广东专版2019高考数学二轮复习每日一题规范练第六周理20181205266
(广东专版)2019高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第二周)文
每日一题 规范练(第二周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期为π.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.[题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n 数列{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6， 所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19， 所以b 1＝1，因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列， 所以b n ＝2n －1，则b 3＝4.由a 1b 3＝12，得a 1＝3，则等差数列{a n }的公差为d ＝a 2－a 1＝3. 所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n (n ∈N *)．(2)设C n ＝b n cos(a n π)，由(1)得C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，则C n ＋1＝(－1)n ＋12n，所以C n ＋1C n＝－2， 又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列． 所以T n ＝－1×[1－（－2）n]1－（－2）＝13[(－2)n－1]．[题目3] (本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），且n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)K 2＝100×（40×25－20×15）255×45×60×40≈8.25＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n .则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )．则P (A )＝815.所以选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.[题目4] (本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D ABC 中：(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F BCE 的体积． (1)证明：因为AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，所以在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2×AC ×AB ×cos 45°＝8， 又AB 2＝AC 2＋BC 2＝16， 所以AC ⊥BC ，因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， 所以BC ⊥平面ACD .(2)解：因为AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ， 所以AD ∥EF ， 因为E 为AC 的中点， 所以EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，V F BCE ＝V B CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，所以V F BCE ＝13×12×22＝23.[题目5] (本小题满分12分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x . (1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋ax.因为x ＝3是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(3)＝0，解得a ＝－6. 经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意， 故实数a 的值为－6.(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0， 记F (x )＝x －ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x －1x(x ＞0)， 所以当0＜x ＜1时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞1时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增．所以F (x )＞F (1)＝1＞0，所以a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0.记G (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ， 则G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）（x －ln x ）2＝（x －1）（x －2ln x ＋2）（x －ln x ）2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0， 所以x －2ln x ＋2＞0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，G ′(x )＜0，G (x )单调递减； 当x ∈(1，e]时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增．所以G (x )min ＝G (1)＝－1，所以a ≥G (x )min ＝－1， 故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，且C 与y 轴交于A (0，－1)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围．解：(1)由题意得，b ＝1，c ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(0＜x 0≤2)，A (0，－1)，B (0，1)， 所以k PA ＝y 0＋1x 0，直线PA 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1， 同理得直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， 直线PA 与直线x ＝3的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y 0＋1）x 0－1，直线PB 与直线x ＝3的交点为N ⎝⎛⎭⎪⎫3，3（y 0－1）x 0＋1， 线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0，所以圆的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －3y 0x 02＝(1－3x 0)2，令y ＝0，则(x －3)2＋9y 20x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 02，因为x 204＋y 20＝1，所以(x －3)2＝134－6x 0，因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解， 则134－6x 0＞0，又0＜x 0≤2， 解得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.故P 点横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解：(1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12. (2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0， 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，所以ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215. 2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )＞5的解集； (2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|＞5， 若x ≤1，则－3x ＋4＞5，即x ＜－13，若1＜x ＜2，则x ＞5，舍去， 若x ≥2，则3x －4＞5，即x ＞3，综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞)． (2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|， 得到f (x )的最小值为|a －1|， 又|a －1|≤|a －2|，所以a ≤32.。
2019届高考数学二轮复习高考大题专项练六导数A理
六导数(A)1.(2018·湖南怀化模拟)设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)判断函数f(x)=+是否是集合M中的元素,并说明理由;(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:“若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n]D,都存在x0∈[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x0)成立”.试用这一性质证明:方程f(x)-x=0只有一个实数根;(3)设x1是方程f(x)-x=0的实数根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2-x1|<1且|x3-x1|<1时,|f(x3)-f(x2)|<2.2.(2018·安庆质检)已知x=是函数f(x)=(x+1)e ax(a≠0)的一个极值点.(1)求a的值;(2)求f(x)在[t,t+1]上的最大值;(3)设g(x)=f(x)+x+xln x,证明:对任意x1,x2∈(0,1),有|g(x1)- g(x2)|<+.3.(2018·桃城区校级模拟)设函数f(x)=-a2ln x+x2-ax(a∈R).(1)试讨论函数f(x)的单调性;(2)如果a>0且关于x的方程f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2),证明x1+x2>2a.4.(2018·德阳模拟)已知函数f(x)=ln (x+1).(1)当x∈(-1,0)时,求证:f(x)<x<-f(-x);(2)设函数g(x)=e x-f(x)-a(a∈R),且g(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),①求实数a的取值范围;②求证:x1+x2>0.1.(1)解:函数f(x)=+是集合M中的元素.理由如下:因为f′(x)=+cos x,所以f′(x)∈[,]满足条件0<f′(x)<1,又因为当x=0时,f(0)=0,所以方程f(x)-x=0有实数根0.所以函数f(x)=+是集合M中的元素.(2)证明:假设方程f(x)-x=0存在两个实数根a,b(a≠b),则f(a)-a=0,f(b)-b=0,不妨设a<b,根据题意存在c∈(a,b),使得等式f(b)-f(a)=(b-a)f′(c)成立,因为f(a)=a,f(b)=b,且a≠b,所以f′(c)=1,与已知0<f′(x)<1矛盾,所以方程f(x)-x=0只有一个实数根.(3)证明:不妨设x2<x3,因为f′(x)>0,所以f(x)为增函数,所以f(x2)<f(x3),又因为f′(x)<1,所以f′(x)-1<0,所以函数f(x)-x为减函数,所以f(x2)-x2>f(x3)-x3,所以0<f(x3)-f(x2)<x3-x2,即|f(x3)-f(x2)|<|x3-x2|,所以|f(x3)-f(x2)|<|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|<2.2.(1)解:f′(x)=e ax+a(x+1)e ax=(ax+a+1)e ax,由x=是函数f(x)的一个极值点得f′()=(a+2)e=0,解得a=-2,经检验,a=-2适合题意.(2)解:由(1)知f(x)=(x+1)e-2x,则f′(x)=-(2x+1)e-2x,令f′(x)=0得x=-.当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:,-,+极大值当t+1≤-,即t≤-时,f(x)max=f(t+1)=(t+2)e-2(t+1);当t<-<t+1,即-<t<-时,f(x)max=f(-)=e;当t≥-时,f(x)max=f(t)=(t+1)e-2t.(3)证明:由题意可得g(x)=(x+1)e-2x+x+xln x,设g(x)=m1(x)+m2(x),x∈(0,1),其中m1(x)=(x+1)e-2x+x,m2(x)=xln x,则m′1(x)=-(2x+1)e-2x+1,令h(x)=m′1(x),则h′(x)=-2e-2x+2(2x+1)e-2x=4xe-2x>0,x∈(0,1),所以m′1(x)在(0,1)上单调递增,则当x∈(0,1)时,m′1(x)>m′1(0)=0,所以m1(x)在(0,1)上也为增函数,所以x∈(0,1)时,1=m1(0)<m1(x)<m1(1)=1+,①又m′2(x)=1+ln x,令m′2(x)=0得x=,且x∈(0,)时,m′2(x)<0,m2(x)为减函数,x∈(,1)时,m′2(x)>0,m2(x)为增函数,且m2()=-,m2(1)=0,所以-≤m2(x)<0,②由①②可得1-<g(x)<1+,所以任意x1,x2∈(0,1),|g(x1)-g(x2)|<(1+)-(1-)=+.3.(1)解:由f(x)=-a2ln x+x2-ax,可知f′(x)=-+2x-a==,因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以,①若a>0,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.②若a=0,则当f′(x)=2x>0在x∈(0,+∞)内恒成立,函数f(x)单调递增.③若a<0,则当x∈(0,-)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(-,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.(2)证明:要证x1+x2>2a,只需证>a.设g(x)=f′(x)=-+2x-a,因为g′(x)=+2>0,所以g(x)=f′(x)为单调递增函数.所以只需证f′()>f′(a)=0,即证-+x1+x2-a>0,只需证-+(x1+x2-a)>0.(*)又-a2ln x1+-ax1=m,-a2ln x2+-ax2=m, 所以两式相减,并整理,得-+(x1+x2-a)=0.把(x1+x2-a)=代入(*)式, 得只需证-+>0,可化为-+ln <0.令=t,得只需证-+ln t<0.令ϕ(t)=-+ln t(0<t<1),则ϕ′(t)=-+=>0,所以ϕ(t)在其定义域上为增函数,所以ϕ(t)<ϕ(1)=0.综上得原不等式成立.4.(1)证明:记q(x)=x-ln (x+1),则q′(x)=1-=,在(-1,0)上,q′(x)<0,即q(x)在(-1,0)上递减,所以q(x)>q(0)=0,即x>ln (x+1)=f(x)恒成立.记m(x)=x+ln (-x+1),则m′(x)=1+=,在(-1,0)上,m′(x)>0,即m(x)在(-1,0)上递增,所以m(x)<m(0)=0,即x+ln (-x+1)<0恒成立,x<-ln (-x+1)=-f(-x).综上得,当x∈(-1,0)时,f(x)<x<-f(-x),原题得证.(2)①解:g(x)=e x-ln (x+1)-a,定义域为(-1,+∞),则g′(x)=e x-,易知g′(x)在(-1,+∞)上递增,而g′(0)=0,所以在(-1,0)上,g′(x)<0,g(x)在(-1,0]上递减,在[0,+∞)上递增,x→-1+,y→+∞,x→+∞,y→+∞, 要使函数有两个零点,则g(x)极小值=g(0)=1-a<0,故实数a的取值范围是(1,+∞).②证明:由①知-1<x1<0<x2,记h(x)=g(x)-g(-x),x∈(-1,0),h′(x)=g′(x)-g′(-x)=e x-+e-x-,当x∈(-1,0)时,由①知x<-ln (-x+1),则e x<e-ln(-x+1)=,再由x>ln (x+1)得,e-x<e-ln(x+1)=.又因为e x-<0,e-x-<0,故h′(x)<0恒成立,h(x)=g(x)-g(-x)在x∈(-1,0)上单调递减,h(x)>h(0)=0,即g(x)>g(-x),而-1<x1<0,g(x1)>g(-x1),g(x1)=g(x2)=0,所以g(x2)>g(-x1),由题知,-x1,x2∈(0,+∞),g(x)在[0,+∞)上递增,所以x2>-x1,即x1+x2>0.。
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每日一题 规范练(第二周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45， 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.[题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n}是等差数列，a2＝6，前n项和为S n数列{b n}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{b n cos(a nπ)}的前n项和T n.解：(1)因为数列{a n}是等差数列，a2＝6，所以S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，所以b1＝1，因为b2＝2，数列{b n}是等比数列，所以b n＝2n－1，则b3＝4.由a1b3＝12，得a1＝3，则等差数列{a n}的公差为d＝a2－a1＝3.所以a n＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N*)．(2)设C n＝b n cos(a nπ)，由(1)得C n＝b n cos(a nπ)＝(－1)n2n－1，则C n＋1＝(－1)n＋12n，所以C n＋1C n＝－2，又C1＝－1，所以数列{b n cos(a nπ)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列．所以T n＝－1×[1－（－2）n]1－（－2）＝13[(－2)n－1]．[题目3] (本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），且n＝a＋b＋c＋d.解：(1)K2＝100×（40×25－20×15）255×45×60×40≈8.25＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．则P(A)＝8 15.所以选出的2人中恰有1名女大学生的概率为8 15.[题目4] (本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝12AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体D-ABC中：(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F -BCE 的体积． (1)证明：因为AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，所以在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2×AC ×AB ×cos 45°＝8， 又AB 2＝AC 2＋BC 2＝16， 所以AC ⊥BC ，因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， 所以BC ⊥平面ACD .(2)解：因为AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ， 所以AD ∥EF ， 因为E 为AC 的中点， 所以EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，V F -BCE ＝V B -CEF ＝13×S △CEF ×BC ， S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12， 所以V F -BCE ＝13×12×22＝23.[题目5] (本小题满分12分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x . (1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x.因为x ＝3是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(3)＝0，解得a ＝－6. 经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意， 故实数a 的值为－6.(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0， 记F (x )＝x －ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x －1x (x ＞0)，所以当0＜x ＜1时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞1时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增．所以F (x )＞F (1)＝1＞0， 所以a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0.记G (x )＝x 2－2x x －ln x，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，则G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）（x －ln x ）2＝（x －1）（x －2ln x ＋2）（x －ln x ）2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0，所以x －2ln x ＋2＞0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，G ′(x )＜0，G (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增． 所以G (x )min ＝G (1)＝－1，所以a ≥G (x )min ＝－1， 故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，且C 与y 轴交于A (0，－1)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围．解：(1)由题意得，b ＝1，c ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(0＜x 0≤2)，A (0，－1)，B (0，1)， 所以k PA ＝y 0＋1x 0，直线PA 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，同理得直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，直线PA 与直线x ＝3的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y 0＋1）x 0－1， 直线PB 与直线x ＝3的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y 0－1）x 0＋1， 线段MN 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0，所以圆的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3y 0x 02＝(1－3x 0)2，令y ＝0，则(x －3)2＋9y 20x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 02，因为x 204＋y 20＝1， 所以(x －3)2＝134－6x 0，因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解， 则134－6x 0＞0，又0＜x 0≤2，解得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.故P 点横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将方程⎩⎨⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12. (2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0， 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，所以ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215. 2．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )＞5的解集； (2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|＞5， 若x ≤1，则－3x ＋4＞5，即x ＜－13， 若1＜x ＜2，则x ＞5，舍去， 若x ≥2，则3x －4＞5，即x ＞3，综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞)．(2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|， 得到f (x )的最小值为|a －1|， 又|a －1|≤|a －2|，所以a ≤32.。
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每日一题 规范练(第二周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期为π.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.[题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n 数列{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6， 所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19， 所以b 1＝1，因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列， 所以b n ＝2n －1，则b 3＝4.由a 1b 3＝12，得a 1＝3，则等差数列{a n }的公差为d ＝a 2－a 1＝3. 所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n (n ∈N *)．(2)设C n ＝b n cos(a n π)，由(1)得C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，则C n ＋1＝(－1)n ＋12n，所以C n ＋1C n＝－2， 又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列． 所以T n ＝－1×[1－（－2）n]1－（－2）＝13[(－2)n－1]．[题目3] (本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），且n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)K 2＝100×（40×25－20×15）255×45×60×40≈8.25＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n .则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )．则P (A )＝815.所以选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.[题目4] (本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D ABC 中：(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F BCE 的体积． (1)证明：因为AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，所以在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2×AC ×AB ×cos 45°＝8， 又AB 2＝AC 2＋BC 2＝16， 所以AC ⊥BC ，因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， 所以BC ⊥平面ACD .(2)解：因为AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ， 所以AD ∥EF ， 因为E 为AC 的中点， 所以EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，V F BCE ＝V B CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，所以V F BCE ＝13×12×22＝23.[题目5] (本小题满分12分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x . (1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋ax.因为x ＝3是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(3)＝0，解得a ＝－6. 经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意， 故实数a 的值为－6.(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0， 记F (x )＝x －ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x －1x(x ＞0)， 所以当0＜x ＜1时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞1时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增．所以F (x )＞F (1)＝1＞0，所以a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0.记G (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ， 则G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）（x －ln x ）2＝（x －1）（x －2ln x ＋2）（x －ln x ）2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0， 所以x －2ln x ＋2＞0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，G ′(x )＜0，G (x )单调递减； 当x ∈(1，e]时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增．所以G (x )min ＝G (1)＝－1，所以a ≥G (x )min ＝－1， 故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，且C 与y 轴交于A (0，－1)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围．解：(1)由题意得，b ＝1，c ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(0＜x 0≤2)，A (0，－1)，B (0，1)， 所以k PA ＝y 0＋1x 0，直线PA 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1， 同理得直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， 直线PA 与直线x ＝3的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y 0＋1）x 0－1，直线PB 与直线x ＝3的交点为N ⎝⎛⎭⎪⎫3，3（y 0－1）x 0＋1， 线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0，所以圆的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －3y 0x 02＝(1－3x 0)2，令y ＝0，则(x －3)2＋9y 20x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 02，因为x 204＋y 20＝1，所以(x －3)2＝134－6x 0，因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解， 则134－6x 0＞0，又0＜x 0≤2， 解得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.故P 点横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解：(1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12. (2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0， 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，所以ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215. 2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )＞5的解集； (2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|＞5， 若x ≤1，则－3x ＋4＞5，即x ＜－13，若1＜x ＜2，则x ＞5，舍去， 若x ≥2，则3x －4＞5，即x ＞3，综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞)． (2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|， 得到f (x )的最小值为|a －1|， 又|a －1|≤|a －2|，所以a ≤32.。
(广东专版)2019高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第四周)文
每日一题 规范练(第四周)[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，b 2，S 5＋2，b 4成等比数列．(1)求{b n }的通项公式；(2)设a n ＝b n2(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{b n }的公差为d ， 因为b 2, S 5＋2，b 4成等比数列，b 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝6，5b 1＋5×42d ＋2＝（b 1＋d ）（b 1＋3d ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝10，d ＝－2. 因为数列{b n }单调递增，所以d ＞0， 所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n2(e)b n ，所以a n ＝n e n.所以S n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n， 所以e S n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1，以上两个式子相减得，(1－e)S n ＝e ＋e 2＋e 3＋…＋e n －n e n ＋1，所以(1－e)S n ＝e －e n ＋11－e －n e n ＋1，所以S n ＝n e n ＋2－（n ＋1）e n ＋1＋e（1－e ）2.[题目2] (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)因为23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 所以cos 2A ＝125，又A 为锐角，所以cos A ＝15，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5(负值舍去)，所以b ＝5. (2)法一 在△ABC 中，由正弦定理得 b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝3sinπ3＝2，所以b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2[sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ]＝2[sinB ＋(32cos B ＋12sin B )]＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，则b ＋c ∈(3，23]． 法二 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－3＝bc ⇒(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，所以(b ＋c )2≤12，则b ＋c ≤2 3. 又三角形的两边之和大于第三边， 所以b ＋c ＞a ＝ 3.故b ＋c 的取值范围是(3，23]．[题目3] (本小题满分12分)已知四棱锥S ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2BC ＝2CD ＝2，△SAD 为正三角形．(1)点M 为线段AB 上一点，若BC ∥平面SDM ，AM →＝λAB →，求实数λ的值； (2)若BC ⊥SD ，求点B 到平面SAD 的距离．解：(1)因为BC ∥平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM ∩平面ABCD ＝DM ， 所以BC ∥DM .又AB ∥DC ，所以四边形BCDM 为平行四边形， 所以CD ＝MB ，又AB ＝2CD ，所以M 为AB 的中点． 因为AM →＝λAB →， 所以λ＝12.(2)因为BC ⊥SD ，BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面SCD ， 又BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD .如图，在平面SCD 内过点S 作SE 垂直于CD 交CD 的延长线于点E ，连接AE ， 又平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ， 所以SE ⊥平面ABCD ， 所以SE ⊥CE ，SE ⊥AE ，在Rt △SEA 和Rt △SED 中，AE ＝ SA 2－SE 2，DE ＝ SD 2－SE 2，因为SA ＝SD ，所以AE ＝DE ， 又易知∠EDA ＝45°， 所以AE ⊥ED ，由已知求得SA ＝AD ＝2，所以AE ＝ED ＝SE ＝1. 连接BD ，则V 三棱锥S ABD ＝13×12×2×1×1＝13，又V 三棱锥B SAD ＝V 三棱锥S ABD ，S △SAD ＝12×2×2×32＝32，所以点B 到平面SAD 的距离为V 三棱锥B SAD 13S △SAD ＝233.[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)30”的概率；(2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个．故所求事件的概率为P (A )＝310. (2)由前4个月的数据可得，x －＝5，y －＝30，x i y i ＝652，x 2i ＝110.所以b ^＝＝652－4×5×30110－4×52＝5.2. 则a ^＝30－5.2×5＝4，所以线性回归方程为y ^＝5.2x ＋4.(3)由题意得，当x ＝8时，y ^＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2， 所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．[题目5] (本小题满分12分)已知动圆C 与圆E ：x 2＋(y －1)2＝14外切，并与直线y ＝12相切．(1)求动圆圆心C 的轨迹F ；(2)若从点P (m ，－4)作曲线F 的两条切线，切点分别为A 、B ，求证：直线AB 恒过定点． (1)解：由题意知，圆E 的圆心E (0，1)，半径为12，设动圆圆心C (x ，y )，半径r .因为圆C 与直线y ＝－12相切，所以d ＝r ，即y ＋12＝r .①因为圆C 与圆E 外切，所以|CE |＝12＋r ，即x 2＋（y －1）2＝12＋r .②联立①②，消去r ，得x 2＝4y .所以圆心C 的轨迹F 是以E (0，1)为焦点，y ＝－1为准线的抛物线． (2)证明：已知直线AB 的斜率一定存在．不妨设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋b ，整理得x 2－4kx －4b ＝0，其中Δ＝16(k 2＋b )＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③ 由抛物线的方程可得y ＝14x 2，所以y ′＝12x .所以过A (x 1，y 1)的抛物线的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，又y 1＝14x 21，代入整理得y ＝12x 1x －14x 21.切线过P (m ，－4)，代入整理得x 21－2mx 1－16＝0， 同理可得x 22－2mx 2－16＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2mx －16＝0的两个根， 所以x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－16.④ 联立③④，得b ＝4，k ＝m2.则直线AB 的方程为y ＝m2x ＋4，所以直线AB 恒过定点(0，4)．[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －a )e x－12ax 2＋a (a －1)x (x ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切处为l ，l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，求a 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x－ax ＋a (a －1)， 所以f ′(0)＝(a －1)2，又f (0)＝－a ， 所以切线方程为y ＋a ＝(a －1)2(x －0)， 令y ＝0得x ＝a（a －1）2＝2，所以2a 2－5a ＋2＝0， 所以a ＝2或a ＝12.(2)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x－ax ＋a (a －1) ＝[x －(a －1)](e x－a )， 当a ≤0时，e x－a ≥0，x ∈(－∞，a －1)，f ′(0)＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －1，x 2＝ln a ， 令g (a )＝a －1－ln a ， 则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a，当a ∈(0，1)时，g ′(a )＜0，g (a )为减函数， 当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＞0，g (a )为增函数， 所以g (a )min ＝g (1)＝0，所以a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取“＝”)， 所以当0＜a ＜1或a ＞1时，x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， x ∈(ln a ，a －1)，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当a ＝1时，f ′(x )＝x (e x－1)≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜1或a ＞1时，f (x )在(ln a ，a －1)上为减函数，在(－∞，ln a )和(a －1，＋∞)上为增函数；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：极坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t(t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标； (2)直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α化为直角坐标方程得x 24＋y 2＝1.因为A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝ 3.故点A 在直角坐标系下的坐标为(1，3)． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t代入x 24＋y 2＝1，化简得10t 2－62t －11＝0.设此方程两根分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝325，t 1t 2＝－1110，所以|PQ |＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝825.因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0，所以点A 到直线l 的距离为d ＝32＝62. 所以△APQ 的面积为12×825×62＝435.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，其中a ∈R. (1)若a ＝4，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若f (x )≥4对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝4，所以f (x )＝|x －1|＋|x －4|. 当x ≤1时，|x －1|＋|x －4|＝－2x ＋5， 解不等式－2x ＋5≥5，得x ≤0；当1＜x ＜4时，|x －1|＋|x －4|＝3，显然f (x )≥5不成立； 当x ≥4时，|x －1|＋|x －4|＝2x －5， 解不等式2x －5≥5，得x ≥5.故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|(x －1)＋(a －x )|＝|a －1|， 所以f (x )min ＝|a －1|.由题意得|a －1|≥4，解得a ≤－3或a ≥5. 所以实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．。
(广东专版)2019高考数学二轮复习 每日一题规范练(第五周)理
每日一题 规范练(第五周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12. (1)求f (x )的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1. 当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π6(k ∈Z)时，f (x )min ＝－2.此时自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2)由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2⇒C ＝π3.在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a .① 又c ＝3，由余弦定理得，(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，所以a 2＋b 2－ab ＝3.② 联立①②得a ＝1，b ＝2.[题目2] (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＞0(n ∈N *)，S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 12a 2n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项， 所以2(S 6＋a 6)＝S 4＋a 4＋S 5＋a 5， 所以S 6＋a 6－S 4－a 4＝S 5＋a 5－S 6－a 6， 化简得4a 6＝a 4，设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 6a 4＝14，因为a n ＞0(n ∈N *)，所以q ＞0，所以q ＝12，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.(2)由(1)得，b n ＝log 12a 2n －1＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3＝2n －3，设C n ＝2b n b n ＋1＝2（2n －3）（2n －1）＝12n －3－12n －1， 所以T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝(1－1－11)＋(11－13)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋(12n －3－12n －1)＝－1－12n －1＝－2n2n －1. [题目3] (本小题满分12分)某部门为了了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布和数学期望．解：(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ， 则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为13.X 的所有可能取值为0，1，2，3，易知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13k·⎝ ⎛⎭⎪⎫233－k，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝3×3＝1.[题目4] (本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝A 1D ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°.(1)证明：AD ⊥BA 1；(2)若平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，且A 1D ＝AB ，求直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值． (1)证明：取AD 中点O ，连接OB ，OA 1，BD ，如图1.图1因为AA 1＝A 1D ， 所以AD ⊥OA 1.又∠ABC ＝120°，AD ＝AB ，所以△ABD 是等边三角形，所以AD ⊥OB ， 所以AD ⊥平面A 1OB ，因为A 1B ⊂平面A 1OB ，所以AD ⊥A 1B . (2)解：因为平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ， 平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ， 又A 1O ⊥AD ，所以A 1O ⊥平面ABCD ， 所以OA 、OA 1、OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OA 1所在射线为x 、y 、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系O xyz ，设AB ＝AD ＝A 1D ＝2，则A (1，0，0)，A 1(0，0，3)，B (0，3，0)，D (－1，0，0)． 则DA 1→＝(1，0，3)，DC →＝AB →＝(－1，3，0)，BA 1→＝(0，－3，3)． 设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝x －3y ＝0，n ·DA 1→＝x ＋3z ＝0，令x ＝3，则y ＝1，z ＝－1，所以n ＝(3，1，－1)．设直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BA 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA 1→|n ||BA 1→|＝|－3－3|5·6＝105. [题目5] (本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝12x |x |.(1)求g (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)令F (x )＝x ·f (x )－g (x )，求F (x )的单调区间；(3)若任意x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1＞x 2，都有m [g (x 1)－g (x 2)]＞x 1f (x 1)－x 2f (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，g (x )＝－12x 2，g ′(x )＝－x ，故g (－1)＝－12，g ′(－1)＝1，所以g (x )在x ＝－1处的切线方程是y ＋12＝1×(x ＋1)，即x －y ＋12＝0.(2)由题意知，F (x )＝x ln x －12x |x |＝x ln x －12x 2(x ＞0)，F ′(x )＝ln x －x ＋1，令t (x )＝F ′(x )＝ln x －x ＋1，则t ′(x )＝1x－1，令t ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，令t ′(x )＜0，解得x ＞1， 故F ′(x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 故F ′(x )≤F ′(1)＝0， 故F (x )在(0，＋∞)上递减．(3)已知可转化为x 1＞x 2≥1时，mg (x 1)－x 1f (x 1)＞mg (x 2)－x 2f (x 2)恒成立，令h (x )＝mg (x )－xf (x )＝m2x 2－x ln x ，则h (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，故h ′(x )＝mx －ln x －1≥0恒成立，即m ≥ln x ＋1x恒成立，令m (x )＝ln x ＋1x ，则m ′(x )＝－ln x x2，所以当x ∈[1，＋∞)时，m ′(x )≤0，m (x )单调递减，m (x )≤m (1)＝1，即m ≥1，故实数m 的取值范围是[1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知平面上动点P 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程；并探究：若M (m ，n )是曲线H ：Ax 2＋By2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线H ′？若存在，直接写出曲线H ′的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设P (x ，y )，由题意，得（x －3）2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 整理，得x 24＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心(0，0)到直线l 的距离为d ＝1m 2＋n 2，因为直线与圆有两个不同交点C ，D ，所以|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2，又m 24＋n 2＝1(n ≠0)，故|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4，由0＜d ＜1，得m ＞0，又|m |≤2，所以0＜m ≤2. 所以0＜1－43m 2＋4≤34，因此|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(0，3]， 故|CD |的取值范围为(0，3]．②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′方程为4x 2＋y 2＝1.下证：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得，(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0， 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，所以Δ＝4m 2－16(1－n 2)＝4(m 2＋4n 2－4)＝0恒成立． 从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M (m ，n )是曲线H ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线H ′：x 2A ＋y 2B＝1(A ·B ≠0)恒相切．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)．若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t 消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0.因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 22＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ，即t 2＋(8－83)t －16＝0.因为Δ＞0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2， 所以t 1t 2＝－16，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R.(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4.当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，所以2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，所以－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，成立，所以－1≤x ≤2. 综上，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪－32＜x ＜52}，即x 1＝－32，x 2＝52.所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立， 所以k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，因为|x ＋1|≥1， 所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，则k≤3.当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，所以k ≤3.综上可得，0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。
2019届高考数学二轮复习大题专项练六导数a文(附答案)
六导数(A)1.(2018·渭南二模)已知函数f(x)=x(ln x+ax+1)-ax+1.(1)若f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的最大值为2,求实数a的值.2.(2018·台州一模)已知函数f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,m∈R.(1)若m=2,写出函数f(x)的单调递增区间;(2)若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)<4,求m的取值范围.3.(2018·桃城区校级模拟)设函数f(x)=-a2ln x+x2-ax(a∈R).(1)试讨论函数f(x)的单调性;(2)如果a>0且关于x的方程f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2),证明x1+x2>2a.4.(2018·德阳模拟)已知函数f(x)=ln (x+1).(1)当x∈(-1,0)时,求证:f(x)<x<-f(-x);(2)设函数g(x)=e x-f(x)-a(a∈R),且g(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),①求实数a的取值范围;②求证:x1+x2>0.1.解:(1)若f(x)在[1,+∞)上是减函数,则f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,f′(x)=ln x+2ax+2-a≤0,又因为x∈[1,+∞),所以2x-1>0.所以a≤-,设g(x)=-,则g′(x)=,因为x≥1,所以g′(x)≥0,g(x)递增,又g(1)=-2,故a≤-2.因此实数a的取值范围是(-∞,-2].(2)由f(1)=2,要使f(x)max=2,故f(x)的递减区间是[1,+∞),递增区间是(0,1),所以f′(1)=0,即ln 1+2a+2-a=0,所以a=-2.因此,满足条件的实数a的值为-2.2.解:(1)若m=2,则f(x)=2x3-9x2+12x,因为f′(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-1)(x-2),令f′(x)>0,则x<1或x>2,故函数f(x)的递增区间是(-∞,1),(2,+∞).(2)f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,f′(x)=6(x-1)(x-m),①当m≥1时,f(x)在(-1,1)上递增,f(x)max=f(1)=3m-1<4,故m<,所以1≤m<.②当-1<m<1时,f(x)在(-1,m)上递增,在(m,1)上递减,f(x)max=f(m)=-m3+3m2<4,即m3-3m2+4>0,(m+1)(m-2)2>0恒成立,所以-1<m<1.③当m<-1时,f(x)在(-1,1)上递减,f(x)max=f(-1)=-9m-5<4,即m>-1,此时m无解.综上,m的范围是-1<m<.3.(1)解:由f(x)=-a2ln x+x2-ax,可知f′(x)=-+2x-a==,因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以,①若a>0,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.②若a=0,则当f′(x)=2x>0在x∈(0,+∞)内恒成立,函数f(x)单调递增.③若a<0,则当x∈(0,-)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(-,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.(2)证明:要证x1+x2>2a,只需证>a.设g(x)=f′(x)=-+2x-a,因为g′(x)=+2>0,所以g(x)=f′(x)为单调递增函数.所以只需证f′()>f′(a)=0,即证-+x1+x2-a>0,只需证-+(x1+x2-a)>0.(*)又-a2ln x1+-ax1=m,-a2ln x2+-ax2=m,所以两式相减,并整理,得-+(x1+x2-a)=0.把(x1+x2-a)=代入(*)式,得只需证-+>0,可化为-+ln <0.令=t,得只需证-+ln t<0.令φ(t)=-+ln t(0<t<1),则φ′(t)=-+=>0,所以φ(t)在其定义域上为增函数,所以φ(t)<φ(1)=0.综上得原不等式成立.4.(1)证明:记q(x)=x-ln (x+1),则q′(x)=1-=,在(-1,0)上,q′(x)<0,即q(x)在(-1,0)上递减,所以q(x)>q(0)=0,即x>ln (x+1)=f(x)恒成立.记m(x)=x+ln (-x+1),则m′(x)=1+=, 在(-1,0)上,m′(x)>0,即m(x)在(-1,0)上递增,所以m(x)<m(0)=0,即x+ln (-x+1)<0恒成立,x<-ln (-x+1)=-f(-x).综上得,当x∈(-1,0)时,f(x)<x<-f(-x),原题得证.(2)①解:g(x)=e x-ln (x+1)-a,定义域为(-1,+∞),则g′(x)=e x-,易知g′(x)在(-1,+∞)上递增,而g′(0)=0,所以在(-1,0)上,g′(x)<0,g(x)在(-1,0]上递减,在[0,+∞)上递增,x→-1+,y→+∞,x→+∞,y→+∞,要使函数有两个零点,则g(x)极小值=g(0)=1-a<0,故实数a的取值范围是(1,+∞).②证明:由①知-1<x1<0<x2,记h(x)=g(x)-g(-x),x∈(-1,0),h′(x)=g′(x)-g′(-x)=e x-+e-x-,当x∈(-1,0)时,由①知x<-ln (-x+1),则e x<e-ln(-x+1)=,再由x>ln (x+1)得,e-x<e-ln(x+1)=.又因为e x-<0,e-x-<0,故h′(x)<0恒成立,h(x)=g(x)-g(-x)在x∈(-1,0)上单调递减,h(x)>h(0)=0, 即g(x)>g(-x),而-1<x1<0,g(x1)>g(-x1),g(x1)=g(x2)=0,所以g(x2)>g(-x1),由题知,-x1,x2∈(0,+∞),g(x)在[0,+∞)上递增,所以x2>-x1,即x1+x2>0.。
(广东专版)2019高考数学二轮复习每日一题规范练(第五周)文
每日一题 规范练(第五周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12. (1)求f (x )的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1. 当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π6(k ∈Z)时，f (x )min ＝－2.此时自变量x 的集合为{x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z }．(2)由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2⇒C ＝π3.在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a .① 又c ＝3，由余弦定理得，(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，所以a 2＋b 2－ab ＝3.② 联立①②得a ＝1，b ＝2.[题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }满足a n ＝2＋2cos 2n π2，n ∈N *，等差数列{b n }满足a 1＝2b 1，a 2＝b 2.(1)求b n ；(2)记c n ＝a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n ，求c n ； (3)求数列{a n b n }前2n 项和S 2n . 解：(1)由题意知，a n ＝3＋cos n π， 当n 为奇数时，a n ＝2；当n 为偶数时，a n ＝4.于是b 1＝12·a 1＝1，b 2＝a 2＝4，故数列{b n }的公差为3，所以b n ＝1＋(n －1)·3＝3n －2.(2)c n ＝a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n ＝2[3(2n －1)－2]＋4[3×2n －2]＝36n －18. (3)由(2)知，数列{c n }为等差数列，故S 2n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝n （c 1＋c n ）2＝18n 2.[题目3] (本小题满分12分)某部门为了了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：(2)已知样本中日用水量在[80，90)内的这6个数据分别为83，85，86，87，88，89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率．解：(1)因为3＋6＋m ＝12， 所以m ＝3，所以n ＝312＝14，p ＝m 12＝312＝14.故m ＝3，n ＝p ＝14.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有(83，85)，(83，86)，(83，87)，(83，88)，(83，89)，(85，86)，(85，87)，(85，88)，(85，89)，(86，87)，(86，88)，(86，89)，(87，88)，(87，89)，(88，89)共15种．其中2个数据都小于或等于86的情况有(83，85)，(83，86)，(85，86)，共3种． 故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P ＝1－315＝45.[题目4] (本小题满分12分)如图，几何体中的四边形ABCD 为长方形，BB 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥平面ABCD ，且BB 1＝13AA 1.E 为CD 上一点，且CE ＝13CD .(1)求证：CB 1∥平面A 1BE ；(2)若BB 1＝1，CB ＝3，AB ＝6，求此多面体的表面积．(1)证明：在AA 1上取一个点P ，满足PA ＝13AA 1，连接PB 1交直线A 1B 于Q ，连接PD 、EQ .因为BB 1＝13AA 1，所以BB 1＝PA ，因为BB 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥平面ABCD ， 所以BB 1∥PA ，所以四边形PABB 1为平行四边形．由ABCD 为矩形进一步得，PB 1＝CD ，PB 1∥CD ，B 1Q ＝13PB 1＝13CD ，因为CE ＝13CD ，所以CE ＝QB 1，CE ∥QB 1，所以四边形CEQB 1为平行四边形，所以CB 1∥QE ， 又因为CB 1⊄平面A 1BE ，QE ⊂平面A 1BE ， 所以CB 1∥平面A 1BE .(2)解：由已知可以证明CD ⊥A 1D .因为BB 1＝1，CB ＝3，AB ＝6，BB 1＝13AA 1，所以B 1C ＝12＋32＝10，A 1B 1＝22＋（6）2＝10，A 1C ＝32＋32＋（6）2＝2 6. 所以A 1B 1＝B 1C ，因此边A 1C 上的高h ＝（10）2－（6）2＝2. 所以S △A 1B 1C ＝12×26×2＝26，所以此多面体的表面积为26＋12×1×3＋12×6×32＋1＋32×6＋12×3×3＋3×6＝33＋76＋6.[题目5] (本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝12x |x |.(1)求g (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)令F (x )＝x ·f (x )－g (x )，求F (x )的单调区间；(3)若任意x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1＞x 2，都有m [g (x 1)－g (x 2)]＞x 1f (x 1)－x 2f (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，g (x )＝－12x 2，g ′(x )＝－x ，故g (－1)＝－12，g ′(－1)＝1，所以g (x )在x ＝－1处的切线方程是y ＋12＝1×(x ＋1)，即x －y ＋12＝0.(2)由题意知，F (x )＝x ln x －12x |x |＝x ln x －12x 2(x ＞0)，F ′(x )＝ln x －x ＋1，令t (x )＝F ′(x )＝ln x －x ＋1，则t ′(x )＝1x－1，令t ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，令t ′(x )＜0，解得x ＞1， 故F ′(x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 故F ′(x )≤F ′(1)＝0， 故F (x )在(0，＋∞)上递减．(3)已知可转化为x 1＞x 2≥1时，mg (x 1)－x 1f (x 1)＞mg (x 2)－x 2f (x 2)恒成立， 令h (x )＝mg (x )－xf (x )＝m2x 2－x ln x ，则h (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，故h ′(x )＝mx －ln x －1≥0恒成立，即m ≥ln x ＋1x恒成立，令m (x )＝ln x ＋1x ，则m ′(x )＝－ln x x2，所以当x ∈[1，＋∞)时，m ′(x )≤0，m (x )单调递减，m (x )≤m (1)＝1，即m ≥1， 故实数m 的取值范围是[1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知平面上动点P 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程；并探究：若M (m ，n )是曲线H ：Ax 2＋By2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线H ′？若存在，直接写出曲线H ′的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设P (x ，y )，由题意，得（x －3）2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 整理，得x 24＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心(0，0)到直线l 的距离为d ＝1m 2＋n 2，因为直线与圆有两个不同交点C ，D ，所以|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2，又m 24＋n 2＝1(n ≠0)，故|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4，由0＜d ＜1，得m ＞0，又|m |≤2，所以0＜m ≤2. 所以0＜1－43m 2＋4≤34，因此|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(0，3]， 故|CD |的取值范围为(0，3]．②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′方程为4x 2＋y 2＝1.下证：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，所以Δ＝4m 2－16(1－n 2)＝4(m 2＋4n 2－4)＝0恒成立． 从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M (m ，n )是曲线H ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线H ′：x 2A ＋y 2B＝1(A ·B ≠0)恒相切．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)．若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t 消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0.因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 22＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ，即t 2＋(8－83)t －16＝0.因为Δ＞0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2， 所以t 1t 2＝－16，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R.(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4.当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，所以2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，所以－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，成立，所以－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪－32＜x ＜52}，即x 1＝－32，x 2＝52.所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立， 所以k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，因为|x ＋1|≥1， 所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，则k≤3.当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，所以k ≤3.综上可得，0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。
(广东专版)2019高考数学二轮复习 每日一题规范练(第四周)理
每日一题 规范练(第四周)[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，b 2，S 5＋2，b 4成等比数列．(1)求{b n }的通项公式；(2)设a n ＝b n2(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{b n }的公差为d ， 因为b 2, S 5＋2，b 4成等比数列，b 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝6，5b 1＋5×42d ＋2＝（b 1＋d ）（b 1＋3d ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝10，d ＝－2. 因为数列{b n }单调递增，所以d ＞0， 所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n2(e)b n ，所以a n ＝n e n.所以S n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n， 所以e S n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1，以上两个式子相减得，(1－e)S n ＝e ＋e 2＋e 3＋…＋e n －n e n ＋1，所以(1－e)S n ＝e －e n ＋11－e －n e n ＋1，所以S n ＝n e n ＋2－（n ＋1）e n ＋1＋e（1－e ）2.[题目2] (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bcos B ＝3c －a cos A. (1)若a ＝2sin A ，求b ；(2)若b ＝3，△ABC 的面积为22，求a ＋c .解：(1)由正弦定理得b cos B ＝3c －a cos A ⇒sin Bcos B＝3sin C －sin Acos A，即cos A sin B ＝3cos B sin C －sin A cos B ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝3cos B sin C ，即sin(A ＋B )＝3cos B sin C ， 又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 所以sin C ＝3cos B sin C . 因为sin C ≠0，所以cos B ＝13，则sin B ＝223，因为a ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝sin B ·asin A ＝223×2＝43. (2)因为△ABC 的面积为22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝22，得ac ＝6，因为b ＝3，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－23ac ＝(a ＋c )2－83ac ＝(a ＋c )2－16＝9，因此(a ＋c )2＝25. 又a ＞0，c ＞0， 故a ＋c ＝5.[题目3] (本小题满分12分)如图所示，在左边的平面图中，AB ＝BC ＝CD ＝2，AE ＝2，AC ＝22，∠ACD ＝π4，AE ⊥AC ，F 为BC 的中点．现在沿着AC 将平面ABC 与平面ACDE 折成一个直二面角，如下图，连接BE ，BD ，DF .(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求二面角E BD C 平面角大小的余弦值． (1)证明：在直观图中，过点D 作DG ⊥AC 交AC 于点G (如图1)． 因为AE ⊥AC ， 所以AE ∥DG .图1因为CD ＝2，∠ACD ＝π4，所以DG ＝CG ＝ 2.因为AE ＝2，所以AE ＝DG ，所以四边形AGDE 为矩形． 所以ED ∥AG ，ED ＝AG ，取AB 的中点H ，连接EH ，HF ， 因为F 为BC 的中点，所以HF ∥AG ，HF ＝AG ，所以HF ∥ED ，HF ＝ED ，所以四边形EDFH 为平行四边形， 从而DF ∥EH .因为DF ⊄平面ABE ，EH ⊂平面ABE ， 所以DF ∥平面ABE .(2)解：以A 为原点，AC ，AE 所在射线为y 轴，z 轴建立空间坐标系(如图1)． 因为AB ＝BC ＝2，AC ＝22，所以AB ⊥BC ，且∠CAB ＝π4，则B (2，2，0)．因为E (0，0，2)，所以EB →＝(2，2，－2)．又ED →＝(0，2，0)，设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，1)． 则⎩⎨⎧2x 1＋2y 1－2＝0，2y 1＝0，解得x 1＝1，y 1＝0，所以n 1＝(1，0，1)．又D (0，2，2)，C (0，22，0)．所以CB →＝(2，－2，0)，CD →＝(0，－2，2)． 设平面CBD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，1)，则⎩⎨⎧2x 2－2y 2＝0，－2y 2＋2＝0，解得x 2＝1，y 2＝1，所以n 2＝(1，1，1)． 设平面BDE 与平面BCD 所成角的大小为θ，由图易知，平面BDE 与平面BCD 所成角为钝角，则cos θ＝－|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝－22×3＝－63.星期四 2019年4月11日[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)”的概率；(2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个．故所求事件的概率为P (A )＝310. (2)由前4个月的数据可得，x －＝5，y －＝30，x i y i ＝652，x 2i ＝110.所以b ^＝＝652－4×5×30110－4×52＝5.2. 则a ^＝30－5.2×5＝4，所以线性回归方程为y ^＝5.2x ＋4.(3)由题意得，当x ＝8时，y ^＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2， 所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．[题目5] (本小题满分12分)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的公共弦过抛物线的焦点F ，且弦长为4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，求△ABM 面积的最小值．解：(1)由题意可知，2p ＝4， 所以p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .又⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋p 2＝r 2，所以r 2＝5， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝5.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y 可得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·16k 2＋16＝4(1＋k 2)． 因为抛物线为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，y ′＝x 2，所以过A 点的切线的斜率为x 12，切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，令y ＝0，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0， 所以点M 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ·x 12＋11＋k2，故S △ABM ＝12×4(1＋k 2)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ·x 12＋11＋k2＝1＋k 2·|kx 1＋2|，又k ＝y 1－1x 1＝x 21－44x 1，代入上式并整理得S △ABM ＝116·（x 21＋4）2|x 1|，令f (x )＝（x 2＋4）2|x |，可得f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝（x 2＋4）2x ＝x 3＋8x ＋16x，f ′(x )＝3x 2＋8－16x 2＝（x 2＋4）（3x 2－4）x 2，令f ′(x )＝0，可得x ＝233， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞时，f ′(x )＞0. 所以x ＝233时，f (x )取得最小值12839，故S △ABM 的最小值为116×12839＝839.[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m ＜－2，m 为常数)．(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值； (2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1＜x 2，证明：x 1·x 2＜1. (1)解：由题意得，函数f (x )的定义域为x ＞0，f ′(x )＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 所以y ＝f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －f (e)＝－2＋e －1e ＞0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f (e)＝1－e －m .(2)证明：由题意知，x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0， 且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2.又由(1)知，f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上递减， 故x 2＞2，所以0＜1x 2＜1，则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝ln x 1－x 1－(ln 1x 2－1x 2)＝ln x 2－x 2－⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x2＝－x 2＋1x 2＋2ln x 2.令g (x )＝－x ＋1x＋2ln x (x ＞2)，则g ′(x )＝－1－1x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2x2≤0， 当x ＞2时，g (x )是减函数， 所以g (x )＜g (2)＝－32＋ln 4.因为32－ln 4＝ln e 324＞ln 2.56324＝ln 1.634＝ln 4.0964＞ln 1＝0.所以g (x )＜0，所以当x ＞2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＜0，即f (x 1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2，因为0＜x 1＜1，0＜1x 2＜1，f (x )在(0，1)上单调递增．所以x 1＜1x 2，故x 1x 2＜1.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：极坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨y ＝12－22t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin α(α为参数)．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标； (2)直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α化为直角坐标方程得x 24＋y 2＝1.因为A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝ 3.故点A 在直角坐标系下的坐标为(1，3)． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t代入x 24＋y 2＝1，化简得10t 2－62t －11＝0.设此方程两根分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝325，t 1t 2＝－1110，所以|PQ |＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝825.因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0，所以点A 到直线l 的距离为d ＝32＝62. 所以△APQ 的面积为12×825×62＝435.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，其中a ∈R. (1)若a ＝4，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若f (x )≥4对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝4，所以f (x )＝|x －1|＋|x －4|. 当x ≤1时，|x －1|＋|x －4|＝－2x ＋5， 解不等式－2x ＋5≥5，得x ≤0；当1＜x ＜4时，|x －1|＋|x －4|＝3，显然f (x )≥5不成立； 当x ≥4时，|x －1|＋|x －4|＝2x －5， 解不等式2x －5≥5，得x ≥5.故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|(x －1)＋(a －x )|＝|a －1|， 所以f (x )min ＝|a －1|.由题意得|a－1|≥4，解得a≤－3或a≥5.所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．。
(广东专版)2019高考数学二轮复习 每日一题规范练(第三周)理
每日一题 规范练(第三周)[题目1] (本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{a n }，满足a 1＝1，且1a 1－1a 2＝2a 3.(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为T n .解：(1)由已知1a 1－1a 2＝2a 3，得1a 1－1a 1q ＝2a 1q2，即1－1q ＝2q2，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 因此数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.(2)由题意得b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n＝n ，b n a n ＝n 2n －1， 所以T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1，①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ，② 由①－②，得12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，所以T n ＝4－n ＋22n －1.[题目2] (本小题满分12分)如图，△ABC 为正三角形，AC ∥DB ，AC ＝2，cos ∠ACD ＝63.(1)求CD 的长； (2)求△ABD 的面积．解：(1)因为△ABC 为正三角形，AC ∥DB ， 所以∠ACD ＝∠BDC ，∠BAC ＝∠ABD ＝π3，所以sin ∠BDC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝33.在△BCD 中，BC ＝2，∠CBD ＝2π3，sin ∠BDC ＝33， 由正弦定理得，233＝CDsin2π3，所以CD ＝3.(2)在△BCD 中，BC ＝2，CD ＝3，∠CBD ＝2π3，由余弦定理，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠CBD ，则32＝22＋BD 2－4BD ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得BD ＝6－1.所以△ABD 的面积为S ＝12BD ·AB ·sin π3＝12×(6－1)×2×32＝32－32.[题目3] (本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC DEF 中，AE 与BD 相交于点O ，C 在平面ABED 内的射影为O ，G 为CF 的中点．(1)求证：平面ABED ⊥平面GED ；(2)若AB ＝BD ＝BE ＝EF ＝2，求二面角A CE B 的余弦值． (1)证明：取DE 中点M ，在三角形BDE 中，OM ∥BE ，OM ＝12BE .又因为G 为CF 中点，所以CG ∥BE ，CG ＝12BE .所以CG ∥OM ，CG ＝OM .所以四边形OMGC 为平行四边形． 所以MG ∥OC .因为点C 在平面ABED 内的射影为O ， 所以OC ⊥平面ABED ，从而MG ⊥平面ABED .又因为GM ⊂平面GED ， 所以平面ABED ⊥平面GED .(2)解：因为CO ⊥平面ABED ，所以CO ⊥AO ，CO ⊥OB.又AB ＝BE ，则四边形ABED 为菱形， 所以OB ⊥AO .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OC →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ，于是A (3，0，0)，B (0，1，0)，E (－3，0，0)，C (0，0，3)， 向量BE →＝(－3，－1，0)，向量BC →＝(0，－1，3)， 设平面BCE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝0，m ·BC →＝0，，即⎩⎨⎧－3x 1－y 1＝0，－y 1＋3z 1＝0，不妨令z 1＝1，则y 1＝3，x 1＝－1，取法向量m ＝(－1，3，1)． 又n ＝(0，1，0)为平面ACE 的一个法向量． 设二面角A CE B 大小为θ，显然θ为锐角， 于是cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝35＝155，故二面角A CE B 的余弦值为155. [题目4] (本小题满分12分)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分(满分100分)，他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X ，求X 的分布列和期望．(参考数据：162＋142＋122＋52＋32＋72＋82＋162＋192)＝1 360，142＋112＋32＋22＋12＋22＋32＋62＋72＋132＝598)解：(1)由茎叶图，设甲、乙两班10名同学成绩的平均数分别为x －甲，x －乙， 则x －甲＝63＋65＋67＋74＋76＋79＋86＋87＋95＋9810＝79.x －乙＝65＋68＋76＋77＋78＋81＋82＋85＋86＋9210＝79.S 2甲＝110(162＋142＋122＋52＋32＋02＋72＋82＋162＋192)＝136. S 2乙＝110(142＋112＋32＋22＋12＋22＋32＋62＋72＋132)＝59.8. 因此x －甲＝x －乙，S 2甲＞S 2乙.上面统计数据表明甲、乙两个城市打分的平均分相同，甲城市打分的方差比乙城市的大，说明评委对乙城市的打分较一致，乙城市应该入围．(2)由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．设事件A ＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件B ＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，则P (B |A )＝P （A ·B ）P （A ），因为P (A ·B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫C 24＋C 14C 16C 210×C 25C 210＝427，P (A )＝1－P (A －)＝1－C 26·C 25C 210·C 210＝2527. 所以P (B |A )＝P （A ·B ）P （A ）＝425.(3)由题可知X 取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 25C 05C 210＝29，P (X ＝1)＝C 15C 15C 210＝59，P (x ＝2)＝C 05C 25C 210＝29.所以X 的分布列为E (X )＝0×29＋1×59＋2×29＝1.[题目5] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2x －1)e x －a (x 2＋x )，a ∈R. (1)当a ＜e －12时，讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝－ax 2－a ，若对任意的x ≤1时，恒有f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(2x ＋1)e x －a (2x ＋1)＝(2x ＋1)(e x－a )． 若a ≤0时，e x－a ＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f ′(x )＜0；当x ∈(－12，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增函数．若0＜a ＜e －12时，令f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝ln a ＜－12，所以当x ∈(－∞，ln a )∪(－12，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，－12时，f ′(x )＜0.故f (x )在区间(－∞，ln a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，－12上单调递减． (2)依题意，对任意x ≤1，恒有(2x －1)e x－a (x －1)≥0.(*) ①当x ＝1时，(*)式恒成立，a ∈R. ②当x ＜1时，不等式转化为a ≥（2x －1）exx －1，令φ(x )＝（2x －1）exx －1(x ＜1)，则φ′(x )＝（2x 2－3x ）ex（x －1）2. 当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )＞0；当x ∈(0，1)时，φ′(x )＜0. 所以当x ＝0时，φ(x )取极大值φ(0)＝1，此时a ≥1. 综合①②知，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16，圆心为F 1，定点F 2(3，0)，P 为圆F 1上一点，线段PF 2上一点K 满足PF 2→＝2KF 2→，直线PF 1上一点Q 满足QK →·KF 2→＝0.(1)求点Q 的轨迹E 的方程；(2)已知M ，N 两点的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，点T 是直线y ＝2上的一个动点，且直线TM ，TN 分别交(1)中点Q 的轨迹E 于C ，D 两点(M ，N ，C ，D 四点互不相同)，证明：直线CD 恒过一定点，并求出该定点坐标．(1)解：因为PF 2→＝2KF 2→，所以K 是线段PF 2的中点．又QK →·KF 2→＝0，所以QK 为线段PF 2的中垂线， 则|QP |＝|QF 2|.因为|F 1P |＝|F 1Q |＋|QP |＝|F 1Q |＋|QF 2|＝4，所以由椭圆的定义，知Q 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，长轴长为4的椭圆． 则a ＝2，c ＝3，所以b 2＝1. 故点Q 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：依题意，设直线CD 的方程为y ＝mx ＋n ， 代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4，化简得(1＋4m 2)x 2＋8mnx ＋4n 2－4＝0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8mn1＋4m 2，①x 1·x 2＝4n 2－41＋4m 2.②因为直线TM ：y ＝y 1－1x 1x ＋1； 直线TN ：y ＝y 2＋1x 2x －1， 由题知TM ，TN 的交点T 的纵坐标为2， 所以3x 2y 2＋1＝x 1y 1－1. 则3x 2(y 1－1)＝x 1(y 2＋1)，即3x 2(mx 1＋n －1)＝x 1(mx 2＋n ＋1)， 整理，得2mx 1x 2＝(n ＋1)x 1－3(n －1)x 2，③将①②代入③得2m （4n 2－4）1＋4m 2＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8mn 1＋4m 2－x 2－3(n －1)x 2，化简得(2n －1)[4m (n ＋1)＋x 2(1＋4m 2)]＝0， 当m ，x 2变化时，上式恒成立．故2n －1＝0，即n ＝12，所以直线CD 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. [题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：极坐标与参数方程]已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos θ－ρsin θ－4＝0.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并分别指出是何种曲线；(2)曲线C 1，C 2是否有两个不同的公共点？若有，求出两公共点间的距离；若没有，请说明理由．⎩y ＝2sin t ，所以曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝2，曲线C 1是一个圆． 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以2ρcos θ－ρsin θ－4＝0的直角坐标方程为2x －y －4＝0， 因此曲线C 2表示一条直线．(2)圆C 1的圆心为(1，0)，半径r ＝2， 设圆心(1，0)到直线2x －y －4＝0的距离是d ，则d ＝|2－4|5＝255＜r ＝2，所以曲线C 1与曲线C 2相交于两个不同的点A ，B .则|AB |＝2 r 2－d 2＝2305，所以两公共点间的距离为2305.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≥3.(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥10.(1)解：若a ＝1，则f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |＝ |1－4x |＋|2＋x |，所以不等式f (x )≥3可化为|1－4x |＋|2＋x |≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，1－4x －2－x ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ≤14，1－4x ＋2＋x ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞14，4x －1＋2＋x ≥3.解得x ≤－2或－2＜x ≤0或x ≥25，综上，所以不等式f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥25.(2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|a －4x |＋|2a ＋x |＋|a ＋4x|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x ＝(||a －4x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋4x )＋(|2a ＋x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4x －a －4x ＋|2a ＋x －2a ＋1x |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝5(|x |＋1|x |)≥10(当且仅当|x |＝1|x |时，等号成立)．故f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥10.。
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1 每日一题 规范练(第六周) [题目1] (本小题满分12分)在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝223， AB＝32，AD＝3.
(1)求BD的长； (2)求△ABC的面积． 解：(1)因为AD⊥AC，
所以∠DAC＝π2，
因为sin ∠BAC＝223， 所以sin∠BAD＋π2＝223， 所以cos ∠BAD＝223， 由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3. 所以BD＝3. (2)在△ABD中，由余弦定理得
cos ∠ADB＝BD2＋AD2－AB22BD·AD＝3＋9－182×3×3＝－33，
所以cos ∠ADC＝33， 所以在Rt△DAC中，cos ∠ADC＝3DC＝33，所以DC＝33， 所以AC＝DC2－AD2＝（33）2－32＝32， 所以S△ABC＝12AB·AC·sin ∠BAC＝12×32×32×223＝62. [题目2] (本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式； 2
(2)设Tn为数列1anan＋1的前n项和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值． 解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得，4a1＋6d＝14，（a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），
解得a1＝2，d＝1. 所以an＝n＋1. (2)由(1)知1anan＋1＝1n＋1－1n＋2，
所以Tn＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2 ＝12－1n＋2＝n2（n＋2）. 又λTn≤an＋1恒成立，所以λ≤2（n＋2）2n＝ 2n＋4n＋8， 而2n＋4n＋8≥16，当且仅当n＝2时，等号成立． 所以λ≤16，即实数λ的最大值为16. [题目3] (本小题满分12分)如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，现沿对角线AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面体PABC，如图2所示．已知PB＝42.
图1 图2 (1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若Q是线段AP上的点，且AQ→＝13AP→，求二面角QBCA的余弦值． (1)证明：取AC的中点O，连接PO，BO得到△PBO. 因为四边形ABCD是菱形，所以PA＝PC，PO⊥AC. 因为DC＝5，AC＝6，所以OC＝3，PO＝OB＝4， 因为PB＝42，所以PO2＋OB2＝PB2， 所以PO⊥OB. 3
因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC. 因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC. (2)解：因为AB＝BC，所以BO⊥AC. 易知OB，OC，OP两两垂直．
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 则B(4，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，4)，A(0，－3，0)．
设点Q(x，y，z)，由AQ→＝13AP→，得Q0，－2，43.
所以BC→＝(－4，3，0)，BQ→＝(－4，－2，43)． 设n1＝(x1，y1，z1)为平面BCQ的一个法向量，
由n1·BC→＝0，n·BQ→＝0，得－4x1＋3y1＝0，－4x1－2y1＋43z1＝0，
解得x1＝34y1，y1＝415z1， 取z1＝15，则n1＝(3，4，15)． 取平面ABC的一个法向量为n2＝(0，0，1)．
因为cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝1532＋42＋152＝31010，
所以二面角QBCA的余弦值为31010. [题目4] (本小题满分12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
学习积极性 积极参加 不太主动参 总计 4
班级工作 加班级工作 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 总计 24 26 50 (1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？ (2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．
解：(1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为2450＝1225.
不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为1950. (2)由K2公式得K2＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26≈11.5. 因为K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系． [题目5] (本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不经过点B(0，1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
(1)解：由题意得，c＝3，ab＝2，a2＝b2＋c2， 联立解得a＝2，b＝1， 所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1. (2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立y＝kx＋m，x2＋4y2＝4，消去y可得 (4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1. 因为点B在以线段MN为直径的圆上，
所以BM→·BN→＝0. 5
BM→·BN→＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
即(k2＋1)4m2－44k2＋1＋k(m－1)－8km4k2＋1＋(m－1)2＝0， 整理，得5m2－2m－3＝0， 解得m＝－35或m＝1(舍去)．
所以直线l的方程为y＝kx－35. 易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意． 故直线l过定点，且该定点的坐标为0，－35. [题目6] (本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－1)ex－mx2＋2，其中m∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当常数m∈(2，＋∞)时，函数f(x)在[0，＋∞)上有两个零点x1，x2(x1＜x2)，证明：
x2－x1＞ln 4e.
(1)解：当m＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2＋2， 所以f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)． 由f′(x)＝x(ex－2)＝0，解得x＝0或x＝ln 2. 当x＞ln 2或x＜0时，f′(x)＞0， 所以f(x)的单调递增区间为(ln 2，＋∞)，(－∞，0)． 当0＜x＜ln 2时，f′(x)＜0， 所以f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)． (2)证明：m＞2，x≥0，由f′(x)＝x(ex－2m)＝0，解得x＝0或x＝ln 2m. 当x＞ln 2m时，f′(x)＞0，f(x)在(ln 2m，＋∞)上单调递增； 当0＜x＜ln 2m时，f′(x)＜0，f(x)在(0，ln 2m)上单调递减． 所以f(x)的极小值为f(ln 2m)． 因为函数f(x)在[0，＋∞)上有两个零点x1，x2(x1＜x2)， 所以f(ln 2m)＜0. 由f(0)＝1＞0，f(1)＝2－m＜0，可知x1∈(0，1)． 又f(ln 2m)＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(ln 2m，＋∞)上单调递增． 所以x2∈(ln 2m，＋∞)． 所以x2＞ln 2m＞ln 4. 6
因为0＜x1＜1，所以x2－x1＞ln 4－1＝ln 4e. [题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：极坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋2cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)，M为曲线C1
上的动点，动点P满足OP→＝aOM→(a＞0且a≠1)，P点的轨迹为曲线C2. (1)求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；
(2)在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为2，π3，射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4＋23，求a的值． 解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，因为OP→＝aOM→，
所以x＝ax0，y＝ay0，则x0＝xa，y0＝ya. 因为M在C1上， 所以xa＝2＋2cos θ，ya＝2sin θ，即x＝2a＋2acos θ，y＝2asin θ(θ为参数)， 消去参数θ得(x－2a)2＋y2＝4a2(a≠1)， 所以曲线C2是以(2a，0)为圆心，2a为半径的圆． (2)法一 A点的直角坐标为(1，3)，所以直线OA的普通方程为y＝3x，即3x－y＝0， 设B点坐标为(2a＋2acos α，2asin α)，
则B点到直线3x－y＝0的距离为d＝a|23cos α－2sin α＋23|2＝a2cos
α＋π
6＋3，
所以当α＝－π6时，dmax＝(3＋2)a， 所以S△AOB的最大值为12×2×(3＋2)a＝4＋23， 所以a＝2. 法二 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2a)2＋y2＝4a2，并整理得ρ＝4acos θ， 令θ＝α得ρ＝4acos α，所以B(4acos α，α)，