高考立体几何常考经典证明题锦集

6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，又BD ?平面B 1D 1C ，B 1D 1?平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．

同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2

EF AC =

， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD

证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG

//AC = 12//FG BD =

，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ?中，222212

EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=o

，即BD CD ⊥，AC CD C ?= ∴BD ⊥平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

A 1 A

B 1

C 1

C D 1

D G E

N M P

C B

A 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA P

B CB =⊥平面PAB ，M 是P

C 的中点，N 是AB 上的点，

3AN NB =

（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o

，24AB BC ==时，求MN 的长。证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点， ∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB ∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =[来源学§科§网]

∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥ （2）∵90APB ∠=o

，,PA PB =∴122

PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，

且1

MQ BC ==，∴2MN =

考点：三垂线定理

10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ?平面BDG ，BD ?平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G

EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB

又1D E ?平面BDG ，GB ?平面BDG ∴1D E ∥平面BDG

1EF D E E

?=，∴平面1D EF ∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC BD O ?=，

∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO

又1

AC ?平面BDE ，EO ?平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，

1AC AA A

?=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ?平面BDE ，

∴平面BDE ⊥平面1A AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．

（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．证明：在ADE ?中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ?平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ?=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角

在Rt PAD ?，42PD =，在Rt DCE ?中，22DE = 在Rt DEP ?中，2PD DE =，∴0

30DPE ∠= 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0

60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；

（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ?为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD

（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ?=，∴AD ⊥平面PBG ，

PB ?平面PBG ，∴AD PB ⊥

（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥ ∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角

在Rt PBG ?中，PG BG =，∴0

45PBG ∠=

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面

MBD ．

证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，

1A A AC A

?=，

∴DB ⊥平面11A ACC ，而1

AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ．设正方体棱长为a ，则22132A O a =，223

MO a =．在Rt △11A C M 中，22

194

A M a =

．∵22211A O MO A M +=，∴1

AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．

证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥．

又CF DF F =I ，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B ?=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．

∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ?=， ∴ AH ⊥平面BCD ．考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D

D 1 C 1

A 1

B 1

D C

A B

证明：连结AC

BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影

∴⊥⊥?

?⊥BD A C

A C BC A C BC D

11111同理可证平面

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．

证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，

∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=2a ，

SO=22a ，

AO 2=AC 2－OC 2=a 2－21a 2=21

a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC

⊥平面BSC ．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理要点诠释：定义中“平面的任意一条直线”就是指“平面的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）

二面角的平面角的三个特征: ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；围：000180θ<<. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用直径所对的圆周角是直角 (1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ， ∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（第2题

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图