107.华师《离散数学》期末考试复习资料精简版
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1 / 1 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (∃x)((Ax)∨(Bx))<=>( ∃x)(Ax)∨(∃x)(Bx) (∀x)((Ax)∧(Bx))<=>(∀x)(Ax)∧(∀x)(Bx) —┐(∃x)(Ax)<=>(∀x)┐(Ax) —┐(∀x)(Ax)<=>(∃x)┐(Ax) (∀x)(A ∨(Bx))<=>A ∨(∀x)(Bx) (∃x)(A ∧(Bx))<=>A ∧(∃x)(Bx) (∃x)((Ax)→(Bx))<=>(∀x)(Ax)→(∃x)(Bx) (∀x)(Ax) →B <=>(∃x) ((Ax)→B) (∃x)(Ax) →B <=>(∀x) ((Ax)→B) A →(∀x)(Bx) <=>(∀x) (A →(Bx)) A →(∃x)(Bx) <=>(∃x) (A →(Bx)) (∀x)(Ax)∨(∀x)(Bx) =>(∀x)((Ax)∨(Bx)) (∃x)((Ax)∧(Bx)) =>(∀x)(Ax)∧(∀x)(Bx) (∀x)(Ax)→(∀x)(Bx) =>(∀x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={<x,y>|x,y 属于A ，y 盖住x}； 9.极小元：集合A 中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)； 极大元：集合A 中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)； 最小元：比集合A 中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)； 最大元：比集合A 中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)； 10.前提：B 是A 的子集 上界：A 中的某个元素比B 中任意元素都大，称这个元素是B 的上界(若存在，可能不唯一)； 下界：A 中的某个元素比B 中任意元素都小，称这个元素是B 的下界(若存在，可能不唯一)； 上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)； 下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)； 6.函数 1.若|X|=m,|Y|=n,则从X 到Y 有mn 2种不同的关系，有m n 种不同的函数； 2.在一个有n 个元素的集合上，可以有2n2种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n!种不同的双射； 3.若|X|=m,|Y|=n ，且m<=n ，则从X 到Y 有A m n 种不同的单射； 4.单射：f:X-Y ，对任意1x ,2x 属于X,且1x ≠2x ，若f(1x )≠f(2x )； 满射：f:X-Y ，对值域中任意一个元素y 在前域中都有一个或多个元素对应； 双射：f:X-Y ，若f 既是单射又是满射，则f 是双射； 5.复合函数：f ºg=g(f(x)); 5.设函数f:A-B ，g:B-C ，那么 ①如果f,g 都是单射，则f ºg 也是单射； ②如果f,g 都是满射，则f ºg 也是满射； ③如果f,g 都是双射，则f ºg 也是双射； ④如果f ºg 是双射，则f 是单射，g 是满射； 7.代数系统 1.二元运算：集合A 上的二元运算就是2A 到A 的映射； 2. 集合A 上可定义的二元运算个数就是从A ×A 到A 上的映射的个数，即从从A ×A 到A 上函数的个数，若|A|=2,则集合A 上的二元运算的个数为2*22=42=16种； 3. 判断二元运算的性质方法： ①封闭性：运算表内只有所给元素； ②交换律：主对角线两边元素对称相等； ③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同； ④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同； ⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同； 4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f 为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f 是双射，则称为同构； 8.群 广群的性质：封闭性； 半群的性质：封闭性，结合律； 含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元； 群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元； 2.群没有零元； 3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律； 4.循环群中幺元不能是生成元； 5.任何一个循环群必定是阿贝尔群； 10.格与布尔代数 1.格：偏序集合A 中任意两个元素都有上、下确界； 2.格的基本性质： 1) 自反性a ≤a 对偶: a ≥a 2) 反对称性a ≤b ^ b ≥a => a=b 对偶:a ≥b ^ b ≤a => a=b 3) 传递性a ≤b ^ b ≤c => a ≤c 对偶:a ≥b ^ b ≥c => a ≥c 4) 最大下界描述之一a^b ≤a 对偶 avb ≥a A^b ≤b 对偶 avb ≥b 5）最大下界描述之二c ≤a,c ≤b => c ≤a^b 对偶c ≥a,c ≥b =>c ≥avb 6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a 8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a 9) a ≤b <=> a^b=a avb=b 10) a ≤c,b ≤d => a^b ≤c^d avb ≤cvd 11) 保序性b ≤c => a^b ≤a^c avb ≤avc 12） 分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 13）模不等式a ≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c 3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)； 4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构； 5.链格一定是分配格，分配格必定是模格； 6.全上界：集合A 中的某个元素a 大于等于该集合中的任何元素，则称a 为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一) 全下界：集合A 中的某个元素b 小于等于该集合中的任何元素，则称b 为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一) 7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格； 8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a 和b 互为补元； 9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元； 10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格； 布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数； 11.图论 1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接； 2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联； 3.平凡图：只有一个孤立点构成的图； 4.简单图：不含平行边和环的图； 5.无向完全图：n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图； 有向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图； 6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边； 7.r-正则图：每个节点度数均为r 的图； 8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍； 9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个； 10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和； 11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路； 12.可达：对于图中的两个节点i v ,j v ，若存在连接i v 到j v 的路，则称i v 与j v 相互可达，也称i v 与j v 是连通的；在有向图中，若存在i v 到j v 的路，则称i v 到j v 可达； 13.强连通：有向图章任意两节点相互可达； 单向连通：图中两节点至少有一个方向可达； 弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通) 14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集； 割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点； 15.关联矩阵：M(G)，mij 是vi 与ej 关联的次数，节点为行，边为列； 无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2； 有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1， 关联矩阵的特点： 无向图： ①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点； 有向图： ③所有的入度(1)=所有的出度(0); 16.邻接矩阵：A(G)，aij 是vi 邻接到vj 的边的数目，点为行，点为列； 17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A (G)+3A (G)+4A (G) 可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路； A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数； 2A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数； 3A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数； 4A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数； P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数； 18.布尔矩阵：B(G)，i v 到j v 有路为1，无路则为0，点为行，点为列； 19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0； 20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图； 21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先； 深度优先： ①选定起始点0v ； ②选择一个与0v 邻接且未被访问过的节点1v ； ③从1v 出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次； 广度优先： ①选定起始点0v ； ②访问与0v 邻接的所有节点v1,v2,……,vk,这些作为第一层节点； ③在第一层节点中选定一个节点v1为起点； ④重复②③，直到所有节点都被访问过一次； 22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树； 23.构造最小生成树的三种方法： 克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法； （1）克鲁斯卡尔方法 ①将所有权值按从小到大排列； ②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序； ③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序； ④重复③，直到所有节点都被访问过一次； （2）管梅谷算法(破圈法) ①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图； ②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图； ③重复②，直到所有节点都被访问过一次； （3）普利姆算法 ①在图中任取一点为起点1v ，连接边值最小的邻接点v2； ②以邻接点v2为起点，找到v2邻接的最小边值，如果最小边值比v1邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v ，连接1v 现在的最小边值(除已连接的边值)； ③重复操作，直到所有节点都被访问过一次； 24.关键路径 例2 求PERT 图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径. 解：最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max{0+1}=1 TE(v3)=max{0+2,1+0}=2 TE(v4)=max{0+3,2+2}=4 TE(v5)=max{1+3,4+4}=8 TE(v6)=max{2+4,8+1}=9 TE(v7)=max{1+4,2+4}=6 TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)=min{12-1}=11 TL(v5)=min{11-1}=10 TL(v4)=min{10-4}=6 TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0 关键路径: v1-v3-v7-v8 25.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路； 欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路； 欧拉图：具有欧拉回路的图； 单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路； 欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路； 26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件： ①连通图；②有0个或2个奇数度节点； （2）无向图中存在欧拉回路的充要条件： ①连通图；②所有节点度数均为偶数； （3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件： ①除两个节点外，每个节点入度=出度； ②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1； （4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件： 图中每个节点的出度=入度； 27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路； 哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路； 哈密顿图：具有哈密顿回路的图； 28.判定哈密顿图（没有充要条件） 必要条件： 任意去掉图中n 个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n ； 充分条件： 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数； 29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议； 方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可； 30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图； 31.面次：面的边界回路长度称为该面的次； 32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍； 33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v 个节点，e 条边，r 个面，则 v-e+r=2； 34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图) 设图G 是v 个节点，e 条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6； 35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的； 36.判断G 是平面图的充要条件： 图G 不含同胚于K3.3或K5的子图； 37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2； ②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中； 完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接； 判定无向图G 为二部图的充要条件： 图中每条回路经过边的条数均为偶数； 38.树：具有n 个顶点n-1条边的无回路连通无向图； 39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数； 40.树高：层数最大的顶点的层数； 41.二叉树： ①二叉树额基本结构状态有5种； ②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度； ③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1； ④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立； ⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1； ⑥位于二叉树第k 层上的节点，最多有12-k 个(k>=1)； ⑦深度为k 的二叉树的节点总数最多为k 2-1个，最少k 个(k>=1)； ⑧如果有0n 个叶子，n2个2度节点，则0n=n2+1； 42.二叉树的节点遍历方法： 先根顺序（DLR ）； 中根顺序（LDR ）； 后根顺序（LRD ）； 43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树； 44.最优二叉树的构造方法： ①将给定的权值按从小到大排序； ②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值； ③重复②，直达所有权值构造完毕； 45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值； 每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；。
离散数学参考资料
一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T证明: 左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)⇔T(代入)2)∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))证明：∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x)∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))⇔∀xP(x)∧∀xQ(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）。
解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3三、推理证明题（10分）1)(P→(Q→S))∧(⌝R∨P)∧Q⇒R→S证明：（1）R 附加前提（2）⌝R∨P P（3）P T(1)(2)，I（4）P→(Q→S) P（5）Q→S T(3)(4)，I（6）Q P（7）S T(5)(6)，I（8）R→S CP2) ∀x(P(x)∨Q(x))，∀x⌝P(x)⇒∃x Q(x)证明：(1)∀x⌝P(x) P(2)⌝P(c) T(1)，US(3)∀x(P(x)∨Q(x)) P(4)P(c)∨Q(c) T(3)，US(5)Q(c) T(2)(4)，I(6)∃x Q(x) T(5)，EG五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）。
证明：∵x∈ A∩（B∪C）⇔ x∈ A∧x∈（B∪C）⇔ x∈ A∧（x∈B∨x∈C）⇔（ x ∈ A ∧x ∈B ）∨（x ∈ A ∧x ∈C ） ⇔ x ∈（A ∩B ）∨x ∈ A ∩C ⇔ x ∈（A ∩B ）∪（A ∩C ）∴A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ）六、A={ x 1，x 2，x 3 }，B={ y 1，y 2}，R={<x 1， y 1>，<x 2， y 2>，<x 3， y 2>}，求其关系矩阵及关系图（10分）。
离散数学深刻复习资料
离散数学深刻复习资料《离散数学》习题与解答第⼀篇数理逻辑第⼀章命题逻辑1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a)离散数学是计算机科学系的⼀门必修棵b)∏> 2 吗？c)明天我去看电影d)请勿随地吐痰e)不存在最⼤质数f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语⾔就容易多了g)9+5<12h)x<3i)⽉球上有⽔j)我正在说假话[解]a)不是命题b)是命题,真值视具体情况⽽定c)不是命题d)是命题,真值为te)是命题,真值为tf)是命题,真值为fg)不是命题h)是命题, 真值视具体情况⽽定i)不是命题1-2(1)⽤P表⽰命题“天下雪”,(⼜表⽰命题“我将去镇上”,R表⽰命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪,那么我不去镇上[解]a)(┐P∧R)→Qb)Q→Rc)┐Pd)P→┐Q1-2(2)将下⾯这段陈述中所出现的原⼦命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段陈述中的每⼀命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.[解]:陈述中出现5个原⼦命题，将他们符号化为:P: 2 是有理数其真值为FQ:2是素数其真值为TR:2是偶数其真值为TS:3是素数其真值为TU:4是素数其真值为F陈述中各命题符号化为:┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S1-2(3)将下列命题符号化a)如果3+3=6,则雪是⽩⾊的.b)如果3+3≠6,则雪是⽩⾊的c)如果3+3=6,则雪不是⽩⾊的.d)如果3+3≠6,则雪不是⽩⾊的e)王强⾝体很好，成绩也很好.f)四边形ABCD是平⾏四边形,仅当其对边平⾏[解]:设P:3+3=6 Q:雪是⽩⾊的R:王强成绩很好S:王强⾝体很好U: 四边形ABCD是平⾏四边形V: 四边形ABCD的对边是平⾏的于是:a)可表⽰为:P→Qb)可表⽰为: ┐P→Qc)可表⽰为: P→┐Qd)可表⽰为：┐P→┐Qe)可表⽰为：S∧Rf)可表⽰为:U＜＝＞V1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式a) (Q→R∧S)b) (P＜＝＞(R→S))c) ((┐P→Q)→(Q→P)))d) (RS→T)e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))[解]:a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式⽤指定的公式进⾏代换:a) (((A→B)→B)→A),⽤（A→C）代换A，⽤（（B∧C）→A代换B。
离散数期末复习
1
推理证明过程如下：
2
(∀x)(N(x) I(x)) P规则
3
(∃x)(N(x)
I(x)) T规则和
4
N(a)
I(a)
ES
1
规则和2
5
N(a)
T规则和3
6
I(a)
T规则和3
7
(∀x)(N(x) (Q(x)∇E(x)))
P规则
8
N(a) (Q(a)∇E(a)) US规则和６
• 8 Q(a)∇E(a)
空关系vs空集上的关系
空集上的关系：自反的，反自反的，对称的，反对称的， 可传递的。在空集上可定义任意元 关系。
性质：若A非空，空关系是反自反的，对称的，反对称的，可传递的； 若A是空集，该空关系是自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的
空关系：对于任何集合A, 称空集为A上的空关系.
1. 3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={<a,b>|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R 不满足下列哪些性质？为什麽？
2. 自反性 2)反自反性 3)对称性 3. 反对称性 5)传递性 4. 解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ 5. 所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。 6. 因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ 7. 即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的． 8. 对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即 9. <x,y>∈R,则y∩x≠Φ即<y,x>∈R即R满足对称性。
1. s(R)=R∪R~ 2. t(R)= ∪i=1nRi 3. 关系的性质： 4. R是自反的＝(∀x)(x∈X <x,x>∈R) 5. R是反自反的＝(∀x)(x∈X<x,x>∉R) 6. R是不自反的 7. (∃x)(∃y)(x,y∈X<x,x>∈R<y,y>∉R) 8. R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X <x,y>∈R <y,x>∈R) 9. R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X<x,y>∈R <y,x>∈Rx=y)
离散数学期末复习总要
离散数学期末复习总要离散数学期末复习各个章节要点纲要（及定理）离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。
1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。
1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1 设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2 设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A ←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：（1）对任意公式A，又A=>A；（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>(B∧C); （4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.1.4.3设P，Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件式P=>Q,，Q=>P。
离散数学期末复习题库
数理逻辑一、选择题。
1、下列选项中是原子命题的是（)A、霍金去世了。
B、霍金是物理学家，也是科普作家。
B、霍金的《时间简史》你看过吗？D、我看过《时间简史》，但没有看懂。
2、下列命题中，（）不是真命题。
A、海水是咸的当且仅当雪是白色的B、如果1+1=2，那么7+8＞16C、若太阳从西边落下，则2是奇数D、夏天冷当且仅当冬天热3、下列句子不是命题的是（）A.雪是黑色的。
B.江西师大是一座工厂。
C.好大的雪啊！D.若7+8＞16，则三角形有4条边。
4、下列句子是命题的是（）A.我正在说谎。
B.X < 0。
C.好大的雪啊！D.如果x大于3，则x2大于9。
5、下列句子是命题的是（）A.我正在说谎。
B.X < 0。
C.好大的雪啊！D.如果x大于3，则x2大于9。
6、下列联结词中不是完备的是（）A、{,,⌝∨∧} B、{,⌝∨} C、{,∨∧} D、{,⌝∧}7、下列选项中哪一个是复合命题？（)x>。
A、我不去看电影。
B、如果3x>，那么29C、我正在说谎。
D、把大象放进冰箱需要多少步？8、公式()P Q RP Q R=（）→⌝∨的成假解释是(,,)B、(,,)T F FT F T D、(,,) T T T B、(,,)T T F C、(,,)9、下列选项中是合式公式的是（)A 、3a b c ++=B 、P Q R <+C 、R Q P ∧⌝D 、R Q P ∧∨⌝10、下列公式不是永真公式的是（ ）C 、P P → B 、P P ↔ C 、 P P ∨⌝D 、P P ∧⌝ 11、下列公式 ( )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q)) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q))C ．(P →(⌝Q →P))↔(⌝P →(P →Q))D ．(⌝P ∨(P ∧Q)) ↔Q12、 设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）．A ．(∃x)(A(x)∧B(x))B ．(∀x)(A(x)∧B(x))C ．┐(∀x)(A(x) →B(x))D ．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))13、下列是真命题的有（ ）A 、；B 、；C 、；D 、。
离散数学-期末复习题及答案
离散数学-期末复习题及答案课程名称:《离散数学》一、单项选择题1、 (D)。
下列句子是命题的为。
A 、这朵花多好看呀！B 、明天下午有会吗？C 、5y x >+D 、地球外的星球上也有人。
2、 (A)。
李平不是不聪明，而是不用功。
p:李平聪明q:李平用功。
符号化为。
A 、 q )p (??∧ B 、q p ??∧ C 、q )p (∧?? D 、q )p (?∨ 3、 (A)。
与)q p (∨?命题公式等值的是。
A 、q p ??∧ B 、q p ??∨ C 、q p ∧ D 、q)(p ∧?4、 (D)。
含有3个命题变项的简单和取式中一定可形成种不同的极小项。
A 、2 B 、4 C 、6 D 、85、 (C)。
q )q p (∧→?此公式的类型为。
A 、重言式B 、永真式C 、矛盾式D 、可满足式 6、 (C)。
q )q )q p ((→∧→此公式的类型为。
A 、矛盾式B 、可满足式C 、重言式D 、永假式7、 (A)。
设A 是含有3个命题变项的公式,若它的主析取范式中含有8个极小项,则它是。
A 、重言式B 、矛盾式C 、可满足式D 、永假式8、 (B)。
只有天下大雨,他才乘公共汽车上班.p:天下大雨q:他乘车上班,符号化为。
A 、q p → B 、p q → C 、q p →?D 、p q →?9、 (B)。
不经一事,不长一智p:经一事q:长一智,符号化为。
A 、p q →B 、q p ??→C 、p q ??→ D 、q p → 10、 (B)。
R Q P →∧?)(成真赋值为。
A 、 000,001,110B 、 001,011,101,110,111C 、全体赋值D 、无11、 (B)。
公式Q P→的主析取范式为)3,1,0(∑，则公式的主合取范式为。
A 、)2(TB 、)2(∏C 、)3,1,0(∏D 、)3,2,1,0(∏12、 (A)。
R Q P →∧?成假赋值为。
A 、 100，B 、 001,011,101,110,111C 、全体赋值D 、无13、 (B)。
离散数学-期末复习考试
▪ 20％
❖ 独立题
▪ 60％
重点考察
❖ 基本概念 ❖ 基本理论 ❖ 80％
代数系统部分
❖ 基本内容(至少30%)
▪ 基本概念 ▪ 基本理论 ▪ 参见每章的主要内容
❖ 提高(至多10%)
▪ 重点
❖某类代数系统的证明
第八章要点
❖ n元代数运算、各种运算规律定义 ❖ 运算的各种特定元素定义
对任何元素a，证明a*e1=a成立
为了利用w*e1=w，需要将a和w联系起来，只能有a=x*w，这样
a*e1=(x*w)*e1=x*(w*e1)=x*w=a，所以e1是右单位元， 类似e2是左单位元。 左右单位元都存在，必然相等为单位元，设为e。
任何元素可逆
任何,y*a=e，a*x=e都有解，解分别为右左逆元， 要可逆，需证明x=y 而半群的可结合性，保证左右逆元相等， 所以任何元素可逆。
fa(x)的逆元是fa－1(x)
一 子代数问题
主要是子群 ab－1 H
对群<G, *>中的子群K,H，令 HK={h*k|hH，kK}，HK是G的子群，当且仅当 HK=KH
HK是G的子群，hkHK，则(hk)－1HK 而k－1 h－1KH, (hk)－1KH，则hkKH，故HKKH
HK=KH，(h1k1)(h2k2)－1=h1k1k2－1 h2－1= h1k3 h2－1 = h1h4k4 (因HK==KH，k3 h2－1=h4k4)
需要，相应代数系统的定义，运算性质的定 义，特殊元素的定义。
没有说明是代数运算的，必须证明封闭性
A 判断运算性质
8.10 有单位元的环A中a, b是关于乘法可逆的，证明 (1) －a关于乘法是可逆的，且(－a)－1＝－a－1； (2) ab也是关于乘法可逆的，且(ab)－1＝b－1a－1。
华南师范大学 离散数学数理逻辑-复习题
100：p∧﹁q∧﹁r， 101：p∧﹁q∧r， 110：p∧q∧﹁r
数理逻辑——复习题
﹁ A的主析取范式：（其所有极小项之和）
p→(q→r)
⇔ p →(¬q∨r) （蕴涵等值式）
⇔ ¬p∨(¬q∨r) （蕴涵等值式）
⇔ (¬p∨¬q)∨r ⇔ ¬(p∧q)∨r ⇔ (p∧q)→r
（结合律） （德摩根律） （蕴涵等值式）
证毕。
数理逻辑——复习题
证明2：真值表法
第5、7列相同，证毕。
p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r
p q r q → r p → (q → r)
或： ∃x (M(x) ∧ (﹁F(x))),
M(x)：x是人类。 F(x)：x爱吃面包。 量词的否定等值式： ¬(∀xF ( x)) ⇔ ∃x(¬F ( x))
¬(∃xF ( x)) ⇔ ∀x(¬F ( x))
数理逻辑——复习题
重点（6）：逻辑推理
¾ 命题逻辑的推理规则、谓词逻辑的推理规则
¾ 考察方式：命题的推理证明。 命题逻辑的推理规则（一）
（2）除非小王穿羽绒服，否则天不冷.
解： p：小王穿羽绒服。q：天不冷。 ﹁p→q
数理逻辑——复习题
重点（2）：命题的分类
¾ 永真式、永假式、可满足式
¾ 考察方式：判断命题的类型 ¾ 方法：真值表、等值演算
演算过程中， 括号不能随意丢弃
例2 （1）判断下列公式的类型：p∧r∧¬(q→p)
解1：等值演算法
A∨ B ⇔ B∨ A
数理逻辑——复习题
华东师大离散数学期末复习题
1.计算2400 mod 319。
2.已知RSA密码体制的公钥(e,n)=(5,35)，（1）请按本小节例题所示的方式将明文信息“rsa”加密；（2）请破解出私钥。
3.解同余方程组：x≡3(mod 8)，x≡11(mod 20)，x≡1(mod 15)。
4.求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。
5.构造下列推理的形式证明：“今天下午没有出太阳并且今天比昨天冷。
只有今天下午出太阳，我们才去游泳。
若我们不去游泳，则我们乘独木舟游览。
若我们乘独木舟游览，则我们在黄昏时回家。
所以，我们在黄昏时回家。
”6.用谓词公式表达语句“班上无人恰给另外两个同班同学发过电子邮件”，个体域取本班学生的集合。
7.求谓词公式∀x∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃x∀yR(x,y)的前束范式。
8.构造∀x(P(x)∨Q(x)),∀x(Q(x)→⌝R(x)),∀xR(x)⇒∀xP(x)的形式证明。
9.证明下面的推理：“每个科研工作者都是努力工作的。
每个努力工作而又聪明的人都取得事业的成功。
某个人是科研工作者并且聪明。
所以，某人事业取得成功。
”10.证明：若R是集合X上的传递关系，则对任意n∈ N，R n也是X上的传递关系。
11.证明：若设R1和R2都是集合X上的等价关系，则R1⋂R2也是X上的等价关系。
12.设R是X上自反、传递的关系，S=R∩R-1。
证明：（1）S是X上的等价关系；（2）若在X/S上定义关系T：([x]S,[y]S)∈T当且仅当(x,y)∈R，那么T是X/S上的偏序关系。
13.设f：X→Y，g：Y→Z。
下列命题是否成立？（1）f︒g是一对一的当且仅当f和g都是一对一的；（2）f︒g是到上的当且仅当f和g都是到上的；（3）f︒g是一一对应当且仅当f和g都是一一对应。
14.请建立[0,1]到(0,1)的一个一一对应。
15.证明图7.8.6中的图G1和图G2同构。
16.C3的子图有多少个？C3的不同构的子图有多少个？17.如图8.7.2是一套房子的平面图。
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离散数学
1、答案：错误
2、5阶完全图有10条边。
答案：正确
3、答案：正确
4、答案：正确
5、答案：错误
证明题有，第三道和第十一道，类似第十二道的有一题
判断题：
1答案：错误；2 答案：错误；3答案：正确
4答案：正确5答案：正确6答案：正确
7答案：错误7答案：正确
8欧拉图含有初级回路。
答案：错误9、可逆映射是双射。
答案：正确
10永真式是可满足式。
答案：正确11、完全有向图是有向哈米尔顿图。
答案：正确
12零元是不可逆的。
答案：正确；13、逻辑结论是正确结论。
答案：错误；
14空集是任何集合的真子集。
答案：错误15空集是任何集合的子集。
答案：正确
16单位元是可逆的。
答案：正确17一棵树的树叶树至少为2。
答案：错误
18有生成树的无向图是连通的。
答案：正确18、5阶完全图有10条边。
答案：正确
19强连通有向图一定是单向连通的。
答案：正确
5、n阶完全图的任意2个结点的距离都是1。
答案：正确
6、2个具有相同结点数和边数的图是同构的答案：错误
11答案：正确
12答案：正确
13答案：正确
13答案：正确14 答案：正确
15答案：错误15答案：错误
16 答案：正确16答案：错误
17答案：错误18答案：错误
19答案：正确20答案：错误22答案：错误
25答案：错误
27答案正确
28答案：正确
28答案：正确
29答案：正确
30答案：错误
31答案：错误
31答案：错误
32答案正确
证明题
第一题：
第二题
答案：
第三题
第四题
答案：第五题
答案：
第六题
第七题
第八题
第九题
第十题
第十一题
某班共有60人参加比赛，其中参加足球比赛的有28人，有29人参加篮球比赛，26人参加排球比赛，7人既踢足球又打篮球，9人既打篮球又打排球，11人既打排球又踢足球，求同时参加三种比赛的人数。
方案一：解设参加足球、篮球、排球比赛的学生集合分别为A、B、C
设x y z分别表示只参加足球、篮球、排球的人数
设同时参加足球、篮球和排球的人数为Q？
X+11+7-Q=28，
Y+9+7-Q=29，
Z+11+9-Q=26，
X+Y+Z+11+9+7-2Q=60
解得
x=28+Q-11-7，
y=29+Q-9-7，
z=26+Q-11-9，
则Q=28+29+26+Q-11-9-7=60，从而Q=4，所以同时参加足球、篮球、排球比赛的人数为4人
方案二：
解：设参加足球比赛的人为集合A；
设参加篮球的比赛的人为集合B；
设参加排球的比赛的人为集合C；
则有:(用减代表交，用加代表并）。
,A,=28，,B,=29，,C,=26，,A-B,=7，,B-C,=9，,A-C,=11 ,A,+,B,+,C,-,A∩B,-,B∩C,-,A ∩C,+,A∩B∩C,=,A∪B∪C,=60 ,A∩B∩C,=60-28-29-26+7+9+11=4 即：三项比赛都参加的有4人。
第十二题
1．设树T有5片树叶，4个2度结点，其余都是3度结点，求3度结点的个数。
解：
方案一：设:3度结点的个数为X 树的枝数+1=结点数4*2+3X+1=5+4+X X=0，故T有3个3度结点。
方案二：设:有x个3度结点，则一共有n=5+4+x=x+9个结点，T是树，则边数m=n-1=x+8，由握手定理，5*1＋4*2＋3x＝2m=2(x+8)，得x=3。
故T有3个3度结点
第二题
某班共有60人参加比赛，其中参加足球比赛的有28人，有29人参加篮球比赛，26人参加排球比赛，7人既踢足球又打篮球，9人既打篮球又打排球，11人既打排球又踢足球，求同时参加三种比赛的人数。
方案一：解设参加足球、篮球、排球比赛的学生集合分别为A、B、C
设x y z分别表示只参加足球、篮球、排球的人数
设同时参加足球、篮球和排球的人数为Q？
X+11+7-Q=28，
Y+9+7-Q=29，
Z+11+9-Q=26，
X+Y+Z+11+9+7-2Q=60
解得
x=28+Q-11-7，
y=29+Q-9-7，
z=26+Q-11-9，
则Q=28+29+26+Q-11-9-7=60，从而Q=4，所以同时参加足球、篮球、排球比赛的人数为4人
方案二：
解：设参加足球比赛的人为集合A；
设参加篮球的比赛的人为集合B；
设参加排球的比赛的人为集合C；
则有:(用减代表交，用加代表并）。
,A,=28，,B,=29，,C,=26，,A-B,=7，,B-C,=9，,A-C,=11 ,A,+,B,+,C,-,A∩B,-,B∩C,-,A ∩C,+,A∩B∩C,=,A∪B∪C,=60 ,A∩B∩C,=60-28-29-26+7+9+11=4 即：三项比赛都参加的有4人。
第三题
第四题
第五题：
答案：
1．第1题
您的答案：答：利用集合设集合A，B，C分别表示从1到200的整数中能被2,3,5整除的整数集，则从
1到200的整数中能被2整除的集合含有200/2=100，也即集合A中有100个元素；从1到200的整数中
能被3整除的集合含有200/3=66.67，也即集合B中有66个元素；从1到200的整数中能被5整除的集
合含有200/5=40，也即集合C中有40个元素；从1到200的整数中能被2,3整除的集合含有200/（2*3）=33.33，也即集合AB（表示集合A与B的交集）中有33个元素；从1到200的整数中能被2,5整除的集
合含有200/（2*5）=20，也即集合AC（表示集合A与C的交集）中有20个元素；从1到200的整数中能
被3,5整除的集合含有200/（3*5）=13.33，也即集合BC（表示集合B与C的交集）中有13个元素；从
1到200的整数中能被2,3,5整除的集合含有200/（2*3*5）=6.67，也即集合ABC（表示集合A、B、C的
交集）中有6个元素；所以，从1到200的整数中能被2,3,5中任意一个数整除的整数个数为
A+B+C-AB-AC-BC+ABC=100+66+40-33-20-13+6=146
题目分数：30
此题得分：20.0
2．第2题
您的答案：答：设3度结点的个数为x,则 1*5+4*2+3+x=2(5+4+x-1) 解此方程得 x=3
题目分数：10
此题得分：10.0
3．第3题
您的答案：答：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) =A∩2(B∪C) =A∩(2B∩2C) =A∩2B∩A∩2C （补一个A等式
仍成立） =(A-B)∩(A-C) （其中2代表求补集）
题目分数：20
此题得分：20.0
4．第4题
您的答案：证明：∵ a∧b是a，b的最大下界，a∨c是a，c的最小上界，∴ a∧b<=a ，a<=a∨c 再由关系《的传递性得a∧b<= a∨c 同理，∵ c∧d是c，d的最大下界，a∨c是a，c的最小上界，∴ c∧d<=c ，
c<= a∨c 再由关系<= 的传递性得c∧d <=a∨c 由a∧b<=a∨c，c∧d<=a∨c 可知a∨c是a∧b，c∧d的上界，而（a∧b）∨（c∧d）是a∧b，c∧d的最小上界，∴（a∧b）∨（c∧d）<=a∨c。
同理，∵ （a∧b）∨（c∧d）是a∨c，b∨d的下界，而（a∨c）∧（b∨d）是a∨c，b∨d的最大下界，∴（a∧b）∨（c∧d）<=（a∨c）∧（b∨d）。
题目分数：20
此题得分：20.0
5．第5题
您的答案：证明：左边：((Q∧R)→S)∧(R→(P∨S)) =>(2(Q∧R)∨S)∧(2∨(P∨S)) （去掉蕴含符）
=>(2Q∨2R∨S)∧(2R∨P∨S) 右边：(P→Q)→(R→S) =>(2P∨Q)→(2R∨S) （去掉蕴含符）
=>2(2P∨Q)∨(2R∨S) （去掉蕴含符）=>(P∧2Q)∨(2R∨S) =>(P∨2R∨S)∧(2Q∨2R∨S) <=>左边等于
右边，得证。
（注：其中2代表“非”）
题目分数：20
此题得分：20.0。