]4-∞． ………………… 14分11、解：（Ⅰ）1'()1f x mx x=--，0x > ……………1分因为(1)12m f =-，所以切点为（1，12m-）． 又'(1)2k f m ==-， ……………2分 所以切线l :(1)(2)(1)2my m x --=--，即l 2:(2)2m y m x -=--. ……………3分（Ⅱ）①当0m ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意． ……………5分 ②当0m >时，设21y mx x =--，该抛物线开口向上，且140m ∆=+>，过(0,1)-点，所以该抛物线与x 轴相交，交点位于原点两侧，()f x 不单调，不符合题意，舍去． ……………6分综上0m ≤． ……………7分 （Ⅲ）因为直线l 与C 有且只有一个公共点， 所以方程22ln (2)022m m x x x m x -----+=， 即22(1)ln 022m m x m x x ----+=有且只有一个根． ……………8分 设22()(1)ln ,022m m g x x m x x x -=---+>， 则21(1)1(1)(1)'()(1)mx m x mx x g x mx m x x x ---+-=---==，……………10分 ①当0m ≥时，因为0x >，所以10mx +>，令'()0g x >，解得1x >； 令'()0g x <，解得01x <<；所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)0g x g ==，所以符合条件． ……………11分 ②当10m -<<时，则11m-> 令'()0g x >，解得11x m<<-； 令'()0g x <，解得01x <<或1x m>-； 所以()g x 在1(1,)m-上单调递增，在(0,1)，1(,)m -+∞上单调递减，………12分2232323232()()(1)()ln()22m m m m m m g m m m m m -----=---+2(23)2(1)(23)232ln()22m m m m m m m ------=-+23232ln()22m m m m m ---=--+ 因为10m -<<，所以2302m m --<，202m -<．又231m m ->，所以23ln()0m m->，即23ln()0m m --<，所以23()0m g m-<． 所以()g x 在1(1,)m -上有一个零点，且(1)0g =，所以()g x 有两个零点，不符合题意．综上0m ≥． ……………14分12、解：（Ⅰ）当2a =时，32()241f x x x x =+--， 所以2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+,…………………2分 令'()0,f x =得122,23x x ==-， 则'()f x 及()f x 的情况如下：x(,2)-∞-2-2(2,)3-232(,)3+∞ '()f x +-0 +()f x极大值极小值…………………4分所以函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，2(,)3+∞,函数()f x 的单调递减区间为2(,2)3-. …………………6分 （Ⅱ）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在[1,)+∞上的最小值小于等于0. 因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0f x =，得到120,03ax x a =>=-<.…………………7分 当13a≤时，即3a ≤时， ()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，(1)f 为[1,)+∞上最小值 所以有(1)0f ≤，即2110a a +--≤，解得1a ≥或0a ≤，所以有13a ≤≤；…………………9分 当13a>时，即3a >时，()f x 在区间[1,)3a 上单调递减，在[,)3a +∞上单调递增，所以()3af 为[1,)+∞上最小值，所以有()03af ≤，即333()1032793a a a a f =+--≤， 解得3275a ≥-，所以3a >. …………………11分综上，得1a ≥.法二：（Ⅱ）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在[1,)+∞上的最小值小于等于0. 因为22(1)11f a a a a =+--=-，所以当20a a -≤，即1a ≥时 满足题意，…………………8分当1a <时，因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+，令'()0f x =，得到12,3a x x a ==-， 因为1a <，所以()f x 在区间[1,)+∞上的单调递增，所以()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为(1)f ，所以(1)0f ≤，根据上面得到1a ≥，矛盾. …………………11分 综上，1a ≥.（Ⅲ）1a =…………………13分13、解：（Ⅰ）()2xf x e '=-，令()0f x '=解得ln 2x =， 易知()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，在(ln 2+)∞，上单调递增， 故当ln 2x =时，()f x 有极小值(ln 2)22ln 2f =- ...……………4分 （Ⅱ）令2()x g x e x =-，则()2xg x e x '=-， ...……………5分 由（Ⅰ）知()2()22ln 20x g x e x f x '=-=≥->， 所以()g x 在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)10g x g >=>，所以2x e x >. ..……………8分 （Ⅲ）方程2()22x f x e x kx x =-=-，整理得2x e kx =，当0x >时，2xe k x=. ...……………9分 令2()xe h x x=， 则2432(2)()x x x e x e x e x h x x x⋅-⋅-'==， ...……………10分 令()0h x '=，解得2x =，易得()h x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增， 所以2x =时，()x ϕ有最小值2(2)4e ϕ=， ...……………12分 而当x 越来越靠近0时，()x ϕ的值越来越大，又当0x >，方程2()2f x kx x =-无解， 所以24e k <. ...……………14分 14、（Ⅰ）证明：函数()yf x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，由题意，()f a '有意义，所以0a ≠. 求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分 所以24241()1164a f a a a'===， 解得12a =±. ………………5分 （Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”． ………………6分① 当0a =时， 由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意． ………………8分② 当0a <时，令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =- 或 3x a =. ………………9分 随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x (,3)a -∞ 3a (3,)a a - a - (,)a -+∞()f x '- 0 + 不存在 - ()f x ↘ 极小 ↗ 不存在 ↘………………11分 所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x a f x x a -=>+，当x a <时，()0f x <， 所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为{0}a ∈. ………………13分。
导数压轴小题汇编(学生版)
导数压轴小题练习1. 【图像法】设函数f(a)=e²(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数ag使得f(x₀)<0,则a的取值范围是( )A.1)B.C.D.2. 【图像法】已知函数f(x)=xe²-mx+m,若f(a)<0的解集为(a,b),其中b<0;不等式在(a,b)中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是( )A B. C. D.3. 【切线应用】若函数f(x)=w³+ax²+bx(a,b∈R)的图象与α轴相切于一点A(m,0)(m≠0),且f(a)的极大值为 ,则m 的值为34. 【导数的切线法】设函数f(x)= 2 x²-2ax(a>0)与g(a)=a²lnz+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为( )A. B. C. D.5. 【导数的切线法】若对于函数f(x)=ln(x+1)+a²图象上任意一点处的切线l,在函数g(x)=asinxcosx-a的图象上总存在一条切线L2,使得l工L,则实数a的取值范围为( )A. C.B.D.(-w,- 1)U[1,+w)6. 【导数的切线法】已知实数a,b满足ln(b+1)+a-3b=0,实数c,d满足2d-c- √5=0,则(a-c)2+(b-d)²的最小值为( )A.1B.2C.3D.±7. 【导数的切线法】若直线kx-y-k+1=0(x∈R)和曲线E: 的图像交于A(aj,y),B(xz,yz),C(xg,y3)(x₁<a₂<a3)三点时，曲线E在点A,点C处的切线总是平行，则过点(b, a)可作曲线E的( )条切线.A.0B.1C.2D.38. 【导数的直接应用】若是定义在R上的可导函数，且满足(x-1)f'(a)≥0,则必有( )A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)>2f(1)C.f(0)+f(2)≤2f(1)D.f(0)+f(2)≥2f(1)9. 【导数的直接应用】若函)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(-c1)B.(- 1)C.(1,+o)D.(1+c)10. 【利用对称中心破题】已知函则)的值为( )A.0B.504C.1008D.201611. 【利用对称中心破题】已知函则的值为( )A.2016B.1008C.504D.012. 【利用对称中心破题】已知函,且f(2017)= 2016,则f(-2017)=( )A.-2014B.-2015C.-2016D.-201713. 【利用对称中心破题】已知函)的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数m的取值范围是( )A.(-o,1-ln2)B.(-w,1-ln2)C.(1-ln2,+o)D.(1-ln2,+c)14. 【通过构造函数破题】已知函数f(a)=e²+mlnx(m∈R,e为自然对数的底数),若对任意的正数ai,αz2,当ai>a2时，都有f(a₁)-f(a₂)>x-az恒成立，则实数m的取值范围为.15. 【通过构造函数破题】已知函数f(a)=aln(a+1) -q²,在区间(0,1)内任取两个实数p,g,且p<q,若不等式恒成立，则实数a的取值范围是( B )A. 15,+α)B.(15,+c)C.(-w,6)D.(-o,6)16. 【直接法】已知直线l与函数f(a)=ln( √e x)-ln(1-x)的图象交于A,B两点，若AB中点为则m的大小为( )A. B. C.1 D.217. 【函数性质+K法】已知函数f(a)=x+sinx(x ∈R),且f(y² - 2y+3)+f(x² - ±w+1)≤0,则当y≥1时，的取值范围是( )A. B.[0, C.. D.18. 【考查函数性质】已知函数f(a)=x²+(a+8)x+a²+a- 12(a<0),且f(a²-4)=f(2a-8),则的最小值为( )A. B. C. D.19【分离参数法+隐含零点】已知函数f(a)=x+alna,若k∈Z,并且h(x-1)<f(a)对任意的x>1恒成立，则k的最大值为( )A.2B.3C.4D.520. 【考查函数的零点+嵌套函数】已知函数,则方程，的实根个数不可能为( )A . 8个B . 7个C . 6个D . 5个21【考查函数的零点】定义在R上的偶函数f(a)满足f(2-a)=f(x),且当a∈[1,2]时，f(a) =lnx-a+1,若函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，则实数m的取值范围为()B.D.22. 【考查函数的零点】设函 ),若存在唯二的αo.. 使得h(n)=min{f(x),g(x)}的最小值为h(xo). 则实数a的取值范围是( )A.a<-2B.a≤-2C.a<- 1D.a≤- 123. 【考查函数的零点】已知函数(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,C.(0,e)D.(0,+c)24. 【转化法+零点】已知函数f(a)=alnx+a²+(a-6)a在(0,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是25. 【图像法+转化法+零点】函的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )A.(-w,3-2ln2)B.[3-2ln2,+c)C.(√e,+o)D.(-w,-Ve)26. 【多变量转化+等与不等转化】已知函数f(a)=lna,g(x)=(2m+3)x+n,若对任意的x∈(0,+o),总有f(a)≤g(x)恒成立，记(2m+3)n的最小值为f(m,n),则f(m,n)最大值为( )A.1B.C.D.27. 【多变量转化+等与不等转化】已知不等式e²- (a+2)x≥b-2恒成立，则的最大值为( )A.-ln3B.-ln2C.- 1-ln3D.- 1-ln228.【多变量转化+等与不等转化】对于任意b>0,a∈R,不等式[b-(a-2)]²+[Inb- (a- 1)]²≥m²-m恒成立，则实数m的最大值为()A.√eB.2C.eD.329.嵌套函数+零点图像法】函.若方程af²(a)+bf(a)+c=0有8个不同的实根，则此8个实根之和是( )A. B.4 C. D.230. 【嵌套函数法】已知函,则f(f(w))<2的解集为( )A.(1-ln2,+o)B.(+o,1-ln2)C.(1-ln2,1)D.(1,1+ln2)31. 【导数+嵌套函数法+分离参数】函数f(x)=-a²+3w+a,g(a)=2³-w²,若flg(w)]≥0对a∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )A.(-e,+c)B.(-ln2,+o)C.(-2,+o)D.32. 【导数+嵌套函数法+定义域与值域的关系】已知函数f(x)=e²+a-e- ²+2(a∈R,e为自然对数的底数),若y=f(x)与y=f(f(x))的值域相同，则a的取值范围是()A.a<0 B . a≤- 1 C.O<a≤4 D . a < 0或O < a ≤ 433. 【导数+嵌套函数法+分离参数】已知函),其中e为自然对数的底数.若函数y=f(a)与y=flf(x)]有相同的值域，则实数a的最大值为( )A.. eB.. 2C.1D..34. 【导数+嵌套函数法+导函数零点】已知函有两个极值点ai,αz,若αi<f(x₁)<z2,则关于n方程(f(a))²-2af(a)-b=0的实根个数不可能为( )A.2B.3C.4D.535. 【导数+嵌套函数法+导函数零点】已知函数，有两个极值点ai,x2,若，则关于a方程(f(x))²-2af(a)-b=0的实根个数为( )A.. 2B.. 3C.4D.536. 【嵌套函数法+零点】已知偶函数f(a)满足f(x+4)=f(±-x),且当x∈(0,4)时，关于a的不等式f(a)+af(a)>0在[-200,200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是( )C. D.37. 【导数极值点常规处理手段-转化法】已知函数f(a)=xlnx-ae²(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. B.(0,e) C. D.(-c,e)38. 【分析法】已知函数f(x)=e²-ax- 1,g(x)=lnx-ax-a,若存在ap ∈(1,2),使得f(x₀)g(x₀)<0,则实数a的取值范围为( )A.(ln2,B.(ln2,e- 1)C.(1,e- 1)D.[1,39. 【导函数构造法】设f(x)定义在R上的可导函数，若f(3)=1,且3f(a)+af(n)>ln(x+1),则不等式(x-2017)f(α-2017)-27>0的解集为( )A.(2014,+o)B.(0,2014)C.(0,2020)D.(2020,+c)40. 【导函数2次构造法】已知f(x)是定义在R上的可导函数，且满足(x+2)f(a)+af'(a)>0,则( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)为减函数D.f(a)为增函数41. 【导函数2次构造法】定义在R上的函数f(x)满足：f"(a) -f(a)=w ·e²,且, 则的最大值为( )A.0B.C.1D.242. 【导函数构造法】设函数f(a)满足2x²f(x)+x³f'(x)=e²,,则w∈(2,+o)时，f(a)的最小值为( )A. B. C. D.43. 【导函数构造法】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f(x),若对任意的正实数z,都有af"(x)+2f(a)>0恒成立，且f( √②)=1,则使a²f(x)<2成立的实数α的集合为( )A.(-w,-√2)U(√2,+c)B.(-√2,√2)C.(-w,√2)D.(√2,+α)44.已知函数f(a)为R上的可导函数，其导函数为f(x),且满足f(x)+f(a)<1恒成立，f(0)=2018,则不等式f(x)<2017e-3+1的解集为( )A.f(a)=x-sinzB.f(a-2)+f(a²)≥0D.f(x)=x³+a45. 【导函数构造法】已知定义在f(x)=x³+a上的可导函数f(a-2)+f(a²)≥0的导函数为f'(a),对任意实数z均有(1-x)f(a)+af'(x)>0成立，且y=f(x+1)-e是奇函数，则不等式af(x)-e³>0的解集是( )A.(-w,e)B.(e,+c)C.(-α,1)D.(1,+o)46. 【导函数构造法】已知定义域为R的函数的导函数为f'(x),并且满足f"(a)>f(a)+1,则下列正确的是()A.f(2018)-ef(2017)>e- 1B.f(2018)-ef(2017)<e- 1C.f(2018)-ef(2017)>e+1D.f(2018)-ef(2017)<e+147.(50)16【导函数类极值零点最值】 .关于a的方有两个不等实根，则实数k的取值范围是48. 【导函数类极值零点最值】已知函数f(a)=x(lnx-ax)有极值，则实数a的取值范围是( )B. D.49. 【导函数类极值零点最值】已知函数f(x)=e²>-ax²+bw-1,其中a,b∈R,e为自然对数的底数.若f(1)=0.f'(a)是f(x)的导函数，函数f(a)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是( )A.(e²-3,e²+1)B.(e²-3,+o)C.(-w,2e²+2)D.(2e²-6,2e²+2)50. 【导函数类极值零点最值】已知a∈R,若区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是( )A.a<0B.a>0C.a≤1D.a≥051. 【分析结构+换元法】若存在正实数m,使得关于α的方程α+a(2x+2m-tex)[ln(x+m)-lna]=0有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是( D )A.(-α,0)B.(0,D. 152. 【函数性质+单调性】定义在w∈R上的函数f(x)在(-w,-2)上单调递增，且f(α-2)是偶函数，若对一切实数α,不等式f(2sinx-2)>f(sinx-1-m)恒成立，则实数m的取值范围为53. 【函数性质法-单调性+奇偶性】已知函,若f( - a)+f(a)≤2f(w),则实数的取值范围是( )A.(-w1)U[1,+o)B.[- 1,0]C.[0,1]D.[- 1,1]54. 【函数性质法】已知函数f(x)是偶函数，f(x)是奇函数，且对于任意αi,Xz∈[0,1],且ai≠α2,都有(x₁-x2)[f(a₁)-f'(x2)]<0, 则下列结论正确的是( )A.a>b>CB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b55. 【函数性质-周期函数法】设函数fo(n)=sing,定义fa(m)=f[fo(n)],fo(n)=f[fa(z)], …, fn(a)=f[fn-y(a)],则fa(15°)+fg(15°)+fo(15°)+…+foom(15°)的值是()B. C.0 D.156. 【函数性质-周期函数法】若函数y=f(x),A∈M对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数α,都有af(a)=f(x+T)恒成立，此时T为f(a)的假周期，函数f(a)是M上的a 级假周期函数.若函数f(w)是定义在区间(0,+o)内的3级假周期且T=2,当a∈(0,2),有：,若3αi∈[6,8],3αz∈(0,+w)使g(a2)-f(a₁)≤0成立，则实数m的取值范围是( )A. B.(-c,12) C.(-c,39) D.(12,+c)57. 【图像法十零点】已 ,若函数f(a)有四个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B . (一w, - e) C.(e,+c) D.58. 【图像法+零点】已知函,若函数y=f(f(a)-a)- 1有三个零点，则实数 a 的取值范围是( B ).. 59. 【导数十零点】若函岁有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(1 B. C. D.60. 【零点】已知关于的方程x²e²+t -a=0,m∈[-1,1],若对任意的t∈[1,3],该方程总存在唯一的实数解，则实数a 的取值范围是( )B. C. D. 1,e]61. 【零点】已知当a∈(1,+α)时，关于a 的方程有唯一实数解，则k 的范围为 ( )A.3,4)B.(4,5)C.(5,6)D.(6,7)62. 【考查三次函数值域】已知函数f(x)=(w-a)³ -3m+a(a>0)在[- 1,b]上的值域为[-2-2a,0],则b的取值范围是( )A..[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.(- 1,3)63. (【外接球与内切球】 .如图，圆形纸片的圆心为○,半径为6cm,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O . E,F,G,H 为圆O 上的点，△ABE, △BCF, △CDG,△ADH 分别是以AB,BC,CD,DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB,BC,CD,DA 为折痕折起△ABE, △BCF, △CDG, △ADH,使得E ,F ,G ,H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为64. 【导数法】设函数f(a)=e² -3w,则关于函数y=f(x)说法错误的是( )A. 在区间(0,1),(1,+o)内均有零点B. 与y=lng 的图象有两个交点C . Vx ₁ ∈R,3x ₂ ∈R 使得f(a)在x=xi,x=az 处的切线互相垂直D . f(a)≥ - 1恒成立65. 【极值点偏移】已知函数y=e² -ax 有两个零点ai,Zz ,α₁<x2,则下面说法正确的是( )A.Qi+α₂<2B.a<eC.αjα₂>1D.有极小值点xg,且aj+x ₂<2o66. 【恒成立-分离参数法】已知函数f(a)=ax+alnx (a∈R)的图像在点处的切线斜率为1,当k∈Z 时，不等式f(x)-kx+k 在x∈(1,+o)上恒成立，则k 的最大值是( C )A.1B. 2C.3D.4 D C67.已知函数f(a)=ax,g(x)=lnz,存在t∈(0,e),使得f(t)-g(t)最小值为3,则函数g(a)=lnx图象上一点P到函数发f(a)=ax图象上一点Q的最短距离为( )A. B..√5 C.2√2 D.368. 【存在与任意】设函数f(a)=a²-wlnx+2,若存在区间,使f(a)在[a,b]上的值域为[k(a+2),k(b+2)],则k的取值范围是( )A. B. C. D.69.【存在与任意】已知函,g(a)=-ex²+aa(e是自然对数的底数),对任意的x∈R,存在],有f(x₁)≤g(x2),则a的取值范围为70. 【导数综合】已知函数f(x)=sinα-xcosx,现有下列结论：①当x ∈[0,π]时，f(x)≥0;②当0<a<β<π时，a-sinB>β ·s ina;③若对)恒成立，则m-n的最小值等于④已知k∈[0,1],当x;∈(0,2π)时，满足的个数记为n,则n的所有可能取值构成的集合为{0,1,2,3}.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.471.(105)12【导数+隐含零点】已知函2,ag是函数f(a)的极值点。
2017届新课标高考总复习专项演练：第三章 导数及其应用 3-2 含解析
3-2A组专项基础训练(时间：45分钟)1．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1)【解析】y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，故函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3，1)．【答案】D2．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为()【解析】 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.【答案】 C3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1e D ．a <－1e【解析】 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1， ∴a ＝－e x <－1. 【答案】 A4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3 【解析】 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 【答案】 A5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15【解析】 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4， f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增， ∴当m ∈－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈－1，1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 【答案】 A6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．【解析】 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝（x －1）（x ＋1）x (x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0，1]． 【答案】 (0，1]7．(2015·甘肃兰州测试)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－2ax .已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，等价于ln x ＋1－2ax ＝0有两个不相等的实数根，等价于函数h (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝2ax －1的图象有两个交点．以下研究临界状态：①如图．当函数h (x )＝ln x 与函数g (x )＝2ax －1的图象相切时，设切点为A (m ，ln m )，其中m >0，此时函数h (x )的图象在点A 处的切线的斜率为k ＝1m ，∴2a ＝1m.又∵直线g (x )＝2ax －1过点(0，－1)， ∴k ＝ln m ＋1m ，∴ln m ＋1m ＝1m .解得m ＝1，∴当两线相切时，a ＝12.②当a ＝0时，h (x )与g (x )的图象只有一个交点． ∴所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，12 8．(2015·河北冀州中学摸底)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，则f ′(x )＝0， 函数f (x )不存在极值．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a . 若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0， 函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意； 若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值； 若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意． 所以a ∈(－1，0)． 【答案】 (－1，0)9．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．【解析】 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1， 又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以x ＝1时，f (x )f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1)． 10．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈－2，2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )． 若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在－2，2]上单调递减， ∴f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．(2015·安徽安庆六校第三次联考)函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}【解析】 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1， 求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}． 【答案】 A12．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 【解析】 令g (x )＝f （x ）ex ，则g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f （x ）e x ′＝f ′（x ）e x－f （x ）e xe 2x＝f ′（x ）－f （x ）e x<0，所以函数g (x )＝f （x ）e x 是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f （1）e 1<f （0）1，f （2 016）e 2 016<f （0）1， 故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)． 【答案】 D13．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0; ②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0; ④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 由f ′(x )<0，得1<x <3， 由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1，3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0， y 极小值＝f (3)＝－abc <0， ∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0， ∴正确结论的序号是②③. 【答案】 ②③。
【高考冲刺】高考数学(文)真题专项汇编卷(2017-2019)知识点3：导数及其应用
知识点3：导数及其应用1、已知曲线ln x y ae x x =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A.,1a e b ==-B.,1a e b ==C.1,1a e b -==D.1,1a e b -==-2、曲线2sin cos y x x =+在点(1,)π-处的切线方程为( ) A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=3、已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则()A. () f x 在()0,2单调递增B. () f x 在()0,2单调递减C. ()y f x =的图像关于直线1x =对称D. ()y f x =的图象关于点()1,0对称4、已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = ( ) A. 12-B.13C.12D. 15、设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A. 2y x =- B. y x =-C. 2y x =D. y x =6、曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为______. 7、曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 8、曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________.9、已知函数()ln xf x e x =，()'f x 为()f x 的导函数，则()'1f 的值为__________.10、已如R a ∈，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则直线l 在y轴上的截距为____________.11、已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： (1)()f x 存在唯一的极值点；(2)()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.12、已知函数()cos xf x e x x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数() f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.13、已知函数32()22f x x ax =-+. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当03a <<时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.14、设函数 2()(31)32xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦.(1)若曲线 ()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a . (2)若 ()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 15、已知函数()2211,32f x x ax a R =-∈. (1)当2a =时，求曲线()y f x =在()()3,3f 处的切线方程;(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：因为11x y ae n x '=++，所以1|1x y ae ='=+，所以切线方程为()()11y ae ae x -=+-，即()11y ae x =+-，与切线方程2y x b =+对照，可得121ae b +=⎧⎨=-⎩，解得11a e b -⎧=⎨=-⎩，故选D.2答案及解析： 答案：C解析：当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-Q 2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．3答案及解析： 答案：C解析：由题意知， ()()()2ln 2ln f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误; 又()()()()21110222x f x x x x x x -=-<--'=<， 在()0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，A ，B 错误，故选C.4答案及解析： 答案：C解析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+， 设()11x x g x ee --+=+，()()211111111x x x x x x e g x e e e e e---+----=+='-=， 当()0g x '=时， 1x =，当1x <时， ()'0g x <函数()g x 单调递减， 当1x >时， ()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =-，当1x =时，函数取得最小值1-，若0a ->，函数()h x 和()ag x 没有交点， 当0a -<时， ()()11ag h -=时， 此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即1212a a -⨯=-⇒=， 故选C.5答案及解析： 答案：D解析：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以，32(),'()31,f x x x f x x =+=+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.6答案及解析： 答案：220x y +-= 解析：1'sin 2y x =--， 当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=.7答案及解析： 答案：30x y -=解析：223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e '=+++=++ 所以，0|3x k y ='==.所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．8答案及解析： 答案：22y x =-解析：由 ()2ln y f x x ==，得()2'f x x=则曲线 2ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为()'12k f ==，则所求切线方程为 ()021y x -=-，即22y x =-.9答案及解析： 答案：e解析：由函数的解析式可得：11'()e ln e e (ln )x x x f x x x xx=⨯⨯⨯=+， 则：11'(1)e (ln1)e 1f =⨯+=.即'(1)f 的值为e.10答案及解析： 答案：1解析：()1f a =，切点为()1,a ，1()f x a x'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为:()()11y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.11答案及解析：答案：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<， 1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.因此，()f x 存在唯一的极值点.(2)由(1)知0()(1)2f x f <=-，又22(e )e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.12答案及解析：答案：(1)因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. (2)设()e (cos sin )1x h x x x =--，则'()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x =---=- 当π(0,)2x ∈时，'()0h x <所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减所以对于任意π[0,]2x ∈有()(0)h x h <，即'()0f x < 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递增因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-13答案及解析：答案：(1)2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或3ax =.若0a >，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； 若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若0a <，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. (2)当03a <<时，由1知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0，1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭.当23a ≤<时，327a 单调递减，所以M m -的取值范围是8[,1)27.综上，M m -的取值范围是8[,2)27.14答案及解析： 答案：(1)12a =(2)()f x 在1x =处取得极小值，则1a > 解析：(1)因为2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++， 所以2()[(1)1]e xf x ax a x '=-++2(2)(21)e f a '=-，由题设知'(2)0f =， 即2(21)e 0a -=， 解得12a =.(2)由(1)得2()[(1)1]e (1)(1)e x xf x ax a x ax x '=-++=--. 若1a >，则当1(,1)x a∈时， '()0f x <; 当(1,)x ∈+∞时， '()0f x >. 所以()f x 在1x =处取得极小值.若1a ≤，则当(0,1)x ∈时， 110ax x -≤-<， 所以'()0f x >.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知， a 的取值范围是(1,)+∞.15答案及解析：答案：(1)()2'2f x x x =-∴()'33k f ==又∵()30f =∴其切线方程为()033y x -=-即390x y --=.(2)()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =-+--，∴()()2'sin g x x ax x a x =---()()sin x a x x =--令()'0,g x =得120,x x a == ∴当0a =时， ()'0g x ≥恒成立 ∴()g x 在R 上递增，无极值∴当0a <时，令()'0g x >得， x a <或0x > 即()g x 在(),0-∞()0,+∞上递增，在()0,0递减 ∴()()31sin 6g x g a a a ==--极大，()()0g x g a ==-极小∵当0a >时， ()g x 在()(),0,,a -∞+∞上递增()0,0递减∴()()0g x g a ==-极大，()()310sin 6g x g a a ==--极小 ，综上所述①0a =无极值②0a <极大值为31sin 6a a --，极小值a -③0a >极大值为a ，极小值为31sin 6a a --.。
2017高考理科数学一轮复习课件：第3章 导数及其应用 第5讲
第十页，编辑于星期六：二十二点 二分。
解析：由yy2＝＝xx2， ， 解得 x1＝0，x2＝1.
∴S
＝ ( 阴影
1
0
x－x2)dx＝23x32－13x310＝13.
1 ∴点 M 取自阴影部分的概率为 P＝S矩S形阴A影COB＝31＝13.
＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)
＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选 C.
第三十三页，编辑于星期六：二十二点 二分。
2．(选修 2－2 P57 例 2 改编)图中阴影部分的面积是( B )
A．16
B．18
C．20
D．22
解析：S＝4-2(y＋4－y22)dy＝y22＋4y－y634－2＝18.故选 B.
-1
-1
-1
意义可知1 1－x2 dx 等于半径为 1 的半圆的面积，即1 1－x2 dx
-1
-1
＝π2，1 x dx＝12x21－1＝0， -1
∴1
(
1－x2＋x) dx＝π2.
-1
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二分。
(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个 简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解． (2)对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义 求解．
－x2－2x dx的值就是函
-2
数 y＝ －x2－2x的图象与 x 轴及直线 x＝－2，x＝m 所围成图形的面
积，y＝ －x2－2x是一个圆心为(－1,0)，半径为 1 的半圆，其面积等
于π2，而-m2 －x2－2x dx＝π4， 即在区间[－2，m]上该函数图象应为14个圆，于是得 m＝－1，故选 A.
北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：导数及其应用
若关于 x 的方程 f ( x ) = k
5、 海淀区 2016 届高
学期期中 已知函数 f ( x ) =
1 3 2 x + x + ax + 1 . 3
若曲线 y = f ( x ) 在点 0,令 处
线的斜率为-3 求函数 f ( x ) 的单调区间
6、 石景山区2016届高
学期期末 已知函数 f ( x) =
k >0
求 f ( x ) 的单调区间和极值 证明 若 f ( x ) 存在零点 则 f ( x ) 在区间 1, e
(
仅 一个零点
3、
2014
京高考 已知函数 f ( x ) = 2 x 3 − 3 x . 的最大值 曲线 y = f ( x ) 相 求 t 的取值范围 只需写出结论
求 f ( x ) 在区间 [ −2,1]
京市 2017 届高
数学文一轮复习 导数及其 用
题突破训练
一、填空、选择题 令、 以0令6 范围是 A 全国 I 卷高考 若函数 f ( x ) = x - sin 2 x + a sin x 在 ( −∞, +∞ ) 单调递增 则 a 的取值
1 3
[ −1,1]
B
1 −1, 3
C
1 1 − , 3 3
D
1 −1, − 3
2、 2016
天津高考 已知函数 f ( x) = (2 x +1)e x , f ′( x) 为 f ( x) 的导函数 则 f ′(0) 的值为__________. 学期期中 若曲线 f x 在点 1
ห้องสมุดไป่ตู้
3、 东城区 2016 届高 轴 则a
(全国通用)2017届高考数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数与积分专用题组 理 新人教b版
§3.1导数与积分考点一导数的概念及其几何意义11.(2012广东,12,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.答案2x-y+1=0解析易知y'=3x2-1,∴y=x3-x+3在点(1,3)处的切线的斜率k=2,∴切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.评析本题考查导数的几何意义及直线方程,考查运算求解能力.12.(2012辽宁,21,12分)设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.(1)求a,b的值;(2)证明:当0<x<2时, f(x)<.解析(1)由y=f(x)过(0,0)点,得b=-1.由y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为,又y'x=0=x=0=+a,得a=0.(3分)(2)证明:证法一:由基本不等式,知当x>0时,2<x+1+1=x+2,故<+1.记h(x)=f(x)-,则h'(x)=+-=-<-=.令g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当0<x<2时,g'(x)=3(x+6)2-216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数,又g(0)=0,故g(x)<0,所以h'(x)<0.(10分)因此h(x)在(0,2)内是递减函数,又h(0)=0,故h(x)<0.于是当0<x<2时, f(x)<.(12分)证法二:由(1)知f(x)=ln(x+1)+-1.由基本不等式,知当x>0时,2<x+1+1=x+2,故<+1.①令k(x)=ln(x+1)-x,则k(0)=0,当x>0时,k'(x)=-1=<0,故k(x)<0,即ln(x+1)<x.②由①②得,当x>0时, f(x)<x.记h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当0<x<2时,h'(x)=f(x)+(x+6)f '(x)-9<x+(x+6)-9=[3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)]<3x(x+1)+(x+6)3+-18(x+1)=(7x-18)<0.(10分)因此h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,所以h(x)<0,即f(x)<.(12分)评析本题考查了导数的概念及运算,考查导数的几何意义及应用,考查构造法.考点二定积分的运算及应用12.(2012湖北,3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( )A. B. C. D.答案 B 由题图知二次函数的解析式为f(x)=-x2+1,其图象与x轴所围图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx=2(-x2+1)dx=2=2×=.故选B.评析本题考查了定积分的知识,考查了学生运算求解能力.运用数形结合思想求出二次函数和定积分是解题关键.13.(2013湖南,12,5分)若x2dx=9,则常数T的值为.答案 3解析x2dx===9,解得T=3.14.(2013福建,15,5分)当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+…+x n+…=.两边同时积分得:答案解析+x+x2+…+x n=(1+x)n,两边同时积分得:+xdx+x2dx+…+x n dx=(1+x)n dx,从而得到如下等式:×+×+×+…+×=.15.(2012江西,11,5分)计算定积分(x2+sin x)dx= .答案解析(x2+sin x)dx==.评析本题考查了定积分的运算.。
(完整版)导数应用题
(完整版)导数应用题
导数应用题
导数是微积分中的一个重要概念，它在物理学、经济学等学科
中有广泛的应用。
下面是几个关于导数应用的题目。
题目一：速度和加速度
一个物体随时间 t 的位移函数为：s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 6。
求：
1. 物体在 t=2 时的速度；
2. 物体在 t=2 时的加速度。
题目二：边际利润
某公司生产某种产品的总成本和销售量之间的关系由函数 C(x) = 40x^2 - 10x + 200 决定，其中 x 表示销售量（单位：千件）。
产
品的销售价格为 500 元/件。
求：
1. 销售量为 10 千件时的总成本；
2. 销售量为 10 千件时的边际利润（边际利润定义为每增加一
单位销售量所带来的额外利润）。
题目三：物体的高度
一颗子弹以初速度 v0 被发射成 60°角度与水平面成的抛体轨迹。
子弹的飞行轨迹可以用函数 h(t) = -5t^2 + v0*sin(60°)*t 表示，
其中h(t) 表示子弹的高度（单位：米），t 表示时间（单位：秒）。
求：
1. 子弹飞行的最高点的高度；
2. 子弹从发射到达最高点的时间。
题目四：排队等候时间
某银行服务窗口的等候时间服从指数分布，平均等候时间为 10 分钟。
一位客户进入银行后等候 8 分钟后决定离开，请问他的等待
时间与等候时间之差服从的概率分布是什么？
以上是关于导数应用的几个题目，希望能帮助到你。
如果有任何疑问，请随时提问。
【6份】2017高考数学北师大版(理)一轮复习第3章 导数及其应用
【6份】2017高考数学北师大版（理）一轮复习第3章导数及其应用目录1.导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数. 2.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( × )1.(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A.0B.3C.4D.－73答案 B【详细分析】∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )答案 D【详细分析】由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2【详细分析】因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4.已知函数f (x )＝x (x －1)·(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 答案 －120【详细分析】f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋ x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5) ＝－120.5.(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________. 答案 (1,1)【详细分析】y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).题型一 导数的运算例1 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5).解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.(1)f (x )＝x (2016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2017，则x 0等于( )A.e 2B.1C.ln2D.e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A.－1 B.－2 C.2D.0答案 (1)B (2)B【详细分析】(1)f ′(x )＝2016＋ln x ＋x ×1x ＝2017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2017得2017＋ln x 0＝2017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图像在点(1，－2)处的切线方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0D.x ＋y ＋1＝0(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________.答案 (1)C (2)13【详细分析】(1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A.2x －y ＋3＝0 B.2x －y －3＝0 C.2x －y ＋1＝0D.2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B【详细分析】(1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A.－1B.－3C.－4D.－2答案 D【详细分析】∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.命题点4 导数与函数图像的关系例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图像为下图中的( )答案 D【详细分析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x ↔[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图像是上升的，且图像是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图像是上升的，且图像是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图像为平行于x 轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可.(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢.(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.4x －3y ＋1＝0C.3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D.3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________. 答案 (1)C (2)－e【详细分析】(1)由f (x )＝3x ＋cos2x ＋sin2x 得f ′(x )＝3－2sin2x ＋2cos2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，∴切点P 的坐标为(1,1).故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1.∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， ∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.4.求曲线的切线方程条件审视不准致误典例 (12分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值.易错分析 由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况. 规范解答解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上. (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.[4分](2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝|0x x y' =＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .[7分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.[10分]综上，a ＝1或a ＝164.[12分]温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论.[方法与技巧]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.[失误与防范]1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.2.求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e答案 B【详细分析】由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则f ′(1)＝－1.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e答案 C【详细分析】y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y' ＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ↔N ＋，则f 2016(x )等于( ) A.－sin x －cos x B.sin x －cos x C.－sin x ＋cos x D.sin x ＋cos x答案 B【详细分析】∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.4.(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D【详细分析】令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A.－1B.0C.2D.4答案 B【详细分析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6.已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A.x ＋4y －2＝0B.x －4y ＋2＝0C.4x ＋2y －1＝0D.4x －2y －1＝0答案 A【详细分析】y ′＝－e x (e x ＋1)2＝－1e x＋1e x ＋2， 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号).当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值， 此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.7.若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”.已知函数f (x )＝x 2－1和函数g (x )＝2ln x ，那么函数f (x )和函数g (x )的隔离直线方程为____________.答案 y ＝2x －2【详细分析】由题意得函数f (x )和函数g (x )的隔离直线为它们在交点(1,0)处的公切线.因为f ′(1)＝2＝g ′(1)＝k ，所以切线方程为y ＝2(x －1).8.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________. 答案 9【详细分析】先设切点为M (x 0，y 0)， 则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.9.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0). 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图像的切线平行，则实数a 的值为( ) A.14B.12C.1D.4答案 A【详细分析】由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244a -⨯=，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.12.曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ↔[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，134 C.⎝⎛⎭⎫52，134 D.⎝⎛⎭⎫52，2答案 B【详细分析】设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大.13.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.答案 [2，＋∞)【详细分析】∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.14.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ↔N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2016x 1＋log 2016x 2＋…＋log 2016x 2015的值为________. 答案 －1【详细分析】f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2015＝12×23×34×…×20142015×20152016＝12016，则log 2016x 1＋log 2016x 2＋…＋log 2016x 2015＝log 2016(x 1x 2…x 2015)＝－1.15.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在.由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12).∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.1.函数的单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的.2.函数的极值如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大.(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√)1.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1,1)答案 A【详细分析】∵f′(x)＝2x－2x＝2(x＋1)(x－1)x(x>0).∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数.2.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x ↔R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为()A.(1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(－1,1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A【详细分析】令g (x )＝f (x )－2x －1，∴g ′(x )＝f ′(x )－2<0， ∴g (x )在R 上为减函数，且g (1)＝f (1)－2－1＝0. 由g (x )<0＝g (1)，得x >1，故选A.3.已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C【详细分析】当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点.当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)，显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取到极小值.故选C.4.(教材改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图像，则f (x )的极小值点的个数为________.答案 1【详细分析】由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 5.设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x 2x 2的大小关系是__________________.(用“<”连接)答案 (ln x x )2<ln x x <ln x 2x2【详细分析】令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数， ∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1，∴(ln x x )2<ln x x.又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2>0， ∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2.课时1 导数与函数的单调性题型一 不含参数的函数的单调性例1 求函数f (x )＝ln xx 的单调区间.解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞). 因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减. 故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)， 单调递减区间为(e ，＋∞).思维升华 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A.(－1,1]B.(0,1]C.[1，＋∞)D.(0，＋∞)答案 B【详细分析】y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝(x －1)(x ＋1)x(x >0).令y ′≤0，得0<x ≤1，∴递减区间为(0,1].题型二 含参数的函数的单调性例2 已知函数f (x )＝ln(e x ＋1)－ax (a >0).(1)若函数y ＝f (x )的导函数是奇函数，求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间. 解 (1)函数f (x )的定义域为R . 由已知得f ′(x )＝e xe x ＋1－a .∵函数y ＝f (x )的导函数是奇函数， ∴f ′(－x )＝－f ′(x )，即e－xe －x ＋1－a ＝－e x e x ＋1＋a ，解得a ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝e x e x ＋1－a ＝1－1e x ＋1－a .①当a ≥1时，f ′(x )<0恒成立， ∴a ∈[1，＋∞)时， 函数y ＝f (x )在R 上单调递减. ②当0<a <1时，由f ′(x )>0得(1－a )(e x ＋1)>1， 即e x >－1＋11－a ，解得x >ln a1－a .由f ′(x )<0得(1－a )(e x ＋1)<1， 即e x <－1＋11－a ，解得x <ln a1－a .∴a ∈(0,1)时，函数y ＝f (x )在(ln a1－a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a1－a)上单调递减.综上，当a ≥1时，f (x )在R 上单调递减；当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫ln a 1－a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－∞，ln a1－a 上单调递减.思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈(0, 1－a2a)时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0, 1－a2a)上单调递减，在( 1－a2a，＋∞)上单调递增.题型三 利用函数单调性求参数例3 设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a ). (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立.所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22). 引申探究：在本例3(3)中，1.若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？ 解 方法一 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 且g (x )在(－2，－1)内为减函数，∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(－2)≤0，g ′(－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0， 解之得a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－3]. 方法二 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，由题意可得g ′(x )≤0在(－2，－1)上恒成立， 即a ≤x ＋2x在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x ，x ∈(－2，－1)的值域为(－3，－2 2 ]，∴a ≤－3，∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]. 2.若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值. 解 ∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)， ∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3.3.若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围.解 由引申探究1知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的范围是(－∞，－3]，若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x 的值域为(－3，－2 2 ]，∴a 的范围是[－22，＋∞)，∴函数g (x )在(－2，－1)上单调时，a 的取值范围是 (－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g (x )在(－2，－1)上不单调时，实数a 的取值范围是 (－3，－22).思维升华 已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解.已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ↔R ).(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x －a ＋ln x )e x ，f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e ＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x ，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立. 即1x －a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立. 所以a ≥1x ＋ln x ，在x >0时恒成立.令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在[1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (x )＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值). 故f (x )不可能是单调递减函数. 若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x －a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立，所以a ≤1x ＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1].5.分类讨论思想研究函数的单调性典例 (12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图像在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴. (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.思维点拨 依据g (x )的切线条件可得g ′(1)＝0得a ，b 关系，代g (x )后消去b ，对a 进行分类讨论确定g ′(x )的符号.规范解答解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ， 则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .[2分]由函数g (x )的图像在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得：g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.[4分](2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x＝(2ax －1)(x －1)x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1，[6分] 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，[7分]若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1，若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a；[9分]若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0.[11分] 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，12a )上单调递减，在(12a ，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0，12a)上单调递增，在(12a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.[12分]温馨提醒(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.(2)本题求解先分a＝0或a>0两种情况，再比较12a和1的大小.[方法与技巧]1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域.2.含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.[失误与防范]1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.3.讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)答案 D【详细分析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2. 2.若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A.f (a )>f (b )B.f (a )＝f (b )C.f (a )<f (b )D.f (a )f (b )>1答案 A【详细分析】f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数. ∴f (a )>f (b ).3.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－∞，52)D.(－∞，52]答案 D【详细分析】∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立.令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52，故选D.4.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则1e xf (x 2)与2e xf (x 1)的大小关系为( )A.1e xf (x 2)>2e xf (x 1) B.1e xf (x 2)<2e xf (x 1) C.1e xf (x 2)＝2e xf (x 1)D.1e xf (x 2)与2e xf (x 1)的大小关系不确定 答案 A【详细分析】设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意得g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即1212()()e ex x f x f x <， 所以1e xf (x 2)>2e xf (x 1).5.函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ↔(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a答案 C【详细分析】依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f (12)，即有f (3)<f (0)<f (12)，c <a <b .6.若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，0)【详细分析】f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根.∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.7.已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________. 答案 [34，＋∞)【详细分析】f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意得，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立. 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0， 解得a ≥34.8.已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0).若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________________. 答案 (0，25]∪[1，＋∞)【详细分析】f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立. 令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3， 又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.9.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ↔R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去. 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数.综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5). 10.已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围.解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数.∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立.即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2].B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11.设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.1<a ≤2B.a ≥4C.a ≤2D.0<a ≤3答案 A【详细分析】∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.12.已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ↔R 恒成立，则( ) A.f (1)<e f (0)，f (2016)>e 2016f (0) B.f (1)>e f (0)，f (2016)>e 2016f (0) C.f (1)>e f (0)，f (2016)<e 2016f (0)D.f (1)<e f (0)，f (2016)<e 2016f (0) 答案 D【详细分析】令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝(f (x )e x )′＝f ′(x )e x－f (x )e xe 2x＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以函数g (x )＝f (x )e x 是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2016)<g (0)， 即f (1)e 1<f (0)1，f (2016)e 2016<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2016)<e 2016f (0).13.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________. 答案 (－19，＋∞)【详细分析】对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是(－19，＋∞).14.已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________.答案 (0,1)∪(2,3)【详细分析】由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 15.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ↔R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ↔[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2[f ′(x )＋m2]在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a (1－x )x，当a >0时，f (x )的增区间为(0,1)， 减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数. (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0时对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，得m >－373.所以－373<m <－9.即实数m 的取值范围是(－373，－9).课时2 导数与函数的极值、最值题型一 用导数解决函数极值问题命题点1 根据函数图像判断极值例1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D【详细分析】由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值.命题点2 求函数的极值例2 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a (a ↔R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值.解 由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎫x －2a . 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ，f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1. 当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：。
(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题03 导数及其应用(选择题、填空题)(学生版)
专题03 导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin+cos 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2+b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =4．【2017年高考浙江】函数y=f ()的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f ()的图象可能是5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为6．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为7．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =8．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >09．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 10．【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 11．【2018年高考天津文数】已知函数f ()=eln ，f ′()为f ()的导函数，则f ′（1）的值为__________． 12．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．13．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．【2017年高考天津文数】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .16．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .17．【2018年高考江苏】若函数在有且只有一个零点，则在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________． 18．【2017年高考江苏】已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017考前特训五导数及其应用 板块一导数概念及运算 考向1 导数的运算 1. [2013·江西卷理科13]设函数()fx在(0,)内可导，且()xxfexe，则= 2. [2015·天津卷文科 11]已知函数()lnfxaxx，(0,)x，其中a为实数，'()fx为()fx的导函数。若'(1)3f，则a的值为____________。 3. [2015·福建卷理科10]若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是
A.11fkk B.111fkk C.1111fkk D. 111kfkk 考向2 导数的几何意义及其应用 4. [2014·大纲卷理科7]曲线1xyxe在点（1,1）处切线的斜率等于（） A．2e B．e C．2 D．1 5. [2014·新课标I卷理科 8]已设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. [2014·陕西卷理科 10]如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）
A.3131255yxx B. 3241255yxx C.33125yxx D.3311255yxx 7. [2016·山东卷理科 10]若函数()yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称()yfx具有T性质。下列函数中具有T性质的是（）
A．sinyx B．lnyx C．xye D．3yx
8. [2016·四川卷理科 9]设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,ln,1,xxxx图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)
9. [2015·新课标I卷文科 14]已知函数3()1fxaxx的图象在点(1，(1)f)处的切线过点(2，7)，则a=____________。
¢f(1)10. [2012·新课标卷理科 13]曲线(3ln1)yxx在点(1，1)出的切线方程为____________________。 11. [2015·陕西卷文科 15]函数在其极值点处的切线方程为____________. 12. [2014·江西卷理科 13]若曲线xye上点P处的切线平行于直线210xy，则点P的坐标是________. 13. [2014·江苏卷理科 11]在平面直角坐标系xOy中，若曲线2byaxx(a，b为常数)过点P(2，−5)，且该曲线在
点P处的切线与直线7230xy平行，则a+b的值是____________。 14. [2016·新课标II卷理科 16]若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=。
15. [2015·陕西卷理科 15]设曲线xye在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点p处的切线垂直，则p的坐标为 16. [2013·北京卷理科 18]设l为曲线C：lnxyx在点(1，0)处的切线. (I)求l的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方
板块二导数的综合应用 考向1 求单调性或参数范围 1. [2014·江西卷理科 18]（12分）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上单调递增，求b的取值范围.
xyxe2. [2016•山东卷理科]（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性； （II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
3. [2015·新课标II卷理科 21]（12分）设函数2()mxfxexmx。 （1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增； （2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围。 考向2 极值和最值 4. [2016·北京卷理科 14]设函数 ①若a=0，则f(x)的最大值为____________________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。
5. [2015·浙江卷理科 8]已知e为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(kxexfkx，则
A．当1k时，)(xf在1x处取得极小值B．当1k时，)(xf在1x处取得极大值 C．当2k时，)(xf在1x处取得极小值D．当2k时，)(xf在1x处取得极大值 6. [2012·重庆卷理科 8]设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）
图所示，则下列结论中一定成立的是 （A）函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f
（B）函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f （C）函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f （D）函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f 7. [2014·安徽卷理科 18]（12分）设函数=1+（1+ a）-x2-x3，其中a > 0 . （Ⅰ）讨论在其定义域上的单调性； （Ⅱ）当x [0,1] 时，求取得最大值和最小值时的x 的值。
f(x)=x3-3x,x£a-2x,x>aìíï
îï
f(x)f'(x)y=(1-x)f'(x)f(x)f(x)f(x)8. [2016·新课标II卷理科 21]（12分） (Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
9. [2015·山东卷理科 20]（13分）设函数22()(ln)xefxkxxx（k为常数，2.71828e是自然对数的底数）. （Ⅰ）当0k时，求函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）若函数()fx在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.
xx2f(x)x2
e0x
(2)20xxex
[0,1)a2x=(0)xeaxagxx（）()gx()ha()ha10. [2015·山东卷理科 21]（14分）设函数2()ln(1)()fxxaxx，其中aR。
（Ⅰ）讨论函数()fx极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0,()0xfx成立，求a的取值范围。
考向3 不等式问题 11. [2015·北京卷理科 18]（本小题13分）
已知函数1ln1xfxx．
（Ⅰ）求曲线yfx在点00f，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当01x，时，323xfxx； （Ⅲ）设实数k使得33xfxkx对01x，恒成立，求k的最大值． 12. [2014·福建卷理科 20]（14分）已知函数axexfx（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线xfy
在点A处的切线斜率为-1. （Ⅰ）求a的值及函数xf的极值； （Ⅱ）证明：当0x时，xex2； （Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在0x，使得当，0xx，恒有xcex2.
13. [2016·新课标III卷理科 21]（12分）设函数，其中，记的最
大值为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）证明．
14. [2015·湖南卷理科 21]（13分）已知0a，函数()sin([0,))axfxexx。记nx为()fx的从小到大的第
()cos2(1)(cos1)fxaxax0a|()|fxA()fxA|()|2fxA*()nnN
个极值点。证明：
（Ⅰ）数列{()}nfx是等比数列；
（Ⅱ）若211ae，则对一切*,|()|nnnNxfx恒成立。
考向4 零点问题 15. [2014·新课标I卷理科 11]已知函数()fx=3231axx，若()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，则a的取值范围为 A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）
16. [2014·四川卷理科 21]已知函数2()1xfxeaxbx，其中,abR，2.71828e为自然对数的底数。 （1）设()gx是函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f，函数()fx在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围
17. [2015·广东卷理科 19]（14分）设a>1，函数aexxfx)1()(2。 (1) 求)(xf的单调区间； (2) 证明：)(xf在（，+∞）上仅有一个零点； (3) 若曲线()yfx=在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)Mmn处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,
证明：123eam
18. [2016·新课标I卷理科 21]（12分）已知函数2)1(2)(xaexxfx）（有两个零点. (I)求a的取值范围；