九年级上学期12月月考数学试题
四川省内江市威远县凤翔中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题(含答案)
威远县凤翔中学九年级上册月考卷考试范围：第21至24章，考试时间90分钟，满分120分姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每小题4分，共48分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ． B ． C ． D ．2．已知一元二次方程，则方程的根情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根3．若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为，则下列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）ABCD5．使式子x 的取值范围是（ ）A ．且B ．C ．D ．6．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．290x -=35x x +=228x x -=20ax bx c ++=2310x x -+=x ()221 6.62x +=()2221 6.62x ++=()()222121 6.62x x ++++=22 6.62x x ++=12x ≤1x ≠-12x ≥12x ≤1x ≠-ABC V sin A 3234354512∠=∠ABC ADE △△∽B D ∠=∠C E ∠=∠AB ACAD AE=AC BCAE DE=8．如图，ΔABC 和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，，分别以B ，C 为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D ，E ，作直线DE 交AB ，于点F ，G ，连接CF ，若，则的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．410．下列二次根式中，能与2合并的是（ ）ABCD11．如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在平行四边形中，E 是边上一点，与交于点F ，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3A B C '''V O :1:3OA AA '=ABC V A B C '''V 1:31:41:91:16Rt ABC V 90ACB ∠=︒BC BC 3,2AC CG ==CF ABCD BE ABC ∠CF BCD ∠E F AD BE CF G 7AB =10BC =EFG V BCG V 4:2549:1007:102:5ABCD CD AE BD 2DE EC =AFFE3223二、填空题（每小题4分，共16分）13．若是关于x 的一元二次方程的解，则 ．14．一元二次方程的两根为a 与β．则的值是 ．15．已知是方程的两根，则代数式的值是 ．16．在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ．三、解答题（6个小题，共56分）17．计算与解方程：(1)计算：(2)解方程：．18．如图，点是正方形边上一点，过作的垂线，交CD 于点，交AB 的延长线于点．(1)求证：；(2)若正方形的边长为．点是的中点，求的长．1x =230x mx n ++=624m n +-=2320x x --=11αβ+a b ，210x x --=22341a b b +-+Rt ABC △90C ∠=︒30B ∠=︒6BC =D AB P BC AP DP AP DP +(4sin ⨯-228=0x x --E ABCD BC E AE F G ABE ECF ∽△△8E BC BG19．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为．①直接写出关于的函数关系式；②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？20．阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的：∵∴，∴∴，∴问题解决：(1)(2)若的值．x y y x a =2281a a -+2a ===2a -=22(2)3,443a a a -=-+=241a a -=-()222812412(1)11a a a a -+=-+=⨯-+=-m =23185m m ++21．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E 点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米．(1)请求出的长？(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D 到的距离）．22．如图1，中，，，E 、D 、F 分别为、上的动点（点E 不与A 、C 重合，点F 不与B 、C 重合），过点E 、F 分别作的垂线，垂足分别为M 、N ，且．(1)求证：；(2)如图2，若四边形是正方形，求的长；(3)若N 为的中点，试判断与能否相等，如果能相等，求出的长；如果不能相等，请说明理由．参考答案：题号12345678910答案C A C D A C D D A A 题号1112 答案AA13． 14． 15． 16．CD AB AB 1:2.4i =CE AC AC 7.2CD 0.4DE AB Rt ABC △68AC BC ==，90C = ∠AC AB BC 、AB ∠90E D F = AME FNB △∽△CEDF MN AB AM DN AM 6-32-11617．解:（1）；（2），整理得，配方得，即，∴，解得：，．18．解:（1）∵四边形是正方形，∴，∴∵，∴，∴，又∵∴．（2）∵，∴又∵四边形是正方形，∴∴∴∴∴∵为中点，∴∴．19．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m ，依题意，得：，(4sin ⨯-4=2=-2=-228=0x x --228x x -=22181x x -+=+2(1)9x -=13x -=±14x =22x =-ABCD 90C ∠=︒90CFE FEC ∠+∠=︒AE FG ⊥90FEC AEB ∠+∠=︒CFE BEA ∠=∠90C ABE ∠=∠=︒ABE ECF △△∽AE FG ⊥90EAB EGA ∠+∠=︒ABCD 90ABE ∠=︒90GEB BGE ∠+∠=︒GEB EAB ∠=∠GEB EAB V V ∽BG BEBE AB=E BC 11422BE BC AB ===22428BE BG AB ===()25001720m +=解得：，（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）解：①依题意，得：；②依题意，得：，解得：，，∵尽可能让顾客得到实惠，∴．答：该品牌头盔的实际售价应定为60元．20．（1（2）解：∵，∴∴，，∴，．21．（1）解：如图，由题意可知，，∵，∴，∴，∵米，∴米，∵米，∴（米）；（2）解：过点D 作于H ，如图所示：10.220%m ==2 2.2m =-20%()5001050101000y x x =--=-+()()401010008000x x --+=160x =280x =60x ====3m ===--3m +=-()(2238m +=-=2698m m ++=261m m +=-∴()()2231853653152m m m m ++=++=⨯-+=A C CE ⊥1:2.4i =15tan 2.412CAB ∠==512CE AC =7.2AC =3CE =0.4CD =30.4 2.6DE =-=DH AB ⊥∵，∴，∵，∴，∴，∴设，，∴，∵米，∴，解得：，∴（米），答：该车库入口的限高数值为米．22．（1）证明：∵，∴，∴，∴，∴（2）∵，∴当四边形是正方形时，则，设，∵，∴，∴，即；解得∴，90EDH DEH CAB DEH ∠+∠=∠+∠=︒EDH CAB ∠=∠5tan 12CAB ∠=5tan tan 12EDH CAB ∠=∠=512EH DH =5EH x =12DH x =13DE x ===2.6DE =13 2.6x =0.2x =12120.2 2.4DH x ==⨯= 2.4EM AB FN AB ⊥⊥，90EMA FNB C ∠=∠=︒=∠ 90 90A B A AEM ∠+∠=︒∠+∠=︒，B AEM ∠=∠AME FNB△∽△ 6890AC BC C ==∠=︒，，10AB =CEDF CE DE DF CF ===CE DE DF CF x ====DF AC ∥BFD BCA △∽△BF DF BC AC =886x x-=247x =241824326,87777A EB F =-==-=∵，∵，∴，即解得，又由(1)中，可得；即；得∴（3）证明：与不能相等，理由如下：若N 为中点，则，∵，∴，∴即，解得假设，则∴由可得，即；解得∵，∴，又∵，∴，又∵， ∴，∴；即，即，整理得：，可得，但不合题意，从而假设不成立，故与不可能相等．,90A A AME C ∠=∠∠=∠=︒AME ACB ∽△△A E M E A MA B B C A C ==1871086M E A M ==7235ME =5435A M =AME FNB △∽△M E A E N B FB =7218357327N B =12835B N =54128241035355MN A B A M B N =--=--=AM DN AB 5AN BN ==,90B B FNB C ∠=∠∠=∠=︒FNB ∽AC B V V ,FN N B A C C B =568FN =154FN =AM DN m ==552DM AN AM DN m m m =--=--=-AME ACB ∽△△E M A M B C A C =86E M m =43mE M =90EDF ∠=︒90EDM FDN ∠+∠=︒90EDM MED ∠+∠=︒FDN MED ∠=∠90EMD FND ∠=∠=︒EMD DNF V V ∽FE D N M M DN =E M N F D N M D ⋅=⋅()4155234m m m ⋅=-220m =120m m ==AM DN。
上海市进才中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷(含简单答案)
上海市进才中学2024—2025学年初三上学期12月数学月考试卷（完卷时间100分钟，满分150分）注意：1．本卷含三个大题，共25题．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 在A 处观察B 处时的仰角为，那么在B 处观察A 处时的俯角为（ ）．A B. C. D. 2. 如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（ ）．A. 开口方向相同B. 顶点坐标相同C. 变化情况相同D. 对称轴相同3. 如果斜坡的坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（ ）．A. B. C. D.4. 在中，点D 、E 分别在边AB 、上，，CD 和交于点O ，如果，那么的比值是（ ）．A. B. C. D.5. 在中，，，平分线交于D ，在所有三角形中，相似的是（ ）．A. B. C. D. 不存6. 已知抛物线，与x 轴交点是A 、B ，与y 轴交与点C ，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）.的在αα90α︒+90α︒-180α︒-21y x =-180︒32h =l =30︒45︒60︒75︒ABC V AC DE BC ∥BE 13DOE BOD S S =△△DE BC 12131419ABC V AB AC =36A ∠=︒ABC ∠AC △∽△ABD BCD ABC ABD V V ∽ABC BDC ∽△△()()310y k x x k k ⎛⎫=+-≠ ⎪⎝⎭ABC V【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.______．8. 抛物线的顶点坐标是______．9. 将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是______．10. 点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是______．11. 在中，，，则______．12. 已知点G 是的重心，设，，那么______．（用，表示）．13. 如图，点G 是等边的重心，连接，如果，那么______．14. 如图，AB 与CD 交于点，且，若，则______．15. 如图，在中，点D ，E 为边的三等分点，点F ，G 在边上，，点H 为与的交点．若，则的长为______．16. 如图，在中，为边上的中线，且，若，，则线45︒=()2521y x =-++243y x x =-+()14,A y -()23,B y -()31,C y ()221y x =++1y 2y 3y Rt ABC △90C ∠=︒1sin 3A =cot B =ABC V AB a = AC b = = AG a b ABC V GA AG =BC =O AC BD ∥12OA OC AC OB OD BD ++=++AC BD=ABC V AB BC AC DG EF ∥∥AF DG 12AC =DH ABC V AD BC AD AC =4tan 3CAD ∠=5ABC S =V段______．17. 如图，抛物线（a ，b ，c 为常数）关于直线x =1对称．下列四个结论中，①；②；③；④，正确的有______（填序号）．18. 在中，，，点是边的中点，点是上一动点，，连接DE ，作点关于直线DE 的对称点，如果，那么CE 的长为______．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：．20 将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m （）个单位，所得新抛物线经过点，求：（1）新抛物线的表达式．（2）新抛物线与坐标轴交点的坐标．21. 在中，分别是边和上的中线，连接交于点E ，过点D 作，若．（1）设，，用，表示向量______；______；.BC =2y ax bx c =++0abc >20a b +=30a c +>2am bm a b +>+ABC V 90A ∠=︒2AC =D AC E BC 3tan 4C =C F DF BC ⊥)()01cos 4512sin 60tan15cot 60-︒-+︒︒-︒221y x =-0m >()1,2-ABC V AD CE 、BC AB CE AD DG CE ∥2DG =AB a = AC b = a b BG = AF =（2）求长．22. 世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P 点，测得双子山顶端A 的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q ，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米）参考数据：，，．23. 如图，是中的平分线，，是的垂直平分线，交于点的延长线交于点N ．求证：（1）（2）．24. 在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx +c (其中b 、c 是常数)经过点A (﹣2，﹣2)与点B (0，4)，顶点为M ．（1）求该抛物线的表达式与点M 的坐标；（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y 轴交于点C (点C 在点B 的下方)，且△BCM 的面积为3．新抛物线的对称轴l 经过点A ，直线l 与x 轴交于点D ．①求点A 随抛物线平移后的对应点坐标；②点E 、G 在新抛物线上，且关于直线l 对称，如果正方形DEFG 的顶点F 在第二象限内，求点F 的坐标．的CF 15︒45︒AB sin150.26︒≈cos150.97︒≈tan150.27︒≈AD Rt ABC △CAB ∠90BCA ∠=︒EF AD AD M EF BC ，、AME NMD∽△△2ND NC NB =⋅212x25. 如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，联结DE．（1）求证：DE＝DC；（2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1∶3时，求CE∶AD的值；（3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由．上海市进才中学2024—2025学年初三上学期12月数学月考试卷简要答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】【7题答案】【答案】1【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】(1,5)--21y x =-213y y y <<【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##0.5【15题答案】【答案】2【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】①②【18题答案】【答案】或三、解答题（本大题共7题，满分78分）【19题答案】【答案】【20题答案】【答案】（1）（2）与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为或【21题答案】【答案】（1）， （2）【22题答案】【答案】双子山的高度约为【23题答案】1133a b + 1212122122(2)4y x =--y (0,4)x (2(214a - 1133a b + 83AB 48m【答案】（1）证明略（2）证明略【24题答案】【答案】（1）；顶点M 的坐标是：(2，6)；（2）①点A 对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；②F (﹣2，)．【25题答案】【答案】（1）略；（2）3）．21242y x x =-++2-CE AD =12tan 5CAB ∠=。
安徽省合肥市庐阳中学2024-2025学年九年级上学期12月份月考数学试卷(含答案)
2024~2025学年九年级12月质量检测数学试卷注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的．1．的值等于（ ）ABC ．1D ．22．抛物线的对称轴是（ ）A ．y 轴B ．x 轴C ．直线D ．直线3．若反比例函数的图象经过点，则k 的值是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．4．如图，沿着斜坡前进10米，实际上升高度为6米，则该斜坡的坡度（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线（a ，b ，c 是常数且）的部分图象与x 轴交于点，则方程的解为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，四边形是平行四边形，G 是的延长线上一点，分别与交于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）2sin 30︒228y x =--4x =4x =-26k y x-=()1,2-1-BC i =3:53:41:21:32y ax bx c =++0a ≠()2,0-20ax bx c ++=122,4x x ==-122,4x x ==122,4x x =-=122,2x x =-=ABCD DC AG ,DB CBA．B．C．D．7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（）A．B．CD8．抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A，直线分别与x轴、y轴交于点C，A，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．10．如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）ADG FCG△∽△ADE FBE△∽△ABE GDE△∽△ABF GDE△∽△85⨯sin A121322y kx=-0k≠kyx=1122y x=-+222y x=-+sin cosOAC BAC∠=∠tan tanOCA OBA∠=∠sin cosOCA OAB∠=∠sin cosOAB OAC∠=∠AC BD ABCD90ACB∠=︒18,tan2CD AD BAC==∠=BD11．若为锐角，且，则的值为__________．12．如图，A ，B 是双曲线（k 是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C ，若的面积为20，则k 的值为__________．13．如图，为了测量河宽，从A 处测得对岸C 的夹角，从B 处测得对岸C 的夹角，点A 和点B 位于点C 的两侧，测得米，则点C 到的距离为__________米．14．已知抛物线（m ，n 是实数且）经过．（1）若，则该抛物线的顶点坐标为__________；（2）若该二次函数满足当时，总有y 随x 的增大而减小，则代数式的最小值为__________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：．16．在中，分别是的对边，，解这个直角三角形．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．α()tan 151α+︒=cos αky x=0k ≠AB BC x ∥AC BC ⊥ABC △60BAC ∠=︒45ABC ∠=︒(20AB =+AB 25y mx nx m =+-0m ≠(2,1)1m =0x ≥223n m -+()2204sin 45tan 60tan 67sin 34︒-︒+︒+︒Rt ABC △90,,,C a b c ∠=︒,,A B C ∠∠∠60,5B a ︒∠==ABC △（1）和关于y 轴对称，画出；（2）若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限．①画出；②__________．18．如图，已知一次函数（k ，b 是常数且）的图象与双曲线（n 是常数且）交于两点，与x 轴交于点C ．（1）求m ，n ，k ，b 的值；（2）求的面积；（3）直接写出不等式组的解集：__________．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，是的高线，E 是上一点，，若．ABC △111A B C △111A B C △222A B C △111A B C △2:1222A B C △222A B C △222:ABC A B C S S =△△y kx b =+0k ≠ny x=0n ≠(,2)(2,4)A m B -、AOC △0nkx b x<+<CD ABC △BC 2BE CE =39,sin 4CD BAE =∠=（1）求的长；（2）若，求的值．20．某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题．六、（本题满分12分）21．如图，某一海域有4个小岛A ，B ，C ，D ，其中小岛B ，C ，D 位于同一条直线上，经测量，小岛A 位于小岛B 北偏东且小岛A 位于小岛C 北偏东，小岛B 和小岛C 之间的距离为12海里．（1）求小岛A 和小岛C 之间的距离的长；（结果保留根号）（2）若小岛D 位于小岛A 东偏南方向，求小岛A 与小岛D 之间的距离的长．；结果精确到0.01海里）七、（本题满分12分）22．在正方形中，P 是边上的一个动点，已知，且，连接．AE AE BE =tan ACD ∠30DH =60FH =45︒15︒AC 60︒AD 1.732≈≈ABCD AB DP PQ =DP PQ ⊥,DQ BQ图1 图2 图3（1）如图1，证明：；（2）连接交于点和分别交于点F ，G ．①如图2，若P 是的中点，证明：；②如图3，连接，判断与之间的位置关系并加以证明．八、（本题满分14分）23．如图，已知抛物线（b ，c 是常数）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点，已知．图1 图2 备用图（1）如图1，求该抛物线的表达式；（2）如图2，P 是直线上方抛物线上一点，与y 轴、分别交于D ，E ．①若，求点P 的坐标；②求的最大值．AP BQDP DQ=AC DP ,E DQ PQ BC AB PG QG =EF EF PQ 2y x bx c =-++(0,4)C tan 4,tan 1BAC ABC ∠=∠=BC AP BC 2BPD ABD S S =△△PBE ACE S S -△△九年级数学参考答案及评分标准（沪科版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案CABBCDDADA10．A 如图，过点C 作，使，连接，则，则，即，又．在中，．在中，由三边关系，得（当点E 位于上时，等号成立），故的最大值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1112．10 13．14．（1） （2）5（1）∵抛物线过点，解得．∴顶点坐标为；（2）∵抛物线过点．当时．总有y 随x 的增大而减小．，函数的对称轴为直线，∴当时，函数取得最小值为5，即的最小值是5．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）CE CD ⊥142CE CD ==DE 90DCE ACB ∠=∠=︒DCE ACE ACB ACE ∠-∠=∠-∠ACD BCE ∠=∠111,,,222EC BC BE EBC DAC BE AD DC AC AD ==∴∴=∴==△∽△Rt DCE △DE ===BDE △BD DE BE ≤+BDBD DE BE =+==121,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,1),1,412511m n =∴⨯+-⨯=221211,224n y x x x ⎛⎫=∴=+-=+- ⎪⎝⎭121,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,1),4251,21m n m m n ∴+-=∴=-0$x ≥2220,0,232(21)345,0m n n m n n n n n ∴<≤∴-+=--+=-+≤ 2n =0n =223n m -+15．解：原式 （6分）．（8分）16．解：在中，，（2分），（5分）（8分）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．解：（1）如图所示；（2分）（2）①如图所示． （5分）②．（8分）18．解：（1）把点代入，得，解得． （1分）把点代入，得． （2分）把点和代入一次函数，得．解得即k 的值为的值为．（4分）（2）由（1）可知直线的表达式为，当时，则，解得，故．． （6分）（3）．（8分）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：（1）过点E 作于点F ，如图．是的高线，．（2分）2241=⨯-+143102=⨯-+=Rt ABC △90,90906030C A B ∠=︒∴∠=︒-∠=︒-︒=︒22510c a ∴==⨯=tan tan 605b B a =⨯=︒⨯=1:4(2,4)B -n y x =42n-=8n =-(,2)A m 8y x-=4m =-(4,2)A -(2,4)B -y kx b =+4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩12k b =-⎧⎨=-⎩1,b -2-AB 2y x =--0y =20x --=2x =-2OC =12222AOC S ∴=⨯⨯=△42x -<<-EF AB ⊥CD ABC △,,CD AB CD EF BCD BEF ∴⊥∴∴∥△∽△又，得，解得． （4分）在中，，即，解得．（5分）（2）由（1）可知，（6分）是的垂直平分线，则（7分），， （9分）． （10分）20．解：过点B 作，垂足为M，如图．由题意可知四边形和都是矩形，米，米，米．（2分）在中，米．（5分）在中，米，米米米． （7分）在中，（米），∴两幢楼楼顶A 、B 之间的距离约为91.2米．（10分）六、（本题满分12分）21．解：（1）如图，过点C 作于点E ．22,3EF BE BE CE CD BC =∴== 293EF =6EF =Rt AEF △sin EF EAF AE ∠=634AE =8AE =8,6BE AE EF ===BF ∴===,,AE BE EF AB EF =⊥∴ AB AF BF ==,2EF CD BE CE = ∥2,3BF BE BD AD BD BC ∴==∴=∴=tan AD ACD CD ∴∠==BM AD ⊥CDHG EFHG 、BECM 30CG DH ∴==60GE FH ==90BM CG EG =+=Rt ACG △tan 30tan 68.230 2.5075AC CG AGC =⨯∠=⨯︒≈⨯=Rt BEG △60BE GE ==75AM AC BE ∴=-=60-15=Rt ABM △15 6.0891.2AB ===≈⨯=CE AB ⊥由题意可知，是等腰直角三角形，．（3分）由是意可知．在中，，则．答：小岛A和小岛C之间的距离的长为海里．（2）如图，过点C作于点F．由题意可知，则，（海里），（9分）在中，，（11分）（海里）．答：小岛A与小岛D之间的距离的长约为18.93海里．（12分）七、（本题满分12分）22．解：（1）如图1，连接．且是等腰直角三角形．∵四边形是正方形，是对角线，是等腰直角三角形，，；（4分）（2）①如图2，连接，过点Q作于点H，则．由（1）可知，是等腰直角三角形，则．由（1）可知，又，904545ABC∠=︒-︒=︒BCE∴△sin sin451212CE B BC∴=⨯=︒⨯==901575,754530ACD BAC ACD B∠=︒-︒=︒∴∠=∠-∠=︒-︒=︒Rt ACE△30CAE∠=︒22AC CE==⨯=ACCF AD⊥60DAG∠=︒60,180180756045D CAD ACD D∠=︒∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒sin sin4512AF CF CAF AC∴==∠⨯=︒⨯=Rt CDF△12sin sin60CFDFD===︒12124 1.73218.93AD AF DF∴=+=+≈+⨯≈ADBD DP PQ=,DP PQ DPQ⊥∴△ABCD BD DAB∴△,,AD PDADB PDB PDQ PDB ADP BDQBD QD∴=∠-∠=∠-∠∴∠=∠,AP BQADP BDQDP DQ∴∴=△∽△BD QH AB⊥BG QH∥,90ADP BDQ DBQ DAP∴∠=∠=︒△∽△18045,QBH DBQ ABD BHQ∴∠=︒-∠-∠=︒∴△BH QH=QPH PDA∠=∠,90PD PQ DAP PHQ=∠=∠=︒，又P 是的中点，是的中位线，． （8分） 图1 图2②，理由如下：连接，如图3，由（1）可知，又，又，，又，． （12分）图3八、（本题满分14分）23．解：（1）∵点，（2分）∴点，点．（4分）（2）①． （6分）如图，过点P 作轴于点，又． （8分）当时，，则． （9分）②设．(AAS),DAP PHQ AP QH BH ∴∴==△≌△AB BG ∴PHQ △PG QG ∴=EF PQ ∥BD ADP BDF ∠=∠45,,AD EDDAE DBF ADE BDF BD FD ∠=∠=︒∴∴=△∽△45ADB EDF ∠=∠=︒,90ADB EDF DEF DAB ∴∴∠=∠=△∽△△90DPQ ∠=︒EF PQ ∴∥44(0,4),4,1,4tan 4tan 1OCOC C OC OA OB BAC ABC ∴=∴======∠∠(1,0)A -22(4,0),(1)(4)34B y x bx c x x x x ∴=-++=-+-=-++2,:1:2BPD ABD S S AD PD =∴= △△PF y ⊥,90F PFD AOD ∴∠=∠=︒,,::1:2,22ADO PDF AOD PFD OA PF AD PD PF OA ∠=∠∴∴==∴==△∽△2x =223246y =-+⨯+=(2,6)P ()2,34,4(1)5P t t t AB -++=--=， （12分），∴当时，有最大值，最大值为． （14分）以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．()2115345422PBE ACE ABP ABC S S S S t t -=-=⨯⨯-++-⨯⨯△△△△()225534532228t t t ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭502-< 32t =PBE ACE S S -△△458。
2023-2024学年上海市浦东模范中学九年级上学期月考数学试题(12月)及解析
2023年第一学期九年级阶段练习卷（数学）（12月）（完卷时间100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. 12y x =B. 211y x =+ C. ()224y x x =+− D. 21y x =−【答案】D 【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，把形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．据此逐项判断即可． 【详解】解：A.12y x =，是正比例函数，不符合题意； B.211y x =+，不符合二次函数的定义，不是二次函数； C.()22224816816y x x x x x x =+−=++−=+，是一次函数，不符合题意； D.21y x =−，是二次函数，符合题意； 故选：D ．2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝45，则AC ＝（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】先根据正弦的定义得到sinA=BC AB =45，则可计算出AB=5，然后利用勾股定理计算AC 的长． 【详解】如图，在Rt △ACB 中，∵sin A ＝BCAB，∴445AB =， ∴AB ＝5，∴AC 3． 故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 3. 一段公路路面的坡度为i ＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m ，那么此人升高了（ ） A. 50m B. 100mC. 150mD. 200m【答案】B 【解析】【分析】已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度． 【详解】解：如图，Rt △ABC 中，tan A ＝12.4，AB ＝260米． 设BC ＝x ，则AC ＝2.4x ，根据勾股定理，得： x 2+（2.4x ）2＝2602， 解得x ＝100（负值舍去）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力，难度不大，注意掌握坡度的定义及数形结合思想的应用．4. 若,4AB e CD e ==−，且AD BC =，则四边形ABCD 是（ ） A. 等腰梯形 B. 不等腰梯形C. 平行四边形D. 菱形【答案】A 【解析】【分析】本题考查了平面向量的几何意义．解答该题的关键是根据已知条件,4AB e CD e ==−来判断AB 与CD 的方向和长度，从而确定它们的位置关系．根据平面向量的几何意义，可以由,4AB e CD e ==−推知AB CD ∥且不相等；然后根据已知条件||||AD BC =知AD 、BC 是四边形ABCD 的两条相等的边；据此推断该四边形的形状． 【详解】解：,4AB e CD e ==−，AB CD ∴∥，且4AB CD =；又||||AD BC =，∴AD BC =，∴四边形ABCD 是等腰梯形．故选：A ．5. 已知抛物线y ＝ax 2+3x +（a ﹣2），a 是常数且a ＜0，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据a ＜0，可以确定抛物线开口以及（a ﹣2）的正负，进而得出正确答案． 【详解】解：∵a ＜0， ∴a ﹣2＜0，对称轴直线302x a=−>∴抛物线开口向下，与y 轴交点在负半轴，对称轴在y 轴右侧， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是确定二次函数系数的符号，得出函数图像的大致位置．6. 如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，,BP CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接,BD DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①2BE AE =；②DFP BPH ∽△△；③PFD PDB ∽△△；④2DP PH PC =⋅；其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③C. ①②④D. ①③【答案】C 【解析】【分析】由正方形ABCD ，与△BPC 是等边三角形的性质求解，求解30EBA ∠=︒，从而可判断①；证明60,PFE BPC ∠=∠=︒ =15PBH PDF ∠=∠︒，可判断②；由15,30,15,60PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，可判断③； 证明30PDH PCD ∠=︒=∠，再证明PDH PCD △∽△，可得DP PHPC PD=，从而可判断 ④． 【详解】解：正方形ABCD ，90,ABC A BCD ADC CB CD AB ∴∠=∠=∠=∠=︒==，△BPC 是等边三角形，60PBC PCB BPC ∴∠=︒=∠=∠， 906030EBA ∴∠=︒−︒=︒，2BE AE ∴=， 故①符合题意；正方形ABCD ，∴AD BC ∥，45CBD ∠=︒，60PFE PCB ∴∠=∠=︒， 60PFE BPC ∴∠=∠=︒，△BPC 是等边三角形，PC BC CD ∴==，而906030PCD ∠=︒−︒=︒，()118030752CDP ∴∠=︒−︒=︒，907515PDF ∴∠=︒−︒=︒，由60,45PBC CBD ∠=︒∠=︒，15PBH ∴∠=︒，PBH PDF ∴∠=∠，BPH DFP ∴∽，故②符合题意；15,30,15,60PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， ,PFD BPD ∴不相似，故③不符合题意；正方形ABCD ，45CDB ∴∠=︒90451530PDH PCD ∴∠=︒−︒−︒=︒=∠， DPH CPD ∠=∠， PDH PCD ∴△∽△，DP PHPC PD∴=， ∴ 2DP PH PC =⋅，故④符合题意，综上：符合题意的有：①②④． 故选：C ．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含30︒的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 二次函数2(1)1y x =−+的图像与y 轴的交点坐标是_______. 【答案】（0，2） 【解析】【分析】把x=0代入2(1)1y x =−+，即可求出与y 轴的交点坐标. 【详解】把x=0代入2(1)1y x =−+，得2(01)1=2y =−+，∴图像与y 轴的交点坐标是（0，2）. 故答案为（0，2）.【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线与x的的交点纵坐标为0，与y轴的交点横坐标为0.8. 如果两个相似三角形的面积比是1:2，那么它们的相似比是_______.【答案】1:√2【解析】【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，∴它们的相似比=1:√2．故答案为1:√2．9. 已知点P是线段AB上的一点，且2BP AP AB=⋅，如果AB=10cm，那么BP=_____cm【答案】5【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，可得BP=12AB，代入数据即可得出BP的长度．【详解】解：∵点P在线段AB上，BP2=AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，又AB=10cm，∴BP=10×12−=（5−）cm．故答案为5.【点睛】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．10. 如果点A(﹣3，y1)和点B(﹣2，y2)是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1_____y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．【答案】＞【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y 随x的增大而减小，再比较即可．详解】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解题的关键．【11. 在Rt ABC △中，90A ∠=︒，若sin 3B =，则cotC =______．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，根据题意可设AC =，3BC x =，利用勾股定理表示出=AB ，进而求出结果．【详解】解：如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，sin 3AC B BC ∴==，设AC =，3BC x =，AB ∴===，cotAC C AB ∴===．12. 如果抛物线()22y m x =−的开口向下，且直线45y x m =+−不经过第四象限，那么m 的取值范围是______．【答案】25<≤m 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线()22y m x =−的开口向下，20m ∴−<， 2m ∴>直线45y x m =+−不经过第四象限，50m ∴−≥，5m ∴≤，故答案为：25<≤m ．13. 在南海阅兵式上，某架“直-8”型直升飞机在海平面上方1200米的点A 处，测得其到海平面观摩点B 的俯角为60°，此时点A 、B 之间的距离是________米.【答案】 【解析】【详解】分析：过A 作AC BC ⊥于C ，由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边AC 求斜边AB ，可以用60°正弦函数来计算即可．详解：根据题意得：1200AC =米，60,ABC ∠=点A 、B 之间的距离是600sin60AB ==.故答案为.点睛：解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练运用锐角三角函数是解题的关键.14. 如图，在ABC 中，3BC =，点G 是ABC 的重心，如果//DG BC ，那么DG =______．【答案】1 【解析】【分析】首先延长BG 交AC 于点E ，取AD 的中点F ，连接EF ，由点G 是△ABC 的重心，易得BG ：BE ＝2：3，EF 是△ABC 的中位线，即可求得EF 的长，证得△BDG ∽△BFE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DG 的长．【详解】解：延长BG 交AC 于点E ，取AB 的中点F ，连接EF ，∵点G 是△ABC 的重心， ∴AE ＝CE ，BG ：BE ＝2：3， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥BC ，EF ＝12BC ＝32，∵DG ∥BC ， ∴DG ∥EF ， ∴△BDG ∽△BFE ，∴DG ：EF ＝BG ：BE ＝2：3， ∴DG ＝23EF ＝1． 故答案为：1．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15. 在△ABC 中， AB=12，AC=9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果AE=6，那么线段AD 的长是______． 【答案】8或92； 【解析】【分析】分类讨论：当ADE ABC ∆∆∽，根据相似的性质得AD AEAB AC=；当AED ABC ∆∆∽，根据相似的性质得AE ADAB AC=，然后分别利用比例性质求解即可． 【详解】解：DAE BAC ∠=∠，∴当ADE ABC ∆∆∽，则AD AE AB AC =，即6129AD =，解得8AD =； 当AED ABC ∆∆∽，则AE AD AB AC =，即6129AD =，解得92AD =， 综上所述，AD 的长为8或92．故答案为：8或92．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.16. 二次函数2y ax bx c =++的变量x 与y 部分对应值如下表：那么4x =时，对应的函数值y =______． 【答案】0 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 根据二次函数的对称性先求出对称轴，然后可得答案． 【详解】解：∵3x =−和5x =时对应的函数值都是7， ∴该二次函数的对称轴为3512x −+==， ∴4x =和2x =−对应的函数值相等，都是0， 故答案为：0．17. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，且3CD EC =，那么:AD AB 的值是__________.【答案】√23【解析】【分析】先证明∆BEC ~∆EAD ，可得：BC CEED DA=，设EC=x ，则AB=CD=3x ，ED=2x ，结合AD=BC ，可得：AD =，进而可得到答案.【详解】∵E 是矩形ABCD 的一个“直角点”， ∴∠AEB=90°， ∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠EAD+∠AED=90°， ∴∠BEC=∠EAD ， ∵∠D=∠C ， ∴∆BEC ~∆EAD ， ∴BC CEED DA=， ∵3CD EC =，设EC=x ，则AB=CD=3x ，ED=2x ， ∴2BC xx DA=， ∵AD=BC ，∴2222AD x x x =⋅=，即：AD =，∴:AD AB ：3x=√23.故答案是：√23.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x ，用代数式表示线段长，是解题的关键.18. 如图所示，在ABC 中，5,AB AC BC ===，点D 为边AC 上一点，（点D 与点A 、C 不重合）．将ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ，如果CE AB ∥，那么˙AD CD :的值为______．【答案】56： 【解析】【分析】作辅助线，构建平行线和直角三角形，先根据勾股定理计算AG 的长，证明BCH ABG ∽，列比例式可得4BH =，2CH =，再根据勾股定理计算EH 的长，从而得CE 的长，最后根据平行线分线段成比例定理得出答案．【详解】解：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，过B 作BH CE ⊥，交EC 的延长线于H ，延长BD 和CE 交于点F ，∵5,AB AC BC ===，∴BG CG ==∴AG ==，∵FH AB ∥， ∴ABG BCH ∠=∠， ∵90H AGB ∠=∠=︒， ∴BCH ABG ∽， ∴BH BC CHAG AB BG==，5==， ∴4BH =，2CH =， 由折叠得：5AB BE ==，∴3EH ==， ∴321CE =−=， ∵FH AB ∥，∴F ABD EBD ∠=∠=∠， ∴5EF BE ==， ∴516FC =+=， ∵FC AB ∥， ∴56AD AB CD FC ==， 故答案为：56：． 【点睛】本题考查了翻折变换、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作辅助线，寻找相似三角形解决问题．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：3|tan30°﹣1|+222sin60 cot301cos45︒−︒−︒．【答案】52．【解析】【分析】先计算特殊角的三角函数值，再将分母有理化，最后根据二次根式的加减法解题．【详解】解：原式＝223(11313⨯−+−332=−21332=−3312=+−52=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式的分母有理化、二次根式加减法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20. 如图，在ABC中．58AB AC BC===，．D是边AB上一点，且1tan4BCD∠=．（1）求cos B的值；（2）求BCD△的面积．【答案】（1）4cos5B=（2）18【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形是解题关键（1）作AE BC ⊥于E ，利用等腰三角形的性质得4BE CE ==，然后利用余弦的定义求解；（2）作DF BC ⊥于F ，先在Rt CDF △中利用正切的定义得到1tan 4DF BCD CF ∠==，设DF x =，则4CF x =，利用勾股定理求出AE 的长，得到3tan 4AE DF B BE BF ===，于是得到43BF x =，然后利用443BC x x =+，解出x 的值，最后根据三角形面积公式求解．小问1详解】解：如图，作AE BC ⊥于E ，AB AC =，118422BE CE BC ∴===⨯=， 在Rt ABE △中，4cos 5BE B BA ==； 【小问2详解】如图，作DF BC ⊥于F ，在Rt CDF △中，1tan 4DF BCD CF ∠==， 设DF x =，则4CF x =， 在Rt ABE △中，2222543AEAC EC ，3tan 4AE DF B BE BF ∴===， 而DF x =，43BF x ∴=， 【416433BC BF CF x x x ∴=+=+=，即1683x =，32x ∴=， 932DF x ∴==，119818222BCD S BC DF ∴=⋅=⨯⨯=．21. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，90ABC ∠=，45BAD ∠=，2DC =，6AB =，AE BD ⊥，垂足为点F .（1）求DAE ∠的余弦值；（2）设DC a =，BC b =，用向量a 、b 表示AE .【答案】（1；（2）334AE a b =+ 【解析】【分析】(1)作DM ⊥AB ，垂足为M ，易得：DM=AM=4，，BC=DM=4，从而得tan ∠BAE=12=，设BF=x ，则AF=2x ，根据勾股定理，即可求解； (2)易得：3344BE BC b ==，33AB DC a ==，根据+AE AB BE =，即可求解.【详解】（1）作DM ⊥AB ，垂足为M ， ∵在梯形ABCD 中，AB//CD ，90ABC ∠=， ∴四边形BCDM 是矩形，∴BM=CD=2，AM=AB-BM=6-2=4， ∵45BAD ∠=，∴∆AMD 是等腰直角三角形，∴DM=AM=4，，BC=DM=4， ∴tan ∠CBD=2142CD BC ==， ∵AE BD ⊥，∴∠BEF+∠EBF=90°， ∵∠BEF+∠BAE=90°， ∴∠EBF =∠BAE ， ∴tan ∠BAE=12=， 设BF=x ，则AF=2x ，∵在Rt ∆ABF 中，222BF AF AB +=，∴222(2)6x x +=，解得：∴∴DAE ∠的余弦值=10AF AD ==； （2）∵AB=6，tan ∠BAE=12=， ∴BE=3， ∵BC=4， ∴BE=34BC ，即： 3344BE BC b ==， ∵CD=2，AB=6, AB//CD ， ∴33AB DC a ==， ∵3+34AE AB BE a b ==+.【点睛】本题主要考查三角函数得应用和平面向量加法的三角形法则，掌握平面向量加法的三角形法则，是解题的关键.22. 如图，A 点、B 点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B 点正东方向的7.00km 处有一海岸瞭望塔C ，又用经纬仪测出：A 点分别在B 点的北偏东57︒处、在C 点的东北方向．（1）试求出小岛码头A 点到海岸线BC 的距离；（2）有一观光客轮K 从B 至A 方向沿直线航行，某瞭望员在C 处发现，客轮K 刚好在正北方向的D 处，当客轮航行至E 处时，发现E 点在C 的北偏东27︒处，请求出E 点到C 点的距离；（注：tan330.65,sin330.54,cos330.84︒≈︒≈︒≈，两题结果都精确到0.01km ）【答案】（1）小岛码头A 点到海岸线BC 的距离约为13.00km （2）E 点到C 点的距离约为7.56km 【解析】【分析】此题主要考查了解直角三角形应用；（1）根据题意可得45ACM ∠=︒，33ABM ∠=︒，7.00km BC =，然后由tan tan 33AMABM BM∠=︒=列式计算即可； （2）过C 作CN AB ⊥于N ，先求出30BEC ∠=︒，再解直角三角形求出NC ，然后根据含30︒直角三角形性质得出答案．【小问1详解】解：过A 作AM BC ⊥于M ，由题意得：45ACM ∠=︒，905733ABM∠=︒−︒=︒，7.00km BC =，∴CM AM =，tan tan 33AMABM BM∠=︒=， ∴0.657AM AMCM BC AM ==++，解得：13.00km AM ≈，答：小岛码头A 点到海岸线BC 的距离约为13.00km ； 【小问2详解】的的过C 作CN AB ⊥于N ， ∵33ABC ∠=︒，90BCD ∠=︒， ∴903357BDC ∠=︒−︒=︒， 又∵27DCE ∠=︒，∴572730BEC ∠=︒−︒=︒， ∴sin sin33NCNBC BC∠=︒=， ∴sin 3370.54 3.78NC BC =⋅︒≈⨯=， ∴27.56km CE NC ==，答：E 点到C 点的距离约为7.56km ．23. 已知：如图，在ABC 中，90BAC ∠=，3,4AB AC ==，点D 是边AC 上的一个动点（不与,A C 重合），且CBE ABD ∠=∠，AB BE BC BD ⋅=⋅，连接,DE EC ．（1）求证：90BDE ∠=； （2）设()04AD m m =<<，求DCES （用m 表示）．【答案】（1）见解析 （2）()2042833DCES m m m =−+<<【解析】【分析】（1）直接证明E ABD CB △△∽即可；（2）作EH AC ⊥于H ，根据E ABD CB △△∽求出53CE m =，然后再证ABC DBE ∽，得到B 、D 、C 、E 四点共圆，求出ACB CEH ∠=∠，可得ABC HCE ∽，然后列比例式求出EH ，进而利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】证明：∵AB BE BC BD ⋅=⋅，∴AB BCBD BE=， 又∵ABD CBE ∠=∠， ∴E ABD CB △△∽， ∴90A BDE ∠=∠=︒； 小问2详解】如图，作EH AC ⊥于H ．∵E ABD CB △△∽ ∴AD ABCE BC=，∵5BC ==，∴35AD CE =， ∴5533CE AD m ==，∵ABD CBE ∠=∠， ∴ABC DBE ∠=∠， 又∵90A BDE ∠=∠=︒， ∴ABC DBE ∽， ∴ACB DEB ∠=∠， ∴B 、D 、C 、E 四点共圆， ∴90BDE BCE ∠=∠=︒， 又∵90H ∠=︒，∴90ACB ECH ECH CEH ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ACB CEH ∠=∠， ∴ABC HCE ∽，【∴BC ACCE EH=，即5453EH m =，∴43EH m =，∴()()21142840422333DCE S CD EH m m m m m =⋅=−⨯=−+<<．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线214y x bx c =−++与直线132y x =−分别交于x 轴、y 轴上的,B C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求DCB △的面积：（3）如果点F 在y 轴上，且FBC DBA DCB ∠=∠+∠，求点F 的坐标． 【答案】（1）21234y x x =−+−，(4,1)D （2）6 （3）(0,2)或(0,18)− 【解析】 【分析】（1）132y x =−，令0y =，则6x =，令0x =，则=3y −，求出则点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线214y x bx c =−++，即可求解； （2）先用待定系数法求出直线CD 解析式，从而求点(3,0)E ，根据DCBDEBCEB S SS=+求解即可；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由 132y x =−，令0y =，则6x =，令0x =，则=3y −， ∴点B 、C 的坐标分别为(6,0)、(0,3)−， 把(0,3)−分别代入214y x bx c =−++，得3c =−，把(6,0)，3c =−代入抛物线214y x bx c =−++得：1036634b =−⨯+−，解得：2b =， 故抛物线的表达式为：21234y x x =−+−， ∵()2211234144y x x x =−+−=−−+ ∴抛物线顶点(4,1)D ；【小问2详解】解：连接BD ，设直线CD 的解析式为y =kx +n ，把(0,3)C −，(4,1)D 代入，得341n k n =−⎧⎨+=⎩，解得：13k n =⎧⎨=−⎩， ∴直线CD 的解析式为3y x =−，令0y =，则3x =，∴()3,0E ，∵(6,0)B ，∴DCB DEB CEB S S S =+()()1163163322=−⨯+−⨯ 6=；【小问3详解】解：过点D 作DH x ⊥轴于G ，∵点A 、B 、C 、D 、E 的坐标分别为(2,0)、(6,0)、(0,3)−、(4,1)、(3,0)，则6OB =，3OC =，BC ==3OE OC ==，642BH =−=，1DH =，45∴∠=︒AEC ，∵1tan 2DG DBE BG ∠==，31tan 62OBC ∠==， ∴DBE OBC ∠=∠，则45FBC DBA DCB AEC ∠=∠+∠=∠=︒，①当点F 在y 轴负半轴时，过点F 作FG BG ⊥交BC 的延长线于点G ，则GFC OBC α∠=∠=，设：2GF m =，则tan CG CG m α==，45CBF ∠=︒，BG GF ∴=，即：2m m =，解得：m =15CF ===，故点(0,18)F −；②当点F 在y 轴正半轴时，同理可得：点(0,2)F ；故：点F 坐标为(0,2)或(0,18)−．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质，解直角三角形，图形与坐标，三角形的面积，勾股定理，此题属二次函数综合题目，其中（3）小问，确定45FBC DBA DCB AEC ∠=∠+∠=∠=︒，是本题的突破口．25. 已知在ABC 中，490,8,cos 5C BC B ∠===，（点D 是边BC 上一点，不与,C B 重合，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，点F 是边AC 上一点，连接,DF EF ，以,DF EF 为邻边作平行四边形EFDG ．（1）如图1，如果2CD =，点G 恰好在边BC 上，求CDF ∠的余切值；（2）如图2，如果AF AE =，点G 在ABC 内，设,CD x DG y ==，求y 与x 的函数关系式，并写出定义域：（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG 是矩形，求x 的值．【答案】（1）2536（2）)92y x =+，48031x ≤< （3）67【解析】【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出8BC =，由勾股定理求出6AC =，由平行线分线段成比例定理得出BE CF AB AC=，求出CF ，则可得出答案； （2）由平行四边形的性质与解直角三角形求得()485BE x =−，()4184108555AF AE AB BE x x ==−=−−=+，过点E 作EH AC ⊥于H ，解直角三角形求得418472165552525EH x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，54122525AH x =+，3682525HF x =+，即可由)92y DG EF x ====+求解；然后当点G 恰好在AB 上时，解直角三角形求出x 的长，则可得定义域； （3）设CD x =，则4(8)5BE x =−，设矩形EFDG 的对角线FG 与DE 相交于点O ，连接OA ，证明(SSS)AFO AEO ≌，由全等三角形的性质得出90AFO AEO ∠=∠=︒，过点E 作EH AC ⊥于点H ，由梯形的中位线定理得出2EH CD OF DE +==，解方程443[10(8)](8)555x x x −−+=−可得出答案． 【小问1详解】解：在Rt ABC △中，4cos 5BC B AB ==， 又8BC =， 10AB ∴=，6AC ∴===，DE AB ∵⊥，∴在Rt BDE △中，4cos 5BE B BD ==， 又2CD =，6BD =，245BE ∴=， 四边形ABCD 是平行四边形，EF DG ∴∥，点G 在BC 上，EF BC ∴∥， ∴BE CF AB AC=， ∴245106CF =，7225CF ∴=， 在Rt CFD 中，225cot 723625CD CDF CF ∠===；【小问2详解】 解：四边形EFDG 是平行四边形，DF EG ∴∥，EF DG y ==，∵CD x =，∴8BD x =−，∵DE AB ⊥，∴90BED ∠=︒，∴4cos 5BE B BD ==， ∴()485BE x =−， ∴()4184108555AF AE AB BE x x ==−=−−=+， 过点E 作EH AC ⊥于H ，∴90AHE ACB ︒∠=∠=，∴EH BC ∥，∴AEH B ∠=∠， ∴4cos cos 5EH AEH B AE ∠===， ∴418472165552525EH x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴54122525AH x =+， ∴3682525FH x =+，∴)9225y DG EF x ====+，即()9225y x =+； 当点G 恰好在AB 上时，DF AB ∴∥， ∴CF CD CA CB=， ∵CD x =，则68CF x =， 34CF x ∴=， 在Rt BDE △中，4cos 5BE B BD ==， 又CD x =，则8BD x =−，4(8)5BE x ∴=−， =AE AF ， ∴34610(8)45x x −=−−，4831x ∴=， 当点G 在ABC 内时，48031x ≤<； 【小问3详解】 解：设CD x =，则4(8)5BE x =−， 410(8)5AE x ∴=−−， 设矩形EFDG 的对角线FG 与DE 相交于点O ，连接OA ，平行四边形EFDG 是矩形，12OF OE DE ∴==， AF AE =，OA OA =，(SSS)AFO AEO ∴≌，90AFO AEO ∴∠=∠=︒，过点E 作EH AC ⊥于点H ，又90C ∠=︒，EH GF CB ∴，OD OE =，CF HF ∴=，2EH CD OF DE ∴+==，3(8)5DE x =−，44[10(8)]55EH x =−−， ∴443[10(8)](8)555x x x −−+=−，67x ∴=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，函数关系式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
湖北省武汉市卓刀泉中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题
湖北省武汉市卓刀泉中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将一元二次方程2210x x --=配方后所得的方程是（）A ．2(2)0x -=B ．2(1)2x -=C ．2(1)1x -=D ．2(2)2x -=3．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则2x 1+2x 2﹣x 1x 2的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．74．将二次函数2241y x x =+-的图象向上平移，得到的函数图象与x 轴只有一个公共点，则平移的距离为（）A ．1个单位长度B ．2个单位长度C ．3个单位长度D ．4个单位长度5．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x 步，则可列出方程（）A ．()6864x x -=B ．()12864x x -=C ．()6864x x +=D ．()12864x x +=6．已知O 的半径是6.5cm ，点P 是直线l 上一点，且6cm OP =．那么直线l 与O 的公共点的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定7．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则下列结论错误的是（）A ．1轮后有()1x +个人患了流感B ．第2轮又增加()1x x +个人患流感C ．依题意可以列方程()2136x +=D ．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染8．若2251040x x y -+=，则22x y +的最大值为（）A ．254B ．4C ．5D ．2529．如图，AB 是O 的直径，6AB =，C 是上半圆弧AB 的中点，D 是下半圆AB 上一个动点，过点A 作CD 的垂线，垂足为E ，则点D 从点A 运动到点B 的过程中，点E 运动的路径长是（）A ．3π2B C ．3πD ．10．已知ABC V 内接于O ，2BC =．点A 从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A 运动的路线长为l ，ABC V 的面积为S ，S 随l 变化的图象如图所示，其中21l l -=．①点A 在运动的过程中，始终有45BAC ∠=︒；②点M 1+；③存在4个点A 的位置，使得12S =．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题11．在平面直角坐标系中，点()2,3P -关于原点对称的点的坐标是．12．在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB 于P ，OP=3，则弦CD 的长为；13．半径为1cm 的正六边形，中心角，边心距，面积．14．如图，将扇形PAA '围成个圆锥，若扇形半径为18，100APA '∠=︒，则圆锥的底面半径为．15．已知点(),m n 在抛物线22y ax ax c =++上，下列结论：①若a c =，则抛物线与x 轴只有一个公共点；②若抛物线与x 轴的公共点()1,0x ，()2,0x 满足12111x x +=，则2c a =-；③当50m -≤≤时，n 的取值范围是13n -≤≤，则a 的值是415±；④若点(),m p 在直线2y ax c a =-+-上，当21m -<<-时，p n >，则抛物线开口向上．其中正确结论是（填序号）16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上运动，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥，F 为垂足，以BF 为边作正方形BFGH ，当点E 与点B 重合时，点F ，G ，H 与点B 重合，则DH 长的最大值是．三、解答题17．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，求m 的值及此时方程的根．18．如图，点P 是在正ABC V 内一点．6PA =，8PB =，10PC =，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段'AP ，连接P P '、P C '．(1)求PP C '∠的度数；(2)求四边形APCP '的面积．19．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留根号）？20．如图，AB 是半圆O 的直径，D 是弧BC 中点，过点D 作AC 的垂线，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是半圆O 的切线；(2)若4BF =，30F ∠=︒，求阴影部分的面积．21．如图，在129⨯正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.B ，C 为格点，以线段BC 为直径的O 交纵向格线于A 点，连接AB AC ，.仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.(1)在图1中作出圆心O ；(2)在图1中作AD 平分BAC ∠交O 于D 点：(3)在图1中作AB 绕D 点顺时针旋转90︒后的线段；(4)在图2的O 中作弦AM AB =.22．如图，将一小球从斜坡点O 以一定方向击出，斜坡可以用一次函数18y x =刻画，球飞行的水平距离x （单位：m ）、飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如表：飞行时间t /s0123…飞行水平距离x /m04080120飞行高度y /m 0254045…探究发现x 与t 之间成一次函数关系，y 与t 之间成二次函数关系．(1)直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．(2)小球达到最高点时飞行的水平距离是多少?(3)小球从飞出到落到斜坡上要用多少时间?23．（1）【问题背景】如图1，在ABC V 中，AB AC =，P 为ABC V 外一点，点M 为BP 延长线上一点，点N 为线段PC 上一点，AM BP ⊥于点M ，AN CP ⊥于点N ，月ACP ABP ∠=∠．求证：AM AN =；（2）【类比探究】图2，在ABC V 中，AB AC =，Q 为ABC V 外一点，当60BAC ∠=︒，150AQB ∠=︒，2AQ =，BQ =时，求CQ 的长度；（3）【应用创新】如图3，在ABC V 和CDE 中，AC BC =，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接BD ，AD ，ED 的延长线交AB 于点F ，=90BDC ∠︒，当AD EF ⊥于点D 时，求证：2DE DF =．24．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在y 轴左侧的抛物线上，且满足PC PB =，求点P 坐标；(3)如图2，过点(1,2)E --的直线FG 与抛物线交于F ，G 两点，点D 为抛物线的顶点，连接DF ，DG ，DE 将DFG 分成两部分的面积之差为1，求直线FG 的解析式．。
2023-2024学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校九年级上学期12月月考数学试题及答案
宝安区第一外国语学校（集团）2023-2024学年第一学期九年级12月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）A．B．C．D．2．已知反比例函数y＝﹣，则其图象在平面直角坐标系中可能是（ ）A．B．C．D．3．如图所示几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．4．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程应变为（ ）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝55．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（ ）A．10°B．15°C．20°D．30°6．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）A．B．C．D．7．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（ ）A．﹣2＜x＜4B．﹣2＜x＜0C．x＜﹣2或0＜x＜4D．﹣2＜x＜0或x＞48．下列说法正确的是（ ）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为2C．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积D．两个正六边形一定位似9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（ ）A．4米B．3米C．3.2米D．3.4米10．下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x其中，变量y与x之间的函数关系大致符合图4的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③二．填空题（每题3分，共30分）11．若，则＝ ．12．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．投壶次数n50100150200250300400500投中次数m2846721041251532002500.560.460.480.520.500.510.500.50投中频率根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 （结果精确到0.1）．13．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM 的面积等于3，则k的值为 ．14．如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为 ．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．三．解答题（共55分）16．（8分）计算：（1）；（2）解方程：2x²＋x﹣2＝0．17．（6分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B 支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝ ，b＝ ，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．18．（6分）如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．①以O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在y轴右侧画出△A1B1C1；②△ABC的面积为_________；③在网格中找一点D，使得△BC D向是以BC为底边的等腰直角三角，则点D的坐标为_________．19．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？20．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD，OB＝OD，点E在AC上，（1）下列条件：①∠DCE＝∠BEC；②点E与点C关于直线BD对称；③E为AO中点．请从中选择一个能证明四边形EBCD是菱形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形EBCD是菱形，且BC＝5，EC＝8，sin∠DAE＝，求AE的长．21．（10分）综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ m，BC＝ m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x 通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．22．（9分）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、影子的方向不相同，错误；B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误；D、影子的方向不相同，错误；故选：B．2．已知反比例函数y＝﹣，则其图象在平面直角坐标系中可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由k＝﹣6＜0，可知反比例函数y＝﹣的图象在二四象限．故选：A．3．如图所示几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，该几何体的主视图为，故选：D．4．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程应变为（ ）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝5【解答】解：x2﹣6x+4＝0x2﹣6x+9＝9﹣4（x﹣3）2＝5故选：D．5．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（ ）A．10°B．15°C．20°D．30°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∵DE＝DE，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠EAD＝∠ECD，又∵∠BCE＝70°，方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．方法2：∴∠BEC＝65°，∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，即65°＝45°+∠ECD，∴∠ECD＝20°，∴∠EAD＝20°．故选：C．6．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，∴该小孩为女孩的概率为＝，故选：C．7．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（ ）A．﹣2＜x＜4B．﹣2＜x＜0C．x＜﹣2或0＜x＜4D．﹣2＜x＜0或x＞4【解答】解：∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣，又∵B（m，﹣2）在y＝﹣图象上，∴m＝4，∴B（4，﹣2），∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴，解得，一次函数解析式为：y＝﹣x+2．由图象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．故选：B．8．下列说法正确的是（ ）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为2C．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积D．两个正六边形一定位似【解答】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；B、Δ＝42﹣4×（﹣k+3）＝0，解得k＝﹣1，本选项说法错误；C、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；D、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；故选：C．9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（ ）A．4米B．3米C．3.2米D．3.4米【解答】解：由题意知：AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴解得CD＝3，∴水面以上深度CD为3米．故选：B．10．下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x其中，变量y与x之间的函数关系大致符合图4的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：①根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小，∴反映到图象上应符合图4；②根据题意可知，开始时y随x的增大而增大，在圆上部分y的值不变，最后y随x的增大而减小，∴反映到图象上应符合图4；③往一个圆柱形空杯中匀速倒水，y随x的增大而增大，中间一段时间，y的值不变，y的值不变，y随x的增大而减小，∴反映到图象上应符合图4；故选：D．二．填空题（共5小题）11．若，则＝ 1 ．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝2﹣1＝1．故答案为：1．12．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．投壶次数n50100150200250300400500投中次数m2846721041251532002500.560.460.480.520.500.510.500.50投中频率根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 0.5 （结果精确到0.1）．【解答】解：由频率分布表可知，随着投壶次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.5附近，∴这组游戏参与者投中的概率约为0.5，故答案为：0.5．13．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM 的面积等于3，则k的值为 ﹣6 ．【解答】解：根据题意可知：S△PMO＝|k|＝3，即k＝±6．又∵反比例函数的图象位于第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．14．如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为 ．【解答】解：由网格可知：BC＝1，AD＝2，AC＝＝5，BC∥AD，∴△OBC∽△ODA，∴＝，∴＝，∴AO＝，故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．【解答】解：作EH⊥BD于H，∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，∴BC＝＝4，∵E为BC边的中点，∴CE＝BE＝2，∴AE＝＝2，∵△ACE沿AE折叠得到△AED，∴DE＝EB，∠AEC＝∠AED，∴∠EDB＝∠EBD，∵∠AEC+∠AED＝∠EDB+∠EBD，∴2∠AEC＝2∠EBD，∴∠AEC＝∠EBD，∴AE∥BD，∵∠C＝∠EHB＝90°，∠AEC＝∠EBH，∴△EBH∽△AEC，∴BH：CE＝BE：AE，∴BH：2＝2：2，∴BH＝，∴BD＝2BH＝，∵BD∥AE，∴△BOD∽△AOE，∴＝＝．故答案为：．三．解答题（共7小题）16．计算：；（2）解方程：2x²＋x﹣2＝0．【解答】解：（1）原式＝1+﹣2×+4＝5；（2）x1，x2．17．随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝ 20人 ，b＝ 18人 ，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 36 度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．【解答】解：（1）a＝7÷14%×40%＝20（人），b＝7÷14%﹣5﹣7﹣20＝18（人），在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为360°×＝36°，故答案为：20人，18人，36；（2）设男生为A，女生为B，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，∴恰好都是女性的概率＝．18．如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．①以O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在y轴右侧画出△A1B1C1；②△ABC的面积为_________；③在网格中找一点D，使得△BC D向是以BC为底边的等腰直角三角，则点D的坐标为_________．【解答】解：①图略；②面积为6；③D（－1，－1）．19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意得，100（1+x）2＝144，解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，整理得m2﹣130m+4000＝0，解得m＝50或m＝80，∵尽可能让顾客得到实惠，∴m＝50，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．20．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD，OB＝OD，点E在AC上，（1）下列条件：①∠DCE＝∠BEC；②点E与点C关于直线BD对称；③E为AO中点．请从中选择一个能证明四边形EBCD是菱形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形EBCD是菱形，且BC＝5，EC＝8，sin∠DAE＝，求AE的长．【解答】（1）选择①；证明：∵AB＝AD，OB＝OD，∴AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴DE＝BE，DC＝BC，∴∠DCE＝∠ECB，∵∠DCE＝∠BEC，∴∠ECB＝∠BEC，∴B E＝B C，∴DE＝BE＝DC＝BC，∴四边形EBCD是菱形．（2）解：∵四边形EBCD是菱形，EC＝8，∴OC＝OE＝EC＝×8＝4，∵∠AOD＝∠BOC＝90°，BC＝5，∴OD＝OB＝＝＝3，∵＝sin∠DAE＝，∴AD＝OD＝×3＝3，∴OA＝＝＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣4＝5，∴AE的长为5．21．综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 （4，2） ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ 4 m，BC＝ 2 m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x 通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）将反比例函数y＝与直线l1：y＝﹣2x+10联立得，∴＝﹣2x+10，∴x2﹣5x+4＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴另一个交点坐标为（4，2），∵AB为x m，BC为y m，∴AB＝4，BC＝2．故答案为：（4，2）；4；2；（2）不能围出；y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：∵l2与函数图象没有交点，∴不能围出面积为 8m2的矩形．（3）如答案图中直线l3所示：将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．（4）∵AB和BC的长均不小于1m，∴x≥1，y≥1，∴≥1，∴x≤8，∴1≤x≤8，如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，∴8≤a≤17．22．过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P 在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠DAP+∠BAM＝90°，∵∠PAQ＝90°，∴∠BAQ+∠BAM＝90°，∴∠DAP＝∠BAQ，∵将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，∴AP＝AQ，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP．（2）解：如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，由旋转得：AP＝AQ，∵∠DAB＝α＝60°，即∠DAB＝∠PAQ＝60°，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴∠AQP＝60°，∵PQ⊥BQ，∴∠BQP＝90°，∴∠AQB＝∠AQP+∠BQP＝60°+90°＝150°，∴∠APD＝∠AQB＝150°，∴∠DPM＝180°﹣∠APD＝180°﹣150°＝30°，∵∠MAD＝15°，∴∠ADP＝∠DPM﹣∠MAD＝30°﹣15°＝15°，∴∠ADP＝∠MAD，∴AP＝DP，∴AQ＝BQ＝PQ＝AP，∴∠ABQ＝∠BAQ＝∠MAD＝15°，∴∠PAH＝∠PAQ﹣∠BAQ＝60°﹣15°＝45°，∵PH⊥AB，∴∠AHP＝∠BHP＝90°，∴△APH是等腰直角三角形，∴AH＝PH＝AP，∵BQ＝PQ，∠PQB＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，∴∠PBQ＝45°，∴∠PBH＝∠PBQ﹣∠ABQ＝45°﹣15°＝30°，∴BH＝＝＝AP，∴AB＝AH+BH＝AP+AP＝AP，∵AB＝+，∴AP＝+，∴AP＝2；（3）解：①当∠BRP＝90°时，如图3，连接DP，PQ，过点B作BE⊥AQ于点E，设AM交CD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAM+∠DAP＝90°，∠ADC＝90°，∵∠BAM+∠BAR＝90°，∴∠DAP＝∠BAR，∵AD＝6，AB＝8，∴＝＝，∵AR＝AP，∴＝，∴＝，∴△ADP∽△ABR，∴＝＝＝，即BR＝DP，∵AM平分∠DAC，FD⊥AD，FG⊥AC，∴FD＝FG，在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，∴tan∠ACD＝＝＝，∵＝tan∠ACD＝，∴＝，∵DF+CF＝CD＝8，∴DF＝3，CF＝5，在Rt△ADF中，AF＝＝＝3，∵∠DAP＝∠BAR，∠ADF＝∠AEB＝90°，∴△ADF∽△AEB，∴＝＝，即＝＝，∴AE＝，BE＝，∵∠BRP＝90°，∴∠ARP+∠BRE＝90°，∵∠ARP+∠APR＝90°，∴∠BRE＝∠APR，∴tan∠BRE＝tan∠APR，∴＝＝，∴ER＝BE＝×＝，∵AR+ER＝AE，∴AP+＝，∴AP＝；②当∠PBR＝90°时，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，PH⊥AB于点H，则sin∠DAF＝＝＝，cos∠DAF＝＝＝，∴PG＝AP，AG＝AP，∵∠GAH＝∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形，∴AH＝PG＝AP，PH＝AG＝AP，∴BH＝AB﹣AH＝8﹣AP，∴BP2＝PH2+BH2＝（AP）2+（8﹣AP）2＝AP2﹣AP+64，在Rt△DPG中，DP2＝DG2+PG2＝（6﹣AP）2+（AP）2＝AP2﹣AP+36，∵BR＝DP，∴BR2＝DP2＝AP2﹣AP+64，在Rt△APR中，PR2＝AP2+AR2＝AP2+（AP）2＝AP2，在Rt△PBR中，PR2＝BP2+BR2，∴AP2＝AP2﹣AP+64+AP2﹣AP+64，解得：AP＝；③当∠BPR＝90°时，由②知：BR2＝AP2﹣AP+64，PR2＝AP2，BP2＝AP2﹣AP+64，∵PR2+BP2＝BR2，∴AP2+AP2﹣AP+64＝AP2﹣AP+64，解得：AP＝0或AP＝﹣，均不符合题意；综上所述，AP的长为或．。
江苏省苏州市立达中学2024-2025学年上学期九年级数学12月月考试题
江苏省苏州市立达中学2024-2025学年上学期九年级数学12月月考试题一、单选题1．一元二次方程2430x x -+=的根的情况是()A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，则正五边形中心角COD ∠的度数是（）A ．60︒B ．36︒C ．76︒D ．72︒3．若二次函数267y x x =-++的图象经过点()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系正确的为（）A ．132y y y >>B ．231y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >>4．将抛物线()235y x =--+向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，平移后的抛物线的函数表达式为（）A ．()251y x =---B ．()211y x =---C ．()2511y x =--+D ．()2111y x =--+5．已知O 的直径为8cm ，点A 到圆心的距离为5cm ，则点A 与O 的位置关系是（）A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．无法确定6．飞机着陆后滑行的距离()m s 关于滑行的时间的函数解析式为260 1.5s t t =-，下列能反映这一变化过程的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，D 经过A ，B ，O ，C 四点，120ACO ∠=︒，4AB =，则圆心点D 的坐标是（）A ．)B ．()C ．(-D ．(-8．如图，四边形ABCD 中()AB CD >，90ABC BCD ∠=∠=︒，3AB =，BC =，把Rt ABC △沿着AC 翻折得到Rt AEC △，若tan AED ∠=DE 的长度为（）A B C D 二、填空题9．若关于x 的一元二次方程2210x x m ++-=有一个根为0，则m =．10．某滑雪运动员沿着坡比为3:4的斜坡向下滑行了100米，他下降的垂直高度为米．11．若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是．12．函数2y x bx c =++与y x =的图象如图，则关于x 的不等式2x bx x c +<-的解集是．13．如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为平方厘米．14．已知⊙O 的半径为1的弦A 所对的圆周角的度数为．15．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，下列结论：①0abc >；②24b ac >；③()()()21101a m b m m -+-<≠；④关于x 的方程21ax bx c ++=有四个根，且这四个根的和为8．其中正确的结论有（请写出所有正确结论的序号）．16．设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线23y x =上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、点B ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值为．三、解答题17．解下列一元二次方程：(1)2420x x -+=；(2)()()23230x x x ---=．18．计算：(1)tan 45cos 60tan 60︒-︒+︒；(2)cos30sin 45sin 60cos45︒︒︒--︒．19．如图，在ABC V 中，BD AC ⊥，垂足为D ，6AB =，AC =，30A ∠=︒．(1)求BD 和BC 的长；(2)求sin C 的值．20．如图，ABC V 是等边三角形，点,D E 分别在边,AC BC 上，60BDE ∠=︒．(1)求证：ABD CDE ∽；(2)若9,7AC BE ==，求AD 的长．21．已知二次函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点()1,0A -，()3,0B ．(1)b =______，c =______；(2)该二次函数图象顶点坐标C 为______；(3)在抛物线上存在点D ，使得16ABD S = ，点D 的坐标为______．(4)根据图象，当12x -<<时，y 的取值范围是______．22．若x m =时，代数式2ax bx c ++的值也为m ，则称m 是这个代数式的“x 优值”．例如，当0x =时，代数式2x x -的值为0；当2x =时，代数式2x x -的值为2，所以0和2都是2x x -的“x 优值”．(1)1x =______（填“是”或“不是”）代数式2x 的“x 优值”；(2)判断代数式222x x n -++是否存在“x 优值”，并说明理由；(3)代数式22x n n -+存在两个“x 优值”且差为5，求n 的值．23．如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，OD 交AC 于点E ， AD CD=．（1）求证：//OD BC ；（2）若8AC =，2DE =，求BC 的长．24．如图，A ，B ，C ，D ，E 分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B ，D 之间修了一座桥．B ，D 在A 的正东方向，C 在B 的正南方向，且在D 的南偏西60°方向，E 在A 的北偏东45°方向，且在D 的北偏西30°方向，100AB =米，400DE =米．1.414≈ 1.732=2.449=）(1)求AD 的长度（结果保留小数点后一位）；(2)甲、乙两人从拍照点A 出发去拍照点D ，甲选择的路线为：A B C D ---，乙选择的路线为：A E D --．请计算说明谁选择的路线较近？25．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以每件25元的进价购进一批“弗里热”纪念品．当商品售价为每件40元时，一月份可销售256件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三月这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三月这两个月的月平均增长；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如表：销售单价（元）353637383940月平均销售量（件）600560520480440400若要使四月份利润最大，则商品应降价多少元？26．如图，ABC V 中，AB =D 为AB 中点，BAC BCD ∠=∠，cos ADC ∠=，O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长；(2)求证：BC 是O 的切线；(3)求O 的半径．27．如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．。
贵州省贵阳市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题
贵州省贵阳市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题一、单选题1．在3，1，0，1-四个数中最小的一个数是（）A ．3B ．1C ．0D ．1-2．下列几何图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知2x =是一元二次方程280ax -=的解，则a 的值是（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．如图，ABC V 是等腰直角三角形，a b ∥．若1125∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒5．下列计算正确的是（）A ．22a a -=B ．824a a a ÷=C ．()236a a =D ．3412a a a ⋅=6．《九章算术》中有这样一道题，大意是：假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两金．问1头牛、1只羊各值多少金？设1头牛、1只羊分别值x ，y 金，则列方程组正确的是（）A ．510,58.x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．5210,258.x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．58,510.x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．528,2510.x y x y +=⎧⎨+=⎩7．如图，O 是PAB 的外接圆，OC AB ⊥，连接OB ．若50BOC ∠=︒，则APB ∠的度数是（）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒8．在一列数1，8，x ，4，9，4，11中，众数是4，平均数是7，中位数是8，则数x 是（）A ．3B ．6C ．9D ．129．如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，DE AB ⊥，垂足为E ．若5AB =，6BD =，则DE 的长是（）A ．125B ．185C ．245D ．48510．某函数自变量x 与函数值y 的对应关系如下表，则该函数的表达式可以是（）x…3-2-1-01…y…3-3533-…A ．y x=B ．615y x =+C ．223y x =+D ．2243y x x =--+11．如图，正方形ABCD 中，AC 为对角线，E ，F 分别为AB ，CD 上的点，将BCE 与DAF △分别沿CE ，AF 折叠，使B ，D 分别落在对角线AC 上的B '，D '处．若2AB =，则B D ''的长是（）A ．4-B ．4C ．2D ．112．在平面直角坐标系中，函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，则下列说法正确的是（）（1）240b ac -<；（2）若ABC V 是周长为0c >，则函数图象经过点()1,2-；（3）若a ，c 的值不变，则ABC V 的面积随b 的增大而减小；（4）若ABC V 是直角三角形，则20ax bx c ++=的判别式4∆≥．A ．（1）（3）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）二、填空题13x 的取值范围是．14．将三个小球分别标上C ，O ，H 三种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，探匀后从中任意摸出2个小球，能够组成CO （一氧化碳）的概率是．15．已知12,x x 是方程2310x x +-=的两个根，则211252x x x ++的值是．16．如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，DE AC ⊥，垂足为E ，点M ，N 分别在线段AC ，BC 上，:2AM CN =MNE 是以ME 为腰的等腰三角形，10AB =，30CAD ∠=︒，则AM 的长是．三、解答题17．（11122-⎛⎫⎪⎝⎭；（2）下面是用配方法解一元二次方程2450x x --=的过程：解：移项，得245x x -=，……第一步配方，得2441x x -+=，……第二步即()221x -=．开方，得21x -=±，……第三步解得13x =，21x =．……第四步以上过程从第______步开始出错．请用适当的方法解该方程．18．请从①221x x x -+，②221x xx +-，③1x x +中选取两个式子相乘并化简，再从1-，1，2中选择合适的数代入求值．19．某校为落实“双减”政策，利用课后服务时间开展社团活动，社团分为美术、体育、劳技、音乐、科技共五大类，每个学生只能选报一个社团、为了解学生参与社团的情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制成如下统计图，解答下列问题．(1)学校随机抽取了______名学生进行调查，补全条形统计图：(2)该校1800名学生中参加科技社团的学生大约有多少人？(3)该校从美术社团中挑选了男、女生各两名，再从这四名学生中随机抽取两人参加绘画比赛，请用树状图或列表的方法求恰好抽到男、女生各一名的概率．20．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为4，当32x =时，y 有最大值254：(1)求二次函数的表达式；(2)点P 在对称轴上，当PA PC +的值最小时，求点P 的坐标．21．如图，AB 为O 的直径，D 为O 上一点，过点D 的直线与AB 的延长线交于点C ，点E 在直线CD 上，连接AD ，AE ．有下列条件：①AE CD ⊥；②AD 平分CAE ∠；③CD 为O 的切线，(1)请从以上①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．(2)当6AB =，30C ∠=︒时，求图中阴影部分的面积．22．某商品每件的成本为100元，销售价（元/件）与时间（天）之间的函数关系如下图所示，商家预测未来30天的日销售量（件）与时间（天）满足函数表达式2140y x =-+．(1)求销售价（元/件）与时间（天）之间的函数表达式，写出自变量的取值范围；(2)在未来30天中哪天销售利润最大？求出该天销售利润．23．如图，在平面直角坐标系中，AOB V 为等腰直角三角形，90B Ð=°，点A 的坐标为()2,0，将AOB V 绕点O 逆时针旋转90°得到A OB ''△（A 的对应点为A '，B 的对应点为B '）．(1)写出图中一个度数为45°的角：________；(2)在平面直角坐标系中画出A OB ''△，点B '的坐标是________；(3)以()2,0M -为圆心的圆与A OB ''△三边中的一边所在直线相切，求⊙M 的半径．24．如图，在正方形ABCD 中，点Q 在射线DC 上（不与C ，D 重合），点P 为直线BC 上一点，DAQ PAQ ∠=∠．(1)如图①，若30DAQ ∠=︒，3AB =，DQ 的长是________，AP 的长是________；(2)如图②，当Q 在线段DC 上时，猜想AP ，BP ，DQ 之间的数量关系并证明；(3)当Q 在线段DC 的延长线上时，第()2问中的结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，请探究AP ，BP ，DQ 之间的数量关系．25．初中阶段学习函数的方法：通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，根据图象研究性质，用性质解决问题。
江苏省扬州市朱自清中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题(含简要答案)
2024-2025学年第一学期月度学科素养体验九年级数学2024.12（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）1. 下列是一元二次方程的为（ ）A. B. C. D. 2. 已知⊙的半径是，线段，则点（ ）．A. 在⊙外B. 在⊙上C. 在⊙内D. 不能确定3. 一元二次方程配方后化为（ ）A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ）A. 长度相等的两条弧是等弧B. 优弧一定大于劣弧C. 不同的圆中不可能有相等的弦D. 直径是弦且是同一个圆中最长的弦5. 如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（ ）A.B. AF=BFC. OF=CFD. ∠DBC=90°6. 二次函数的最小值是（ ）A. B. C. D.−2210x y -+=2230x x --=230x +=22100x y +-=O 6cm 5cm OP =P O O O 2420x x +-=()244x +=()222x -=()222x +=()226x +=()212y x =-+211-7. 抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 08. 已知，且有及，则值为（ ）A. B. C. 3D. 2018二．填空题（共10小题，每题3分，共30分）9. 如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是_____10. 一元二次方程：的解为：____________．11. 已知与面积的比为．若，则的长为_____．12. 如图，点、、在上，若，则______．13. 某超市今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是_____．14. 若是方程的根，则的值为_____15. 若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．16. 已知圆锥的底面直径为4cm ，其母线长为3cm ，则它的侧面积为______cm 2．17. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象时，列了如下表格：x…﹣2﹣1012…y … ﹣4﹣2…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y ＝ax 2+bx +c 在x ＝3时，y ＝___．18. 如图，半径为4cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P ，从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设的内心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为_________．的234y x x =--+1xy ≠23201890x x ++=29201830y y ++=x y120081310cm 2x x =ABC DEF ABC ∽， DEF 14：2AB ＝DE A B C O 24BAC ∠=︒BOC ∠=()0a a ≠20x cx a ++=a c +2210kx x -+=162-122-122-PH △O三．解答题（共10小题，共96分）19. 解一元二次方程：（1）（2）20. 如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为（1）请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____（2）该圆的半径为_____（3）若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____21. 若关于一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）请你选取一个你喜欢的正整数的值代入方程并求出这个方程的两根．22. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．（1）求证：；（2）若的面积为2，求的面积23. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点．过点作的2230x x --=()2311x x-=-()1,2A ()3,2B ()4,1C P P P P D P D y D x 2210x x k ++-=k k ABCD E CD BE AD F 12DE CD =ABF CEB V V ∽DEF ABF △ABC V AB BC =ABC V AB O AC D D，垂足为点．（1）试证明是的切线；（2）若的半径为5，，求的面积．24. 已知二次函数的图象经过点．（1）求的值；（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）能否通过上下平移上述二次函数的图象，使得到的新的图象经过点？如果能，请直接写出平移的方向和距离；如果不能，说明理由．25. 某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量(件)与每件的销售价(元)之间的函数关系为．（1）当每天销售量为件时，求销售这种服装的毛利润；（2）如果商场想销售这种服装每天获得元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？26. 【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹）【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长．的DE BC ⊥E DE O OAC =ABC V 24y ax x =+()1,2P a ()2,4Q 60m x 3003m x =-45900ABCD 90B D ∠=∠=︒A B C D AC AC O OB OD ABCD E AB DE AC F CF P 90DPE ∠=︒6AB =2BE AE =DP27. 如图1，在中，，，，．如果以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点O ，建立平面直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒．（1）点坐标_____（2）_____，_____（用的关系式表示）（3）是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．28 综合实践小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点、、、分别在边、、、上，若，则”经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点作交于点，过点作交于点；（乙）过点作交于点，作交的延长线点小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．…….ABC V 90ACB ∠=︒10AB =8AC =CD AB ⊥AB x CD y D P C CB Q B BA t C BP =BQ =t P B P Q ABC V t ABCD E F G H AB BC CD DA EG FH ⊥EG FH =A AM HF ∥BC M B BN EG ∥CD N A AM HF ∥BC M AN EG ∥CD F N（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设，（如图2），试探究、之间有怎样的数量关系．并证明你的结论；（3）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为4，的长为3），试求的长度．2AB =3BC =EG FH EG FH ⊥EG FH 45︒ABCD FH EG2024-2025学年第一学期月度学科素养体验九年级数学 简要答案2024.12（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二．填空题（共10小题，每题3分，共30分）【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】，【11题答案】【答案】4【12题答案】【答案】##度【13题答案】5cm10x =21x =48︒48【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】且【16题答案】【答案】6π【17题答案】【答案】-4【18题答案】三．解答题（共10小题，共96分）【19题答案】【答案】（1）（2）【20题答案】【答案】（1）画图略，（2（3）【21题答案】【答案】（1）（2）当k =1时，【22题答案】【答案】（1）证明过程略（2）8【23题答案】【答案】（1）证明略（2）1-1k <0k ≠1213x x =-=，12213x x ==，()2,0()0,12k <120,2x x ==-30【答案】（1）（2）对称轴为直线，顶点坐标为（3）向上平移4个单位长度【25题答案】【答案】（1）当每天销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 （2）每件服装的销售价应定为元【26题答案】【答案】（1）略；（2）略；（3）．【27题答案】【答案】（1） （2）；（3）存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与相似，此时t 的值为或【28题答案】【答案】（1）略 （2），证明略 （3的2a =-1x =()1,245112570240,5⎛⎫ ⎪⎝⎭6t -t ABC V 2.25 3.7532EG FH =。
湖北省武汉市硚口区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题(含答案)
2023～2024学年度第一学期12月质量检测数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1. 已知的半径是4，，则点P 与的位置关系是（ ）A. 点P 在外B. 点P 在上C. 点P 在内D. 不能确定2. 如图，在中，，，则的大小是（ ）（第2题）A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD 内接于，，则的大小是（）（第3题）A. B. C. D. 4. 如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 的值是（）（第4题）A. B.C.D. 35. 若圆锥的底面半径为4cm ，母线长为12cm ，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ）A. B. C. D.BO 3OP =O O O O OAB AC =70B ∠=︒C ∠20︒40︒70︒110︒O 108B ∠=︒D ∠54︒62︒72︒82︒O 32240︒120︒180︒90︒6. 如图，在中，，过点A 作于点M ，交DE 于点N .若，则的值是（）（第6题）A. B. C. D. 7. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 形池，该U 形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m 的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点E 在CD 上，.一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离是（）（第7题）A. 28mB. 24mC. 20mD. 18m8. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，.“会圆术”给出AB 的弧长l 的近似值计算公式：.当，时，则l 的值是（ ）（第8题）A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD 中，，以D 为圆心，AD 为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E .若，则的值是（ ）BABC △DE BC ∥AM BC ⊥4:9ADE ABC S S =:△△:AN AM 4:93:23:42:320m AB CD ==4m CE =MN AB ⊥2MN l AB OA=+4OA =60AOB ∠=︒11-8-811-AB CD ∥AD AB ⊥13AB CD =ADCD（第9题）A.B.C.D.10. 已知抛物线和直线，若对于任意的x 的值，恒成立，则常数m 的值是（ ）A. 0B. 2C. －2D. －4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在答题卡指定位置.11. 如图，在中，圆周角，则的大小是______.（第11题），，，则CD 的长度是______.13. 如图，的内切圆与AB ，BC 分别相切于D ，E 两点，连接DE ，AO 的延长线交DE 于点F ，若，则的大小是______.（第13题）14. 如图，半圆O 的直径.，C ，D 是半圆上的三等分点，E 是OA 的中点，则阴影部分CED 面积是______.A2334()2122y x m x m =-++224y x =-12y y ≥O 30ACB ∠=︒AOB ∠:2:3AC EC =4BC =ABC △O 70ACB ∠=︒AFD ∠10AB =（第14题）15. 二次函数的图象如图所示，下列四个结论：①；②；③；④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4.其中正确结论是______.（填写序号）（第15题）16. 如图，在中，，，，线段BC 绕点B 旋转，得到BD ，连接AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是______.（第16题）三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.（本小题8分）如图，在中，，求证：.18.（本小题8分）如图，已知，求证：.A ()20y ax bx c a =++≠0abc >23c b =()()1a b m am b m +>+≠21ax bx c ++=Rt ABC △90ACB ∠=︒30BAC ∠=︒4BC =O AD BC =DC AB =ABC ADE △∽△ABD ACE △∽△19.（本小题8分）如图，在中，，CD 是斜边AB 上的高.（1）求证：；（2）若，，求BD 的长.20.（本小题8分）如图，是的外接圆，AC 为直径，，交DC 的延长线于点E .（1）求证：BE 是的切线；（2）若，，求AD 的长.21.（本小题8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.经过A ，B 两个格点，C 是与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）.（1）先画直径BG ，再画圆心O ；（2）在上画点M ，使，在上画点F ，连接AF ，使.22.（本小题10分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离ARt ABC △90ACB ∠=︒ABC CBD △∽△4AC =3BC =O ABC △ BDAB =BE DC ⊥O 1EC =8CD =1010⨯O O BCBM MC = AC CAF CAB ∠=∠称为“刹车距离”.某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能进行测试，刹车距离S （单位：m ）与车速v （单位：km/h ）之间存在二次函数关系，测得部分数据如表：车速v （km/h ）0306090120刹车距离S （m ）7.819.234.252.8（1）直接写出刹车距离S 与车速v 之间的函数关系；（2）某路段实际行车的最高限速为80km/h ，若要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的2倍，求安全车距应超过多少米？（3）在某路段上，若要求该型汽车的刹车距离不超过40m ，请问车速应该控制在什么范围内？23.（本小题10分）在矩形ABCD中，，E 是对角线BD （端点除外）上的点，F ，G 在直线BC 上，满足，.（图1） （图2）（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，连接AF ，求的值（用含m 的式子表示）；（3）连接CE ，当，时，若，直接写出FG 的长.24.（本小题12分）将抛物线：平移，使其顶点为，得到抛物线，抛物线交x 轴的正半轴于A 点，交y 轴于C 点.（图1） （图2）（1）直接写出抛物线的表达式；（2）如图1，抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，G 为直线AC 上的点，过点G 作交抛物线于点F ，当以B ，D ，G ，F 为顶点的四边形为平行四边形时，求点G 的横坐标；ABm BC=EF AE ⊥EG BE ⊥1m =ABE FGE △≌△EFAF12m =CE CD =4ED =1C 2y x =()1,4D -2C 2C 2C 2C GF BD ∥2C（3）如图2，的顶点M ，N 在抛物线上，点M 在点N 右边，两条直线ME ，NE 与抛物线均有唯一公共点，ME ，NE 均与y 轴不平行.若的面积为16，设M ，N 两点的横坐标分别为m ，n ，求m 与n 的数量关系.2023-2024学年度12月质量检测九年级数学参考答案12345678910C C CABDC DBA11.12. 613. 14.15. ②③④16. 617. 证明：∵，∴，……2分∴，……4分∴，……6分∴.……8分（也可用全等三角形解决）18. 证明：∵，∴，，……2分∴，，……4分∴，……6分∴.……8分19. 证明：（1）∵，∴，……1分∵，∴，……2分又∵，∴.……4分解：（2）∵，，，∴，……5分∵，∴，……7分∴.……8分20.（1）证明：连接OB .由圆内接四边形的性质可知，……1分又∵，∴，……2分∵，∴，∴，∴，……3分∵，∴，∴BE 是的切线.……4分（2）解：过点B 作于点F ，∵，∴，MNE △1C 1C MNE △60︒35︒256πAD BC =AD BC = AD AC BC AC +=+ AB CD=DC AB =ABC ADE △∽△AB ACAD AE =BAC DAE ∠=∠AB AD AC AE=BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠BAD CAE ∠=∠ABD ACE △∽△CD AB ⊥90BDC ∠=︒90ACB ∠=︒ACB BDC ∠=∠B B ∠=∠ABC CBD △∽△90ACB ∠=︒4AC =3BC =5AB =ABC CBD △∽△AB BCBC CD=95BC BC BD AB ⋅==ECB BAD ∠=∠1BAD ∠=∠1ECB ∠=∠OC OB =1CBO ∠=∠CBO ECB ∠=∠EC OB ∥BE EC ⊥BE OB ⊥O BF AC ⊥ BDBA =BD BA =在与中，，∴.……5分∴.由（1）知，在和中，，∴，……6分∴，∴.……7分∵AC 为的直径，∴.在中，由勾股定理，得.……8分（还可以过O 作CD 垂线解决）21.（1）G 点正确，O 点正确（有多种画法）......各2分（2）M 点正确，F 点正确 (2)22. 解：（1）；……3分（2）当车速为80km/h 时，刹车距离，∴，答：安全车距应超过57.6m ；……6分（3）当时，，解得，（舍去），……8分∴当时，，∴车速应该控制不超过100km/h 范围内.……10分23.（1）证明：∵在正方形ABCD 中，点E 是对角线BD 上一点，，，∴，，……1分，∴， (2)分ABF △DBE △BAF BDE AFB DEB AB DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABF DBE AAS △≌△189AF DE EC CD ==+=+=1ECB ∠=∠Rt BCE △Rt BCF △1BEC BFC ECB BC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE BCF AAS △≌△1FC EC ==9110AC AF FC =+=+=O 90ADC ∠=︒Rt ADC△6AD ===20.0020.2s v v =+0.00264000.28028.8S =⨯+⨯=()28.8257.6m ⨯=40s =20.0020.240v v +=1100v =2200v =-40s ≤100v ≤GE BD ⊥AE EF ⊥90AEF GEB ∠=∠=︒90AEB BEF GEF ∠=︒-∠=∠45ABE EBG G ∠=∠=∠=︒BE EG =在和中，，∴；……3分（2）解：∵在矩形ABCD 中，E 是对角线BD 上点，，，∴，，∴，……4分∴，……5分∴.……6分可设，，∴.……7分（3）FG……10分（提示：由（2），可得，过C 作，求出）24. 解：（1）；……3分（2）∵，∴，，∴AC ：，∵，∴.……4分设，①当点G 在线段AC 上时，点F 在点G 下方，则，∵，∴，解得，或（舍去），则点G 的横坐标为2.……5分②当点G 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点G 上方，则，∵，∴，解得或E综上可得满足条件的点E 的横坐标为2.……7分（3）设经过的直线解析式为，ABE △FGE △ABE G BE EG AEB FEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABE FGE △≌△GE BD ⊥AE EF ⊥90AEF GEB ∠=∠=︒90ABE EBG BGE ∠=︒-∠=∠90AEB BEF FEG ∠=︒-∠=∠ABE FGE △∽△EF EG DC ABm AE BE BC BC====EF m =1AE =AF =EF AF =ABE FGE △∽△12FG EF m AB AE ===CH BD ⊥CD =()214y x =--()214y x =--()3,0A ()0,3C -3y x =-()1,4D -()1,2B -(),3G x x -()2,23F x x x --GF DB =()2323242x x x --++=-+=2x =1x =()2,23F x x x --GF DB =()223(3)2x x x ----=x =x =()2,M m m 2()y k x m m =-+，则有，……8分∵直线ME 与有唯一公共点，∴，∴，直线ME 的解析式为，……9分同理可求直线NE 的解析式为，，∴，……10分如图3，过E 作直线轴，分别过M ，N 作l 的垂线，垂足为C ，D ，，∴，……11分∴，∴.……12分图322()y x y k x m m⎧=⎨=-+⎩220x kx km m -+-=2C 22244(2)0k km m k m ∆=-+=-=2k m =22y mx m =-22y nx n =-2222y mx m y nx n⎧=-⎨=-⎩,2m n E mn +⎛⎫⎪⎝⎭l x ∥16NDE MEC MNE MNDC S S S S --==△△△梯形()()()()2222111()22222m n m n n mn m mn m n n mn n m mn m ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-⨯---⨯---⨯- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭16=()364m n -=4m n -=。
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密
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内
不
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题
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：
班
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考
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：
姓
名
：
考
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座
号
：
九年级第一学期数学月考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），那么该抛物线有（ ）
A．最小值﹣2 B．最大值﹣2 C．最小值3 D．最大值3
3．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
4.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
第5题 第6题 第7题 5．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（ ） A．40° B．50° C．60° D．80° 6．如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 7．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 8．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A．3 B．9 C．18 D．36 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ） A．25π B．65π C．90π D．130π 10．下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= 。 12.若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为 。 13.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是 。 14.如图，正方形ABCD边长为2，E为CD的中点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABF， 连接EF，则EF的长等于 。 15.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b； ③3b+2c＜0；④m（am+b）+b>a（m≠﹣1），其中正确的是 。 （只填序号）
16.直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为 。
三角形的内切圆半径为 。
17.AB、AC是⊙O的两条切线，A、B 为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于A 、B的一动点，
则∠BPC＝ 。
18.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，⊙O的半径为5，点p是弦AB上一动点，则op的
取值范围是 。
三、解答题（共66分）
19.（6分）解方程：
(1) (2)3x(x-2)=4-2x
20.（4分）如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
第18题
图
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E
D B A O C
A B
D C E O
21.（6分）．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A
（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的图形；
（2）点A1的坐标为 。
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长为多少．
22.（6分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：ACO=BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
23.（6分）某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房
间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元
的各种费用．
（1）若每个房间定价增加元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）房价定为多少时，宾馆的利润最大？
24.（9分）如图AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于
点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．
25.（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
26.（8分）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
27．（12分）如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、
C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．