2009年中考数学试题汇编之13-二次函数试题及答案[1]
中考数学压轴题二次函数问题解答题解析版
27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）．（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3.（2）把点代入抛物线，得把点代入抛物线，得解得当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，时，，解得，（舍去）综上，或3．【关键点拨】本题考査的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．28．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【答案】(1) 50千克(2) 12.529．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w（元）. （1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？【答案】（1）；（2）30；（3）36人，3168元.（2）20×120=2400＜3000，由题意得：w=xy=x（-2x+160）=3000，-2x2+160x-3000=0，x2-80x+1500=0，（x-50）（x-30）=0，x=50或30，当x=50时，y==60，不符合题意，舍去，当x=30时，y==100＞88，符合题意，答：报名旅游的人数是30人；（3）w=xy=x（-2x+160）=-2x2+160x=-2（x2-80x+1600-1600）=-2（x-40）2+3200，∵-2＜0，∴x＜40，w随x的增大而增大，∵x=36时，w有最大值为：-2（36-40）2+3200=3168，∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．【关键点拨】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题的关键．30．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2），，144元（2）根据题意知，，，当时，随的增大而增大，，当时，取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．31．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．(1)求抛物线的解析式(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).【解析】(1)将代入将和代入抛物线解析式为(3)①当时，，则关于抛物线对称轴对称的面积为当时由已知为等腰直角三角形，过点作于点，设点坐标为，则为，代入解得的面积为4故答案为：或4【关键点拨】本题考查了直角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关键.32．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】（1）y x2x﹣3；（2）；（3）．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO OA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QH CH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQ AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．【关键点拨】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.33．知识背景当a＞0且x＞0时，因为（﹣）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x=时取等号）．设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．应用举例已知函数为y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2 =4．解决问题（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？【答案】（1）6；（2）w有最小值，最小值=201.4元．【关键点拨】本题考查二次函数的应用，反比例函数的应用，函数的最值问题，完全平方公式等知识，解题的关键是学会构建函数解决问题，属于中考常考题型．34．如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x 轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m 的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或.（2）由已知，点坐标为点坐标为轴（3）如图，过点做于点由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．点坐标为，，此时点坐标为，当点、位置对调时，依然满足条件点坐标为，或，【关键点拨】本题考查一次函数与二次函数的综合运用，解题的关键是能够根据题意找到有限条件列出解析式或表示出相关坐标.35．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．【解析】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为．（3）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，点的坐标为，，点的坐标为，．点的坐标为，，，．为直角三角形，分三种情况考虑：①当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；②当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；③当时，有，即，整理，得：．，该方程无解（或解均为增解）．[来源:Z&xx&]综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．36．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC=S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．[来源]【关键点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质.38．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．∴CD=2，且CD∥x轴，∵A（﹣1，0），∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角，∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，∵A（﹣1，0），D（2，3），∴直线AD解析式为y=x+1，∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，把D（2，3）代入可求得b′=5，∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，∴Q（1，4）；【关键点拨】此题重点考察学生对于抛物线的综合应用能力，熟练抛物线的图像和性质，四边形面积的计算方法，点坐标的求解方式是解答本题的关键.39．已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2x；（2）y2﹣y1＝（m＞0）；（3）①等边三角形；②点P的坐标为（2）、（）和（，﹣2）．∴y1m，y2m，∴y2﹣y1＝(m)﹣(m)(m＞0)；②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)．(i)当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(2)；(ii)当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为()；(iii)当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(，﹣2)．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2)、()和(，﹣2)．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法是解(1)的关键，将一次函数解析式代入二次函数解析式是解(2)的关键，分别求出AB、AA′、A′B的值以及分情况讨论是解(3)的关键.40．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴，即，解得：OF=，则F坐标为（0，﹣）．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．41．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：【关键点拨】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．42．已知抛物线的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．（3）y x2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论：①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．【关键点拨】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．43．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园A BCD的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=，0＜x＜a∵0＜a＜50∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大当x=a时，S最大=50a-a2②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得S=，a≤x＜50+当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，则x=25+时，S最大=（25+）2=，当25+≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小[来源:Zxx∴x=a时，S最大==，【关键点拨】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．44．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y x2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；【关键点拨】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．45．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．（2）当时，，点的坐标为．设直线的解析式为．将、代入，，解得：，直线的解析式为．假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．，．，当时，的面积最大，最大面积是16 ．，存在点，使的面积最大，最大面积是16 ．【关键点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．。
(新)中考数学二次函数与几何综合典型试题(附答案解析)
解：（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），
设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
把A（0，3）入得：3=-3a，
a=-1，
∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，
1．（1）m2；（2）m1=-3，m2=1；（3） 或 ；（4）-3＜m≤-1或m＞1
【分析】
（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，注重培养二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
所以方程组的解为： 或 ，
∴
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，求解一次函数与二次函数的交点坐标，作出适当的辅助线构建全等三角形，再利用全等三角形的性质证明相等的线段，再得到点的坐标是解本题的关键.
4．（1） （2）P（4，5）（3）（-2，5）或（4，5）．
【详解】
解：（1）将A（－1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）∵抛物线的解析式为 ，A（－1，0），B（3，0）
北京市中考数学试题分类汇总——二次函数[1]
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北京市中考数学试题分类汇总——二次函数 1.（04年）已知：关于x 的两个方程的两个方程2x 2＋(m ＋4)x ＋m －4＝0，……① 与 mx 2＋(n －2)x ＋m －3＝0，……②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根． ⑴ 求证方程②的两根符号相同；⑵求证方程②的两根符号相同；⑵ 设方程②的两根分别为α、β，若α:β＝1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．的最小整数值．2.2.（（04年）25．已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(0，2)任作．．一条与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于两点的直线，设交点分别为A 、B ．若∠AOB ＝90°，⑴ 判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵ 确定抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的解析式；的解析式； ⑶ 当△AOB 的面积为42 时，求直线AB 的解析式．的解析式．3.（05年）已知：关于x 的方程()a x ax a +-+=2202有两个不相等的实数根x 1和x 2，并且抛物线()y x a x a =-++-22125与x 轴的两个交点分别位于点（轴的两个交点分别位于点（22，0）的两旁。
）的两旁。
（（1）求实数a 的取值范围；（的取值范围；（22）当xx1222+=时，求a 的值。
的值。
4.（05年） 已知：在平面直角坐标系xOy 中，中，一次函数一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c=++2经过O 、A 两点。
两点。
（（1）试用含a 的代数式表示b ； （（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，为圆心，DA DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙折后的劣弧落在⊙D D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙相切，求⊙D D 半径的长及抛物线的解析式；半径的长及抛物线的解析式； （（3）设点B 是满足（是满足（22）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠POA OBA =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
中考数学频考点突破--二次函数的最值 (1)
中考数学频考点突破--二次函数的最值1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+bx +c 经过点A(−1，0)，B(52，0)，直线y =x +12与抛物线交于C 、D 两点，与坐标轴交于E 、F 两点. 点P 是抛物线在第四象限内图象上的一个动点.过点P 作PG⊥CD ，垂足为G ，PQ⊥y 轴，交x 轴于点Q.（1）求抛物线的解析式；（2）当√2PG +PQ 取得最大值时，求点P 的坐标和√2PG +PQ 的最大值；（3）将抛物线向右平移134个单位得到新抛物线，M 为新抛物线对称轴上的一点，点N 是平面内一点.当（2）中√2PG +PQ 最大时，直接写出所有使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标.2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ．（1）如图①，当PA 的长度等于 时，⊥PAD=60°；当PA 的长度等于 时，⊥PAD 是等腰三角形；（2）如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把⊥PAD、⊥PAB、⊥PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．3．在Rt⊥ABC中，⊥C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有⊥PBQ与⊥ABC相似；（2）若Rt⊥AQP⊥Rt⊥ACP⊥Rt⊥BQP，求tanB的值；（3）已知AC=3，BC=4，当BP为何值时，⊥AQP面积最大，并求出最大值. 4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C．若G是该抛物线上A，C之间的一个动点，过点G作直线GD⊥x轴，交抛物线于点D，过点D，G分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，得到矩形DEFG．（1）求该抛物线的表达式；（2）当点G与点C重合时，求矩形DEFG的面积；（3）若直线BC分别交DG，DE于点M，N，求⊥DMN面积的最大值．5．如图，在Rt⊥ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 √2cm（2）当t为何值时，⊥PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？6．已知二次函数的图象y=ax2−(2a+3)x−(3a2−9)与x轴交于点A(3，0)，B．（1）求二次函数的表达式；（2）当x=x1，x2（x1，x2是实数，x1≠x2）时，该函数对应的函数值分别为y 1，y2．若x1+x2=5，试说明y1+y2+12>0．7．如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=6，△BCG为等边三角形．点E，F分别为AD，BC边上的动点，且EF∥AB，P为EF上一动点，连接BP，将线段BP 绕点B顺时针旋转60°至BM，连接PA，PC，PM，GM．（1）求证：GM=PC；（2）当PB，PC，PE三条线段的和最小时，求PF的长；（3）若点E以每秒2个单位的速度由A点向D点运动，点P以每秒1个单位的速度由E点向F点运动．E，P两点同时出发，点E到达点D时停止，点P到达点F时停止，设点P的运动时间为t秒．①求t为何值时，△AEP与△CFP相似；②求△BMP的面积S的最小值．8．A、B两地果园分别有某种水果12吨和8吨，C、D两地分别需要这种水果5吨和15吨；已知从A、B到C、D的运价如表：到C地到D地A果园每吨150元每吨120元B果园每吨100元每吨90元（1）填空：①从B果园运到C地的水果为吨，②从A果园将水果运往D地的运输费用为元．（2）用含x的式子表示出总运输费（要求：列式、化简）．（3）直接写出总运输费用的最小值．（4）若这批水果在C地和D地进行再加工，经测算，全部加工完毕后总成本为w 元，且w＝﹣（x﹣3）2+185000，则当x＝时，w有最值（填“大”或“小”）．这个值是．9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．（2）当售价定为多少时会获得最大利润？求出最大利润．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元销售单价应定为多少？10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．11．如图，已知反比例函数y= mx（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S=S2﹣S1，求S的最大值．12．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件。
2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编 解析版
2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编1.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与一直线相交于A -1，0 ，C 2，3 两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式；(2)设点M 3，m ，求使MN +MD 的值最小时m 的值；(3)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，求PQ 的最大值．【答案】(1)解：由抛物线y =-x 2+bx +c 过点A -1，0 ，C 2，3 得-1-b +c =0-4+2b +c =3，解得b =2c =3 ，∴抛物线为y =-x 2+2x +3；设直线为y =kx +n 过点A -1，0 ，C 2，3 ，得-k +n =02k +n =3，解得k =1n =1 ，∴直线AC 为y =x +1；(2)解：∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴D 1,4 ，令y =0，则0=-x 2+2x +3，解得x =-1或x =3，即抛物线与x 轴的另一个交点为3，0 ，作直线x =3，作点D 关于直线x =3的对称点D ，得D 坐标为5，4 ，如图，连接ND 交直线x =3于点M ，此时N 、M 、D 三点共线时，NM +MD 最小，即NM +MD 最小，设直线ND 的关系式为：y =ax +b ，把点N 0,3 和D 5,4 代入得b =35a +b =4 ，1∴直线NM 的函数关系式为：y =15x +3，当x =3时，y =185，∴m =185；(3)解：如图，∵PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴设Q x ，x +1 ，则P x ，-x 2+2x +3 ，∴PQ =-x 2+2x +3 -x +1 =-x 2+x +2=-x -12 2+94，∵-1<0，∴PQ 有最大值，最大值为94．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为-1,0 ，且OA =OC =5OB ，抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】(1)解：∵点B 的坐标为-1,0 ，∴OB =1，∵OA =OC =5OB ，∴OA =OC =5，∴点A 5,0 ,C 0,-5 ；把点C0,-5代入得：-5a=-5，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x+1x-5=x2-4x-5；(3)解：∵直线CA过点C0,-5，∴可设其函数表达式为：y=kx-5，将点A5,0代入得：5k-5=0解得：k=1，故直线CA的表达式为：y=x-5，过点P作y轴的平行线交CA于点H，∵OA=OC=5，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD=∠OCA=45°，∴PD=PH，∵PD⊥AC，∴PD=22PH，设点P x，x2-4x-5，则点H x,x-5，∴PD=22x-5-x2+4x+5=-22x2+522x=-22x-522+2528，∵-22<0，∴PD有最大值，当x=52时，其最大值为252 8，此时点P52,-354 ．3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)解：∵OB =OC ，点C (0,3)，∴点B (3,0)，则抛物线的表达式为：y =a (x +1)(x -3)=a (x 2-2x -3)=ax 2-2ax -3a ，将点C (0,3)代入得，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，函数的对称轴为：x =1；(2)四边形ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC =AO 2+CO 2=12+32=10、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于直线x =1对称点C (2,3)，则CD =C D ，如图所示，取点A -1,1 ，则A D =AE ，点C 与C 关于x =1对称，则C 2,3 ，∴A C =32+22=13，∴CD +AE =A D +DC ，则当A 、D 、C 三点共线时，CD +AE =A D +DC 最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE=10+1+A D +DC=10+1+A C 10+1+13；(3)如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×(y C -y P )：12AE ×(y C -y P )=BE ：AE ，则AE=52或32，即：点E的坐标为32,0或12,0，∵C0,3，设直线CP的表达式：y=kx+3，将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立y=-x2+2x+3y=-2x+3，y=-x2+2x+3y=-6x+3，解得：x=4或x=8(x=0舍去)，故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45)．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为；(3)当▱CPBD是菱形时，求m的值．(4)当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？【答案】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3，(2)解：∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C(0,-3)，∵▱CPBD有两个顶点在x轴上时，∴点D在x轴上，∵四边形CPBD是平行四边形，∴CP∥BD，∴点P和点C为抛物线上的对称点，∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=--22×1=1，C(0,-3)，∴P(2,-3)，故答案为：(2,-3)；(3)解：设点P的坐标为(m,y)，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴BP2=(3-m)2+y2，CP2=m2+(m+3)2，∵▱CPBD 是菱形，∴BP =CP ，∴BP 2=CP 2，∴(3-m )2+y 2=m 2+(y +3)2，9-2m +m 2+y 2=m 2+y 2+6y +9，m +y =0，∵y =m 2-2m -3，∴m +m 2-2m -3=0，m 2-m -3=0，m =-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1=1±132，即m 1=1+132，m 2=1-132，∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点(点P 不与点B ,C 重合)，∴0<m <3，∴m =1+132；(4)解：如图所示，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，将B (3,0)，C (0,-3)代入得，3k +b =0b =-3 ，解得，k =1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =x -3，设P (m ,m 2-2m -3)，则E (m ,m -3)，∴PE =-m 2+3m ，∴S △PBC =12×3(-m 2+3m )，∵S ▱CPBD =2S △PBC=2×12×3(-m 2+3m )=-3m 2+9m=-3m -32 2+274，∴当m =32时，平行四边形CPBD 的面积有最大值．5.二次函数y =ax 2+bx +4a ≠0 的图象经过点A -4,0 ,B 1,0 ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)在对称轴上是否存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，存在的话，请求出点M 的坐标．不存在的话请说明理由．(3)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式．【答案】(1)解：把A -4,0 ,B 1,0 代入y =ax 2+bx +4a ≠0 得：16a -4b +4=0a +b +4=0 ，解得a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)在对称轴上存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，理由如下：连接AC 交对称轴于M ，则MB +MC 的和最小，如图：∵MA =MB ，∴MB +MC =MA +MC ，而C ，M ，A 共线，∴此时MB +MC 最小，在y =-x 2-3x +4中，令x =0得y =4，∴C 0,4 ，设直线AC 的表达式为y =rx +s ，由A -4,0 ，C 0,4 可得-4r +s =0s =4解得r =1s =4 ∴直线AC 解析式为y =x +4，由y =-x 2-3x +4=-x +32 2+254知抛物线对称轴为直线x =-32，在y =x +4中，令x =-32得y =52，∴M -32,52；(3)设BP 交y 轴于K ，如图：∵PD⊥x轴，∴∠DPB=∠OKB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OKB=2∠BCO，∴∠CBK=∠BCO，∴BK=CK，设OK=m，则CK=BK=4-m，∵OB2+OK2=BK2，∴12+m2=4-m2，解得m=15 8，∴K0,158，设直线BP的表达式为y=px+q，由B1,0，K0,15 8得到p+q=0q=158解得p=-158 q=158∴直线BP的表达式为y=-158x+158．6.如图，抛物线y=14x2-32x交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B，C(B在C左边)，交y轴于点D，连结OM，已知OM=5．(1)求OD的长．(2)P是第四象限内抛物线上的一点，连结P A，AC，OC，PO．设点P的横坐标为m，四边形OCAP的面积为S．①求S关于m的函数表达式．②当∠POC=∠DOC时，求S的值．【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=-b2a=3，∴DM=3，OA=6；∵OM =5，∴OD =OM 2-DM 2=52-32=4．(2)过点P 作PN ⊥OA 于N ,①由y =0得，0=14x 2-32x解得：x =0(舍去)，x =6∴OA =6，∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN=12×6×4+12×6-14m 2-32m=12+3-14m 2+32m=-34m 2+92m +12所以，S 关于m 的表达式为：S =-34m 2+92m +12②MC =CD -DM =5=OM ，∴∠MOC =∠MCO ．∵BC ∥x 轴，∴∠AOC =∠MCO =∠MOC ．∵∠POC =∠DOC ，∴∠POC -∠AOC =∠DOC -∠MOC ，∴∠POE =∠DOM ，∴tan ∠POA =tan ∠DOM =34，∴-y p x P =34∴y P =-34x p ，代入抛物线解析式得-34x p =14x 2p -32x p解得x P =0(舍去)或x P =3，∴y P =-34x p =-34×3=-94∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN =18.757.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过B -3,0 ,C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE +CE 的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使△BPC 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．【答案】(1)解：将点B -3,0 ,C 0,3 代入抛物线解析式得-9-3b +c =0c =3，解得b =-2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)解：∵抛物线解析式为y =-x 2-2x +3=-x +1 2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =-1，∵点A 、B 关于对称轴对称，∴BE =AE ，∴AE +CE =BE +CE ，∴当B 、C 、E 三点共线时，BE +CE 最小，即此时AE +CE 最小，∴BC 与对称轴的交点即为点E ，如下图，设直线BC 解析式为y =mx +n ，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 的解析式为y =x +3；当x =-1时，y =x +3=2，∴E -1，2 ；(3)解：∵B -3,0 ,C 0,3 ，∴OB =OC =3，∴BC =32+32=32，当B 为顶点时，则PB =BC =32，∴点P 的坐标为32-3,0 或-32-3,0 ；当C为顶点时，则PC=BC，∴点P与点B关于y轴对称，∴点P的坐标为3，0；当BC为底边时，则PC=PB，设点P的坐标为m，0，∴-3-m2=m2+32，解得m=0∴点P的坐标为0，0；综上，点P的坐标为0，0或3，0或32-3,0或-32-3,0．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=12x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M(点M在第四象限)，对称轴与抛物线y=12x2交于点N，且MN=4．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标．【答案】(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=12x2+bx，则点M的坐标为：-b,-1 2 b2，当x=-b时，y=12x2=12b2，即点N-b,12b2，则MN=12b2+12b2=4，解得：b=2(舍去)或b=-2，则平移后的抛物线表达式为：y=12x2-2x；(2)解：四边形OMPN是正方形，根据题意可得O0,0，M2,-2，N2,2，P4,0，记MN与OP交于点G，则G2,0，∴OG=GP=2，MG=NP=2，MN=OP=4，NO=NP=22，∴四边形OMPN是平行四边形，∵MN=OP=4，∴四边形OMPN是矩形，∵NO=NP=22，∴四边形OMPN是正方形；(3)解：设A a ,12a 2 ，B a +2,12a 2-2 ，C 2,12a 2-2 ，可得AB =22，AC =a -2 2+22，BC =a 2，①AB =AC ，22=a -2 2+22，即a 2-4a =0，解得a 1=4，a 1=0(舍去0)，∴A 4,8 ；②AB =BC ，22=a 2，解得a 1=22，a 1=-22，∴A 22,4 或A -22,4 ；③AC =BC ，a -2 2+22=a 2，解得a =2，∴A 2,2 ；综上，点A 的坐标是4,8 、22,4 、-22,4、2,2 ．9.综合与探究如图，抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D 5,3 ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：令y =0，则12x 2-32x -2=0，解得x =4或x =-1，∴A -1,0 ，B 4,0 ，令x =0，则y =-2，∴C 0,-2 ，设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ，将A -1,0 ，D 5,3 的坐标代入得，-k +b =05k +b =3 ，解得：k =12b =12，∴y =12x +12；(2)解：存在，理由如下：设P a ,0 ，则E a ,12a 2-32a -2 ，F a ,12a +12，∵P 线段AB 上的一个动点，∴E 在x 轴下方，∴EF =12a +12-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a +52=-12a -2 2+92，∵-12<0，∴当a =2时，EF 有最大值，最大值为92；(3)解：存在，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142；设M m ,12m 2-32m -2 ，N n ,12n +12，∵B 4,0 ，D 5,3 ，①当平行四边形对角线为BN 和DM 时，则4+n 2=5+m 20+12n +122=3+12m 2-32m -22 ，解得：m =0n =1 或m =4n =5 (当m =4时，M 4,0 与B 点重合，不符合题意，舍去)∴点M 的坐标为0,-2 ；②当平行四边形对角线为BM 和DN 时，则4+m 2=5+n 20+12m 2-32m -22=3+12n +122 ，解得：m =2+14n =1+14 或m =2-14n =1-14 ，∴点M 的坐标为2+14,4+142 或2-14,4-142，综上所述，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142 ．10.如图，已知直线y =34x +3与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，经过点C 的抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于A -6，0 、B 两点，顶点为E ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接DE ，求tan ∠CDE 的值；(3)设P 为抛物线上一动点，Q 为直线CD 上一动点，是否存在点P 与点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)解：对于y =34x +3，由x =0，得y =3，∴C 0，3 ，∵抛物线过点A -6，0 、C 0，3 ，-14×-6 2-6b +c =0c =3 ，解得：b =-1c =3 ，∴该抛物线为y =-14x 2-x +3；(2)解：由y =-14x 2-x +3=-14x +2 2+4得顶点E -2，4 ，过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，作EG ⊥y 轴于G ，连接EC ，则EF =4，DF =2，EG =2，CG =1，∴DF EF =12=CG EG，∵∠DFE =∠CGE =90°，∴△DFE ∽△CGE∴∠DEF =∠CEG ，EC DE =CG DF=12．∵∠CEG +∠CEF =90°，∠DEF +∠CEF =90°，∴∠DEC =90°，∴tan ∠CDE =EC DE =12；(3)设Q m ，34m +3 ①若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的上方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m +2，34m +7 ，代入抛物线得：34m +7=-14m +2 2-m +2 +3，解得m 1=-7，m 2=-4(舍去)∴Q -7，-94；②若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的下方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m -2，34m -1 ，同理得Q -3+892,15+3898或Q -3-892,15-3898 ，③若DE 为平行四边形的对角线∵∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P -m -6，-34m +1 代入抛物线得：-34m +1=-14-m -6 2--m -6 +3，解得m 1=-1，m 2=-4(舍去)∴Q -1,94，综上所述，点Q 的坐标为-7，-94 Q -3+892,15+3898 或Q -3-892,15-3898或-1,94 ．11.如图，已知抛物钱经过点A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合)，过M 作MN ∥y 轴交抛物线于点N ．若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；(3)在(2)的条件下，连接NB 、NC ，当m 为何值时，△BNC 的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)解：根据题意，抛物钱与x 轴交于点A (-1，0)，B (3，0)设抛物线解析式为y =a x +1 x -3将C (0，3)代入可得：-3a =3，解得a =-1即y =-x +1 x -3 =-x 2+2x +3；(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b将B (3，0)、C (0，3)代入可得：3k +b =0b =3 ，解得k =-1b =3即y =-x +3，则M (m ,-m +3)，N (m ,-m 2+2m +3)，MN =-m 2+2m +3--m +3 =-m 2+3m ；(3)由题意可得：S △BNC =S △BNM +S △MNC =12×MN ×OB =32-m 2+3m =-32m 2+92m∵-32<0，开口向下，∴m =-92-2×32=32时，S △BNC 面积最大，∴最大面积为S △BNC =-32×32 2+92×32=278．12.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，其中A 1,0 ，C 0,3 ．直线y =mx +n 经过B ，C 两点．(1)求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M ，使MA +MC 最小，直接写出点M 的坐标；(3)连接BD ，CD ，求△BCD 的面积．【答案】解:(1)将点A 1,0 ，C 0,3 代入y =-x 2+bx +c ，得-1+b +c =0,c =3,解这个方程组，得b =-2,c =3.∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3.当y =0时，0=-x 2-2x +3=-x +3 x -1 ，解得x 1=-3，x 2=1，∴点B 的坐标为-3,0 ，∵直线y =mx +n 经过B ，C 两点，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 解析式为y =x +3；∴当点M是直线BC和对称轴的交点时，MA+MC取得最小值，∵抛物线y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴点D的坐标为-1,4，对称轴为直线x=1，将x=1代入直线y=x+3，得：y=-1+3=2，∴点M的坐标为-1,2；(3)∵点D-1，4，点M-1,2，∴DM=4-2=2，∵点B-3，0，∴BO=3，∴S△BCD=S△DMB+S△DMC=12DM⋅BO=12×2×3=3．13.抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A-2,0和B4,0，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM，①求点P的坐标；②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2∴4a-2b-4=016a+4b-4=0，即2a-b=24a+b=1，∴a=12 b=-1∴抛物线的解析式为：y=12x2-x-4；(2)解：令x=0得y=-4，∴C0,-4设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0∴k=1b=-4 ，∴直线BC的解析式为：y=x-4 ∵P的横坐标为t，PM∥y轴，∴P t,12t2-t-4，M t,t-4，∴PM=t-4-12t2-t-4=-12t2+2t=-12t-22+2，∵-12<0，∴当t=2时，PM有最大值2，此时M2,-2；(3)解：①∵B4,0、C0,-4，∴OB=OC=4，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PN∥y轴∴∠NMB=∠OCB=45°，∠MNB=∠COB=90°，∴∠NBM=∠NMB，∴BN=MN，∴S△BMN=12BN2，又∠CMH=∠NMB=45°，∠CHM=90°，∴△CHM是等腰直角三角形∴S△CHM=12CH2∵S△BMN=9S△CHM∴12BN 2=9×12CH 2∴BN =3CH ，∵BN +CH =OB =4，∴CH =1∴P 1,-92 ；②设Q 0,m ，则CQ 2=4+m 2，CP 2=1+-4+92 2=54，PQ 2=1+m +92 2，(Ⅰ)当∠CQP =90°时，54=4+m 2+1+m +92 2，解得：m =-4(舍去)或m =-92，∴Q 0,-92 ；(Ⅱ)当∠CPQ =90°时，54+1+m +92 2=4+m 2，解得：m =-132， ∴Q 0,-132(Ⅲ)当∠PCQ =90°时54+4+m 2=1+m +92 2解得：m =-4(舍去)综上所述，存在点Q 0,-132 或Q 0,-92使得△CPQ 为直角三角形．14.如图，抛物线y =ax 2+bx +c a >0 交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ．(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；(2)若直线y=bx+t t>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧)，直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．【答案】解：(1)①把A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)分别代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=1b=-2 c=-3 ，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．②设P(m，0)，过Q作QH⊥x轴于H，则∠PHQ=90°，∵△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴PC=PQ，∠CPQ=90°，∴∠OPC+∠HPQ=90°，∠HQP+∠HPQ=90°，∴∠OPC=∠HQP，在△POC和△QHP中∠OPC=∠HQP∠COP=∠PHQCP=QP，∴△POC≌△QHP AAS，∴QH=OP=m，PH=OC=3．当点H在点P的右侧时，OH=m+3，∴Q(m+3，-m)，把Q(m+3，-m)代入y=x2-2x-3，得-m=m+32-2m+3-3，解得m=0或-5，此时，P(0，0)或P(-5，0)．当点H在点P的左侧时，H(m-3，0)，∴Q (m -3，m )，代入y =x 2-2x -3，得m =m -3 2-2m -3 -3，整理，得m 2-9m +12=0，解得m =9±332，此时P 9+332,0 或9-332,0 综上，点P 的坐标为P (0，0)或P (-5，0)或P 9+332,0或9-332,0 (2)设直线AM 为y =kx +m ，直线AN 为y =k 1x +m 1，联立y =bx +t y =ax 2+bx +c ，得ax 2+c -t =0，∴x M +x N =0．联立y =kx +m y =ax 2+bx +c ，得ax 2+b -k x +c -m =0，∴x A x M =c -m a ．同理，得x A x N =c -m 1a．∴x A x M +x A x N =x A x M +x N =0，∴c -m a +c -m 1a=0，∴c -m =m 1-c ．∵D (0，m 1)，E (0，m )，C (0，c )，∴CD =m 1-c ，CE =c -m ，∴CE =CD ，∴点C 为线段DE 的中点．15.如图，二次函数y =-x 2+c 的图象交x 轴于点A 、点B ，其中点B 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0,2)，过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D ．(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；(2)连接DB，则△DAB的面积为；(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵二次函数y=-x2+c的图象过点B(2,0)，∴0=-22+c，解得c=4∴二次函数解析式为y=-x2+4∴A点坐标为(-2,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴0=-2k+b2=b，解得：k=1b=2∴直线AC的解析式为y=x+2(2)∵直线AC：y=x+2与二次函数交于点A、D∴联立y=-x2+4y=x+2，解得x=-2y=0或x=1y=3∴D点坐标为：(1,3)∵AB=4∴S△DAB=12AB×y D =12×3×4=6(3)∵C(0,2)，A点坐标为(-2,0)∴∠CAB=45°当Q在正半轴时，∵∠AQB=135°，QA=QB∴∠QAO=22.5°=12∠CAO∴AQ平分∠CAO过Q作PQ⊥AC于P设OQ =x ，则OQ =PQ =x ,CQ =2PQ =2x∴OC =OQ +CQ =2x +x =2解得x =22-2∴Q 点坐标为(0,22-2)当Q 在与轴负半轴时，根据对称性可得Q 点坐标为(0,2-22)∴Q 点坐标为(0,2-22)或(0,22-2)(4)当AD 是矩形边长时过A 作AM ⊥AD 交抛物线于M∵直线AC 的解析式为y =x +2∴设直线AM 的解析式为y =-x +b 1代入A 点(-2,0)得b 1=-2∴直线AM 的解析式为y =-x -2∴联立y =-x 2+4y =-x -2，解得x =-2y =0 或x =3y =-5 ∴M 点坐标为(3,-5)∵此时MN 平行且等于AD∴由A (-2,0)平移到D (1,3)与由M (3,-5)平移到N 的平移方式一致∴N 点坐标为(6,-2)同理：:过D 作DM ⊥AD 交抛物线于M ，此时M (0,4)，N (-3,1)综上所述，存在，N 点坐标为(6,-2)或(-3,1)16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC 于点E．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h (h >0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC 始终有交点，求h 的最大值；(3)M 是(1)中抛物线上一点，N 是直线BC 上一点．是否存在以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：由D (2,1)可知，-b 2×-1 =24×-1 c -b 24×-1 =1，解得：b =4c =-3 ，∴y =-x 2+4x -3．(2)分别令y =-x 2+4x -3中，x =0，y =0得，B (3，0)，C (0，-3)；设BC 的表达式为：y =kx +n k ≠0 ，将B (3，0)，C (0，-3)代入y =kx +n 得，0=3k +n -3=0+n 解得：k =1n =-3 ；∴BC 的表达式为：y =x -3；抛物线平移后的表达式为：y =-x 2+4x -3-h ，根据题意得，y =-x 2+4x -3-h y =x -3，即x 2-3x +h =0，∵该抛物线与直线BC 始终有交点，∴-3 2-4×1×h ≥0，∴h ≤94，∴h 的最大值为94．(3)存在，理由如下：将x =2代入y =x -3中得E 2，-1 ，①当DE 为平行四边形的一条边时，∵四边形DEMN 是平行四边形，∴DE ∥MN ，DE =MN ，∵DE ∥y 轴，∴MN ∥y 轴，∴设M m，-m2+4m-3，N m，m-3，当-m2+4m-3-m-3=2时，解得：m1=1，m2=2(舍去)，∴N1，-2，当m-3--m2+4m-3=2时，解得：m1=3+172，m2=3-172，∴N3+172，17-3 2或N3-172，-17+32；②当DE为平行四边形的对角线时，设M p，-p2+4p-3，N q，q-3，∵D、E的中点坐标为：(2，0)，∴M、N的中点坐标为：(2，0)，∴p+q2=2-p2+4p-3+q-32=0 ，解得：p1=1 q1=3，p2=2q2=2(舍去)，∴此时点N的坐标为(3，0)；综上分析可知，点N的坐标为：1，-2或3+172，17-32或3-172，-17+32或(3，0)．。
备战中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t td t t t=-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=， 解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，e 是y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×1(5m2－2m+13)≥04整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x12，x2=12综上：t值为1，M点坐标为2，2)和(12，2).4．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。
九年级数学中考二次函数试题集锦全国通用
二次函数中考数学试题集锦1、（07某某毕业）已知抛物线 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．2、（07某某）如图，抛物线n x x y ++-=52经过点A(1 ，0 )，与y 轴交于点B 。
⑴求抛物线的解析式；⑵P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标。
3、（07某某）已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 4、（07某某）已知抛物线y=(1-m)x 2+4x-3开口向下，与x 轴交于A(x 1,0)和B(x 2,0)两点，其中x l <x 2．(1)求m 的取值X 围；(2)若x 12+ x 22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；(3)设这条抛物线的顶点为C ，延长CA 交y 轴于点D ．在y 轴上是否存在点P ，使以P 、0、B 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（07郴洲）已知：如图，等腰梯形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 在y 轴的正方向上，A ( 0, 6 )，D ( 4，6），且AB4 ) 3 3 4 ( 2 + + + = x a ax y＝210.（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P ，使得12PBD ABCD S S ∆梯形＝?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.6、（07某某）如图，Rt △OAB 的斜边OA 在x 轴的正半轴上，直角的顶点B 在第一象限内，已知点A （10，0），△OAB 的面积为20。
中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．【答案】（1）y=38x 2﹣34x ﹣3（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910 （3）K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158） 【解析】【详解】 试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得 423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ，∴△BHQ ∽△BOC ， ∴HB OC BG BC=，即Hb 35t =， ∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2∴当t=1时， S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上． ∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m﹣3﹣（38m2﹣34m﹣3）=﹣38m2+32m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=9 10．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．3．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．4．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）(2)m 、n 的值分别为 5，-5【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得：4b+c-16=0，b+c-1="3" ，解得：b="4" ， c=0．所以抛物线的表达式为：24y x x =-+．y=-224(2)4y x x x =-+=--+，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．（2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）．三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20，所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）又n=-2m +4m ，所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)故所求m 、n 的值分别为 5，-5．5．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．6．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得： 660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，则当y=6时，﹣12x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.7．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（2）2a =． 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2． 【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去），∴2a =． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．8．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
2023中考数学真题汇编13 二次函数解答压轴题(含答案与解析)
2023中考数学真题汇编·13二次函数解答压轴题一、解答题1.（2023·浙江绍兴）已知二次函数2y x bx c ．（1）当4,3b c 时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x 时，求y 的取值范围．（2）当0x 时，y 的最大值为2；当0x 时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2.（2023·浙江）已知点 ,0m 和 3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b 是常数，0)a 的图像上．（1）当1m 时，求a 和b 的值；（2）若二次函数的图像经过点 ,3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m 时，求n 的取值范围；（3）求证：240b a ．3.（2023·上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c 经过点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．4.（2023·浙江嘉兴）在二次函数223(0)y x tx t 中，（1）若它的图象过点(2,1)，则t 的值为多少？（2）当03x 时，y 的最小值为2 ，求出t 的值：（3）如果(2,),(4,),(,)A m a B b C m a 都在这个二次函数的图象上，且3a b ，求m 的取值范围．5.（2023·浙江杭州）设二次函数21y ax bx ，（0a ，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x …1 0123…y …m 1n1p …（1）若4m ，求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而减小．（3）若在m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，求a 的取值范围．6.（2023·湖南常德）如图，二次函数的图象与x 轴交于 1,0A ， 5,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．O 为坐标原点，1tan 5ACO ．（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB 的面积；（3）P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ，求P 点的坐标．7.（2023·天津）已知抛物线2y x bx c (b ，c 为常数，1c )的顶点为P ，与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，抛物线上的点M 的横坐标为m ，且2b c m ，过点M 作MN AC ，垂足为N ．（1）若2,3b c ．①求点P 和点A 的坐标；②当MN M 的坐标；（2）若点A 的坐标为 ,0c ，且MP AC ∥，当3AN MN 时，求点M 的坐标．8.（2023·山东烟台）如图，抛物线25y ax bx 与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB ．抛物线的对称轴3x 与经过点A 的直线1y kx 交于点D ，与x 轴交于点E ．（1）求直线AD 及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为B 上一个动点，请求出12PC PA 的最小值．9.（2023·江苏苏州）如图，二次函数268y x x 的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．（1）求点,A B 的坐标；（2）若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点 3,2，求PM 长的取值范围．10.（2023·山东东营）如图，抛物线过点 0,0O ， 10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设 ,0B t ，当2t 时，4BC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t 时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．11.（2023·四川自贡）如图，抛物线2443y x bx 与x 轴交于(3,0)A ，B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线解析式及B ，C 两点坐标；（2）以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E ，使得45ACE ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．12.（2023·山东枣庄）如图，抛物线2y x bx c 经过(1,0),(0,3)A C 两点，并交x 轴于另一点B ，点M是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH 的最小值；（3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2023·四川达州）如图，抛物线2y ax bx c 过点 1,0,3,,00,3A B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；（3）若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．14.（2023·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c 与坐标轴分别相交于点A ，B ， 0,6C 三点，其对称轴为2x ．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE 时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S ，求点F 的坐标．15.（2023·全国）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c 经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m ，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ 的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m 时，直接写出m 的值．16.（2023·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c 经过点3(4,)P ，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k 与抛物线交于B ，C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；（3）过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE 始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．17.（2023·四川遂宁）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线214y x bx c 经过点(0O ，0)，对称轴过点(2B ，0)，直线l 过点 2,2C ，且垂直于y 轴．过点B 的直线1l 交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当:3:5BM MQ 时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交1l 于点E ，设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．18.（2023·四川眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 3,0,1,0A B 两点，与y 轴交于点 0,3C ，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值；（3）过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．19.（2023·湖南郴州）已知抛物线24y ax bx 与x 轴相交于点()1,0A ， 4,0B ，与y 轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PA PC 的值；（3）如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2023·甘肃武威）如图1，抛物线2y x bx 与x 轴交于点A ，与直线y x 交于点 4,4B ，点 0,4C 在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx 的表达式；（2）当22BP 时，请在图1中过点P 作PD OA 交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ 的最小值．21.（2023·山东聊城）如图①，抛物线29y ax bx 与x 轴交于点 30A ,， 6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；（3）如图②，当点 ,0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．22.（2023·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x 的顶点为P ．直线l 过点 0,3M m m ，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）当1m 时，求点D 的坐标；（2）连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD ，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．23.（2023·湖南怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx 与x 轴交于(4,0)(2,0)A B 、两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设直线135:4l y kx k 交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y 上总存在一点E ，使得MEN 为直角．24.（2023·吉林长春）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx （b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m ．其中0m ．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m时，求m的值．轴于点C，连结AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有（4）当点B在x轴上方时，过点B作BC y两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．【参考答案与解析】1.【答案】（1）解：①当4,3b c 时，2243(2)7y x x x ，∴顶点坐标为 2,7．②∵顶点坐标为 2,7．抛物线开口向下，当12x 时，y 随x 增大而增大，当23x 时，y 随x 增大而减小，∴当2x 时，y 有最大值7．又 2132∴当=1x 时取得最小值，最小值=2y ；∴当13x 时，27y ≤≤．（2）∵0x 时，y 的最大值为2；0x 时，y 的最大值为3，∴抛物线的对称轴2bx在y 轴的右侧，∴0b ，∵抛物线开口向下，0x 时，y 的最大值为2，∴2c ，又∵241341c b ，∴2b ，∵0b ，∴2b ，∴二次函数的表达式为222y x x ．【分析】（1）①将4,3b c 代入解析式，化为顶点式，即可求解；②已知顶点 2,7，根据二次函数的增减性，得出当2x 时，y 有最大值7，当=1x 时取得最小值，即可求解；（2）根据题意0x 时，y 的最大值为2；0x 时，y 的最大值为3，得出抛物线的对称轴2bx在y 轴的右侧，即0b ，由抛物线开口向下，0x 时，y 的最大值为2，可知2c ，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出2b ，即可得解．2.【答案】（1）解：当1m 时，图像过点 1,0和 3,0 ，∴030933a b a b，解得12a b ，∴223y x x ，∴1,2a b ．（2）解：∵函数图像过点 ,0m 和 3,0m ，∴函数图像的对称轴为直线x m ．∵图像过点 ,3,0,3n ，∴根据图像的对称性得2n m ．∵21m ，∴42n ．（3）解：∵图像过点 ,0m 和 3,0m ，∴根据图像的对称性得2bm a．∴2b am ，顶点坐标为2,3m am bm ．将点 ,0m 和 3,0m 分别代人表达式可得22030933am bm am bm ①②①3 ②得212120am ，∴21am ．∴222232334am bm am am am ．∴21244a b a．∴21216a b a ．∴240b a ．【分析】（1）由1m 可得图像过点 1,0和 3,0 ，然后代入解析式解方程组即可解答；（2）先确定函数图像的对称轴为直线x m ，则抛物线过点 ,3,0,3n ，即2n m ，然后再结合21m 即可解答；（3）根据图像的对称性得2bm a，即2b am ，顶点坐标为 2,3m am bm ；将点 ,0m 和 3,0m 分别代入表达式并进行运算可得21am ；则222232334am bm am am am ，进而得到21244a b a，然后化简变形即可证明结论．3.【答案】（1）解：∵直线364y x与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，当0x 时，代入得：6y ，故 0,6B ，当0y 时，代入得：8x ，故 8,0A ，（2）设3,64C m m，则可设抛物线的解析式为： 2364y a x m m ，∵抛物线M 经过点B ，将 0,6B 代入得：23664am m ，∵0m ，∴34am ，即34m a，∴将34m a 代入 2364y a x m m ，整理得：2362y ax x ，故32b，6c ；（3）如图：∵CD x ∥轴，点P 在x 轴上，∴设 ,0P p ，3,64C m m，∵点C ，B 分别平移至点P ，D ，∴点B ，点C 向下平移的距离相同，∴3366644m m，解得：4m ，由（2）知34m a，∴316a，∴抛物线N 的函数解析式为： 2316y x p ，将 0,6B 代入可得：p∴抛物线N 的函数解析式为： 2316y x 或 2316y x ．【分析】（1）根据题意，分别将0x ，0y 代入直线364y x即可求得；（2）设3,64C m m，得到抛物线的顶点式为 2364y a x m m ，将 0,6B 代入可求得34m a ，进而可得到抛物线解析式为2362y ax x ，即可求得b ，c ；（3）根据题意，设 ,0P p ，3,64C m m，根据平移的性质可得点B ，点C 向下平移的距离相同，即列式求得4m ，316a ，然后得到抛物线N 解析式为： 2316y x p ，将 0,6B 代入可得p得到答案．4.【答案】（1）将(2,1)代入223y x tx 中，得1443t ，解得，32t ；（2）抛物线对称轴为x t ．若03t ，当x t 时，函数值最小，22232t t ，解得t 0t ∵，t 若3t ，当3x 时，函数值最小，2963t ，解得73t （不合题意，舍去）综上所述t （3）(2,),(,)A m a C m a ∵关于对称轴对称，2,12m mt m t，且A 在对称轴左侧，C 在对称轴右侧∵抛物线与y 轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x t ， 此交点关于对称轴的对称点为(23)2,m 3,3a b ∵且0t 422m ，解得3m ．当A ，B 都在对称轴左边时，a b∵42m ，解得6m ，6m 当A ，B 分别在对称轴两侧时a b B ∵到对称轴的距离大于A 到对称轴的距离4(1)1(2)m m m ，解得4m 34m 综上所述34m 或6m ．【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分03t ，当x t 时，函数值最小，以及3t ，当3x 时，函数值最小，求得相应的t 值即可得；（3）由(2,),(,)A m a C m a 关于对称轴对称得1m t ，且A 在对称轴左侧，C 在对称轴右侧；确定抛物线与y 轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(23)2,m ，结合已知确定出3m ；再分类讨论：A ，B 都在对称轴左边时，A ，B 分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．5.【答案】（1）解：把 1,4 ， 2,1代入21y ax bx ，得144211a b a b ，解得：12a b ，∴221y xx ．（2）解：∵ 0,1， 2,1在21y ax bx 图象上，∴抛物线的对称轴为直线0212x ，∴当0a 时，则1x 时，y 随x 的增大而减小，当a<0时，则1x 时，y 随x 的增大而减小．（3）解：把 2,1代入21y ax bx ，得1421a b ，∴2b a∴22121y ax bx ax ax 把 1,m 代入221y ax ax 得，2131m a a a ，把 1,n 代入221y ax ax 得，211n a a a ，把 3,p 代入221y ax ax 得，96131p a a a ，∴m p ，∵m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，∴10310a a，解得：13a ．【分析】（1）用待定系数法求解即可．（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线1x ；再根据抛物线的增减性求解即可．（3）先把 2,1代入21y ax bx ，得2b a ，从而得221y ax ax ，再求出31m a ，1n a ，31p a ，从而得m p ，然后m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，得10310a a，求解即可．6.【答案】（1）∵二次函数的图象与x 轴交于 1,0,5,0A B 两点．∴设二次函数的表达式为 15y a x x ∵11,tan 5AO ACO，∴5OC ，即C 的坐标为 0,5，则 50105a ，得1a ∴二次函数的表达式为 15y x x ；（2） 215(2)9y x x x ，∴顶点的坐标为2,9过D 作DN AB 于N ，作DM OC 于M ，四边形ACDB 的面积AOC CDM DNB OMDN S S S S △△△矩形 111152929552930222；（3）如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当ACO PBC 时，连接PB ，过C 作CE BC 交BP 于E ，过E 作EF OC 于F ，∵5OC OB ，则OCB 为等腰直角三角形，45OCB ．由勾股定理得：52CB ∵ACO PBC ，∴tan tan ACO PBC ，即1552CE CB ∴2CE 由CH BC ，得90BCE ，∴180180904545ECF BCE OCB ．∴EFC 是等腰直角三角形，∴1FC FE ，∴E 的坐标为 1,6所以过B E 、的直线的解析式为31522y x令 3152215y x y x x ，解得50x y ，或12274x y所以BE 直线与抛物线的两个交点为 1275,0,,24B P ，即所求P 的坐标为127,24P【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C 点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a 的值，再将a 代入解析式中即可．（2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案．（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P 的坐标．7.【答案】（1）解：①由2,3b c ，得抛物线的解析式为223y x x ．∵2223(1)4y x x x =--+=-++，∴点P 的坐标为 1,4 ．当0y 时，2x 2x 30 ．解得123,1x x ．又点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为 3,0 ．②过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ．∵点 30A ,，点 0,3C ，∴OA OC ．可得Rt AOC 中，45OAC ．∴Rt AEF 中，EF AE ．∵抛物线223y x x 上的点M 的横坐标为m ，其中3<1m ，∴设点 2,23M m m m ，点 ,0E m ．得 33EF AE m m ．即点 ,3F m m ．∴222333FM m m m m m ．Rt FMN 中，可得45MFN ．∴2FM MN ．又2MN 得2FM ．即232m m ．解得122,1m m (舍)．∴点M 的坐标为 2,3 ．（2）∵点 ,0A c 在抛物线2y x bx c 上，其中1c ，∴20c bc c ．得1b c ．∴抛物线的解析式为 21y x c x c ．得点2,1M m m c m c ，其中12cc m．∵ 2221(1)124c c y x c x c x，∴顶点P 的坐标为21(1),24c c，对称轴为直线1:2cl x ．过点M 作MQ l 于点Q ，则90MQP ，点 21,12c Q m c m c．由MP AC ∥，得45PMQ ．于是MQ QP ．∴ 221(1)124c c m m c m c ．即2(2)1c m ．解得1221,21c m c m (舍)．同(Ⅰ)，过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ，则点 ,0E m ，点 ,1F m m ，点 2,1M m m ．∵332292AN MN AF FN MN FM221221192m m m即22100m m ．解得125,22m m (舍)．∴点M 的坐标为521,24．【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得P 的坐标，令0y ，解方程，即可求得A 的坐标；②过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ．得出OA OC ．可得Rt AOC 中，45OAC ．Rt AEF 中，EF AE ．设点 2,23M m m m ，点 ,0E m ．根据MN求解；（2）根据题意得出抛物线的解析式为 21y x c x c ．得点2,1M m m c m c ，其中12cc m ．则顶点P 的坐标为21(1),24c c，对称轴为直线1:2c l x ．过点M 作MQ l 于点Q ，则90MQP ，点 21,12c Q m c m c．由MP AC ∥，得45PMQ ．于是MQ QP ．得出1221,21c m c m (舍)．，同(Ⅰ)，过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ，则点 ,0E m ，点 ,1F m m ，点 2,1M m m ．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．8.【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴3x ，4AB ，∴ 1,0,5,0A B ，将()1,0A 代入直线1y kx ，得10k ，解得1k ，∴直线AD 的解析式为1y x ；将 1,0,5,0A B 代入25y ax bx ，得5025550a b a b ，解得16a b ，∴抛物线的解析式为265y x x ；（2）存在点M ，∵直线AD 的解析式为1y x ，抛物线对称轴3x 与x 轴交于点E ．∴当3x 时，12y x ，∴ 3,2D ，①当90DAM 时，设直线AM 的解析式为y x c ，将点A 坐标代入，得10c ，解得1c ，∴直线AM 的解析式为1y x ，解方程组2165y x y x x，得10x y 或43x y ，∴点M 的坐标为 4,3 ；②当90ADM 时，设直线DM 的解析式为y x d ，将 3,2D 代入，得32d ，解得5d ，∴直线DM 的解析式为5y x ，解方程组2565y x y x x ，解得05x y 或5x y ，∴点M 的坐标为 0,5或5,0综上，点M 的坐标为 4,3 或 0,5或 5,0；（3）如图，在AB 上取点F ，使1BF ，连接CF ，∵2PB ，∴12BF PB ，∵2142PB AB ，∴BF PBPB AB，又∵PBF ABP ，∴PBF ABP ∽，∴12PF BF PA PB ，即12PF PA ，∴12PC PA PC PF CF，∴当点C 、P 、F 三点共线时，12PC PA 的值最小，即为线段CF 的长，∵5,1514OC OF OB ，∴CF ∴12PC PA【分析】（1）根据对称轴3x ，4AB ，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当90DAM 时，求出直线AM 的解析式为1y x ，解方程组2165y x y x x ，即可得到点M 的坐标；②当90ADM 时，求出直线DM 的解析式为5y x ，解方程组2565y x y x x，即可得到点M 的坐标；（3）在AB 上取点F ，使1BF ，连接CF ，证得BF PBPB AB，又PBF ABP ，得到PBF ABP ∽，推出12PF PA ，进而得到当点C 、P 、F 三点共线时，12PC PA 的值最小，即为线段CF 的长，利用勾股定理求出CF 即可．9.【答案】（1）解：令0y ，则有：2680x x ，解得：2x 或4x ，∴ 2,0,4,0A B ．（2）解：∵抛物线过 2,0,4,0A B ∴抛物线的对称轴为3x ，设 2,68P m m m ，∵PM l ，∴ 23,68M m m ,如图：连接MT ，则MT PT ，∴ 222223PT PM MT m r ，∴切线PT 为边长的正方形的面积为 223m r ，过点P 作PH x 轴，垂足为H ，则：21682PAB S AB PH m m ，∴ 222368m r m m ∵0r ，∴1r ，假设M 过点 3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即3,3M ∴2683m m ，解得：5m 或1m ，∵4m ，∴5m ；②如图2：当点M 在点N 的上方，即3,1M ∴2681m m ，解得：32m ∵4m ，∴32m 综上，32PM m 2∴当M 不经过点 3,2时，12PM 22PM 或2PM ．【分析】（1）令0y 求得点,A B 的横坐标即可解答；（2）由题意可得抛物线的对称轴为3x ，设 2,68P m m m ，则 23,68M m m ；如图连接MT ，则MT PT ，进而可得切线长PT 为边长的正方形的面积为 223m r ；过点P 作PH x 轴，垂足为H ，可得21682PAB S AB PH m m；由题意可得 222368m r m m ，解得1r ；然后再分当点M 在点N 的上方和下方两种情况解答即可．10.【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ．∵当2t 时，4BC ，∴点C 的坐标为 2,4 ．将点C 坐标代入表达式，得 22104a ，解得14a ．∴抛物线的函数表达式为21542y x x．（2）解：由抛物线的对称性得：AE OB t ，∴102AB t ．当x t 时，21542BC t t ．∴矩形ABCD 的周长为2152210242AB BC t t t21202t t 2141122t ．∵102，∴当1t 时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．（3）解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴12PQ OA ．当2t 时，点A 的坐标为 8,0，∴142CH OA ．∴抛物线平移的距离是4．【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得AE OB t ，则102AB t ，再得出21542BC t t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A C ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ CH ，12PQ OA ．求出2t 时，点A 的坐标为 8,0，则142CH OA，即可得出结论．11.【答案】（1）解：∵抛物线2443y x bx 与x 轴交于(3,0)A ，∴ 2433403b 解得：83b ，∴抛物线解析式为248433y x x ，当0x 时，4y ，∴ 0,4C ，当0y 时，2480433x x ，解得：123,1x x ，∴10B ,（2）∵ 3,0A ， 10B ,， 0,4C ，设 ,D m n ，∵以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形当AB 为对角线时，031400,2222m n ，解得：2,4m n ，∴ 2,4D ；当AC 为对角线时，301400,2222m n，解得：4,4m n ，∴ 4,4D 当BC 为对角线时，301040,2222m n，解得：4,4m n ，∴ 44D ,综上所述，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形， 2,4D 或 4,4D 或 44D ,（3）解：如图所示，作AG CE 交于点G ，F 为AC 的中点，连接,GO GF ，∵45ACE ，∴AGC 是等腰直角三角形，∴,,,A O C G 在F 上，∵ 3,0A ， 0,4C ，∴3,22F，5AC ，1522GF AC∵45AOG ACG ，∴G 在y x 上，设 ,G t t ，则 222235222GF t t，解得：12702t t ，（舍去），∴点7722G ，设直线CG 的解析式为4y kx ，∴77422k ，解得：17k .，∴直线CG 的解析式147y x ∵ 3,0A ， 10B ,，∴抛物线对称轴为直线3112x，当=1x 时， 12714=77 ，∴271,7E．【分析】（1）将点0()3,A ﹣代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令,0x y ，即可求得,B C 两点的坐标；（2）分三种情况讨论，当AB ，,AC BC 为对角线时，根据中点坐标即可求解；（3）根据题意，作出图形，作AG CE 交于点G ，F 为AC 的中点，连接,GO GF ，则,,,A O C G 在F 上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G 在y x 上，进而勾股定理，根据52FG 建立方程，求得点G 的坐标，进而得出CG 的解析式，即可求解．12.【答案】（1）解：∵抛物线2y x bx c 经过(1,0),(0,3)A C 两点，∴103b c c，解得：23b c ，∴223y x x ；（2）∵ 222314y x x x ，∴ 1,4M ，设直线)0:(A y k M x m k ，则：04k m k m ，解得：22k m，∴22:A y M x ，当0x 时，2y ，∴ 0,2D ；作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接D M ，则： 0,2D ，MH DH MH D H D M ，∴当,,M H D 三点共线时，MH DH 有最小值为D M 的长，∵ 0,2D ， 1,4M ，∴ 2214237D M ，即：MH DH 37；（3）解：存在；∵ 222314y x x x ，∴对称轴为直线1x ，设 ,P p t ， 1,Q n ，当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时：①DM 为对角线时：10142p t n，∴06p t n，当0p 时，3t ，∴3n ，∴ 1,3Q ；②当DP 为对角线时：01124p t n，∴224p t n，当2p 时，222233t ，∴1n ，∴ 1,1Q ；③当MP 为对角线时：10142p t n，∴02p n t，当0p 时，3t ，∴3n ，∴ 1,5Q ；综上：当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时， 1,3Q 或 1,1Q 或 1,5Q ．【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接D M ，D M 与x 轴的交点即为点H ，进而得到MH DH 的最小值为D M 的长，利用两点间距离公式进行求解即可；（3）分DM ，DP ，MP 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．13.【答案】（1）解：将点 1,0,3,,00,3A B C 代入解析式得：09303a b c a b c c ，解得：123a b c，∴抛物线的解析式为223y x x ；（2）设直线BC 的解析式为y kx b ，将点B 、C 代入得：303k b b ，解得：13k b，∴直线BC 的解析式为3y x ，∵ 3,0B ，∴3OB ，设点 2,23(03)P x x x x ，过点P 作PD x 轴于点D ，交BC 于点E ，如图所示：∴ ,3E x x ，∴ 222333PE x x x x x ，∴22211393327332222228PBC S PE OB x x x x x，∴当32x时，PBC 的最大面积为278，2915233344x x ，∴315,24P（3）存在， 2,2N 或17或 4,17或 143 ，2,143 ，证明如下：∵ 3,0,0,3B C ，∵抛物线的解析式为223y x x ，∴对称轴为：1x ，设点 1,,M t N x y ，，若BC 为菱形的边长，菱形BCMN ，则22BC CM ，即 221813t ，解得：1173t ，2173t ，∵31003xt y，∴4,3x y t ，∴ 117N ， 24,17N ；若BC 为菱形的边长，菱形BCNM ，则22BC BM ，即 221831t ，解得：114t 214t ，∵30103x y t，∴2,3x y t ，∴ 3143N ，42,143N ；综上可得：17或 4,17 或 143 ，2,143 ．【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线BC 的解析式为3y x ，设点 2,23(03)P x x x x ，过点P 作PD x 轴于点D ，交BC 于点E ，得出23PE x x ，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若BC 为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．14.【答案】（1）解：根据抛物线的对称轴为2x ，得222a，解得12a ，将 0,6C 代入抛物线可得6c ， 抛物线的解析式为21262y x x ；（2）解：当0y 时，得210262x x ，解得16x ，22x ， 2,0A ， 6,0B ，设CB 的解析式为y kx b ，将 0,6C ， 6,0B 代入y kx b ，得606b k b ，解得16k b，CB 的解析式为6y x ，设CD a ，则 0,6D a ，设AD 的解析式为11y k x b ，将 0,6D a ， 2,0A 代入11y k x b ，得111602a b k b ，解得11626a k b a，AB 的解析式为662a y x a ，联立方程6662y x ay x a ，解得284888a x aa y a，根据CD CE，得a18a28a ，经检验，18a28a 是方程的解，∵点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，D 在y 轴正半轴，6a，8a 即CD的长为8 ；②解：如图，过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I，1322S S S ∵，2AD EF DE ，13DE AF，设21,262F h h h，则2AH h ，,EG AB FH AB ∵，EG FH ∥，DEI AFB ，DI EG ∵，90DIE ，DEI AFB △∽△，112333DI AB h ，即点D 的横坐标为1233h ，21122363EI FH h h ，设AF 的解析式为22y k x b ，将 2,0A ，21,262F h h h，代入得22222021262k b h h k h b，解得221326k h b h ，AF 的解析式为1362y h x h， 0,6D h ，即6DO h ，90DOG ∵， 四边形DOGI 是矩形，6IG DO h ，211863EG EI IG h h ，即21211,83363E h h，将21211,83363E h h h代入6y x ，得21112866333h h h ，解得14h ，240h （舍去）， 4,6F ．【分析】（1）根据抛物线对称轴为2x ，可得222a ，求得12a ，再将 0,6C 代入抛物线，根据待定系数法求得c ，即可解答；（2）①求出点B ，点A 的坐标，即可得到直线BC 的解析式为6y x ，设CD a ，则 0,6D a ，求得AD 的解析式，列方程求出点E 的坐标，最后根据CD CE 列方程，即可求出CD 的长；②过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I ，根据1322S S S ，可得2AD EF DE ，即13DE AF ，证明DEI AFB △∽△，设21,262F h h h，得到直线AF 的解析式，求出点D 的坐标，即可得到点E 的坐标，将点E 的坐标代入6y x 解方程，即可解答．15.【答案】（1）解：∵抛物线22y x x c 经过点(0,1)A ．∴1c ∴抛物线解析式为221y x x ；（2）解：∵221y x x 212x ，顶点坐标为 1,2，∵点Q 与此抛物线的顶点重合，点Q 的横坐标为2m ∴21m ，解得：12m ；（3）①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x 对称，22Q x m ，∴1m ，则212112 ，222211 ，∴ 1,2P ，Q2,1∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211 ；②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x 对称，∴2P x m ，24Q x m 则242417 ∴ 2,1P ， 4,7Q ；∴点P 与点Q 的纵坐标的差为 178 ；综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；（4）①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x 的左侧时，则021m ∴102m∵ 2,21P m m m ，22,2221Q m m m 即22,441Q m m m ∴ 21211P A h y y m m 22m m ；222441144Q A h y y m m m m∵21h h m ∴22442m m m m m 解得：13m 或0m （舍去）；②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ，，即112m ，则2122,211h m m h ，∴212m m m ，解得：m （舍去）或352（舍去）；③当点P 在1x 的右侧且在直线0y 上方时，即12m ，1211h ， 2222441441h m m m m ∴24411m m m 解得：54m或0m （舍去）；④当P 在直线1y 上或下方时，即2m，，22122121h m m m m ， 2222441441h m m m m ，2244121m m m m m 解得：1m （舍去）或0m （舍去）综上所述，13m 或54m．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x 的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点P 在1x 的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m 建立方程，解方程即可求解．16.【答案】（1）解：∵抛物线2y ax c 经过点3(4,)P ，与y 轴交于点(0,1)A ，∴1631a c c，解得141a c，∴抛物线的函数表达式为2114y x ；（2）解：设21,14B t t，根据题意，ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，有两种情况：当AB AP 时，点B 和点P 关于y 轴对称，∵ 4,3P ，∴ 4,3B ；当AB BP 时，则22AB BP ，∴ 2222221101141344t t t，整理，得24160t t ，解得12t 22t ，当2t 时，2114t 212154，则 25B ，当2t 2114t 21215425B ，综上，满足题意的点B 的坐标为(4,3) 或(25 或(25 ；（3）解：存在常数m ，使得OD OE ．根据题意，画出图形如下图，设抛物线2114y x 与直线(0)y kx k 的交点坐标为 ,B a ka ， ,C b kb ，由2114y x kx 得2440x kx ，∴4a b k ，4ab ；设直线AB 的表达式为y px q ，则1ap q ka q ，解得11ka p a q，∴直线AB 的表达式为11ka y x a ，令y m ，由11ka y x m a得 11a m x ka ，∴ 1,1a m D m ka，同理，可得直线AC 的表达式为11kb y x b，则 1,1b m E m kb，过E 作EQ x 轴于Q ，过D 作DN x 轴于N ，则90EQO OND ，EQ ND m ， 11b m QO kb，11a m ON ka，若OD OE ，则90EOD ，∴90QEO QOE DON QOE ，∴QEO DON ，∴EQO OND ∽，∴EQ QOON ND，则1111b m m kb a m mka，整理，得 22111m ka kb ab m ，即 22211m abk k a b ab m ，将4a b k ，4ab 代入，得222244141m k k m ，即 2241m m ，则 21m m 或 21m m ，解得12m ，223m，综上，存在常数m ，使得OD OE ，m 的值为2或23．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设21,14B t t，分AB AP 和AB BP 两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；（3）先根据题意画出图形，设抛物线2114y x 与直线(0)y kx k 的交点坐标为 ,B a ka ， ,C b kb ，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到4a b k ，4ab ，利用待定系数法分别求得直线AB 、AC 的表达式为得到 1,1a m D m ka ， 1,1b m E m kb，过E 作EQ x 轴于Q ，过D 作DN x 轴于N ，证明EQO OND ∽得到1111b m mkb a m mka，整理可得到 2241m m ，进而求解即可．。
2009年浙江省台州市中考数学试卷
2009年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（）A．B．C．D．2．（4分）数据：1，2，2，3，5的众数是（）A．1B．2C．3D．53．（4分）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（）A．N B．A C．M D．E4．（4分）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内含5．（4分）下列运算正确的是（）A．3a+2a＝a5B．a2•a3＝a6C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b26．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9 7．（4分）盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，⊙O的内接多边形周长为3，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．B．C．D．9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＝4时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝0的正根在2与3之间10．（4分）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全对称式的是（）A．①②③B．①③C．②③D．①②二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）如图，已知直线AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝度．12．（5分）请写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的关系式：．（答案不唯一）13．（5分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：甲13，乙13，S甲2＝7.5，S乙2＝21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是（填“甲”或“乙”）．14．（5分）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为．15．（5分）如图，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为（结果保留π）．16．（5分）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n＝；②第i行第j列的数为（用i，j表示）．三、解答题（共8小题，满分80分）17．（8分）计算：|﹣3|+（1）0﹣（）2．18．（8分）解不等式组：＜①＞ ②．19．（8分）如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C．求证：AC＝BC．20．（8分）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5度．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）．21．（10分）如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．22．（12分）台州素有“七山一水两分田”之说，据此画成统计图1．图2是台州市2004～2008年的人口统计图（单位：万人）．（1）请你计算扇形统计图中表示“田”的扇形圆心角的度数；（2）请你指出台州市2004～2008年的人口变化趋势，并据此推断台州市2004～2008年人均耕地面积是不断增加还是不断减少？（人均耕地面积＝耕地总面积÷人口）（3）结合统计图和资料的信息，计算台州市2008年耕地总面积约是多少亩？（结果用科学记数法表示）23．（12分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH＝PJ，PI＝PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则P A+PB＝PC+PD或P A+PC＝PB+PD．（）24．（14分）如图，已知直线y x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．2009年浙江省台州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从物体左面看，左边2列，右边是1列．故选：A．2．（4分）数据：1，2，2，3，5的众数是（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，此题中1，3，5各出现了一次，2出现了两次，所以这组数据的众数是2．故选：B．3．（4分）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（）A．N B．A C．M D．E【解答】解：观察后可知，是中心对称图形只有N．故选A．4．（4分）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内含【解答】解：∵两圆半径和为3+6＝9＜10，∴两圆外离．故选A．5．（4分）下列运算正确的是（）A．3a+2a＝a5B．a2•a3＝a6C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b2【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正确；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此选项错误；故选：C．6．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9【解答】解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，∴（x﹣2）2＝9．故选D．7．（4分）盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为全部是5支笔，2支黑色笔芯，所以从中任意拿出一支笔芯，拿出黑色笔芯的概率是．故选C．8．（4分）如图，⊙O的内接多边形周长为3，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．B．C．D．【解答】解：圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长．圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间．∵32＝9，3.42＝11.56，∴＜圆的周长＜，只有只有C选项满足条件．故选：C．9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＝4时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝0的正根在2与3之间【解答】解：由题意可得，解得，故二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+1．因为a＝﹣1＜0，故抛物线开口向下；又∵c＝1＞0，∴抛物线与y轴交于正半轴；当x＝4时，y＝﹣16+12+1＝﹣3＜0；故A，B，C错误；方程ax2+bx+c＝0可化为﹣x2+3x+1＝0，△＝32﹣4×（﹣1）×1＝13，故方程的根为x±，故其正根为 1.5+1.8＝3.3，3＜3.3＜4，故选：D．10．（4分）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全对称式的是（）A．①②③B．①③C．②③D．①②【解答】解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：①（a﹣b）2＝（b﹣a）2；是完全对对称式．故此选项正确．②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca是完全对称式，ab+bc+ca中ab对调后ba+ac+cb，bc对调后ac+cb+ba，ac对调后cb+ba+ac，都与原式一样，故此选项正确；③a2b+b2c+c2a若只ab对调后b2a+a2c+c2b与原式不同，只在特殊情况下（ab相同时）才会与原式的值一样∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．故此选项错误，所以①②是③不是故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）如图，已知直线AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝50度．【解答】解：∵∠3＝∠1＝50°，又AB∥CD，∴∠2＝∠3＝50°．12．（5分）请写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的关系式：．（答案不唯一）【解答】解：根据反比例函数的性质，图象位于第一、三象限，只要k＞0即可，如：y（答案不唯一）．13．（5分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：甲13，乙13，S甲2＝7.5，S乙2＝21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是甲（填“甲”或“乙”）．【解答】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．故填甲．14．（5分）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为．【解答】解：小林跳90下的时间为：，小群跳120下的时间为：．所列方程为：．15．（5分）如图，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为2π（结果保留π）．【解答】解：∵AC＝A′C，且∠A＝60°∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′＝60°即旋转角为60°，∴∠BCB′＝60°，∴点B转过的路径长是：2π．故答案为：2π．16．（5分）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n＝10；②第i行第j列的数为10（i﹣1）+j（用i，j表示）．【解答】解：根据以上分析，故第4行第2列的数可表示为3n+2，则3n+2＝32，解得n＝10；第i行第j列的数为10（i﹣1）+j．故答案为：10；10（i﹣1）+j．三、解答题（共8小题，满分80分）17．（8分）计算：|﹣3|+（1）0﹣（）2．【解答】解：原式＝3+1﹣6＝﹣2．故答案为﹣2．18．（8分）解不等式组：＜①＞ ②．【解答】解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x＞﹣1，∴不等式的解集为﹣1＜x＜2．19．（8分）如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C．求证：AC＝BC．【解答】证明：∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB．∵OA＝OB，∴AC＝BC．20．（8分）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5度．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD＝BC sin12°≈10×0.208≈2.1（米）．（2）在Rt△BCD中，BD＝BC cos12°≈10×0.98＝9.8（米）；在Rt△ACD中，AD23.33（米），AB＝AD﹣BD≈23.33﹣9.8＝13.53≈13.5（米），答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．21．（10分）如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝3x+1得b＝3+1＝4；（2）方程组的解为；（3）直线l3经过点P，理由如下：把P（1，4）代入直线l2：y＝mx+n得m+n＝4，当x＝1时，y＝nx+m＝m+n＝4，所以直线l3经过点P．22．（12分）台州素有“七山一水两分田”之说，据此画成统计图1．图2是台州市2004～2008年的人口统计图（单位：万人）．（1）请你计算扇形统计图中表示“田”的扇形圆心角的度数；（2）请你指出台州市2004～2008年的人口变化趋势，并据此推断台州市2004～2008年人均耕地面积是不断增加还是不断减少？（人均耕地面积＝耕地总面积÷人口）（3）结合统计图和资料的信息，计算台州市2008年耕地总面积约是多少亩？（结果用科学记数法表示）【解答】解：（1）读图可得：“田”占20%，则表示“田”的扇形圆心角的度数为360°×20%＝72度．（2分）（2）读折线图可得：台州市2004～2008年的人口不断增加，（2分）故台州市2004～2008年的人均耕地面积不断减少．（2分）（3）台州市2008年，人均耕地面积为0.4亩，人数约为575万，则耕地总面积约0.4×575＝230万亩（2分）230万亩＝2.3×106亩．（2分）23．（12分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH＝PJ，PI＝PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（真）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（真）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则P A+PB＝PC+PD或P A+PC＝PB+PD．（假）【解答】解：（1）如图2，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD∵EP平分∠DEC∴PJ＝PH．（3分）同理PG＝PI．（1分）∴P是四边形ABCD的准内点．（1分）（2）（4分）平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，如图3（1）．或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4．（3）真；真；假．24．（14分）如图，已知直线y x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C ，E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．【解答】解：（1）C （3，2）D （1，3）；（2）设抛物线为y ＝ax 2+bx +c ，抛物线过（0，1）（3，2）（1，3），解得， ∴y x 2 x +1；（3）①当点A 运动到x 轴上时，t ＝1，当0＜t ≤1时，如图1，∵∠OF A ＝∠GFB ′，tan ∠OF A ，∴tan ∠GFB ′， ∴GB ′ t∴S △FB ′G FB ′×GB ′tt 2；②当点C运动到x轴上时，t＝2，当1＜t≤2时，如图2，A′B′＝AB，∴A′F t，∴A′G，∵B′H，∴S梯形A′B′HG（A′G+B′H）×A′B′t；③当点D运动到x轴上时，t＝3，当2＜t≤3时，如图3，∵A′G，∴GD′，∵S△AOF1×2＝1，OA＝1，△AOF∽△GD′H ∴，∴，∴S五边形GA′B′C′H＝（）2﹣（t2t；（4）∵t＝3，BB′＝AA′＝3，∴S阴影＝S矩形BB′C′C＝S矩形AA′D′D＝AD×AA′315．。
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全国免费客户服务电话：400-715-6688地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A 座10层2009年中考试题专题之13-二次函数试题及答案一、选择题 1、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。
若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。
2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x yB ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y3、 (2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、（2009年桂林市、百色市）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．236、(2009年上海市)抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数cbx axy ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴【 】x … －1 012… y … －1 47-－2 47-…A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点8、（2009威海）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ）A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，9、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）解析：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ． 10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-xC 、y=121212+--x xD 、y=22++-x x11、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程2ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12、（2009年深圳市）二次函数cbx axy++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y >D ．不能确定12、（2009桂林百色）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）．B ．C ．D ．A ．2B ．1C ．－3D ．2313、（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x=对称.③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．014、（2009烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）15、（2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．22y x =-B ．22y x = C ．212y x =- D ．212y x=16、（2009年甘肃庆阳）将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-17、（2009年广西南宁）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图6（1） 图6（2）xxxxO18、(2009年鄂州)已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（）A．2 B 3 C、4 D、519、（2009年孝感）将函数2y x x=+的图象向右平移a(0)a>个单位，得到函数232y x x=-+的图象，则a的值为A．1 B．2 C．3 D．420、（2009泰安）抛物线1822-+-=xxy的顶点坐标为（A）（-2，7）（B）（-2，-25）（C）（2，7）（D）（2，-9）21、（2009年烟台市）二次函数2y a x b x c=++的图象如图所示，则一次函数24y b x b a c=+-与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图象大致为（）22、（2009年嘉兴市）已知0≠a，在同一直角坐标系中，函数axy=与2axy=的图象有可能是（▲）图4x x xx x23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（）A．h m>>h k，=C．k n>D．00=B．k n24、（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22=+-关于x轴作轴对称y x x变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22=-++y x x=-+-C．22 =--+B．22y x xy x xD．22y x x=++25、（2009年南宁市）已知二次函数2=++（0y ax bx ca≠）的图象如图所示，有下列四个结论：2<>->①②③④00040b c b ac-+<，其中正确的个数有（）a b cA．1个B．2个C．3个D．4个26、（2009年衢州）二次函数2y x=--的图象上最低点的坐标是(1)2A．(-1，-2) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(1，2)27、（2009年舟山）二次函数2=--的图象上最低点的坐标是y x(1)2A．(-1，-2) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(1，2)28、（2009年广州市）二次函数2=xy的最小值是（）-(2+)1A.2 （B）1 （C）-1 （D）-229、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个30、（2009年广西钦州）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2x 2＋3B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2（x ＋3）2D ．y ＝2（x －3）231、(2009宁夏)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（ ）D A ．0c > B ．20a b += C ．240b a c -> D ．0a b c -+>32、(2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 34、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数y m x m =+和函数222y m x x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（8题图）（第12题）35、（2009年兰州）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++36、（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A ．a ＜0 B.abc ＞0C.c b a ++＞0D.ac b 42-＞0 37、（2009年遂宁）把二次函数3412+--=x xy 用配方法化成()kh x a y+-=2的形式A.()22412+--=x yB.()42412+-=x yC.()42412++-=x yD.321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y39、（2009年广州市）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2【关键词】二次函数41、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。
若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。
【关键词】二次函数极值 【答案】B43、（2009年湖北荆州）抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（ ） A ．1x = B ．1x =-C ． 2x =D ．2x =-44、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【45、（2009年黄石市）已知二次函数2y a x b x c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0a b c >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤46、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b47、（2009年枣庄市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错．误．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0【关键词】二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】D二、填空题1、（2009年北京市）若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 3、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．4、（2009年郴州市）抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________．5、(2009年上海市)12．将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．7、（2009襄樊市）抛物线2y x b x c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为 ．8、（2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______． 9、（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点(31)，； ②当0x >时，y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为2时，函数值小于2．10、（2009年贵州省黔东南州）二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。