精品：【全国百强校】四川省成都市石室中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
精品：【全国百强校】广东省仲元中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
第Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．120-°的角所在象限是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C 【解析】试题分析：由象限角得定义可知，120-°的角所在象限是第三象限角. 考点：象限角.2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 【答案】C考点：弧度制.3．在四边形ABCD 中，+=，则下列结论一定正确的是( ) A ． ABCD 一定是矩形 B ． ABCD 一定是菱形 C ． ABCD 一定是正方形 D ． ABCD 一定是平行四边形【答案】D 【解析】试题分析：在四边形ABCD 中，∵AC AB AD AC AB BC =+=+，，AD BC =，即//AD BC ，且AD BC =，如图所示；∴四边形ABCD 是平行四边形． 考点：向量的加法及其几何意义．4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ． 54 【答案】D 【解析】试题分析：由任意角的三角函数公式可知，4sin 5α==. 考点：任意角的三角函数. 5．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 【答案】C考点：正弦函数的单调性．6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ) A ．91-B ．92C ．98-D ． 32 【答案】C 【解析】 试题分析：()21118sin cos ,sin cos 1sin 2sin 23999αααααα+=∴+=⇔+=∴=-，故选C.考点：1.同角的基本关系；2.正弦的二倍角公式. 7．向量)1,2(),2,1(=-=，则（ ）A ． a ∥bB ． a ⊥bC ． a 与b 的夹角为60°D ． a 与b 的夹角为30° 【答案】B 【解析】 试题分析：(1,2),(2,1)(1,2)(2,1)0a b a b a b =-=∴⋅=-⋅=∴⊥.考点：平面向量的数量积的坐标运算.8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足λ=,10<<λ,则AM AB ⋅的最大值( ) A ． 4 B ．2 C ．λ2 D ．λ2- 【答案】A考点：平面向量的数量积.9．函数x x y 22sin cos -=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数 【答案】A【解析】 试题分析：22()cos sin ()()cos 2()f x x x x R f x x x R =-∈∴=∈，所以函数()f x 是最小正周期为π的偶函数.考点：1.余弦的二倍角公式；2.三角函数的性质.10．若函数x x f 2sin )(=，则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为（ ） A ． )0,4(πB ． )0,3(πC ． )0,2(πD ． )0,(π 【答案】C 【解析】试题分析：令22,x k k Z ππ=+∈，所以,2x k k Z ππ=+∈，所以()f x 图象的一个对称中心的坐标为)0,2(π.考点：正弦函数的性质.11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位【答案】B考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数x y 2sin =到函数12cos -=x y 的图像，即可得到选项．【方法点睛】三角函数图象变换： (1)振幅变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω (3)相位变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ (4)复合变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω.12．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若PB PA PC PD ++=+)1(2λ，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】B考点：平面向量的基本定理及其意义．【思路点睛】本题考查平面向量的基本定理，通过D 为AB 的中点可得2PD PA PB =+，利用()21PD PC PA PB λ+=++化简可得PC PA λ=，通过PBA 与PBC 的面积相等可得P 为AC 的中点，进而可得结论．第Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量)1,2(-=_________． 【答案】5 【解析】(22a =+=.考点：向量的模.14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________． 【答案】23 【解析】()75sin 4515sin 60︒+︒=︒+︒=︒+︒=︒=考点：三角恒等变换.15．已知向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，则锐角α等于 ． 【答案】4π考点：1.平面向量平行的坐标运算公式；2.任意角的三角函数值.【思路点睛】向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，根据平面向量平行的坐标运算公式，可得12sin cos 6sin 21ααα=⇒=，然后再根据三角函数值，所以22,2k k Z παπ=+∈，又α为锐角，即可求出结果.16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且DC BD 2=,若R AC AB AD ∈+=μλμλ,,,则=λ ，=μ ． 【答案】31，32考点：平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题主要考查平面向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由2=得到1322AC AB AD =-+，这即可得到12,33AD AB AC =+，从而可以求出λ和μ的值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知函数)6sin()(π+=x x f .(1)利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图（先在答题卡中所给的表格中填上所需 的数值，再画图）；(2)当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值． 【答案】（1）详见解析；（2）函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，取得最小值时对应的x 的值为π．【解析】试题分析：（1）利用“五点作图法”即可列出表格，作出图像； (2)[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x ， 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1，当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-.试题解析：解：(1)列表如下……………3分 图像（略） ……………6分 (2)[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x ……………7分 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1， ……………8分当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-， ……………9分 ∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．……10分考点：1.五点法作函数()y Asin x ωϕ=+ 的图象；2.正弦函数的图象． 【方法点睛】①函数sin y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,1)2π-，(2,0)π；函数cos y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,1)，(,0)2π，(,1)π-，3(,0)2π，(2,1)π．18．(本小题满分12分)已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ． 【答案】（1）1m =-；（2）考点：数量积表示两个向量的夹角．19．（本小题满分12分）已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos(1)根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】（1）1cos 126y t π=+；（2）上午9∶00至下午3∶00. 【解析】试题分析：(1)设函数()()si 0(0)n f t A t k A ωϕω=++>>，，从表格中找出同(6)0.5，和(12)1.5，是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期12T =并得到6πω=，算出12A =和1k =，最后根据6x =时函数有最小值0.5解出2πϕ=，从而得到函数()y f t =近似表达式；考点：三角函数的图像与性质． 20．(本小题满分12分)已知向量)1,2(),sin ,(cos -==θθ （1）若b a ⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0,2πθ，求)4sin(πθ+的值． 【答案】（1）13 ；（2【解析】试题分析：（1）由⊥可知，0sin cos 2=-=⋅θθ，所以θθcos 2sin =， 然后再利用同角的基本关系，即可求出结果；（2）由)1sin ,2(cos +-=-θθ2=，化简可得0sin cos 21=+-θθ，①，又1sin cos 22=+θθ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ，再利用两角和公式即可求出结果.考点：1.同角的基本关系；2.两角和差的正弦公式.21．（本小题满分12分） 已知(3sin ,1)a x =，(cos ,2)b x = （1）若//a b ，求tan 2x 的值； （2）若()()f x a b b =-⋅，求()f x 的单调递增区间．【答案】（1 ；（2）,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）//23sin cos 0a b x x ⇒-=，化简可得tan x =；然后再利用两角和的正切公式即可求出结果；（2）215()()3sin cos cos 22cos 222f x a b b x x x x x =-⋅=--=--5sin(2)62x π=--……………8分然后再根据正弦函数的性质，即可求出结果.考点：1.平行向量平行的坐标运算公式；2.三角函数的性质.【方法点睛】三角函数()sin y A x k ωϕ=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T πω=可求得；2.单调性：令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令 2,2x k k Z πωϕπ+=+∈或2,2x k k Z πωϕπ+=-+∈，即可求出函数取最大或最小值时的x 取值集合.22．（本小题满分12分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=(1)求)24(πf 的值；(2)若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值；(3)若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x x x x <，分别求实数 a 与2111x x +的取值范围．【答案】（11+ ；（2）6π；（3）(2,3) 【解析】 试题分析：(1)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入24x π= 即可． (2)根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定m 的范围． (3)把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定a 的范围，根据函数的对称，求得12x x +的值，进而表示出2111x x +的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于 直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++（02x π<<）有两个交点.∵当02x π<<时， 由(2)知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， …9分 且(0)2,()3,()0,62f f f ππ=== ∴ 23a << 即实数a 的取值范围是(2,3) ……………10分考点：1.函数中的恒等变换应用；2.三角函数的单调性．。
精品：【全国百强校】四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试物理试题(解析版)
一、单选题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．每小题给出的四个选项中只有一个最符合题意．）1．下列各组物理量中，由电场自身性质决定的是A ．电场力、电场强度B ．电场强度、电势差C ．电场力做的功、电势能D ．电势差、电势能【答案】B【解析】考点：电场强度；电势及电势能【名师点睛】电场这一章中物理量可分为两类，一类只与电场有关，如电场强度、电势差；另一类既与电场有关，又和电荷有关，如电场力，电势能等等，要理解各个概念的物理意义.2．如图所示， ab ＝3bc ，在 c 点固定一负电荷，将一负电荷从 a 点移到 b 点，负电荷在 a 、b 两点的电势能分别为 E p a 、 E p b ，所受的电场力分别为 F a 、 F b ，则A ． E pa <E pbB ． 3F a ＝F bC ． E pa >E pbD ． 9F a ＝F b【答案】A【解析】试题分析：在c 点固定一负电荷，电场线的方向从a 指向c ，将另一负电荷从a 点移到b 点，电场力做负功，所以电荷的电势能增加．故A 正确，C 错误；根据库仑定律2kQq F r＝得：22221 (4)16a b b b a b F r r F r r ＝＝＝．故BD 错误．故选A 。
考点：库仑定律；电势能【名师点睛】本题是对库仑定律及电势能的考查；关键根据库仑定律和电场力做功等于电势能的减小量分析判断，基础题。
3．在点电荷 Q 形成的电场中，一带正电的粒子通过时的轨迹如图中实线所示， a 、 b 为两个等势面，则下列判断中正确的是A．Q 为负电荷B．运动中带正电的粒子总是克服电场力做功C．带正电的粒子经过两等势面的电势能E p a＞E pbD．带正电的粒子经过两等势面的动能E ka＞E kb【答案】D【解析】考点：带电粒子在电场中的运动【名师点睛】该题考查轨迹问题，首先要根据弯曲的方向判断出带电粒子所受电场力方向，确定是排斥力还是吸引力．由动能定理分析动能和电势能的变化是常用的思路。
2015-2016年四川省成都市金堂中学高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年四川省成都市金堂中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共60分，每个5分）1．（5分）在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．（5分）已知向量，则的坐标是（）A．（7，1）B．（﹣7，﹣1）C．（﹣7，1）D．（7，﹣1）3．（5分）数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A．a n=2n﹣1B．a n=（﹣1）n（1﹣2n）C．a n=（﹣1）n（2n﹣1）D．a n=（﹣1）n（2n+1）4．（5分）如图，ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．5．（5分）函数f（x）=cos（﹣x）cosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数6．（5分）已知A，B，C三点共线，且A（3，﹣6），B（﹣5，2）若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为（）A．﹣13B．9C．﹣9D．137．（5分）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．8．（5分）在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．10（+）m D．20（+）m9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．1010．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．11．（5分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2B．sinα﹣cosα+3C．3sinα﹣cosα+1D．2sinα﹣cosα+112．（5分）（文科做）=（sinx，cosx），=（3，1），且∥，则的值为（）A．2B．3C．4D．613．（理科做）向量=（sinx，cosx），=（2，1），且∥，则的值为（）A．B．C．D．14．（5分）有下列说法：①在△ABC中，若•＜0，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中=，=，=，若||=|﹣|，则△ABC是直角三角形；③在△ABC中，若tan =sin C，则sin2A+sin2B=1；④在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若＜t恒成立，则t的最小值为．其中正确说法的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（共20分，每个5分）15．（5分）计算：cos215°﹣sin215°=．16．（5分）数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于．17．（5分）（文科做）已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边的中点，则•（﹣）=．18．已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为．19．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的一段图象如图所示，△ABC的顶点A与坐标原点重合，B是f（x）的图象上一个最低点，C在x轴上，若内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且△ABC的面积满足S=，将f （x）的图象向右平移一个单位得到g（x）的图象，则g（x）的表达式为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，且b=2，a=1，sin．（1）求c；（2）求sinA的值．21．（12分）已知向量=（﹣2，4），=（3，﹣1），=（m，﹣4）．（1）当m=﹣3时，求向量与夹角的余弦值；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求tan（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．23．（12分）已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证：+与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．24．（12分）已知x∈R，向量=（acos2x，1），=（2，asin 2x﹣a），f（x）=•，a≠0．（1）求函数f（x）的解析式，并求当a＞0时，f（x）的单调增区间；（2）（文科做）当a=1，x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．（理科做）当x∈[0，]时，f（x）的最大值为5，求a的值．25．（12分）（文科做）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，且b2=a2+c2+ac．=，求a的值；（1）若b=，S△ABC（2）求的值．26．（理科做）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且•=0．=，求a的值；（1）若b=，S△ABC（2）若b=，求△ABC外接圆半径长及△ABC面积的最大值．2015-2016学年四川省成都市金堂中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共60分，每个5分）1．（5分）在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵三内角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C又A+B+C=180°，∴3B=180°，∴B=60°故选：B．2．（5分）已知向量，则的坐标是（）A．（7，1）B．（﹣7，﹣1）C．（﹣7，1）D．（7，﹣1）【解答】解：因为向量，则=﹣3（3，﹣1）﹣2（﹣1，2）=（﹣7，﹣1）．故选：B．3．（5分）数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A．a n=2n﹣1B．a n=（﹣1）n（1﹣2n）C．a n=（﹣1）n（2n﹣1）D．a n=（﹣1）n（2n+1）【解答】解：∵数列{a n}各项值为1，﹣3，5，﹣7，9，…∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|a n|=2n﹣1又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，∴a n=（﹣1）n+1（2n﹣1）=（﹣1）n（1﹣2n）．故选：B．4．（5分）如图，ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：由向量加减的运算可得=，又，故=，故选：D．5．（5分）函数f（x）=cos（﹣x）cosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（x）=cos（﹣x）cosx=sinxcosx=sin2x，则函数的周期T=，为奇函数，故选：A．6．（5分）已知A，B，C三点共线，且A（3，﹣6），B（﹣5，2）若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为（）A．﹣13B．9C．﹣9D．13【解答】解：设C点的坐标是（6，y），∵=（﹣8，8），=（3，y+6）∵A，B，C三点共线，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9故选：C．7．（5分）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．【解答】解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得tan（A+B）==﹣=因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故选：A．8．（5分）在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．10（+）m D．20（+）m【解答】解：依题意作图如下：AB=20m，仰角∠DAE=60°，俯角∠EAC=45°，在等腰直角三角形ACE中，AE=EC=20m，在直角三角形DAE中，∠DAE=60°，∴DE=AEtan60°=20m，∴塔高CD=（20+20）m．故选：B．9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．10【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=，AC=，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，可得，BC==10=则x=10；所以塔AB的高是10米；故选：B．10．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选：A．11．（5分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2B．sinα﹣cosα+3C．3sinα﹣cosα+1D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．12．（5分）（文科做）=（sinx，cosx），=（3，1），且∥，则的值为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵=（sinx，cosx），=（3，1），且∥，∴sinx﹣3cosx=0，∴=3，∴===3．故选：B．13．（理科做）向量=（sinx，cosx），=（2，1），且∥，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：向量=（sinx，cosx），=（2，1），且∥，可得sinx=2cosx，即tanx=2．====．故选：C．14．（5分）有下列说法：①在△ABC中，若•＜0，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中=，=，=，若||=|﹣|，则△ABC是直角三角形；③在△ABC中，若tan =sin C，则sin2A+sin2B=1；④在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若＜t恒成立，则t的最小值为．其中正确说法的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①在△ABC中，若•＜0，则|BC||CA|cos（π﹣C）＜0，即﹣cosC＜0，则cosC＞0，则C是锐角，则△ABC是不一定是钝角三角形；故①错误，②在△ABC中=，=，=，则=﹣（+），若||=|﹣|，则|﹣（+）|=|﹣|，平方得2+2+2•=2+2﹣2•，则•=0，即⊥，则AB⊥CA，则△ABC是直角三角形；故②正确，③在△ABC中，若tan =sin C，则tan（﹣）===2sin cos，则cos=2sin2cos，即cos（1﹣2sin2）=cos cosC=0，则cosC=0，则C=，则B=﹣A，则sin2A+sin2B=sin2A+sin2（﹣A）=sin2A+cos2A=1；故③正确，④根据题意画出图形，如图所示：∵3AB=2AC，∴AC=AB，又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=AC，AF=AB，∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2﹣2AB•AE•cosA=AB2+（AB）2﹣2AB•AB•cosA=AB2﹣AB2cosA，在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2﹣2AF•AC•cosA=（AB）2+（AB）2﹣2•AB•AB•cosA=AB2﹣AB2cosA，∴==，∴==，∵当cosA取最小值时，比值最大，∴当A→π时，cosA→﹣1，此时达到最大值，最大值为=，则恒成立，t的最小值为．故④正确，故正确的是②③④，故选：B．二、填空题（共20分，每个5分）15．（5分）计算：cos215°﹣sin215°=．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°=cos30°=．故答案为：．16．（5分）数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于﹣22．【解答】解：数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，∴a n﹣a n=﹣3，+1∴数列{a n}是公差为d=﹣3的等差数列；∴a8=a1+7d=﹣1+7×（﹣3）=﹣22．故答案为：﹣22．17．（5分）（文科做）已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边的中点，则•（﹣）=．【解答】解：∵△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴△ABC是以AB边为斜边的直角三角形，∵P为AB边的中点，∴CP=AB=AP=，∵•（﹣）=，∴cos∠PCA===，∴•（﹣）====故答案为：．18．已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为9．【解答】解；∵△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角，以CB为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系，则C（0，0），A（0，3），B（4，0），设P（x，y）则=（x，y）.=（﹣4，3），=（4，0），∴=（x，y）•（0，3）=3y∵0≤y≤3，∴0≤3y≤9故答案为919．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的一段图象如图所示，△ABC的顶点A与坐标原点重合，B是f（x）的图象上一个最低点，C在x轴上，若内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且△ABC的面积满足S=，将f （x）的图象向右平移一个单位得到g（x）的图象，则g（x）的表达式为﹣cos（x）．【解答】解：由题意可得S=•AC•1=b，△ABC的顶点A与坐标原点O重合，B是f（x）的图象上一个最低点，∴ccosA=①．又12S=b2+c2﹣a2，∴6b=b2+c2﹣a2，由余弦定理知，6b=2bccosA，∴c•cosA=3 ②．由①②得：c•cosA=3=，∴T=4，∴=4，∴ω=，∴函数f（x）=sin x，将f（x）右移一个单位得到g（x）=sin[（x﹣1）]=sin（x﹣）=﹣cos（x），故答案为：﹣cos（x）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，且b=2，a=1，sin．（1）求c；（2）求sinA的值．【解答】解：（1）∵sin=，∴cosC=1﹣2sin2=，∵a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣2×1×2×=1+4﹣3=2，则c=；（2）∵c=，a=1，sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．21．（12分）已知向量=（﹣2，4），=（3，﹣1），=（m，﹣4）．（1）当m=﹣3时，求向量与夹角的余弦值；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．【解答】解：（1）当m=﹣3时，=（﹣3，﹣4），∵量=（﹣2，4），=（3，﹣1），∴=（5，﹣5），=（﹣6，﹣3），∴=5×（﹣6）+（﹣5）×（﹣3）=﹣15，||=5，=3，∴cos＜，＞===﹣，（2）由（1）知=（5，﹣5），=（m+2，﹣8），∵∠A为直角，∴⊥，∴•=0，即5（m+2）+40=0，解得m=﹣1022．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求tan（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．【解答】解：（1）由条件得cosα=，cosβ=…2分∵角α，β为锐角，∴sinα=，sinβ=，∴tanα=，tanβ=…6分tan（α﹣β）===…8分（2）∵tan（α+β）===1…10分又α，β为锐角，0＜α+β＜π，∴α+β=…12分23．（12分）已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（c osβ，sinβ）．（1）求证：+与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．【解答】解：（1）证明：、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），．∴+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∴（+）•（﹣）=（cos2﹣cos2β）+（sin2α﹣sin2β）=（cos2α+sin2α）﹣（cos2β+sin2β）=1﹣1=0，∴+与﹣垂直；（2）∵=（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2+2cos（α﹣β），且β=，|+|=，∴2+2cos（α﹣）=，解得cos（α﹣）=；又α∈（﹣，），∴α﹣∈（﹣，0），∴sin（α﹣）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=﹣×+×=﹣．24．（12分）已知x∈R，向量=（acos2x，1），=（2，asin 2x﹣a），f（x）=•，a≠0．（1）求函数f（x）的解析式，并求当a＞0时，f（x）的单调增区间；（2）（文科做）当a=1，x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．（理科做）当x∈[0，]时，f（x）的最大值为5，求a的值．【解答】解：（1）f（x）=•=2acos2x+asin 2x﹣a=a（cos2x+sin2x）=2acos （2x﹣），a＞0，令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）（文科做）当a=1，x∈[0，]时，则2x﹣∈[﹣，]，2acos（2x﹣）=2cos（2x﹣）∈[﹣，2]，即函数f（x）的值域为[﹣，2]．（理科做）当x∈[0，]时，则2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[﹣，1]，当a＞0时，f（x）=2acos（2x﹣）的最大值为2a=5，∴a=．当a＜0时，f（x）=2acos（2x﹣）的最大值为﹣a=5，∴a=﹣=﹣．25．（12分）（文科做）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，且b2=a2+c2+ac．=，求a的值；（1）若b=，S△ABC（2）求的值．【解答】解：△ABC中，b2=a2+c2+ac，∴cosB===﹣；又B∈（0，π），∴B=；（1）∵b=，∴b2=21=a2+c2+ac①，=acsinB=ac•sin=②，又S△ABC由①②组成方程组，解得或，∴a的值为4或1；（2）∵B==120°，∴A+C=60°，∴====．26．（理科做）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且•=0．（1）若b=，S=，求a的值；△ABC（2）若b=，求△ABC外接圆半径长及△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）△ABC中，∵=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且•=（2a+c）cosB+bcosC=0，∴再利用正弦定理可得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB=﹣sin（B+C）=﹣sinA，∴cosB=﹣，∴B=．由正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2R==．∵S=ac•sinB=ac•=，∴ac=4 ①．△ABC∵b=，再利用余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2+ac=21②，由①②求得a=4，或a=1．（2）由（1）可得B=，∵b=，设△ABC的外接圆的圆心为O，由余弦定理可得b2=3=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2+ac≥3ac，∴ac≤1，故△ABC面积为S=•ac•sinB≤•1•=，故△ABC面积为S的最大值为．。
四川省资阳中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
高2015级第二学期文科数学半期试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a 与b 共线，则x 等于( )A ．4B ．4-C ．1-D ．2 2．在等差数列{}n a 中，若134=a ，257=a ，则公差d 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3.若d c b a >>,，则下列命题中正确的是( )A ．d b c a ->-B ．cbd a > C ． bd ac > D ．b d a c +>+4. 若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 （ ）A ．30° B．60° C．120°D ．150°5. 已知等差数列{}n a 一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．126. 若数列{}n a 中，n a n 343-=，则n S 取得最大值时n 的值是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 14或157. 在ABC ∆中,c b a 、、分别为三个内角C B A 、、所对的边,设向量),(),,(a c b n a c c b m +=--=，若向量n m ⊥，则角A 的大小为（ ）A ．6π B ．32π C ．2π D ．3π 8. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(),n n S ()*n N ∈在函数()232f x x x =-的图像上，则{}n a 的通项公式是（ ）A ．65n a n =-B ．232n a n n =- C ．32n a n =- D ．61n a n =+9．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则)(AC AB AP +⋅（ ） A ．有最大值为8 B ．是定值6 C ．有最小值为2 D ．与P 点的位置有关 10．下列说法中，正确的个数为（ ） （1）AB MB BC OMCO AB ++++=（2）已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是0k < （3）若向量1213(2,3),(,)24e e =-=-不能作为平面内所有向量的一组基底 （4）若//a b ，则a 在b 上的投影为||aA ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③④11．在等差数列{}n a 中，12014a =-，其前n 项和为n S 若2012102002201210S S -=则2016S 的值等于（ ）A ．2013B ．2014-C ．2016D ．2015-12． 记实数b a ,中的最大数为},max{b a ，定义数列{}n a ：}2,max {2nn n a =，则数列{}n a 的前10项和为（ ）A ．2046B ．2047C ．2048D ．2049第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式062<--x x 的解集是14．已知12,e e 是夹角为23π的两个单位向量，12122,a e e b ke e =-=+，若0a b ⋅=，则k 的值为________．15．三角形ABC 中，21,7,53cos -=⋅==a B ，则角C =_________ 16．已知数列{}n a 满足(,01)nn a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是（ ） ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项. 其中正确的是 （把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(8分) 设)6,8(),,5(),3,(),1,1(===-=y x ，且⊥+)4(,//. (1)求和; (2)求在方向上的投影．18．（12分）已知数列{n a }是等差数列，且满足：1236a a a ++=，55a =。
《解析》四川省成都市双流中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析
2015-2016学年四川省成都市双流中学高一（上）期中数学试卷一、选择题.本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}2．下列函数中与函数y=x相等的是（）A．y=|x|B．C．D．3．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A．y=2x+1 B．y=x2 C．y= D．y=x|x|4．函数y=，x∈[﹣3，3]的值域为（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[0，3]D．（0，3]5．已知函数f（x）=，若f（f（0））=6m，则实数m等于（）A．B．C．1 D．66．二次函数f（x）=x2﹣2mx+3，在区间[﹣1，2]上不单调，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[﹣1，2]7．如图所示是南京青奥会传递火炬时，火炬离主会场距离（y）与传递时间（x）之间的函数关系的图象，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是（）A．B．C．D．8．若∅⊊{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）9．函数y=|a|x﹣（a≠0且a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．10．已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=2ab，则实数k的值为（）A．18 B．18 或﹣18 C．或D．11．函数y=（x﹣4）|x|在[a，4]上的最小值为﹣4，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，2]C．D．12．设函数f（x）=2﹣，则使得f（x2+x+2）＞f（﹣x2+x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣，+∞）D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上.13．若f（x）=，则f（x）的定义域是．14．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．15．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，则a+b=．16．对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称函数g（x）为函数f（x）在区间D上的一个“覆盖函数”，设f（x）=2x，g（x）=2x，若函数g（x）为函数f（x）在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则2|m﹣n|的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.17．计算下列各式的值：（1）（）﹣（）+（0.2）﹣2×；（2）．18．已知一次函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=2x+3对任意实数x都成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）是定义在区间[﹣1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，g（x）=f （x），求g（x）的解析式．19．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|x＞2}，全集U=R．（1）求（∁U B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．20．双流中学食堂旁边有一块矩形空地，学校想要在这块空地上修建一个内接四边形EFGH花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞10），BC=10，且AE=AH=CG=CF，设AE=x，花坛EFGH的面积记为S （x）．（1）求S（x）的解析式，并指出这个函数的定义域；（2）当x为何值时，花坛面积S（x）最大？并求出最大面积．21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）用定义证明：f（x）在R上是减函数；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年四川省成都市双流中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{2，3}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】根据题意和交集的运算直接求出A∩B．【解答】解：因为集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，所以A∩B={2，3}，故选：A．2．下列函数中与函数y=x相等的是（）A．y=|x|B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】通过函数的定义域与函数的值域，以及对应法则，判断选项即可．【解答】解：对于A，y=|x|=，与函数y=x的对应关系不同，不是相等函数；对于B，y==x（x∈R），与函数y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等的函数；对于C，y==|x|，与函数y=x的对应关系不同，不是相等的函数；对于D，y==x（x≠0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等的函数．故选：B．3．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A．y=2x+1 B．y=x2 C．y= D．y=x|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，以及反比例函数、二次函数的单调性及分段函数单调性的判断即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2x+1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x2是偶函数，∴该选项错误；C．反比例函数在定义域内没有单调性，∴该选项错误；D．y=x|x|的定义域为R，且（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|；∴该函数为奇函数；；∴y=x|x|在（﹣∞，0），[0，+∞）上单调递增，且02=﹣02；∴该函数在定义域R内是增函数，∴该选项正确．故选：D．4．函数y=，x∈[﹣3，3]的值域为（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．[0，3]D．（0，3]【考点】函数的值域．【分析】由x的范围求出9﹣x2的范围，则函数值域可求．【解答】解：∵﹣3≤x≤3，∴0≤x2≤9，则0≤9﹣x2≤9，∴0．即函数y=，x∈[﹣3，3]的值域为[0，3]．故选：C．5．已知函数f（x）=，若f（f（0））=6m，则实数m等于（）A．B．C．1 D．6【考点】函数的值．【分析】由分段函数的性质先求出f（0）=2，再求出f（f（0））=f（2）=4+2m，由此根据f（f（0））=6m，得4+2m=6m，从而能求出m．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20+1=2，∴f（f（0））=f（2）=4+2m，∵f（f（0））=6m，∴4+2m=6m，解得m=1．故选：C．6．二次函数f（x）=x2﹣2mx+3，在区间[﹣1，2]上不单调，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[﹣1，2]【考点】二次函数的性质．【分析】若二次函数f（x）=x2﹣2mx+3，在区间[﹣1，2]上不单调，则函数图象的对称轴在（﹣1，2）上，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2mx+3的图象是开口朝上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，若在区间[﹣1，2]上不单调，则m∈（﹣1，2），故选：A7．如图所示是南京青奥会传递火炬时，火炬离主会场距离（y）与传递时间（x）之间的函数关系的图象，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确．【解答】解：根据函数图象可知，火炬传递的路线先逐渐远去，有一段时间距离不变说明火炬传递的路线是一段弧线，之后回到主会场的位置，分析四个选项只有D 符合题意．故选D ．8．若∅⊊{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合关系即可得到结论．【解答】解：∵∅⊊{x |x 2≤a ，∴a ≥0，故选：B9．函数y=|a |x ﹣（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：当|a |＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A ，B当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣＜0，故排除C．故选：D．10．已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=2ab，则实数k的值为（）A．18 B．18 或﹣18 C．或D．【考点】对数的运算性质．【分析】由2a=3b=k（k≠1），知a=log2k，b=log3k，得到=log k2，=log k3，代值计算即可．【解答】解：∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，∴=log k2，=log k3，∵2a+b=ab，∴+=log k9+log k2=log k18=2，∴k=3．故选：D．11．函数y=（x﹣4）|x|在[a，4]上的最小值为﹣4，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，2]C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先作出函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的图象，结合函数图象，欲使函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤2上的最小值为﹣1，则x A≤a≤x B，从而求出所求【解答】解：y=（x﹣4）|x|=，作出函数y=（x﹣2）|x|在a≤x≤4上的图象，令（x﹣4）|x|=﹣4，当x≥0时，x2﹣4x=﹣4，解得x B=2，当x＜0时，﹣x2+4x=﹣4，解得x A=2﹣2，结合函数图象，欲使函数y=（x﹣4）|x|在[a，4]上的最小值为﹣4，则x A≤a≤x B，即实数a的取值范围为，故选：A12．设函数f（x）=2﹣，则使得f（x2+x+2）＞f（﹣x2+x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣，+∞）D．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|x2+x+2|＞|﹣x2+x﹣1|，解绝对值不等式即可．【解答】解：f（x）=2﹣定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=2﹣单调递增，根据偶函数性质可知：得f（x2+x+2）＞f（﹣x2+x﹣1）成立，∴|x2+x+2|＞|﹣x2+x﹣1|，∴x2+x+2＞x2﹣x+1，∴x的范围为（﹣，+∞）故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上.13．若f（x）=，则f（x）的定义域是{x|x≥﹣2} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2，故函数f（x）的定义域是{x|x≥﹣2}，故答案为：{x|x≥﹣2}．14．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．15．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，则a+b=．【考点】偶函数．【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义f（x）=f （﹣x），求出b的值后求a+b的值．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，∴a﹣1+2a=0，解得a=，由f（x）=f（﹣x）得，b=0，即a+b=．故答案为：．16．对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称函数g（x）为函数f（x）在区间D上的一个“覆盖函数”，设f（x）=2x，g（x）=2x，若函数g（x）为函数f（x）在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则2|m﹣n|的最大值为2．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由2|m﹣n|的最大值，知需找|m﹣n|的最大值，由2x≤2x恒成立，知1≤x≤2，所以得|m﹣n|最大为1，所以2|m﹣n|的最大值为2．【解答】解：求解2|m﹣n|的最大值，即为寻找|m﹣n|的最大值，∵f（x）=2x，g（x）=2x，要想对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，即2x≤2x恒成立，则1≤x≤2，∴区间[m，n]的最大跨度为2﹣1=1，∴2|m﹣n|的最大值为2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.17．计算下列各式的值：（1）（）﹣（）+（0.2）﹣2×；（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】分别根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解（1）：=﹣+3=；（2）原式==﹣5log32+5log32﹣2﹣3=﹣518．已知一次函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=2x+3对任意实数x都成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）是定义在区间[﹣1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，g（x）=f （x），求g（x）的解析式．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设f（x）=kx+b（k≠0），由f（x+1）+f（x）=2x+3，即可得到，解得即可．（2）设x＜0，利用函数是偶函数，得到﹣x＞0，然后代入求解即可．【解答】解（1）：设f（x）=kx+b（k≠0），由f（x+1）+f（x）=2x+3，得k（x+1）+1+kx+b=2x+3∴，解得k=1，b=1，∴f（x）=x+1，x∈R，（2）设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∵x∈[0，1]时，g（x）=f（x）=x+1，∴g（﹣x）=﹣x+1，又因为g（x）为偶函数∴g（﹣x）=g（x）=﹣x+1∴．19．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|x＞2}，全集U=R．（1）求（∁U B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）化简A=[1，3]，B={x|x＞2}=（2，+∞），从而求得；（2）分类讨论，从而确定a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|3≤3x≤27}=[1，3]，B={x|x＞2}=（2，+∞），故（∁U B）∪A=（﹣∞，2]∪[1，3]=（﹣∞，3]；（2）①当a≤1时，C=∅，此时C⊆A；②当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3；综合①②，可得a的取值范围是（﹣∞，3]．20．双流中学食堂旁边有一块矩形空地，学校想要在这块空地上修建一个内接四边形EFGH花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞10），BC=10，且AE=AH=CG=CF，设AE=x，花坛EFGH的面积记为S （x）．（1）求S（x）的解析式，并指出这个函数的定义域；（2）当x为何值时，花坛面积S（x）最大？并求出最大面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）先求得四边形ABCD，△AHE，△BEF的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．=S△CFG=x2，S△BEF=S△DGH=（a﹣x）（10﹣x）．【解答】解：（1）S△AEHS（x）=S ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣（a﹣x）（10﹣x）=﹣2x2+（a+10）x由，得0＜x≤10∴S（x）=﹣2x2+（a+10）x，x∈（0，10]…（2）由（1）知f（x）=﹣2x2+（a+10）x=因为a＞10，若≤10，即10＜a≤30，S（x）max=S（）=综上所述，10＜a≤30时，S（x）max=S（）=；当a＞30，x=10时，S（x）max=S（10）=10a﹣100…21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）用定义证明：f（x）在R上是减函数；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，从而有f（0）=0，这样便可求出a=1；（2）可求得，根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性便可证明f（x1）＞f（x2），这样即可证出f（x）在R上是减函数；（3）根据f（x）为R上的奇函数且为减函数便可由条件得出对任意的恒成立，可设g（x）=，并可令，从而可得到，这样便可求出h（t）在的最小值，即得出g（x）的最小值，从而便可得出k的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）是奇函数且定义域为R可得f（0）=0；即；∴a=1；∴；（2）由（1）知，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：=；∵x1＜x2，y=2x在R上递增；∴＞0；，，；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递减；（3）因f（x）是奇函数，从而不等式：f（kx2）+f（2x﹣1）＞0等价于f（kx2）＞f（1﹣2x）；因f（x）为减函数，由上式推得：kx2＜1﹣2x；即对一切有：恒成立；设，令，t；则有；∴g（x）min=h（t）min=g（1）=﹣1；∴k＜﹣1，即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．22．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．2017年1月15日。
【全国百强校】四川省石室中学2015届高三一诊模拟数学(理)试题
考试时间：120分钟 总分 150分一．选择题（第题5分，共50分）1.已知集合{}-2A x x =≥，集合{}24B x x =≤，则集合()R B A ⋂=ð（） A.()2∞，+ B.[)2∞，+ C.()()2-∞⋃∞，-2，+ D.(][)22-∞⋃∞，-，+2.已知a b ，均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -=（） A.1 B.3 C.32D.123.设a b R ∈，，i 是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（）A ．21B ．26C ．30D ．555．已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（）A ．若,,m n m α⊥∥则n α⊥B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m n α⊥，，∥则αβ⊥D ．若m n ααβ⋂=，∥，则m n ∥ 6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（） A ．2B ．3226+ C.32222++D.3222+7．函数()2232xlog e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间()12，内，则实数a 的取值范围是（） A ．()13， B ．()12，C ．()03，D ．()02， 开P=1，n=1n=n+P=P+n 2P>20?输出P结束是 否俯视图侧视图正视图211138．将标号为123456，，，，，的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为12，的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（） A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种9．点F 为椭圆()222210b x y a ba +>>=的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（） A ．22B ．32C ．312-D ．31-10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2xb x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（） （1）()()1234100661x x x x <<--<<或；（2）()()1234100661x x x x <<--<>且； （3）123499125x x x x <<<<或；（4）1234925361x x x x <<<<且。
【全国百强校】四川省双流中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0,1,2,3A =,集合{}2,3,4B =,则AB =（ ）A. {}2,3B. {}0,1C. {}0,1,4D. {}0,1,2,3,4 【答案】A 【解析】 试题分析：{}2,3AB =，故选A.考点：集合的运算.2.下列函数中x y =与函数相等的是（ ） A ． x y = B ．33x y = C ． 2x y = D ． xx y 2= 【答案】B考点：函数三要素.3．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．12+=x y B ．2x y = C ．xy 1= D ．x x y = 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，函数12+=x y 为非奇非偶函数，对于B ，函数2x y =为偶函数，对于C ，函数xy 1=在定义域内不为增函数，故选D. 考点：函数的性质.4.函数[]3,3x y ∈-=的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．[)3,+∞ C ．[]0,3 D ．(]0,3 【答案】C 【解析】试题分析：由33≤≤-x ，得902≤≤x ，则9902≤-≤x ，所以3902≤-≤x ，即函数29x y -=，]3,3[-∈x 的值域为[]0,3，故选C.考点：求函数值域.5.()()2211()06,,1x x f x f f m m x mx x ⎧+<==⎨+≥⎩，已知函数，若则实数等于（ ）A.51B. 45 C ．1 D ．6【答案】C 【解析】试题分析：由函数关系式，212)0(0=+=f ，则()()m m f f f 622)2(02=+==，解得1=m ，故选C.考点：分段函数求值.6.()[]上在区间二次函数2,1-,32-2+=mx x x f 不单调，m 则实数的取值范围是（ ） A ．()21-， B ．[)∞+，1- C ．(]2-，∞ D ．[]2,1- 【答案】A考点：二次函数的单调性.7．如下图所示是南京青奥会传递火炬时，火炬离主会场距离(y )与传递时间(x )之间的函数关系的图象，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：由所给函数图象可知，随着时间推移，火炬离主会场先逐渐远离后保持不变，最后逐渐传回主会场，故选D. 考点：函数的图象.8．若2{|,}x x a a ⊂∅≤∈≠R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,0)-∞【答案】B考点：集合与集合之间的关系. 9．1(0,1)xy a a a a=-≠≠函数且的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：当1||>a ，此时函数单调递增，又1||10<<a ，故函数||1||a a y x -=图象应经过一、二、三象限，排除A 、B ，当1||<a 且不为0时，函数单调递减，此时1||1>a ，图象应经过二、三、四象限，故选D. 考点：1、指数函数的图象；2、图象的平移.10．已知23(1)a b k k ==≠，且22a b ab +=，则实数k 的值为（ ）A.18B.18 或-18 C.-D. 【答案】D考点：1、指数与对数互化；2、对数运算.【思路点睛】本题主要考查指数与对数的互化及对数运算.解答过程中，注意对所给条件的观察，由于k a 2log =与k b 3log =底数不一致，常需要转化为底数一致后才继续进行计算，故利用换底公式将两者转化为2log 1k a =，3log 1k b=，进而对另一条件进行等价变形，等价代换后建立方程，从而解出k 的值. 11．函数(4)y x x =-在[],4a 上的最小值为4-，则实数a 的取值范围是（ ） A．22-⎡⎤⎣⎦ B ．(],2-∞ C．)22-⎡⎣D．()22-【答案】A 【解析】试题分析：函数⎩⎨⎧<--≥-=-=0,)4(0,)4(||)4(x x x x x x x x y ，作出图象，如图，可知当0≥x 时，函数2=x 处取4-=y ，且在区间),[0+∞x 函数有最小值4-，此时4)4(00-=--x x ，解得2220-=x （2220+=x 舍去），故当20≤≤a x ，即2222≤≤-a 时，函数在[],4a 上的最小值为4-，故选A.考点：分段函数的最值.【方法点睛】本题主要考查分段函数的最值，属容易题.解决函数关系式中带有绝对值的问题，通常分情况将解析式中的绝对值去掉，从而得出分段函数，由函数类型或特征，结合图象或性质，对相关自变量或函数值进行分析.本题主要借助二次函数的图象，其最值往往与函数顶点有关，如图象中点)4,2(-，结合题给区间和最小值，易得20≤≤a x . 12．()()的取值范围成立的，则使得设函数x x x f x x f x x f x 12321322221-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+ 是（ ）A ．3,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ． 3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．3,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．33,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C考点：1、函数性质；2、二次函数的值域；3、解不等式.【方法点睛】本题主要考查函数的性质.在对一些较为复杂的函数分析中，常常借助函数的常见性质，如单调性，奇偶性、周期性等进行判断，由所得函数性质简化运算.本题关键在于对函数性质的判断，其关系式中有明显的偶函数标志，如||x 、2x ，故可先由函数奇偶性入手进行判断，又对于)()(b f a f >（或)()(b f a f <）的不等式类型，解答中常借助函数单调性将不等式中的 “f ”去掉，故常可进而判断函数的单调性.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.()()．________2的定义域为，则若x f x x f +=【答案】[)2,-+∞ 【解析】试题分析：令02≥+x ，解得2-≥x . 考点：函数的定义域.14.已知{}20,1,x x ∈，则实数x 的值是________．【答案】1-考点：1、元素与集合的关系；2、集合的性质.15.()[]=+-++++=b a a a b a bx ax x f ，则上的偶2,1是定义132函数在，已知函数___． 【答案】31【解析】试题分析：由已知，)()(x f x f =-且a a 21=-，得0=b ，31=a ，故31=+b a . 考点：偶函数概念.【思路点睛】由偶函数定义“函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么)(x f 就叫做偶函数．”可知，函数具有奇偶性的前提为函数定义域应关于原点对称，则a a 21=-，由)()(x f x f =-，奇次项系数应为0，故0=b ，由此可得31=+b a . 16．对于函数()f x ，如果存在函数()()g x ax b a b ＝＋，为常数，使得对于区间D 上的一切实数x 都有()()f x g x ≤成立，则称函数()g x 为函数()f x 在区间D 上的一个“覆盖函数”，设()()22x f x g x x ＝，＝，若函数()g x 为函数()f x 在区间[]m n ，上的一个“覆盖函数”，则||2m n －的最大值为________． 【答案】2 【解析】试题分析：由题给“覆盖函数”的定义，可知当x x22≤时，函数()g x 为函数()f x “覆盖函数”，解得21≤≤x ，可知，当[]m n ，]2,1[⊆时，满足题意，故m 最小取为1，n 最大取为2，所以||2m n －最大为22|21|=-.考点：新定义概念理解.【思路点睛】本题主要考查对新定义概念理解，属于容易题.首先充分理解题给“覆盖函数”的内涵，结合()()f x g x ≤，可建立不等式x x 22≤，解不等式时，可先利用x x 22=解出1=x 或2，结合函数x y 2=与x y 2=的图像可知，21≤≤x ，进而确定m 、n 的可能取值，求解最值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题共10分）计算下列各式的值：（1） ()21322274930.28925--⎛⎫⎛⎫-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 3log 3955932log 4log 5-+- 【答案】（1）910；（2）5-.考点：1、指数运算性质；2、对数运算性质.18.（本题满分12分）已知一次函数()f x 满足()()321+=++x x f x f 对任意实数x 都成立．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若)(x g 是定义在区间]1,1[-上的偶函数，当[]0,1x ∈时，)()(x f x g =，求)(x g 的解析式． 【答案】（1）1)(+=x x f ，)(R x ∈；（2）⎩⎨⎧<≤-+-≤≤+=01,1101)(x x x x x g ，.考点：求解函数解析式.19．（本小题满分12分）已知集合}2733|{≤≤=xx A ，{}2B x x =>，全集R U =． （1）求A B C U )(；（2）已知集合{}1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）}3|{≤x x ；（2）]3,(-∞. 【解析】试题分析：（1）解不等式2733≤≤x，可得集合}31|{≤≤=x x A ，又}2|{)(≤=x x B C U ，所以A B C U )(}3|{≤=x x ；（2）由C A ⊆，结合数轴，可知集合C 右端点a 应在3（包括3）的左边.试题解析：（1）}31|{}2733|{≤≤=≤≤=x x x A x,{}2B x x => ………3分A B C U )(}3|{}31|{}2|{≤=≤≤≤=x x x x x x ………………………6分（2）①当1a ≤时，C =∅，此时C A ⊆； ………………………………8分 ②当1a >时，C A ⊆，则1a 3<≤ ………………………………10分 综合①②，可得a 的取值范围是(]3，∞- ………………………………12分 考点：集合的运算.20.（本小题满分12分）双流中学食堂旁边有一块矩形空地，学校想要在这块空地上修建一个内接 四边形EFGH 花坛（如下图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知()10AB a a =>，10BC =，且 AE AH CG CF ===，设AE x =，花坛EFGH 的面积记为()S x ．（1）求()S x 的解析式，并指出这个函数的定义域； （2）当x 为何值时，花坛面积()S x 最大？并求出最大面积.【答案】（1）()()(]2210,0,10S x x a x x =-++∈；（2）当410,3010+≤<a x=a 时，()8)(2max b a x S +=；当10,30=>x a 时，()10010max -=a x S .考点：函数的应用.21．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数122)(++-=x x ax f 是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）用定义证明：)(x f 在R 上是减函数；（3）若对于任意1[,3]2x ∈都有2()(21)0f kx f x +->成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1=a ；（2）证明见解析；（3）1-<k . 【解析】试题分析：（1）由函数在R 上为奇函数，可得0)0(=f ，解得1=a ；（2）由（1）知()12212121++-=+-=xx x x f ，任取12,x x R ∈，且21x x <，作差法证明21()()0f x f x -<即可；（3）由奇函数先将不等式2()(21)0f kx f x +->化为)21()(2x f kx f ->，借助)(x f 在R 上为减函数可得x kx 212-<，参变分离得212x k x -<，令221)(x x x g -=，1[,3]2x ∈，求函数)(x g 的最小值，则当min )(x g k <时满足题意.考点：1、函数奇偶性；2、函数单调性证明；3、利用函数性质解不等式.【方法点睛】本题主要考查函数的性质.在对一些较为复杂的函数分析中，常常借助函数的常见性质，如单调性，奇偶性、周期性等进行判断，由所得函数性质简化运算.本题利用奇函数在R 上满足0)0(=f ，解出a 值，由此得出函数关系式，进而利用函数单调性定义证明函数为减函数，对于)()(b f a f >（或)()(b f a f <）类型的不等式，解答中常借助函数单调性将不等式中的 “f ”去掉，简化为对a 与b 的大小比较.22.（本题满分12分）已知函数()R.x,a x a x x f ∈+-=22（1）若0=a ，判断)(x f y =的奇偶性，并加以证明；（2）若函数)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2a ∈-，使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取 值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）11a -≤≤；（3）918t <<.（3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根．考点：1、函数奇偶性；2、分段函数的单调性；3、函数与方程.【思路点睛】本题主要考查函数与方程的应用，属于困难题.为使得函数易于分析，先将函数关系式中的绝对值去掉，从而得出分段函数，利用二次函数对称轴两侧函数单调性相反，可解出函数在R 上递增时a 的取值范围；而当方程()(2)0f x tf a -=即()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根时，结合[]2,2a ∈-，可知a 应满足)1,2[--∈a 或]2,1(∈a ，结合函数图象的画法，可知当1a >时，(2)(2)(1)f a tf a f a <<+，当1a <-时，(1)(2)(2)f a tf a f a -<<，各自求出t 的取值范围.：。
【精编】2015-2016年四川省成都市石室中学高一(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2015-2016学年四川省成都市石室中学高一（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{2，3，5}D．{2，3，5，8}2．（5.00分）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＞13．（5.00分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）A．B．C．D．44．（5.00分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．35．（5.00分）若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是（）A．B．C． D．6．（5.00分）如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．187．（5.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（5.00分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度9．（5.00分）（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5.00分）已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（）A． B．C．（1，+∞）D．11．（5.00分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．4 B．4 C．5 D．512．（5.00分）球O为边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为（）A．πB．πC．πD．π一、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5.00分）过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．14．（5.00分）设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过原点的直线交椭圆于A、B两点，AF2⊥BF2，|AF2|=6，|BF2|=8，则椭圆C的方程为．15．（5.00分）设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N．若直线MN的斜率为，则C的离心率等于．16．（5.00分）实数a、b、c满足a2+b2+c2=5．则6ab﹣8bc+7c2的最大值为．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=10，a n+1=9S n+10．（Ⅰ）求证：{a n}是等比数列；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．19．（12.00分）已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）动点Q的轨迹上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，求直线MN的方程．20．（12.00分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC ﹣b﹣c=0．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求b+c的取值范围．21．（12.00分）设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求证：|AB|=a；（Ⅱ）求椭圆的离心率；（Ⅲ）设点P（0，﹣1）满足=0，求E的方程．22．（12.00分）已知椭圆C：的左右焦点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过椭圆C上一点（x0，y0），与椭圆C相切的直线方程为=1．过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M，求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP与直线x=﹣2交于点N，求证：为定值．2015-2016学年四川省成都市石室中学高一（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{2，3，5}D．{2，3，5，8}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={1，3，4，6，7}，∴∁U B═{2，5，8}，又集合A={2，3，5}，∴A∩∁U B={2，5}，故选：B．2．（5.00分）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＞1【解答】解：y=是单调减函数，，可得a＞b＞0，∴3a﹣b＞1．故选：D．3．（5.00分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设F点的坐标为（﹣，0）所以点P的坐标为（﹣，），所以=．根据椭圆的定义可得，所以．故选：C．4．（5.00分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．5．（5.00分）若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：曲线x=即x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y=x+b经过点A（0，1）时，求得b=1，当直线y=x+b经过点B（1，0）时，求得b=﹣1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=x+b的距离等于半径，可得=1，求得b=﹣，或b=（舍去）．故当直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣，故选：D．6．（5.00分）如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．18【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为2+=3，底边上的高为：，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选：B．7．（5.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB 1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．8．（5.00分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度【解答】解：∵y=3cos2x=3sin（2x+）=3sin[2（x+）+]，∴把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的向左平移个单位，可得函数y=3cos2x 的图象，故选：C．9．（5.00分）（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN，则∵MN∥BB1，MN=BB1，∴四边形BB1NM是平行四边形，可得B1N∥BM因此，∠AB1N（或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角∵Rt△B1C1N中，B1C1=2，C1N=1，∴B1N=∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=又∵正方形AA1B1B中，AB1=2∴△AB1N中，cos∠AB1N==0，可得∠AB1N=90°即异面直线AB1和BM所成角为90°故选：A．10．（5.00分）已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（）A． B．C．（1，+∞）D．【解答】解：∵函数f（x）=ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，两边平方得x2＞（2x﹣1）2，即3x2﹣4x+1＜0，解得＜x＜1；∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（，1）．故选：A．11．（5.00分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．4 B．4 C．5 D．5【解答】解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OM2=3．四边形ABCD的面积为：S=AC•BD=•2•2=2•≤4﹣+4﹣=5，当且仅当d12 =d22时取等号，故选：C．12．（5.00分）球O为边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，∴O到过D，C，N的平面的距离为，∴截面圆的半径为=，∴点P的轨迹周长为．故选：D．一、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5.00分）过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．【解答】解：连接OA，OB，PO则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°∴===故答案为：14．（5.00分）设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过原点的直线交椭圆于A、B两点，AF2⊥BF2，|AF2|=6，|BF2|=8，则椭圆C的方程为=1．【解答】解：如图所示，由椭圆的对称性可得：OA=OB，又F1O=F2O，∴四边形AF1BF2是平行四边形，又AF2⊥BF2，∴四边形AF1BF2是矩形，∵|AF2|=6，|BF2|=8，∴|F1F2|==10=2c，2a=6+8，解得c=5，a=7．∴b2=a2﹣c2=24．∴椭圆C的方程为=1．故答案为：=1．15．（5.00分）设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N．若直线MN的斜率为，则C的离心率等于．【解答】解：如图所示，把x=c代入椭圆方程可得：=1，解得y=，可得M．∴==，化为3ac=2b2=2（a2﹣c2），化为2e2+3e﹣2=0，又0＜e＜1，解得e=．故答案为：．16．（5.00分）实数a、b、c满足a2+b2+c2=5．则6ab﹣8bc+7c2的最大值为45．【解答】解：因为5=a2+b2+c2=a2+（+）b2+（+）c2=（a2+b2）+（b2+c2）+c2≥|ab|+|bc|+c2≥ab﹣bc+c2=[6ab﹣8bc+7c2]，所以，6ab﹣8bc+7c2≤9×5=45，即6ab﹣8bc+7c2的最大值为45，当且仅当：a2=b2，b2=c2，解得，a2=，b2=，c2=，且它们的符号分别为：a＞0，b＞0，c＜0或a ＜0，b＜0，c＞0．故答案为：45．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=10，a n+1=9S n+10．（Ⅰ）求证：{a n}是等比数列；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．=9S n+10，∴a n=9S n﹣1+10，【解答】证明：（Ⅰ）∵a n+1﹣a n=9a n，∴a n+1=10a n，（n≥2）；∴a n+1∵a1=10，a2=9S1+10=90+10=100，a3=9S2+10=990+10=1000；故数列{a n}是以10为首项，10为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=10n，lga n=n，故b n===2（﹣），故T n=2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）=．18．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt△ABD中，AD=，AB=2，sin∠ABD==，∠ABD=60°，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．在Rt△ABA 1中，AA1=AB•tan60°=2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），P（1，1，0），A1（0，2，2），，=（0，2，2），，设平面PA1B的一个法向量，则，即，得，设平面CA1B的一个法向量，则，即，得，，∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…（12分）19．（12.00分）已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）动点Q的轨迹上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，求直线MN的方程．【解答】解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）（1分）∴=（x﹣x0，y），=（0，y0）（2分）又，∴x0=x，y0=y（4分）∵P在⊙O上，故x02+y02=9，∴（5分）∴点Q的轨迹方程为（6分）（2）假设椭圆上存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），关于点E（1，1）对称，则E（1，1）是线段MN的中点，且有x1+x2=2，y1+y2=2M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆，作差，整理可得k MN=﹣∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2﹣104x﹣155=0则△＞0有实根∴椭圆上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，此时直线MN的方程为4x+9y ﹣13=0（14分）20．（12.00分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC ﹣b﹣c=0．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0，∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，∵sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，则4=b2+c2﹣bc，∴（b+c）2﹣3bc=4，即3bc=（b+c）2﹣4≤3[（b+c）]2，化简得，（b+c）2≤16（当且仅当b=c时取等号），则b+c≤4，又b+c＞a=2，综上得，b+c的取值范围是（2，4]．21．（12.00分）设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求证：|AB|=a；（Ⅱ）求椭圆的离心率；（Ⅲ）设点P（0，﹣1）满足=0，求E的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，由椭圆定义可得，|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，即3|AB|=4a，则|AB|=a．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（﹣c，0），l：x=y﹣c，代入椭圆C的方程，整理得（a2+b2）y2﹣2b2cy﹣b4=0，（*）则|AB|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=2（y1﹣y2）2=2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=2[（）2+]=[c2+a2+b2]=•2a2，于是有a=•a，化简得a=b，即b=c，即有e==；（Ⅲ）由=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2=2，即|PA|=|PB|，由（Ⅱ）有b=c，方程（*）可化为3y2﹣2by﹣b2=0，设AB中点为M（x0，y0），则y0=（y1+y2）=b，又M∈l，于是x0=y0﹣c=﹣b，由|PA|=|PB|，知PM为AB的中垂线，k PM=﹣1，由P（0，﹣1），得﹣1=，解得b=3，a2=18，故椭圆C的方程为+=1．22．（12.00分）已知椭圆C：的左右焦点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过椭圆C上一点（x0，y0），与椭圆C相切的直线方程为=1．过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M，求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP与直线x=﹣2交于点N，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形，可得2c=a=4，∴c=2，b===2，∴椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）设P（x0，y0），由（Ⅰ），F1（﹣2，0），设P（x0，y0），M（x，y），过椭圆C上过P的切线方程为：+=1，①直线F 1P的斜率=，则直线MF1的斜率=﹣，于是直线MF1的方程为：y=﹣（x+2），即yy0=﹣（x0+2）（x+2），②①、②联立，解得x=﹣8，∴点M的轨迹方程为x=﹣8；（Ⅲ）证明：依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M（﹣8，y M）、N（﹣2，y N），点N在切线MP上，由①式得y N=，点M在直线MF1上，由②式得y M=，|NF1|2=y N2=，|MF1|2=[（﹣2）﹣（﹣8）]2+y M2=，∴（）2=•=•，③注意到点P在椭圆C上，即+=1，于是y02=12﹣x02代人③式并整理得，（）2=，∴为定值．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
【百强校】2015-2016学年四川成都外国语学校高一下期末数学理试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年四川成都外国语学校高一下期末数学理试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：132分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、正方体中，分别是棱,的中点，点在对角线上，给出以下命题：①当在上运动时，恒有面，②若三点共线，则；③若，则面；④若过点且与正方形的十二条棱所成的角都相等的直线有条，过点且与直线和所成的角都为的直线有条，则，其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、给定正数，其中，若是等比数列，是等差数列，则一元二次方程（）A ．有两个相等实根B ．无实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根3、如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知向量，且，若为正数，则的最小值是（）A ．B ．C ．16D ．85、在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（ ）A ．B ．C ．3D ．6、已知是所在平面内一点，若对,恒有,则一定是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不确定A． B． C． D．8、若等差数列的前15项和为，则（）A． B． C． D．9、若是边长为的正三角形，则( )A． B． C． D．10、若外接圆的面积为，则( ) A．5 B．10 C．15 D．2011、在数列中，，，则等于（）A．-7 B．-8 C．-22 D．2712、函数的最小值为（）A．2 B．3 C．2 D．2.5第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知为正实数，给出以下命题：①若，则的最小值是3；②若，则的最小值是4；③若，则的最小值是；④若，则的最大值是.其中正确结论的序号是.14、如图，正四棱锥的体积为2，底面积为6，为侧棱的中点，则直线与平面所成的角为.15、如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则.16、三、解答题（题型注释）17、函数满足：对任意，都有，且，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）令，，记，问：是否存在正整数，使得当时，不等式恒成立？若存在，写出一个满足条件的，若不存在，请说明理由.18、已知二次函数，（1）若的解集为，解关于的不等式.（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.19、如图，在四棱锥中，平面， ,,是的中点.(1)证明：平面;(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求二面角的正切值20、已知数列的前n 项和为，若，.（1）求数列的通项公式，（2）令，，其中，记数列的前项和为，求的值.21、如图，在四面体中，截面是平行四边形，(1)求证：截面(2)若截面是正方形，求异面直线与所成的角.22、在中，角的对边分别为，已知向量与向量互相垂直.（1）求角； （2）求的取值范围.参考答案1、C2、B3、A4、D5、C6、A7、C8、A9、B10、B11、C12、D13、①②④14、15、16、17、（1）；（2）存在正整数(或147,148,149，……),使得当时，不等式恒成立.18、(1) ;(2).19、(1)详见解析；（2）.20、(1);(2)2.21、(1)详见解析；（2）.22、（1）；（2）.【解析】1、试题分析：①因为分别为的中点，所以,因为不在平面内，故平面,选项正确；②若三点共线，,所以,所以,选项正确；③连接AC,BD，交于点O，连接OM，则有，而MO与平面APC交于点O，且点M不在平面APC内，故不平行于平面APC，选项错误；④过点P且与正方形的十二条棱所成的角相等的直线有4条，分别为，因为与所成角为，所以过点P且与直线和所成的角都为的直线有3条，,故选项正确，故选C.考点：1.线与线的位置关系；2.线与面的位置关系.【思路点睛】没有考察了立体几何中线线，线面位置关系的问题，属于中档题型，本题以多项选择题的形式出现，我们重点说说④的思路，与正方体的12条棱相等的线为正方体的体对角线，而题对角线有4条，分别为和以及和,那么过点就可以做与这些先平行的线后重合的线共4条，因为与所成角为，对顶角为，将这两条线平移至点,那么过点与这两条线所成角为的线，一条为角的角平分线，而这两条线所成角为，这个角的角平行线与两边所成角为，，根据最小角定理，可知共有2条与角的两边所成角为，所以共3条，正确.2、试题分析：设，，，，.故选B.考点：1.等差，等比数列；2.一元二次方程的实根.【一题多解】本题考查了等差与等比数列与一元二次方程实根的问题，属于中档题型，本题也可选择特值法，例如，取，方程无实根，这样解决本题的时间少，准确率高.3、试题分析：如图，建立空间直角坐标系，那么可以得到，，设，那么根据,可得，解得，故点M的轨迹如图所示，长度为，故选A.考点：空间两点的距离公式4、试题分析：因为，所以，即，那么，等号成立的条件为时，，解得所以原式的最小值为8，故选D.考点：基本不等式5、试题分析：如图，是等腰直角三角形，点为的中点，,,底面,,,,中，，,,,,,所以最大面的面积,故选C.考点：1.三视图；2.几何体的体积和表面积.【方法点睛】本题考察了三视图与几何体的表面积的问题，属于中档题型，画三视图的原则是“长对正，高平齐，宽相等”，所以根据三视图，可还原几何体，这是本题最关键是一步，根据还原的几何体，求边长和面的面积，比较大小即可.平时做题时多留心三棱锥，四棱锥，以及三棱柱，四棱柱，等常见几何体在不同放置下的三视图.6、试题分析：如图，在边BC上任取一点E,连接AE,那么,,,原不等式等价于,又点E不论在任何位置都有不等式成立，所以由垂线段最短可得,即,则一定是直角三角形，故选A.考点：1.向量的几何意义；2.解三角形.7、试题分析：，两边平方后可得，可解得，故选C.考点：三角函数的简单恒等变形8、试题分析：，所以，所以，故选A.考点：等差数列的性质9、试题分析：，故选B.考点：向量数量积10、试题分析：根据,可得,,根据正弦定理,根据和比定理,而,,所以原式等于10，故选B.考点：正弦定理11、试题分析：因为，所以转化为，所以数列是以-1为首项，公差为-3的等差数列，所以，故选C.考点：等差数列12、试题分析：设，那么函数转化为，此函数在区间为增函数，所以当时，函数取得最小值，故选D.考点：对勾函数13、试题分析：①因为，所以，于是，，所以选项正确；②因为，所以，又因为，所以，整理为，解得，，故的最小值是4，故选项正确；③原式整理为，即，即，所以的最小值为4，故选项错误；④，整理后为，故选项正确，故正确的命题序号为①②④.考点：基本不等式【思路点睛】本题考查了基本不等式的综合运用，属于中档题型，①是常见的消元后出现互为倒数的形式，运用公式的题型，②是利用基本不等式将方程转化为不等式，因为，所以，这样就可以将方程转化为关于的一元二次等式，③化简后可以利用公式，④需要观察条件和结论，需要将拆成两项的和，用二次基本不等式.14、试题分析：如图，正四棱锥中，根据底面积可得，,根据体积公式可得，，底面,,即平面,为直线BE与平面PAC所成的角，,那么,,而,所以,即,故填：.考点：线面角【一题多解】本题考查了线面角，属于中档题型，几何法求线面角，一般要做出线面角，即做出直线在平面内的射影，根据条件可得平面,为直线BE与平面PAC所成的角，如果用向量法求解，那首先需要建立坐标系，可以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，并且求平面的法向量，，用向量法计算多点，但避免了找线线和线面的关系.15、试题分析：根据条件可得，即，整理为，等号成立的条件为，即，故填：考点：基本不等式的应用16、试题分析：原式等于故填：考点：两角和与差的三角函数17、试题分析：（1）首先令求首项，再令，，代入后得到数列的递推公式，最后由递推公式求通项公式；（2）首先根据（1）的结论求的通项公式，然后对通项公式进行放缩，求和，得到关于的不等式，得到M.试题解析：,为等差数列，首项为，公差为1，.为使成立，只需，故存在正整数(或147,148,149，……),使得当时，不等式恒成立.考点：1.数列的递推公式求通项公式；2.放缩法.18、试题分析：(1)根据不等式的端点值就是不等式对应方程的实数根，所以利用韦达定理，转化为根与系数的关系，得到间的关系，代入求不等式的解集；（2）将不等式转化为恒成立，这样需满足，得到，这样将原式进行放缩，通过换元法求函数的最大值.试题解析：(1)的解集为，所以解集为（2）恒成立当时，，当时，，所以的最大值为.考点：1.一元二次不等式；2.二次函数；3.基本不等式.19、试题分析：（1）要证明线面垂直，根据判定定理，需证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据所给的条件，易证明,点E是CD的中点，所以,又因为平面,所以易得;(2)首先根据条件做出直线与平面所成的角，点作，分别与相交于，连接,为直线与平面所成的角, 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角的平面角为.试题解析：（1）连接，由，得又，是的中点，所以;平面，平面，所以,而，所以平面.(2)平面，是二面角的平面角,过点作，分别与相交于，连接,由（1）知平面,为直线与平面所成的角，且，由平面知，为直线与平面所成的角，有题意知，,因为知，,又,是平行四边形,,,因为,,于是,所以又,,所以,即二面角的正切值是.考点：1.线面垂直关系；2.线面角；3.二面角.20、试题分析：(1)这类涉及数列与关系的试题，令得到，两式相减，根据，消去，得到数列的递推公式，根据递推公式得到通项公式；（2）根据（1）的结论，得到数列的通项公式，，这类等差数列乘以等比数列的通项公式求和，利用错位相减法求和，再逐步得到的值.试题解析：两式相减得：，此式对不成立，所以.考点：1.数列与关系;2.错位相减法求和.【方法点睛】本题考查了数列与关系以及错位相减法求和，当题设是已知（1）形如形式时，可采用如本题的方法，利用公式，（2）形如，可构造，两式相减，利用当时，变形，再利用递推求通项公式，而熟练求和的方法，谨记（1）先看形如：型，可采用累加法求通项；（2）形如的形式，可采用累乘法求通项；（3）形如，可转化为，其中，构造等比数列求通项等求通项的方法.21、试题分析：（1）根据条件截面是平行四边形，所以对边,从而得到平面,再根据线面平行的性质定理，得到,这样就证得了截面的条件；（2）根据（1）的结论，异面直线与所成角转化为与所成的角，根据截面是正方形，易得异面直线所成角.试题解析：(1)证明：因为截面是平行四边形，;又平面,平面平面;平面,平面平面;截面截面截面;(2)由（1）的证明知;（或其补角）是异面直线与所成的角;截面是正方形，;所以异面直线与所成的角是.考点：1.线面平行；2.异面直线所成角.【方法点睛】本题考查了线面平行，以及异面直线所成角的问题，属于基础题型，重点说说空间角的问题，（1）异面直线所成角，几何法：通过平移转化为相交直线所成角，然后在三角形内解三角形，向量法：转化为异面直线的方向向量所成角，通过求解；（2）线面角，几何法：线面角就是线与其在平面内的射影所成角，一般可通过直线外一点向平面内引垂线，连接垂足与斜足的线就是线在平面内的射影，向量法：先求法向量，求解；（3）面面角，几何法：①定义法，②垂面法，③三垂线法或其逆定理法，向量法：先求两个平面内的法向量，那么或.22、试题分析：（1）由两向量垂直得到，再根据余弦定理得到,即求得角C；(2),,代入原式，整理为,再根据,求函数的值域.试题解析：（1）由已知可得，，所以;所以的取值范围是. 考点：1.余弦定理；2.三角函数的性质.。
精品解析四川省成都市石室中学2015-2016学年高一下学期期中考试物理试题解析(解析版)
一、单项选择题（每题只有一个答案正确，选对得3 分，共12 个小题，共36 分）1．下列关于运动和力的叙述中，正确的是（）A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同【答案】C【解析】试题分析：做曲线运动的物体，其速度一定变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，选项A错误；只有物体匀速圆周运动时，合力才一定指向圆心，故B错误；物体所受合力方向与运动方向相反，则一定做减速直线运动，故C正确；物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向夹角小于900，选项D错误；故选C.考点：曲线运动【名师点睛】曲线运动一定有加速度，所以一定是变速运动，可能是匀变速曲线运动，例如平抛运动，也可能是速率不变，方向变化．如匀速圆周运动。
2．下列说法中正确的是（）A．静摩擦力一定不做功B．滑动摩擦力一定做负功C．一对相互作用力做功之和一定等于零D．一对相互作用的摩擦力做功之和可能等于零【答案】D【解析】考点：功；相互作用力【名师点睛】此题是对摩擦力的功的考查；要知道静摩擦力或者滑动摩擦力对物体可做正功、也可做负功，也可以不做功；一对静摩擦力对系统做功为零；一对滑动摩擦力对系统一定做负功.3．下列关于功率的说法中正确的是（）A．由WPt＝知，力做的功越多，功率越大B．由P＝Fv 知，物体运动得越快，功率越大C．由W＝Pt 知，功率越大，力做的功越多D．由P＝Fv cosα 知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大【答案】D【解析】考点：功率【名师点睛】此题是对两个功率的公式的考查；关键是掌握两个功率的表达式WPt＝以及P＝Fv cosα，并能理解其物理意义；注意P＝Fv cosα中的α是力F与速度v之间的夹角.4．下列关于物体的重力势能的说法中不正确的是（）A．物体重力势能的数值随选择的参考平面的不同而不同B．物体的重力势能实际上是物体和地球组成的系统所共有的C．重力对物体做正功，则物体的重力势能增加D．物体位于所选的参考平面之下时，物体的重力势能为负值【答案】C【解析】试题分析：物体重力势能的数值随选择的参考平面的不同而不同，选项A正确；物体的重力势能实际上是物体和地球组成的系统所共有的，选项B正确；重力对物体做正功，则物体的重力势能减小，选项C错误；物体位于所选的参考平面之下时，物体的重力势能为负值，选项D正确；故选C. 考点：重力势能学科网【名师点睛】此题考查了对重力势能的理解；关键是知道重力势能是相对的，与零势能点的选择有关，重力势能实际上是物体和地球组成的系统所共有的；重力势能有正有负。
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列说法正确的是（ ）A ．零向量没有方向B ．单位向量都相等C ．共线向量又叫平行向量D ．任何向量的模都是正实数【答案】C【解析】试题分析：由于向量中规定共线向量又叫平行向量,故应选C.考点：向量的有关概念.2.在锐角ABC ∆中，3,4,ABC AB AC S ∆===，则cos A =（ ）A ．12BC ．12±D ．【答案】A考点：三角形的面积公式及同角的关系.3.已知||3b =，a 在b 方向上的投影是23，则a b ∙为（ ） A ．13 B ．43 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】 试题分析：由向量投影的概念可得32cos ||=θa ,因此2332cos ||||=⨯=⋅=⋅θb a b a ,故应选C. 考点：向量的数量积公式及有关概念.4.数列111111,2,3,4,,248162nn +++++的前n 项和等于（ ）A ．21122n n n +-++B ．2122n n n ++C ．2122n n n +-+D ．21122n n n +--+ 【答案】A【解析】 试题分析：因n n n a 21+=,故∑=-++=+n i n n n n 122112)1()21(,故应选A. 考点：等差数列和等比数列的前n 项和.5.已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，若向量c 满足()//c a b +，()a b c -⊥，则c =（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)--D ．(3,1)--【答案】D【解析】试题分析：因()//c a b +,故λ=+,即)2,12(---=+-=λλλ,又)3,1(-=-,故 0)(=-c 可得0)()(=-⋅+λ,即06321=---λλ,故1-=λ,所以)1,3(--=,应选D. 考点：向量坐标形式的运算.6.已知等比数列{}n a 中，3962a a a =，数列{}n b 是等差数列，且96b a =，则48b b +=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B考点：等差数列等比数列的性质及运用.7.若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665- B ．3365 C ．5665 D ．6365【答案】B【解析】 试题分析：因4cos 5α=,5cos()13αβ+=,故1312)sin(,53sin =+=βαα,故sin sin[()]βαβα=+-124533313513565=⨯-⨯=,故应选B. 考点：两角和的正弦公式及运用.【易错点晴】三角变换的精髓就是变角,将一个角变为两个角的和与差的形式是解答角变换问题的最高境界.所以在求解三角函数的值时,务必看清已知角与欲求角之间的关系,并进行适当变换,达到能够利用已知角的三角函数的关系.如本题在求解时,首先通过观察将欲求角β看做αβαβ-+=)(,然后再运用两角差的正弦公式得653353135541312])sin[(sin =⨯-⨯=-+=αβαβ. 8.若0a b >>，0c d <<，则下列各式一定成立的是（ ）A ．a b d c >B ．a b d c <C ．a b c d >D ．a b c d< 【答案】C考点：不等式的性质及运用.9.若数列{}n a 满足122(*)n n na a n N a ++=∙∈，且121,2a a ==，则数列{}n a 的前2016项之积为（ ） A ．20142 B ．20152 C ．20162 D ．20172【答案】C【解析】 试题分析：因122(*)n n n a a n N a ++=∙∈,故20162014201523122014212016212221=⋅⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++a a a a a a a a a ,故应选C.考点：数列的概念和叠乘运算.10.关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7(,)2-∞-B ．(,1)-∞C ．7(,)2-+∞ D ．(1,)+∞ 【答案】A考点：不等式恒成立问题的处理方法.【易错点晴】本题以不等式220x ax +-<在区间[1,4]上恒成立为背景,考查的是分离参数法及函数方程思想在解决不等式恒成立问题的常用方法.本题在求解时,首先从不等式220x ax +-<中分离出参数x x a -<2,然后再求函数解析式x xx h -=2)(在区间[1,4]上的最小值,最后求出参数a 的取值范围是7(,)2-∞-.从而使得问题简捷巧妙获解. 11.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟到达N 处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45，则货轮的速度为（ ）A ．海里/时B ．海里/时C ．海里/时D ．-海里/时【答案】D【解析】试题分析：设货轮的速度为V ,则V MN 5.0=,由于0000105,301545,20=∠=-=∠=SNM MSN SM ,因此由正弦定理可得0030sin 5.0105sin 20V =,故)26(20-=V ,故应选D.S M考点：正弦定理在实际问题中运用.12.如图，已知点E 为平行四边形ABCD 的边AB 上一点，2AE EB =，*()n F n N ∈为边DC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点*()n G n N ∈满足11(32)3n n n n n G D a G A a G E +=-+，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，则4a 的值为（ ）A ．53B ．22C ．15D ．79【答案】A【解析】试题分析：如图,因n n n n n n DF AG DF F G D G -=-=λ,)(2323G AG DF n n n +===λλλ,故E G A G E G AG AG D G n n n n n n λλλλ2321)(23-=+-=,而11(32)3n n n n n G D a G A a G E +=-+,故232323213111+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++n n n n a a a a λλ,故)1(311+=++n n a a ,所以数列}1{+n a 是公比为3首项为 211=+=n a 的等比数列,所以1321-⋅=+n n a ,即1321-⋅=-n n a ,故5312724=-⨯=a ,应选A. 考点：向量的几何运算和等比数列的知识及综合运用.【易错点晴】本题考查的是平面向量的几何运算及待定系数法的综合运用.求解时充分借助题设条件,从另一个角度运用向量的三角形法则求出E G A G E G AG AG D G n n n n n n λλλλ2321)(23-=+-=和 11(32)3n n n n n G D a G A a G E +=-+,然后在比较其系数得到232323213111+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++n n n n a a a a λλ,即 )1(311+=++n n a a ,由定义可得数列}1{+n a 是公比为3首项为211=+=n a 的等比数列,所以 1321-⋅=+n n a ,即1321-⋅=-n n a ,故5312724=-⨯=a .第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若1tan()63πα+=，则tan(2)3πα+= . 【答案】34 【解析】 试题分析:因tan(2)3πα+=4386911312)6(2tan ==-⨯=+απ,故应填34. 考点：两角和的正切公式等有关知识及运用．14.若关于x 的方程2(1)0mx m x m +-+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1(,1)(,)3-∞-+∞ 考点：二次不等式及解法．15.如图，等腰直角三角形ABC ，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,CA CB 两边分别交于,M N 两点，且CM CA λ=，CNCB μ=，则4λμ+的最小值为 .【答案】3【解析】 试题分析:设GN t MG =,则)(CG CN t CM CG -=-,即111t CG CM CN t t=+++11t CA CB t t λμ=+++，又因为+=,所以3111=+=+t t t μλ,由此可得311=+μλ,又3)441(31)11)(4(≥+++=++μλλμμλμλ,故应填3. 考点：向量的几何运算及基本不等式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是平面向量的几何运算、待定系数法、基本不等式等知识的综合运用.求解时充分借助题设条件,从两个角度运用向量的三角形法则求出+=+=和+=,然后在比较其系数得到3111=+=+t t t μλ,即311=+μλ,为求4λμ+的最小值附加了一个重要条件.最后再运用基本不等式得到3)441(31)11)(4(≥+++=++μλλμμλμλ,求出其最小值为3.16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*14()n n n S a a n N +=-∈，若11a =，则n a = .【答案】12-⋅n n考点：等差数列和等比数列的有关知识及综合运用．【易错点晴】本题考查的是数列前n 项和n S 与通项n a 之间关系等有关知识的综合运用.求解时要充分运用题设条件*14()n n n S a a n N +=-∈,再得到其递推式2114+++-=n n n a a S ,然后两式相减可得 121144+++++--=n n n n n a a a a a ,再加以整理可得)2(22112n n n n a a a a -=-+++,运用等比数列的定义可知数列}2{1n n a a -+是公比为2,首项为2的等比数列,则n n n n a a 222211=⋅=--+,所以212211=-++n n n n a a ,最后由定义可知数列}2{n n a 是首项为21,公差为21的等差数列,最后求出2)1(21212n n a n n =-+=,故 12-⋅=n n n a .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知向量,a b 满足：||2a =，||4b =，()2a b a ∙-=.（1）求向量a 与b 的夹角；（2）若||22ta b -=，求实数t 的值.【答案】(1)4πθ=；(2)2t =. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式求解；(2)借助向量模的概念建立方程求解. 试题解析：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，∵2()2a b a a b a ∙-=∙-=，∴4a b ∙=， 所以2cos ||||a b a b θ∙==，∵[0,]θπ∈，∴4πθ=； （2）由||22ta b -=，得22228||2||2816t a ta b b t t =-∙+=-+，∴228160t t -+=，2t =.考点：向量的模的概念和数量积公式等有关知识的综合运用．18.（本小题满分12分）已知(,)2παπ∈，且tan 3α=-.（1）求sin()4πα+的值； （2）求2cos(2)3πα-的值.【答案】(1)55；(2)10334-. 考点：三角变换的公式等有关知识的综合运用．19.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5774a S +=，4a 是1a 和13a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n nb a 是首项和公比均为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =+；(2)13n n T n +=∙.【解析】 试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列通项公式和前n 项和公式建立方程组求解；(2)借助错位相减法和等比数列的前n 项和公式求解.试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，根据题意可得：1121116747742(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩解得：132a d =⎧⎨=⎩，∴21n a n =+. （2）由题意可得：3n n nb a =，∴3(21)3n n n n b a n ==+， ∴23353(21)3n n T n =⨯+⨯+++⨯，①23133353(21)3n n T n +=⨯+⨯+++⨯，②由①-②得：2311233232323(21)323n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯=-∙， ∴13n n T n +=∙.考点：等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法等有关知识的综合运用．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且关于x 的不等式22()0()x a bc x m m R -++<∈解集为 22(,)b c .（1）求角A 的大小；（2）若a =，设B θ=，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的取值范围.【答案】(1)3A π=；(2)y ∈.（2）由a =，3A π=及正弦定理得：sin sin sin b c a B C A===∴b B θ==，2sin()3c C πθ==-，故2sin()3y a b c πθθ=++=++-)6πθ=++ ∵b c <，∴23B C B π<=-，∴3B π<， 故03πθ<<，得662πππθ<+<，∴1sin()126πθ<+<，∴y ∈.考点：正弦定理和余弦定理及三角变换公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是正弦定理和余弦定理及三角变换等有关知识的综合运用.解答第一问时,充分借助题设条件,将不等式的解集转化为222b c a bc +=+,再依据余弦定理,求出角3A π=.第二问的求解过程中如何建立目标函数是解答好本题的关键,也是解答好本题突破口.求解时先运用正弦定理和三角变换等知识将三角形的周长表示θ=B 的函数,然后再求函数的值域.21.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，4AD =，过点C 的直线l 与AB ，AD 的延长线分别交于点,M N .（1）若AMN ∆的面积不小于50，求线段DN 的长度的取值范围；（2）在直线l 绕点C 旋转的过程中，AMN ∆的面积S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应 的,AM AN 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 8(0,][6,)3+∞；(2)当12,8AM AN ==，AMN ∆的面积S 有最小值48.【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立不等式求解；(2)借助基本不等式求解.试题解析：（1）设(0)DN x x =>，AMN ∆的面积为S ，∵NDC ∆～NAM ∆，∴64x x AM =+，∴6(4)x AM x+=，∴2116(4)(4)(4)322x x S AM AN x x x++=∙=∙∙+=∙. 由2(4)350x S x+=∙≥，得803x <≤或6x ≥. 所以，线段DN 的长度的取值范围8(0,][6,)3+∞.考点：二次不等式及基本不等式等有关知识的综合运用．22.（本小题满分12分）数列{}n a 满足1212242n n n a a na -++++=-，*n N ∈. （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设121log n n b a =+，求证：2221211174n b b b +++<. 【答案】(1)314a =；(2) 112n n a -=；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)分别令1n =，2n =，3n =可得3a ；(2)借助题设条件运用数列的递推关系求解；(3)借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.试题解析：（1）令1n =，得11a =；令2n =，有1222a a +=，得212a =； 令3n =，有12311234a a a ++=，得314a =.（2）∵1212242n n n a a na -++++=-， （1）式 所以，当2n ≥时，121212(1)42n n n a a n a --++++-=-，（2）式 两式相减得：21112222n n n n n n n na ---++=-=，∴112n n a -=. 当1n =时，11a =也适合112n n a -=， ∴112n n a -=*()n N ∈.考点：数列的递推关系及不等式的放缩法等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是数列的递推关系及放缩法和不等式的性质等有关知识的综合运用.解答第一问时,充分借助题设条件,运用数列递推式赋值3,2,1=n 直接求出314a =；第二问的求解中,借助数列递推关系式,运用两等式相减的方法求得112n n a -=；第三问的推证过程中运用放缩法2211n b =缩放成)1(11122-<=n n n b ,再运用裂项相消法推证得不等式2221211174n b b b +++<.。