等比数列性质教学教案

等比数列（二）
教学重点
等比数列的通项公式、性质及应用．
教学难点
灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．
教学过程
一、复习
1.等比数列的定义．
2.等比数列的通项公式:
)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ， )0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ， )0,(≠=B A AB a n n
3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n
二、讲解新课：
思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G
为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则ab
G ab G G b a G ±=⇒=⇒=2，
反之，若G 2=ab,则G b a G =，即a,G ,b 成等比数列 ∴a,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）
例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.
解:设m,G,n 为所求的三个数,
有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G =
,4643=⇒=∴G G ⎩
⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.
解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a 则
,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得
,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.
2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则
k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？
由定义得：1
1n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a 2
21-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a
则k
p n m a a a a = 例2. 已知{
n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +． 解： ∵{
n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;
3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法
例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}
n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n n
n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(21111211121111211
11与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++
它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列. 思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？
（2）已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 是等比数列吗？
4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列．
三、课堂小结：
1.等比中项的定义；
2.等比数列的性质；
3．判断数列是否为等比数列的方法．。