第三讲 概率(作业) 高中数学复习专题 Word版 含答案

限时规范训练 一、选择题 1．在区间－π2，π2上随机取一个数x，则cos x的值在0，12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12 D.23

解析：当cos x的值在0，12之间时，x∈－π2，－π3∪π3，π2，所以所求的概率为2×π2－π3π2－－π2＝13. 答案：A 2．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( )

A.29 B.14 C.512 D.12 解析：基本事件一共有36种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共15种，所以所求概率为1536＝512.

答案：C 3．(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56 B.25

C.16 D.13 解析：先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 答案：A 4．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )

A.110 B.310 C.35 D.910 解析：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共10种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有1种，则没有白球的概率为110；则所取的3个球中至少有1个白球的概率是910，故选D. 答案：D 5．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件是次品的概率为( ) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 解析：5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件

次品的结果有6种，则其概率为P＝610＝0.6. 答案：B 6．甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为( )

A.112 B.16 C.124 D.14 解析：甲、乙、丙、丁四人站成一排有24种情形，其中甲、乙都不在两边有4种情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙．因此所求概率为P＝424＝16. 答案：B 7．(2017·西宁模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC内，则该粒黑芝麻落在△PBC内的概率是( )

A.14 B.13 C.23 D.12 解析：由PB→＋PC→＋2PA→＝0，得PB→＋PC→＝－2PA→，设BC边中点为D，连接PD(图略)，则2PD→＝－2PA→， P为AD中点，所以所求概率P＝S△PBCS△ABC＝12，即该粒黑芝麻落在△PBC内的概率是12，故选D. 答案：D 8．将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y＝ax2

－2bx－1在－∞，12上为减函数的概率是( ) A.14 B.34 C.16 D.56 解析：由函数y＝ax2－2bx－1在－∞，12上为减函数，可得对称轴x＝2b2a＝ba≥12，即a≤2b.列表如下： b a 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) “将一枚骰子先后抛掷两次所得点数”的基本事件的个数为36，而满足“a≤2b”的基本事件有30个，所

求概率P＝3036＝56，故选D. 答案：D 二、填空题 9．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

解析：设阴影部分的面积为S，则S1×1＝1801 000，∴S＝0.18. 答案：0.18 10.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示．如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．

解析：由题意知甲组三名同学的成绩为88,92,93，乙组三名同学的成绩为90,91,92，则两组中各任取一名共有9种结果，成绩相同时只有一种结果，所以概率为19.

答案：19 11．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________. 解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得2m6＝56，解得m＝2.5，矛盾，舍去． 当2答案：3 12．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________． 解析：将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2c， 则A包含的结果有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，

(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型概率计算公式可得P(A)＝1936.

答案：1936 三、解答题 13．某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [60,70) 16 0.2 [70,80) 50 n [80,90) 10 p [90,100] 4 0.05 合计 m 1

(1)求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值； (2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在[60,70)和[90,100]的学生中共抽取5人，再从5人中选2人，求这2人成绩在[60,70)的概率．

解析：(1)∵m＝16＋50＋10＋4＝80，16m＝0.2，∴m＝80，∴n＝5080＝0.625，

∴p＝1－0.2－0.625－0.05＝0.125，∴a＝n10＝0.62510＝0.0625. (2)样本分数在[60,70)中的有16人，在[90,100]中的有4人，则抽取的样本分数在[60,70)，[90,100]的人数分别为：1620×5＝4(人)，420×5＝1(人)． 记样本分数在[60,70)中的4人为a1，a2，a3，a4，在[90,100]中的1人为b.从已抽取的5人中任选两人的所有可能为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a3，a4)，(a3，b)，(a4，b)共10种． 记“2人样本分数都在[60,70)”为事件A，则事件A包括：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6种．

则2人成绩在[60,70)内的概率为P(A)＝610＝35. 14．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标． (1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率； (2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率． 解析：(1)点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种， 其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种，

故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为49.

(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为25π. 15．(2017·泰安市模拟)某大学高等数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班(人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样)．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图如图．

(1)学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考： P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(参考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d) (2)现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率． 解析：(1) 甲班 乙班 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27

合计 20 20 40