第四章 连续信号与系统的复频域分析

又 Q f (t ) = U (t ) − U (t − τ ) 1 ∴ f1 (t ) ↔ F1 ( s ) = (1 − e − sτ ) s ∞ 1 f 2 (t ) = ∑ δ (t − nT ) ↔ = F2 ( s ) − sτ 1− e n =0 1 1 − st ∴ f ( s ) = f1 ( s ) • f 2 ( s) = (1 − e ) • s 1 − e− sT
− st
dt =
∫
∞
0
e − st dt =
1 s
1 即：U (t ) ↔ s
第四章 连续信号与系统的复频域分析
e atU (t ) 2、单边指数信号
∞ at − st 0−
a 任意
∞ − ( s − a )t 0
F ( s ) = ∫ e U (t )e dt = ∫ e
1 dt = s−a
1 即： e U (t ) ↔ s−a
三、单边拉普拉斯变换 考虑到实际应用中，大多数情况下仅仅涉及因果信 号和因果系统。故 正变换：
F ( s) = ∫ f (t )e− st dt
0− ∞
逆变换： f (t ) =
第四章 连续信号与系统的复频域分析
2π j ∫σ − j∞
1
σ + j∞
F ( s )e st ds
t≥0
F ( s) = ∫ f (t )e− st dt 正变换：
第四章 连续信号与系统的复频域分析
s = pk
１、极点为实数且无重根
F 则可分解为部分分式之和： ( s) = An A1 A2 + + ... + s − p1 s − p2 s − pn
A 其中： k = ( s − pk ) F ( s )
s = pk
求各项的逆变换得结果：
f (t ) = ( A1e p1t + A2 e p2t + ... + An e pnt )U (t )
dn (−t ) n f (t ) ↔ n F ( s ) ds
例８ 求 tU (t ) 、t 2U (t ) 和 te atU (t ) 的拉氏变换。
Q 解： U (t ) ↔ 1 s
故
1 s2 d 1 2 t 2U (t ) ↔ − ( 2 ) = 3 ds s s tU ( t ) ↔
d 1 −1 −tU (t ) ↔ ( ) = 2 ds s s
1 s d +1 = 故： f (t ) ↔ − s +1 s +1 dt
法二：应用微分性
f (t ) ↔ 1 s +1
故：f ′(t ) ↔ sF ( s ) − f (0−) = s
第四章 连续信号与系统的复频域分析
s +1
２复频域微分
d 若 f (t ) ↔ F ( s ) ，则 (−t ) f (t ) ↔ F ( s ) ds
at
3、单位冲激信号 δ (t )
F ( s) = ∫ δ (t )e− st dt = 1
0− ∞
即：
δ (t ) ↔ 1
第四章 连续信号与系统的复频域分析
4.2 单边拉氏变换的性质
一、线性
f1 (t ) ↔ F1 ( s)
f 2 (t ) ↔ F2 ( s)
则
α1 f1 (t ) + α 2 f 2 (t ) ↔ α1 F1 ( s) + α 2 F2 ( s)
1 τ
t
，
例３
求单边周期冲激信号的象函数。
∞ n=0
解：f (t ) = ∑ δ (t − nT )
Q δ (t ) ↔ 1 ∴δ (t − nT ) ↔ e − snT
∞
故： ( s ) = ∑ e− snT = F
n =0
1 1 − e − sT
第四章 连续信号与系统的复频域分析
三、频移性
f (t ) ↔ F ( s )则 f (t )e s t ↔ F ( s − s0 ) 若
s 2 s 2 + ω0
e − at sin ω0tU (t )
四、尺度变换性
↔
2 ( s + a) 2 + ω0
ω0
仿真 源码
若 f (t ) ↔ F ( s )，则
f (at系统的复频域分析
例５ 求 U (at ) 的拉氏变换。
Q 解： U (t ) ↔ 1 s
∞
∫
∞
−∞
F ( jω )e jωt d ω
二、双边拉普拉斯变换 定义：
F 正变换： ( s) = ∫
f 逆变换：(t ) =
∞ −∞
f (t )e − st dt
σ + j∞
2π j ∫σ − j∞
1
F ( s )e st ds
引入拉氏变换后，所研究的信号 域得到扩展。部分不满足狄里赫 利条件的信号，其傅里叶变换不 存在，但拉氏变换存在。 从系统方面来说，傅里叶变换只 用于分析稳定系统，而拉氏变换 可分析不稳定系统。
A1 A2 A∗2 部分分式展开为： F ( s) = s − 1 + s − (−1 + j ) + s − (−1 − j )
第四章 连续信号与系统的复频域分析
A1 A2 A∗2 + + F ( s) = s − 1 s − (−1 + j ) s − (−1 − j )
4s 2 + 6 其中：A1 = ( s − 1) F ( s) s =1 = 2 ( s + 2 s + 2)
1 a 1 ⋅ = a s s
故
U (at ) ↔
五、卷积定理 时域卷积 若 f1 (t ) ↔ F1 ( s)
，
f 2 (t ) ↔ F2 ( s)
则 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ↔ F1 ( s ) ⋅ F2 ( s)
第四章 连续信号与系统的复频域分析
例６ 求图示 t = 0 时接入的周期矩形脉冲信号的拉 氏变换。 f(t)
例１求单边余弦信号 cos ω0tU (t ) 和单边正弦信号
sin ω0tU (t ) 的拉氏变换。
1 解：Q e U (t ) ↔ s−a
at
故
e
− jω0 t
e
jω0 t
1 U (t ) ↔ s − jω0
1 U (t ) ↔ s + jω0
第四章 连续信号与系统的复频域分析
1 jω0t cos ω0tU (t ) = [ e U (t ) + e − jω0tU (t )] 2
第四章 连续信号与系统的复频域分析
−5s − 7 其中： 1 = ( s + 1) F ( s ) s =−1 = A ( s − 1)( s + 2)
s =−1
=1
同理得：A2 = −2 A3 = 1 故 f (t ) = (e − t − 2et + e −2t )U (t ) ２、若极点为复数且无重根
例１ 已知 F ( s) = 解： ( s) = F
−5s − 7 ，求逆变换。 3 2 s + 2s − s − 2
−5 s − 7 −5s − 7 = s 3 + 2 s 2 − s − 2 ( s + 1)( s − 1)( s + 2)
A3 A1 A2 部分分式展开为：F ( s) = + + s +1 s −1 s + 2
4s 2 + 6 ，求逆变换。 例２ 已知 F ( s ) = 3 2 s +s −2
仿真 源码
解：法一
4s 2 + 6 4s 2 + 6 4s 2 + 6 F (s) = 3 2 = = 2 s + s − 2 ( s − 1)( s + 2 s + 2) ( s − 1)[ s − (−1 + j )][ s − (−1 − j )]
第四章 连续信号与系统的复频域分析
六、微分定理 １、时域微分 若 f (t ) ↔ F ( s ) ，则 f ′(t ) ↔ sF ( s ) − f (0−)
f ′′(t ) ↔ s 2 F ( s ) − sf (0−) − f ′(0−)
f ( n ) (t ) ↔ ( s ) n F ( s ) − ∑ s n −1− m f ( m ) (0−)
0
e − at cos ω0tU (t ) 和 e − at sin ω0tU (t ) 的拉氏变换。 例４
解：因为 cos ω0tU (t ) ↔
ω0 sin ω0tU (t ) ↔ s 2 + ω 2 0 s+a − at e 故： cos ω0tU (t ) ↔ 2 ( s + a ) 2 + ω0
E
经题意分析可知：
f(t) E
τ
T
2T
t
f1 (t )
f 2 (t )
τ
T
2T
t
0
τ
t
∗
E
……
T 2T 2T t
第四章 连续信号与系统的复频域分析
f(t) E
f1 (t )
f 2 (t )
τ
T
2T
t
0
τ
t
∗
E
……
T 2T 2T t
f 解：1 (t ) = E[U (t ) − U (t − τ )]
= {2et + e − t [(e jt + e − jt ) + j 2(e jt − e − jt )]}U (t )
m =0