13.4 课题学习 最短路径问题

13.4 课题学习 最短路径问题
【知识与技能】
通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.
【过程与方法】
让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法.
【情感与价值观】
在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联
系.

【重点】 应用所学知识解决最短路径问题.
【难点】 选择合理的方法解决问题.

【教师准备】 多媒体课件(1,2).
【学生准备】 复习画轴对称图形的方法.

导入一:
【思考】
(1)两点所连的线中, 最短.
(2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中, 最短.
我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何
运用所学知识选择最短路径.(揭示课题)
导入二:
灰太狼从羊村落魄回来途中,不小心掉进脏水坑,为了不让同伴看到自己落魄不堪的样子,于是决定去河
边先洗个澡,冲洗掉身上的脏物,然后再回家,如图所示,请你设计一种路线,教教可怜的灰太狼,告诉它走哪条
路线回家最近.

问题1
[过渡语] 首先我们来研究河边饮马问题.
【课件1】 (河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人
到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

思路一
【师】 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的
距离的和最短?
【生】 举手回答.
【师】 归纳结果.
连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求.
【思考】 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决?
【生】 讨论交流.
【思考】 (1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路
径最短和哪些线段有关?
(2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上?
【生】 分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演.
【师】 幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称)
如果在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C'.怎样证明AC+CB【生】 讨论交流完成.
【师】 反馈学生完成情况,集体讲评.
【总结方法】 找出其中某一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点,与直线的交点即为所求,证明
时要利用三角形三边的关系来证明.
思路二
【提出问题】 如果点A和点B分别位于直线l的异侧,如何在直线l上找到一点,使得这个点到点A和
点B的距离的和最短?
【让学生了解】 “两点之间,线段最短”在实际生活中的广泛应用.
【思考】 如果点A和点B位于直线l的同侧,如何在直线l上找到一点,使得这个点到点A和点B的
距离的和最短?
[通过交流思考,培养学生解决问题的能力,让学生通过轴对称的图形变换作出某一点关于直线的对称点,
找到饮马的位置.]
教师引导学生讨论,明确找点的方法.
让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明.
教师巡视指导学生的做题情况,有针对性地进行点拨.
问题2
【课件2】 (造桥选址问题)如图所示,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何
处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)
我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,思考:
(1)要保证路径最短就是要使哪些线段的和最小?
(2)无论点M,N在什么位置,MN的长度是否发生变化?为什么?
【生】 合作交流.
【师】 结合学生讨论的结果,强调MN为定值,问题的关键就是要保证AM+NB的和最小.
【生】 阅读教材第87页,合作交流思路.
【师】 小组汇报,教师点评,展示教材图13.4 - 9的证明过程.
证明AM+MN+NB证明:因为A'B所以A'N+NB又因为AM=A'N,
所以AM+NB又MN=M'N',
所以AM+MN+NB

最短路径问题,常用的方法是借助轴对称的知识转化,利用“两点之间,线段最短”来求线段和的最小值,从
而解决最短路径问题.
作业布置：
1.如图所示,四边形OABC为正方形,边长为3,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA上,且D的

坐标为(1,0),P是OB上的一动点,则“求PD+PA的最小值”要用到的依据是 ( )
A.两点之间,线段最短
B.轴对称的性质
C.“两点之间,线段最短”以及“轴对称的性质”
D.以上都不正确
2.如图所示,已知点P在锐角∠AOB内部,∠AOB=α,在OB边上存在一点D,在OA边上存在一点C,当PD+
DC

最小时,∠PDC= .
3.如图所示,要在公路MN上修建一个货物中转站P,分别向A,B两个开发区运货.

(1)若要求货物中转站P到A,B两个开发区的距离相等,则货站应建在哪里?
(2)若要求货物中转站P到A,B两个开发区的距离和最小,则货物中转站应建在哪里?
(分别在图上找出点P,并保留作图痕迹.)
4.如图所示,BA,BC是两条公路,在两条公路夹角内部的点P处有一油库,若在两公路上分别建一个加油站,
并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站,再到另一加油站,最后回到油库的路程最短,则加油站应如何选
址?
5.按要求作图:
(1)如图(1)所示,在直线l两侧有两点A,B,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大;
(2)如图(2)所示,在直线l同侧有两点A,B,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大;
(3)如图(3)所示,在直线l同侧有两点A,B,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最小.

【能力提升】
6.如图所示,P,Q分别为ΔABC的边AB,AC上的定点,在BC上求作一点M,使ΔPQM的周长最小
.

7.如图所示,点A,B位于直线l同侧,定长为a的线段MN在直线l上滑动,则当MN滑动到何处时,折线
AMNB
的长度最短?
【拓展探究】
8.如图所示,城市M与城市N在运河l的同侧,运河沿线有无数个港口C1,C2,C3,…,Cn,某快递公司新增项目
A,计划在M城、N
城和某港口间开通一条常用运输路线,为计算运输成本,以此三点形成的三角形周长作为

项目A的基本长度.
(1)该公司人员在从左向右选择港口过程中,项目A的基本长度如何变化?
(2)为节约运输成本,该公司希望选择使基本长度最小的港口,这无数个基本长度中有没有最小值?如果有,请
画图并说明这个港口的位置.

【答案与解析】
1.C
2.2α(解析:如图所示,作点P关于OB的对称点P',作P'C⊥OA于C,交OB于D,此时PD=P'D,根据点到直线
的垂线段最短可知PD+DC=P'C最短,∵∠PDB=∠P'DB,∠CDO=∠P'DB,∴∠CDO=∠PDB,∵P'C⊥OA,∠AOB=α,∴

∠CDO=90°-α,∴∠PDC=180°-2(90°-α)=2α.故填2α.)
3.解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示.

(1)
(2)
4.解:如图所示,C,D点即为所求.

5.解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)如图所示.
6.解:作出点Q关于BC的对称点Q',连接PQ',交BC于M,如图所示,则M点即为所求.

7.解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于N,在直线l上截取MN等于a,(M在N左侧)
连接AM,此时折线AMNB的长度最短.
8.解:(1)∵MN的长度不变,∴基本长度与CM+CN的变化相同,∵CM+CN先变小,后变大,∴项目A的基本长度先
变小后变大. (2)使基本长度最小的港口C如图所示.

板书设计：
13.4 课题学习 最短路径问题
问题1.河边饮马问题
问题2.造桥选址问题
教学反思：
本节课所要达成的目标,一是能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”,把实际问题抽象为
数学的线段和最小问题;二是能利用轴对称将和最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题;三是能通过逻辑
推理证明所求距离最短;四是在探索最短路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟数学转化思想.教师在
教学过程中能积极调动学生学习的积极性,通过学生的互动掌握了知识,教学效果较好.
对于最短路径的确定,教师讲解不够细致,学生理解时有难度.另外对于证明方法的分析也不够到位.学生
只是让教师牵着走,没有积极主动地去思考和感悟知识间的必然联系.
对于教材中的两个问题,一定要充分发挥小组合作的优势,让学生积极地去思考、探讨,发现问题的实质,
既要让学生掌握方法,又要让学生理解证明的思路.因为本节课的教学有一定的难度,所以教师一定要做好铺
垫工作,讲解时一定要慢,让学生理解消化后,再进行下一步的教学,不能草率了事.