等边三角形2
初三 数学 等边三角形 1 根号2 3 旋转
初三数学等边三角形 1 根号2 3 旋转等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在数学中，等边三角形也被称为正三角形，它是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍等边三角形的定义、性质、旋转以及一些有趣的应用。
首先，让我们来定义等边三角形。
等边三角形是一种具有三条边长相等的三角形。
换句话说，它的三个边的长度完全相同。
因此，等边三角形的三个角也相等，每个角都是60度。
这是因为任何一个等边三角形都可以通过将其三个顶点连接到一个圆心，形成一个正六边形，而正六边形的内角和为360度，所以等边三角形的每个角度为360度除以6，即60度。
等边三角形具有许多独特的性质。
首先，它的内角都是60度。
其次，等边三角形的内切圆和外接圆的半径都相等，且都等于其边长的三分之根号3倍。
这意味着，等边三角形的内切圆可以完全被三条边所包围，而外接圆则可以完全包围整个三角形。
此外，等边三角形的高、中线和角平分线都完全重合，并且通过三角形的重心、垂心和外心。
现在，让我们来讨论等边三角形的旋转。
旋转是指将一个图形按照某个中心点旋转一定角度后得到的新图形。
对于等边三角形来说，旋转通常围绕着其重心进行。
重心是等边三角形的三条中线的交点，也是重力作用的平衡点。
当我们将一个等边三角形绕着重心旋转一定角度后，我们将得到一个全新的等边三角形，但是它与原始的等边三角形形状相同但位置不同。
这个过程被称为等边三角形的旋转对称性。
等边三角形的旋转对称性有许多有趣的应用。
例如，我们可以利用旋转对称性来构造一些具有美丽对称图案的图形。
通过将等边三角形绕着重心不断旋转，我们可以构建出许多漂亮的几何图形，如六角星、菊花图案等。
这些图案不仅在数学上具有美学意义，还经常在装饰和艺术设计中得到广泛应用。
此外，等边三角形的旋转对称性还可以用于解决一些几何问题。
例如，当我们需要在等边三角形中找到一个具有特定性质的点时，我们可以利用等边三角形的旋转对称性来简化问题的求解过程。
八年级数学上册 13.3等腰三角形13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质课件2
当堂练习1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A ．6米
B ．9米
C ．12米
D ．15米
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A ＝150°，这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )A ．300a 元
B ．150a 元
C ．450a 元
D ．225a 元
B
B
6.在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的垂直平分线，
BE=5，则求AC 的长．
解：连接AE ，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴BE=AE ，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．1212
7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.。
八年级数学人教版上册第13章轴对称图形13.3.2等边三角形(图文详解)
八年级数学上册第13章轴对称
通过本课时的学习，需要我们掌握： 一.等边三角形的判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形. 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 二.定理： 如果在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么，它所对的直角边等于斜边的一半.
八年级数学上册第13章轴对称
A
想想看，等边三角形 有什么性质？
B
C
⑴三边之间 AB＿＝AC＿＝BC
⑵三角之间∠A＿＝∠B＿＝∠C
八年级数学上册第13章轴对称
等边三角形的性质 A
B ）60°
60（° C
⑴等边三角形的三边都相等；
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60°.
八年级数学上册第13章轴对称
八年级数学上册第13章轴对称
1.如图,∠Ｃ＝90°，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点,
1
∠ＢＤＣ＝15°，且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ=_____2 AD.
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
八年级数学上册第13章轴对称
2.（2010·宿迁中考）数学活动课上，老师在黑板上画直 线l平行于射线AN（如图），让同学们在直线和射线上各找 一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角 形．这样的三角形最多能画______个．
【解析】分别以A 、B、 C为直角顶点,则共有3个等腰直角 三角形. 答案：3
八年级数学上册第13章轴对称
3.（2010·聊城中考）如图，在等边△ABC中，点D是BC边 的中点，以AD为边作等边△ADE，求∠CAE的度数.
A
F E
B
D
C
【解析】点D是等边△ABC中BC边的中点，故∠DAC＝ 30°;在等边△ADE中， ∠CAE=60°-30°=30°. 答：∠CAE=30°.
人教版八年级上数学课件 13.3.2 等边三角形的性质与判定 (共两课时) 课件
性质
判定
课堂总结
底=腰
边 角 轴对称性 三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 ° 轴对称图形， 每条边上都具 有“三线合一” 性质
等腰三角形法
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
性质
A 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
性质
等边三角形的三个内角之间有什么关系？
A
A
内角和 为180°
B
C
等腰三角形
AB=AC ∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
B
C
等边三角形
AB=AC=BC
∠A=∠B=∠C =60°
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每
一 个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明方法： 倍长法
A
延长BC 到D，使BD =AB，连结AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴
1
BC =
BD．
2
∴
1
BC =
AB．
2
B
C
D
【证法2】 在BA上截取BE=BC，连结EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC，
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要 分清线段所在的直角三角形．
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB
“等边三角形”教学设计(第二课时)
【教学目标】 1. 知识与技能： 使学生理解含 30°角的直角三角形的性质。 2. 过程与方法： （1）通过探究含 30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认 识到数学来源于生活实践。 （2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程。 （3）会用这一性质解决相关数学问题。 3. 情感、态度与价值观： （1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐 于探究、大胆猜想等良好品质。
生的符号感； 另一方面让学生通过图形来深入理解所发现的规律， 而
不是停留在字面意义上， 从而达到理解记忆， 使学生见其形， 知其意，
人教社数学室李海东研究员曾说 “‘理解数学’ 是教好数学的前提” ，
我们可以说“‘理解数学’是学好数学的前提”。第三方面，
发展
学生的逻辑
（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养 学生科学、严谨、求真的学习态度。
【教学重点：】
理解含 30°角的直角三角形的性质及应用。
【教学难点：】
含 30°角的直角三角形性质的探究。
【教学过程】
活动一：旧知准备
问题：
已知△ ABC ，∠ A=60 °，（ 件，使△ ABC 能成为等边三角形。
活动二：探究直角三角形的性质
１. 拼一拼：
你能用两个含有 30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形 吗？你能借助这个图形，找到 30°角所对的直角边与斜边之间的数 量关系吗？组内交流自己的想法。（如图 1）
图（ 1） 学生活动：
学生两人一组拼并观察图形，分析数量关系，发现∠ BAD＝60°, 而∠ B＝∠ D＝60°，所以△ ABD 是等边三角形， 所以 AB=BD ＝2BC， 进而得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半。
北师大版数学八年级下册第2课时 等边三角形的性质课件
D
E
B
C
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = AC.
在△ADC 和△CEB 中， AC = CB，AD = CE，∠A =∠BCE， ∴△ADC ≌ △CEB， ∴CD = BE.
A D
E
B
C
课堂小结
等边三角形的性质 1 .三条边相等. 2.等边三角形的内角都相等，且等于60 °.
3.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分 线都三线合一.
证明：∵ △ABC 和△BDE 都是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC =∠DBE = 60°，
A
BE = BD，
∴△ABE ≌△CBD. ∴AE = CD.
B
EC
D
5. 已知：如图，D，E 分别是等边三角形 ABC 的两边 AB，AC 上的两点，且 AD = CE. 求证 ：CD = BE.
证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、CE
是△ABC 的中线.
A
求证：BD = CE.
E
D
B
C
证明： ∵BD、CE 是△ABC 的中线. ∵AE = A12B，AD = AC12， ∴AE = AD.
在△ABD 和△ACE 中， ∵AE = AD，AB = AC，∠A =∠A. ∴△ABD ≌△ACE（SAS）. ∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
求：（1）各边的长；
（2）各角的度数.
A
B
C
解：（1）∵AB = BC = CA， 又 ∵AB + BC + CA = 21cm（已知） ∴AB = BC = CA = 21÷3 = 7（cm）
人教版八年级数学(上)课件：13_3_2 等边三角形(第1课时)
探究新知 知识点 1 等边三角形的性质
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分 别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状 的三角形？
10cm
10cm
10cm
10cm
6cm
10cm
探究新知 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相
等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形 叫做等边三角形.
巩固练习 根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不 是
（1） 不 一 定 是
（4）
是
是
（2） 是
（3） 是
（5）
（6）
探究新知
素养考点 等边三角形的判定的应用
例1 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是
等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形.
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
探究新知 方法点拨
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意 “每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合 “等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD． ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
等边三角形的性质与计算公式解析
等边三角形的性质与计算公式解析等边三角形是指具有三条边相等的三角形。
在几何学中，等边三角形具有一些独特的性质和特点。
本文将对等边三角形的性质以及与其相关的计算公式进行解析，帮助读者更好地理解和应用等边三角形。
一、等边三角形的性质：1. 三边相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a。
2. 三个角度相等：等边三角形的三个角度均相等，且每个角度为60度。
3. 三个角的余弦值等于0.5：等边三角形的每个角的余弦值均为0.5，即cos(60°) = 0.5。
4. 三个角的正弦值等于根号3/2：等边三角形的每个角的正弦值为根号3/2，即sin(60°) = √3/2。
二、等边三角形的计算公式解析：1. 等边三角形的周长：等边三角形的周长可以通过三条边的长度相加来计算，即周长L = 3a。
2. 等边三角形的面积：等边三角形的面积可以通过以下公式来计算，即S = (a^2√3)/4。
3. 等边三角形的高度：等边三角形的高度可以通过以下公式来计算，即h = (a√3)/2。
4. 等边三角形内切圆的半径：等边三角形的内切圆半径可以通过以下公式来计算，即r = (a√3)/6。
三、等边三角形的应用举例：1. 基于等边三角形的面积公式，我们可以计算任意等边三角形的面积。
例如，已知等边三角形的边长为5cm，则可以利用公式S =(a^2√3)/4计算得出面积为(25√3)/4。
这样，我们可以根据等边三角形的边长快速计算其面积。
2. 基于等边三角形的周长公式，我们可以计算任意等边三角形的周长。
例如，已知等边三角形的边长为8cm，则可以利用公式L = 3a计算得出周长为24cm。
这样，我们可以通过等边三角形的边长轻松求得其周长。
3. 等边三角形的性质也可以应用于建筑和工程领域。
例如，在设计正六边形的地砖或者蜂窝状结构时，我们可以利用等边三角形的特性来确定每个等边三角形的边长和角度，从而实现结构的合理设计和布局。
北师大2024八年级数学下册 1.1 第2课时 等边三角形的性质 课件
探究新知
1 等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、
高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的
结论吗? A
A
A
ED
B
C
猜想1：底角的两
条平分线相等
NM
B
C
猜想2：两条腰
上的中线相等
E DA
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
当堂小结 等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两 腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于 60°.
的中线．
求证：BM = CN． 证明：∵ AB = AC (已知)，∴∠ABC =∠ACB.
A
又∵
CM
=
1 2
AC，BN
=
1 2
AB，∴
CM
=
BN.
N
M
在△BMC 与△CNB 中，
∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN，B
C
∴△BMC≌△CNB (SAS)． ∴ BM = CN.
例3 证明： 等腰三角形两腰上的高相等． 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是
怎样证明这 一定理呢？
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
证明：在△ABC 中，
等边三角形公式范文
等边三角形公式范文一、等边三角形的性质：1.三条边长度相等：等边三角形的三条边都是相等的，记作a=a=a。
2.三个角度相等：等边三角形的三个内角都是60度，记作∠A=∠B=∠C=60°。
3.等边三角形的内角和为180度：等边三角形的三个内角之和为180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
二、等边三角形的关键公式：1.等边三角形的面积公式：S=(√3/4)a²其中√3/4为一个常数，代表等边三角形的高与边长的关系。
2.等边三角形的高公式：h=(√3/2)a其中√3/2为一个常数，代表等边三角形的高与边长的关系。
3.等边三角形的外接圆半径公式：R=a4.等边三角形的内切圆半径公式：r=(√3-1)/(√3+1)*a其中(√3-1)/(√3+1)为一个常数，代表等边三角形的内切圆半径与边长的关系。
三、等边三角形的性质证明：1.证明等边三角形的三个内角都是60度：根据等边三角形的性质，三条边和三个角度都相等。
假设等边三角形的内角分别为∠A、∠B和∠C，则有∠A=∠B=∠C，假设∠A=60度，则∠B=60度，∠C=60度。
由此可证明等边三角形的三个内角都是60度。
2.证明等边三角形的内角和为180度：由等边三角形的性质可知，三个内角都是60度，假设等边三角形的内角分别为∠A、∠B和∠C，根据等边三角形的性质，有∠A=∠B=∠C=60度。
则∠A+∠B+∠C=60度+60度+60度=180度。
由此可证明等边三角形的内角和为180度。
四、等边三角形的应用：1.天文学和地理学中的测量：等边三角形可以用来测量地球的形状、天体的距离等。
通过观测等边三角形的各个边长和角度，可以计算出测量对象的一些重要参数。
2.建筑工程中的设计：等边三角形具有稳定性好、强度高等特点，在建筑工程中常用于设计桥梁、塔楼等高高建筑物。
通过等边三角形的相关公式，可以计算出各个构件的尺寸和稳定性。
3.数学和几何学的研究：等边三角形作为一种特殊的三角形，其性质和公式被广泛应用于数学和几何学的研究中，对于推理和证明等方面有着重要的作用。
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等边三角形2
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2
13.3.2 等边三角形（2）
一、学习目标
1、理解含30°锐角的直角三角形的性质；
2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。
二、重点难点
重点：等边三角形的判定定理、30°直角三角形性质定理。
难点：等边三角形的判定定理、30°直角三角形性质定理的灵活运用。
三、教学过程
（一）自助探究
1、等边三角形三边 ，三个角都等于 ，
2、等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴，它的对称
轴 。
（二）自助提升
探究（一）
1、如图（1），将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图
形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之
间的数量关系吗
2、你能用所学的知识验证以上结论吗
方法1：如图(2)，
△ ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，
∠BAD= °,BD= BC= AB。
方法2：如图(3)，△ABC中，延长BC到D，
使BD=AB，连接AD，则△ABD是 三角形,
BC=12 =12 。
A
C B
D
图
（2）
B A D
C
图
（3）
探究（二）
例题：如图（4）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱
BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，
由于∠A=30°，所以DE= ，BC= ，又由
D是AB的中点，所以DE= 。
（三）自助检测
1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°，则此三角形中腰与底边
的关系（ ）
A、腰大于底边 B、腰小于底边
C、腰等于底边 D、不能确定
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，AB=8cm,则
BC= ，
BD= ， AD=
3、如图（6）,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交
AB于M,且BD=8㎝,求AC的长。
4、△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相
交于点P，BF⊥AE于点F求证:BP=2PF
D
C
A
E
B
图
（4）
图
（6）
M
C
B D
A
M
D
B C
A
四、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。