概率论与数理统计 论文 应用

概率论与数理统计在生活中的应用

————概率论与数理统计论文

概率论与数理统计在生活中的应用

摘要：我们在日常生活中的好多事情都与统计或者概率有关，例如人口普查，交通状况的研究，天气预报中的降水概率，买彩票的中奖概率，患有某种遗传病的概率等。生活中的概率问题往往让我们意想不到，学会怎样运用概率，可以让我们简单的解决生活中遇到的一些问题。本文分概率论与数理统计两个部分介绍了它们在生活中的应用。

关键词：概率统计生活应用

一、概率论的应用

概率论通过人类的社会实践和生产活动发展起来并被广泛应用于各个领域, 在国民经

济的生产和生活中起着重要的作用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文( Jevons,1835-1882) 所说: 概率论是“生活真正的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 我们就寸步难行,无所作为”。

先研究一个简单有趣的问题，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。通过的概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。

接下来是一些相对复杂的实际问题的解决：

1.比赛问题：某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队进行对抗比赛。校队的实力比系队强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为6.0。现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案：

（1）双方各出3人，比三局；

（2）双方各出5人，比五局；

（3）双方各出7人，比七局。

三种方案均以比赛中得胜人数多的一方为胜。问：对系队来说，哪种方案有利？

解设系队得胜人数为 ，则在上述三种方案中，系队获胜的概率为

（1）()352.0)6.0()4.0(233

23

≈=

≥-=∑k k k k C

P ξ；

（2）()317.0)6.0()4.0(355

35

≈=

≥-=∑k k k k C

P ξ；

（3）()290.0)6.0()4.0(477

4

7≈=

≥-=∑k k k k C P ξ。 由此可知第一种方案对系队最有利（当然，对校队最为不利）。这在直觉上是容易理解的，因为参加比赛的人数愈少，系队侥幸获胜的可能性也就愈大。很显然，如果双方只出一个人比赛，则系队获胜的概率就是4.0。所以，当两方实力有差距时，所比局数越少，对实力弱的一方就越有利。

2.销售问题：某商店由过去的销售记录表明，某种商品每月的销售件数可以用参数

5=λ的泊松分布来描述，为了以999.0以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应该

进多少件这种商品（假定上个月无存货）？

解 设该店每月销售这种商品X 件，月底应进货N 件，则当{}N X ≤时，才不会脱销。因为)5(~P X ，而

{}{}5

1!511-∞

+=∑-=>-=≤e

k N X P N X P N k k

依题意，要求{}999.0!515

1

>-=≤-∞

+=∑e k N X P N k k ，即

001.0!55

1<-∞

+=∑e k N k k

查泊松分布表，得满足上述不等式的最小值141=+N ,故

13=N

因而，这家商店只要在月底进13件这种商品，就可以有%9.99以上的把握，保证这种商品在下个月内不会脱销。

二、统计的应用

统计是一门与数据打交道的学问，同时也是描述数据特征、探索数据内在规律的方法，随着信息时代的到来，统计与实际生活息息相关，在科学研究、生产管理和日常生活中起着越来越重要的作用。统计学产生于应用，在应用过程中发展壮大。随着经济社会的发展、各

学科相互融合趋势的发展和计算机技术的迅速发展，统计学的应用领域、统计理论与分析方法也将不断发展，在所有领域——学术研究、实际工作、日常生活中都能展现它的生命力和重要作用。下面利用一些例子来说明数理统计在生活中的应用。

1.经济决策：在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用。

某人有一笔资金,可投入三个项目:房产X 、地产Y 和商业Z ,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为p1 = 0. 2 , p2 = 0. 7 , p3 = 0. 1 ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见表1 :

请问:该投资者如何投资好?

解我们先考察数学期望,

E(X)=11×0.2+3×0.7+(-3)×0.1=4.0 ,

E(Y)=6×0.2+4×0.7+(-1)×0.1=3.9 ,

E (Z)=10×0.2+2×0.7+(-2)×0.1 = 3.2

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差:

D(X)=(11-4)2×0.2+(3-4)2×0.7+(-3-4)2×0.1 = 15.4

D(Y)=(6-3.9)2×0.2+(4-3.9)2×0.7+(-1-3.9)2×0.1 = 3.29

D(Z)=(10-3.2)2×0.2+(2-3.2)2×0.7 +(-2-3.2)2×0.1 = 12.96

因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。

2.最大利润：如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量X (单位:吨) 服从

(300 ,500) 上的均匀分布,每售出1 吨该原料,公司可获利1. 5 千元;若积压1 吨,则公司损失0. 5 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?

此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。

解设公司组织该货源a 吨,则显然应该有300 ≤a ≤500 ,又记Y 为在a 吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即Y = g(X) ,由题设条件知:当X ≥a 时,则此a 吨货源全部售出,共获利1.5a ; X

从而得

上述计算表明E(Y)是a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,当a = 450 吨时,能够使得期望的利润达到最大。

通过统计我们可以了解一些指数的变化趋势等，通过概率计算我们了解了彩票、摸奖等的中奖率等。概率统计的足迹可以说是已经深入到每一个领域，在实际问题的应用随处可见。相信人类能够更好的应用好概率统计，使之更好的为人类的发展做贡献。