群论 第三章

e2′
e3′ )
=
gCk
(α
)g −1(e1′
e2′
e3′ )
=
gCk
(α )(e1
e2
e3 )
( )[ ] [ ] ( ) = g e1 e2 e3 Cij = e1′ e′2 e3′ Cij 。 (2)
比较上述(1)(2)两式可见，Ck
(α
)
在
o
−
xyz
下的矩阵与
C k1
(α1
)
在
o
−
x′y′z′
1. o − xyz 为右手系，坐标向量为 e1 ， e2 ， e3 。
2. 点操作保持原点不动，镜面与转轴通过原点，原点即反演中心。
3. Ck (α )，σ k ， Sk (α )中的 k 为单位矢。
§ 2 旋转群 SO(3)
设 T 是一个保持原点不动的点操作，即 T e j = e ′j = t1 j e1 + t2 j e2 + t3 j e3 ( j = 1 ,2 ,3)，写成
所以 det M (T ) = ±1 。
定理 1 每一个点操作对应于一个行列式为 + 1 或 − 1的正交矩阵。
例如单位操作 E 、反演操作 I 分别对应于行列式为 + 1 和 − 1的正交矩阵：
M
(E
)
=

1 0
0 1
0 0 ，
0 0 1
M
(I
)
=

−1 0
0 −1
0 0 ，
0
0 1
更一般结论：
引理 2 每一个旋转对应于一个行列式为 + 1 的正交矩阵。
证明 任取一个旋转 Ck (α )，设α > 0 ，把它看成是转角ϕ 从 0 → α 逐渐增大完成的。相应
( ) [ ] 的 正 交 矩 阵 M Ck (ϕ ) = Ci j (ϕ ) 的 矩 阵 元 Ci j (ϕ ) (i , j = 1 , 2 , 3) 在 [0, α ] 上 连 续 ， 自 然
p ′′
β β
θα α
σ2
p′ σ1
p
p′ σ 2
ββ θα
α
p′′
σ1
p
图 3-1
在σ1 、σ 2 镜面映射下，空间任意一点 P ，仅在过 P 且垂直于σ1 和σ 2 交线的平面上变换。
性质①表明，全体同轴转动 Ck (α )（ −∞ < α < ∞ ）构成一个 Abel 群 R(2) ；而两个绕不同轴
Ck
(α
)
同类（共轭）。
令 g(e1, e2 , e3 ) = (e1′, e2′ , e3′ )， e1′, e2′ , e3′ 是经 g 作用后的坐标系 o − x′y′z′ 的基矢。
[ ] 设 Ck (α )(e1 e2 e3 ) = (e1 e2 )e3 Ci j ，
(1)
则
C k1
(α1 )(e1′
cos α
Ce3 (α ) (e1 e2 e3 ) = (e1′′
e2′′
e3 ) = (e1
e2
e3
)

sin α 0
− sinα cosα
0
0 0 。 1
2. 再绕 e2′′ 轴转 β 角 e1′′ → e1′′′ ， e2′′ → e2′′ （不动）， e3 → e3′ 。
旋转和反映有下述简单性质：
① Ck (α )Ck (β ) = Ck (β )Ck (α ) = Ck (α + β )；
② σ ⋅σ =e；
③ 镜面夹角为θ 两映射乘积σ 2 ⋅σ1 是以两镜面的交线为轴转角为 2θ 的转动，轴的正向按下
面规则定，即由第一镜面σ1 到第二镜面σ 2 转动是右手系。
§1 对称操作
满足下列条件的空间变换称为点群的对称操作（点操作）： （1）任意两点间距离不变（等距）；（2）任意两向量间夹角不变（保角）；（3）空间中至少有 一点不变（固定点一般被取为坐标原点）。 点群和空间群间的主要区别在于（3）。 主要的点操作有： 1. 使空间不动或使空间各点都回到原来位置的点操作，称为单位操作或恒等操作，记为 E 或 е。 所有真正的点操作分三类：旋转、反映和中心反演（注：平移不属此列）——任何点操作均可 分解为它们的乘积形式（显然还是点操作）。
( ) l = k × k1 ，ϕ = ∠ k1, k ，则 g = Cl (ϕ )∈ R(3) 且使 gk = k1 。
可见：① 在 R(3) 中，所有转角相同的转动组成一个共轭类。
② 转轴相同的旋转构成 R(3) 的一个子群。
R(3) 的欧拉角表示 C(α , β , γ )：用绕三个特定的彼此独立的轴的旋转使 e1 e2 e3 → e1′ e2′ e3′ 。
动，则有
x
x
OP′
=
xe1′
+
ye2′
+
ze3′
=
(e1′ , e2′
, e3′
)

y z

=
(e1
, e2
, e3
)
M
(T
)

y z

(2)
96
比较上述(1)(2)两式导出：

x′ y′

=
T

x y

=
M
(T
)
x y

第三章 对称操作群及晶体对称性
对称操作——使体系占据的空间位置保持不变的空间变换。 对称操作群——由一个体系所有的对称操作所构成的群，如转动、镜面反映、中心反演、像转 （或镜转,转动加镜面反映）及平移等。显然，相继进行的对称操作（乘法）仍为对称操作。 点群——使空间至少有一点在对称操作下保持不变，这种对称操作群称为点群。（原子、分子、 核等对称性属于此类。通常，不动的点取为粒子所在中心为原点。） 晶体群——晶体的对称操作，点群中的一部分加平移。一般说，它属于空间群——晶体所有对 称操作构成的群。晶体结构周期性，具有平移不变性，因而平移构成对称操作群。 本章从点群入手，讨论晶体的对称性。
( ) 0 < β < α1 ，使 det M Ck (β ) = 0 ，而这与定理 1 矛盾。故只能有 det M = +1 。
此定理的逆定理也成立：每一个行列式为 + 1 的正交矩阵对应于一个旋转。
推论 1 两个有同一原点的右手系可利用一个转轴过原点的旋转使其中的一个变为另一个。
推论 2 （Euler 定理） 轴交于一点 O 的两个旋转的乘积等于一个轴过点 O 的旋转。
4. 中心反演 I ，使 r 变为- r 的变换。若 O 为固定点，它使任一向量 OP → −OP 的操作，O
——反演中心。
94
这里，旋转保持转轴上的点不变；反映保持镜面上的点不变；反演保持中心点不变，均是点操 作。转轴不相交的二个旋转的乘积、镜面不相交的二个映射的乘积、转轴与镜面平行（但不在面上） 的旋转与反映的乘积都是空间操作。
Ck (α )σ k = σ k Ck (α ) = Sk (α ) = I ⋅ Ck (π + α ) = Ck (π + α )⋅ I ⑶ 设轴 k 与镜面不垂直，则 Ck (α )σ 与σ Ck 皆为像转，像转轴通过 k 与σ 的交点。 注意：此时 Ck (α )σ ≠ σ Ck (α )。
一般约定：
矩阵形式：
t11 t12 t13
T
(e1
,
e2
,
e3
)
=
(e1
,
e2
,
e3
)M
(T
)
，
M
(T
)
=

t t
21 31
t 22 t 32
t 23 t 33

，
其中 tij (i, j = 1 , 2 , 3)为实数， M (T ) 为实矩阵。
考虑空间一点 P(x , y , z)在T 的作用下变为 P′(x′, y′, z′)，显然有
旋转的乘积次序是不可交换的。
例 如图 3-2
Ce⌢y
π 2

Ce⌢x

π 2

=
C k1

2π 3

，
1→ 2 →3； 3→ 7 → 6，
Ce⌢x

π 2
Ce⌢y

π 2

=
C k2

2π 3

，
1→ 4 → 3； 3 → 7 → 8， 其中： k1 = e⌢x + e⌢y − e⌢z ； k2 = e⌢x + e⌢y + e⌢z 。
2. 旋转：绕空间某有向直线 L 转过一角度α 的操作。 L ——转轴，α ——转角（右手系定
正向），表为 CL (α ) 。
3. 反映（镜面反射），对于某个平面作镜面反射的操作。平面σ 以 k 为法向量，记为σ 或σ k 。 通常以σ υ （ ⊥ ，vertieal）和σ h （==，horizental）分别表示通过和垂直主轴的镜面。
方法：按惯例在右手系 o − xyz 中引进球坐标， e3′ 取向由α 、 β 确定，即
e3′ = (sin β cosα , sin β sinα , cos β ) 。 （即 r = (x, y, z)， r = 1）
这可以由下列三个转动来实现：
1. 先绕 e3 轴转α 角， e1 → e1′′ ， e2 → e2′′ ， e3 → e3 （不动）。
0 0 −1
因而也把 M (E) 和 M (I )记为 E 和 I 。
例 2 绕 z 轴的旋转 Ce3 (α ) 保持 e3 不变，而使 e1 , e2 变化如下，