2021-2022学年陕西省渭南市富平县高二下学期期末数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区高二年级上册学期期末数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．不等式的解集是（ ）()()120x x -->A ．或B ．{|1x x <2}x >{}12x x <<C ．或D ．{|1x x ≤2}x ≥{}12x x ≤≤【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由不等式，()()120x x -->解得或，1x <2x >所以不等式的解为：或.{|1x x <2}x >故选：A.2．已知命题：，.则命题的否定是（ ）p x ∃∈R 21xx ≤+p A ．，B ．，x ∃∈R 21xx >+x ∃∈R 21xx ≥+C ．，D ．，x ∀∈R 21xx ≤+x ∀∈R 21xx >+【答案】D【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题：，.则命题的否定是，，p x ∃∈R 21x x ≤+p x ∀∈R 21xx >+故选：D.3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，若，则2212516x y +=1F 2F P 17PF =（ ）2PF =A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】根据椭圆的定义可知：，12210PF PF a +==所以.21103PF PF =-=故选：D4．已知实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）a b 0b a <<A ．B ．C ．D ．11b a >22a b>0b a ->b a a b<【答案】A【分析】根据不等式的性质、特殊值、差比较法等知识确定正确答案.【详解】依题意，，所以，所以C 选项错误.0b a <<0,0b a a b -<->，所以，A 选项正确.110a b b a ab --=>11b a >时，，但，所以B 选项错误.2,1b a =-=-0b a <<22a b <时，，但，所以D 选项错误.2,1b a =-=-0b a <<b a a b =故选：A5．下列求导运算正确的是（ ）A ．B ．()2cos 2sin x x x x'=-'=C ．D ．ππsin cos33'⎛⎫= ⎪⎝⎭()555log xxx'=【答案】B【分析】利用导数运算求得正确答案.【详解】A 选项，，A 选项错误.()()()2222cos cos cos 2cos sin xx x x x x x x x x '''=⨯+⨯=-B 选项，，B 选项正确.11112221122x x x -'⎛⎫'====⎪⎝⎭C 选项，，C 选项错误.πsin 03'⎛⎫= ⎪⎝⎭D 选项，，D 选项错误.()55ln 5xx'=故选：B 6．已知等差数列中，，，则的前项和的最小值为（ ）{}n a 70a >2110a a +<{}n a n n S A ．B ．C ．D ．4S 5S 6S 7S 【答案】C【分析】由确定正确答案.760,0a a ><【详解】依题意，621710a a a a =++<而，所以，70a >60a <所以数列的公差，{}n a 0d >且数列的前项为负数，从第项起为正数，{}n a 67所以的最小值为.n S 6S 故选：C7．设，则“”是“”的（ ）x ∈R 01x <<11x >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】结合分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】由得，11x >()11101001x x x x x x --=>⇔-<⇔<<所以“”是“”的充要条件.01x <<11x >故选：C 8．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．函数在上是增函数()y f x =()2,2-B ．函数在上是减函数()y f x =()1,+∞C ．是函数的极小值点=1x -()y f x =D ．是函数的极大值点1x =()y f x =【答案】A【分析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.【详解】由图象可知，当时，；当时，，()2,2x ∈-()0f x '≥()2,x ∈+∞()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，可知B 错误，A 正确；()f x \()2,2-()2,∞+是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C ，D 错误．2x =1x ∴=-1x =故选：A9．在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（ ）A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱【答案】C【分析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案.【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，，12567237261a a a a a +=⎧⎨++=⎩112237315261a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以丁有钱.11227a d =⎧⎨=-⎩41312221101a a d =+=-=故选：C10．已知命题：“到点的距离比到直线的距离小1的动点的轨迹是抛物线”，命题：p ()1,02x =-q “1和100的等比中项大于4和14的等差中项”，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．p q ∨p q∧()¬p q ∧()¬p q ∨【答案】B【分析】对于命题，设动点的坐标为，则根据条件可得动点的轨迹方程，从而可判断该命p (),x y 题的正误.对于命题，求出等比中项和等差中项后可判断其正误，再结合复合命题的真假判断方法q可得正确的选项.【详解】对于命题，设动点的坐标为，p (),x y 21x =+-当时，有；2x ≥-24y x =当时，有，但此时，故不成立，<2x -288y x =+880x +<288y x =+故动点的轨迹方程为，轨迹为抛物线，故正确.24y x =p 对于，“1和100的等比中项为，而4和14的等差中项为9，q10±故两者大小关系不确定，从而错误.q故四个命题中，，，均为真命题，为假命题，p q ∨()¬p q ∧()¬p q ∨p q ∧故选：B.11．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，若双曲线C 以O 1，O 3为焦点､以直线O 2O 4为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A B C ．D ．21311【答案】A【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式可得.e =【详解】如图建立直角坐标系，过向x 轴引垂线，垂足为A ，易知，4O 411O A =213O A =1113b a ∴=e ∴==故选：A12．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则R ()f x ()f x '()()0f x f x +'>()31f =的解集为（ ）()3e e xf x ⋅>A ．B ．C ．D ．(),1-∞()1,+∞(),3-∞()3,+∞【答案】D【分析】利用构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，从而求得正确答案.【详解】构造函数，()()e x F xf x =⋅，()()()e 0x F x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦所以在上递增，，()F x R ()()333e 3e F f =⨯=由于，()()()3e e 3x f x F x F ⋅>⇔>根据的单调性解得，()F x 3x >所以的解集.()3e e xf x ⋅>()3,+∞故选：D二、填空题13．若抛物线的准线方程为，则的值为______．22x py =1y =-p 【答案】2【分析】根据抛物线的准线求得的值.p 【详解】依题意.1,22pp ==故答案为：214．在中，内角的对边分别为，则角的大小为______.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos Aa B =B 【答案】π6【分析】利用正弦定理边化角可求得，由此可得.tan B B ，sin sin cos B A A B=，，，即()0,πA ∈ sin 0A ∴≠cos B B =tan B =又，.()0,πB ∈π6B ∴=故答案为：.π615．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为______.x y 20204x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩2z x y =-【答案】4-【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，结合图像求得的最大值．20x y -=z 【详解】.200202x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩画出可行域如下图所示，由图可知，当平移基准直线到可行域边界点时，20x y -=()0,2取得最大值为．z 0224-⨯=-故答案为：4-16．已知椭圆，为椭圆上的一个动点，定点，则()222:11y C x a a +=>P C ()1,0A -的最大值为______．PA【答案】2【分析】根据椭圆的离心率求得，结合两点间的距离公式以及二次函数的知识求得的最大值.a PA【详解】依题意c e a ======由于，所以解得的方程为，1a >a =C 2212y x +=设，则，()00,P x y 222200001,222yx y x +==-，==由于，所以当时，取得最大值为.011x -≤≤01x =PA 2故答案为：2三、解答题17．已知等比数列满足，，为数列的前项和.{}n a 11a =48a =n S {}n a n (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求的值63n S =n 【答案】(1)12n n a -=(2)6n =【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到；qn a （2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得：，.{}n a q 33418a a q q ===2q =12n n a -\=（2），，解得：.126312nn S -==- 264n\=6n =18．已知关于的不等式的解集为.求：x 2220x mx m +++≥R (1)实数的取值范围；m(2)函数的最小值()92f m m m =++【答案】(1)[]1,2-(2)4【分析】（1）利用判别式的正负即可求解；（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）∵不等式的解集为.2220x mx m +++≥R ∴，解得()2Δ4420m m =-+≤12m -≤≤∴实数的取值范围为.m []1,2-（2）由（1）知，∴12m -≤≤124m ≤+≤∴函数，()()99222422f m m m m m =+=++-≥=++当且仅当，即时取等号922m m +=+1m =∴的最小值为4.()f m 19．已知函数．()32f x x x x=+-(1)求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f (2)求函数在区间上的最大值与最小值．()f x []1,1-【答案】(1)430x y --=(2)最大值是1，最小值是527-【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）先求得在区间上的单调区间，进而求得在区间上的最大值与最小值.()f x []1,1-()f x []1,1-【详解】（1），∴，又，()2321f x x x '=+-()13214f '=+-=()11111f =+-=∴曲线在点处的切线方程为，即．()y f x =()()1,1f ()141y x -=-430x y --=（2），令，解得或，()2321f x x x '=+-()0f x '==1x -13x =又，∴当变化时，，的变化情况如下表所示：[]1,1x ∈-x ()f x '()f xx1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭131,13⎛⎫⎪⎝⎭1()f x'0-0++()f x1单调递减527-单调递增1∴在区间上的最大值是1，最小值是．()f x[]1,1-527-20．已知椭圆：的长轴顶点与双曲线的焦点重合，且椭圆经过C()222210x ya ba b+=>>221169x y-=C点.A(1)求椭圆的标准方程；C(2)设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，求点到轴的距离.C1F2F P C12PF PF⊥P x【答案】(1)221259x y+=(2)94【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程；,a b C（2）设，根据列方程，结合在椭圆上求得，进而求得到轴的距离.(),P m n12PF PF⊥P n P x【详解】（1）对于双曲线，221169x y-=5=且在椭圆上，AC所以，解得，，22550313aa b=⎧⎪⎨+=⎪⎩5a=3b=∴椭圆的方程为.C221259x y+=（2）设，，(),P m n()()124,0,4,0F F-由，得①，12PF PF⊥()()22124,4,160PF PF m n m n m n⋅=---⋅--=-+=又②，221259m n +=由①②解得，94n =±∴点到轴的距离为.P x 9421．如图，在中，是上的点，，再从条件①、条件②这两个条ABC D BC 4,3AB BD C π===件中选择一个作为已知，求：（1）角的大小；B （2）的面积．ACD条件①：②：．AD =3AC =【答案】（1），具体选择见解析；（26B π=【解析】选择条件①：（1）利用余弦定理即可求解；（2）由（1）可得为直角三角形，利用三角形的面积公式：即可求解.ABC in 12s S ab C =选择条件②：（1）利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得为直角三角形，利用三角形的面积公式：即可求解.ABC in 12s S ab C =【详解】选择条件①：解：（1）在中ABD △4,AB BD AD ==由余弦定理，得222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅=因为，0B π<<所以.6B π=（2）由（1）知，，6B π=因为，所以.3C π=2BAC π∠=所以为直角三角形.ABC 所以，.3AC =6BC =又因为，所以.4BD =2CD =所以. 1sin 2ACD S AC CD C =⋅⋅ 1322=⨯⨯=选择条件②：解：（1）在中,.ABC 3,AC AB ==3C π=由正弦定理 ，得. sin sin AC AB B C =1sin 2B =由题可知，B C π<<=03所以.6B π=（2）由（1）知，，6B π=因为，所以.3C π=2BAC π∠=所以为直角三角形，ABC 得.6BC =又因为，所以.4BD =2CD =所以.1sin 2ACD S AC CD C =⋅⋅ 1322=⨯⨯=22．已知函数，．()ln f x x =()1g x ax =-(1)证明：；()2x f x <(2)若函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围．()f x ()g x a 【答案】(1)证明见解析(2)()0,1【分析】（1）构造函数，利用导数求得，由此证得不等式成立.()()2x F x f x =-()0F x <（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.()()f x g x =a a 【详解】（1）令，则，()()ln 22x x F x f x x =-=-()11222x F x x x -'=-=当时，，单调递增，当时，，单调递减，02x <<()0F x '>()F x 2x >()0F x '<()F x ∴当时，取得最大值，∴，即．2x =()F x ()2ln 210F =-<()0F x <()2x f x <（2）由题意得，在时有两个解，即在时有两个解，ln 1x ax =-0x >ln 1x a x +=0x >令，则，()ln 1x G x x +=()221ln 1ln x x G x x x --'==-∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，01x <<()0G x '>()G x 1x >()0G x '<()G x ，当时，，，，()11G =1x >()0G x >()111ln e 1e 0e G ---+==()2222ln e 11e 0e e G ----+-==<∴，∴实数的取值范围为．01a <<a ()0,1。
陕西省安康市六校联考2021-2022学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案
2021-2022学年第一学期六校联考高二数学（文）试卷考试范围：必修五、选修1-1（一至三章）（北师大版）总分：150分时间：120分钟姓名：班级：考号：一、选择题（每小题5分，共计60分）1.不等式2320x x -+≤的解集是（）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <<C ．{|1x x <或2}x >D ．{|1x x ≤或2}x ≥2．命题“x R ∀∈，2230x x -+>”的否定为（）A ．x R ∃∈，2230x x -+>B ．x R ∃∈，2230x x -+≤C ．x R ∀∈，2230x x -+<D ．x R ∀∈，2230x x -+≥3．设x ∈R ，则“1x >”是“20x x ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于（）A ．6B ．0C ．3D ．－25．在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程210160x x -+=的两根，则812a a ⋅等于（）A ．8B ．10C ．16D ．326．双曲线224936x y -=的渐近线方程是（）A ．32y x=±B ．23y x=±C ．94y x=±D ．49y x=±7.已知函数()2sin f x x =，则()0f '=（）A ．0B ．1C ．2D ．128．在ABC 中，45,2,=︒==B AC AB BC 的长等于（）A1B 1C D ．29．已知,x y 满约束条件20201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．310.在抛物线y 2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为()A.12B．1C．2D．411．在ABC 中，若3A π=，1b =，ABC S =△则ABC 外接圆的半径为（）A ．393B ．1333C ．4381D．12.若椭圆22:1C mx ny +=10y +-=交于,A B 两点,过原点与线段AB 中点的直线,则m n=()A.12B.22C.D.2二、填空题：（每小题5分，共20分）13.设椭圆标准方程为x 225＋y 216＝1，则该椭圆的离心率为______．14．已知方程20x px q ++=的两根为3-和5，则不等式20x px q ++>的解集是______．15．在ABC 中，若面积2224b c a S +-=，则A ∠=______．16．若正实数,a b 满足1,a b +=则19a b+的最小值为________________________．三、解答题：（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17（本小题满分10分）．设集合2{|230},{|11}A x x x B x a x a =+-<=--<<-．（1）若3a =，求A B ；（2）设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．19．（本小题满分12分）.2π)()3();2(')2();('1,cos )(2处的切线方程在曲线π）（求：已知函数===x x f y f x f x xx f20.（本小题满分12分）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC 的面积为ABC 的周长．21．（本小题满分12分）已知{}n a 数列满足12a =，1122n n n a a ++-=.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（2）求数列的前n 项和.22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点1(2P ，椭圆E 的一个焦点为0).（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过点M 且与椭圆E 交于,A B 两点.求||AB 的最大值2021-2022学年第一学期六校联考高二数学（文）试卷参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.14.15.π416.16三、解答题：17．（10分）（1）解：由223(1)(3)0x x x x +-=-+<，解得31x -<<，即{|31}A x x =-<<，当3a =时，可得{|42}B x x =-<<-，所以{|41}A B x x =-<< .（2）解：由集合{|31}A x x =-<<，{|11}B x a x a =--<<-因为:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 成立的必要不充分条件，B 是A 的真子集，所以1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩且等号不能同时成立，解得02a ≤≤，其中当0a =和2a =是满足题意，故实数a 的取值范围是[]0,2.18.(12分)（1）设等差数列{}n a 公差为d ，正项等比数列{}n b 公比为q ，因为1124351,10,a b a a b a ==+==，题号123456789101112答案ABADCBCABCAD所以211310,142,03d d q d d q q +++==+∴=>∴= 因此111(1)221,133n n n n a n n b --=+-⨯=-=⨯=；（2）数列{}n b 的前n项和131(31)132n nn S -==--19.（12分）(1)f '(x)=(x 2)'cosx+x 2(cosx)'=2xcosx-x 2sinx.(2))=2cos-()2sin =(3)x=时，f(x)=0,则切点为P（，0）所以切线方程是y-0=f '()(x-),即y=20.（12分）（1）∵2cos cos cos a A b C c B =+∴由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+∴2sin cos sin A A A =∵0A π<<，∴1cos 2A =，故3A π=（2）由（1）知，3A π=∵1sin 2ABC S bc A ==V ∴24bc =∵由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-∴2228b c bc +-=，故()2100b c +=∴10b c +=，故10a b c ++=+∴ABC 的周长为10+21.（12分）（1）在1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，得：11122n n n n a a ++-=，1112a =，故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；(2)由（1）得：()112nn a n n =+-=，2n n a n =⋅，1+2+…+(n-1)①21+2+…+(n-1)②1②得：-=n-=-=-2所以=(n-1).22（12分）（1）依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为1()F，2F ．则12|||42PF PF a |+==，2a ∴=，c =21b ∴=，∴椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）当直线l的斜率存在时，设:=+l y kx 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．由2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(14)40k x +++=．由0∆>得241k >．由12214x x k +=-+，122414x xk =+得||AB ==设2114t k =+，则102t <<，∴||AB =当直线l的斜率不存在时，||2AB =||AB ∴。
2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年凉山州西昌市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 存在有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，要做的假设是A ．,,a b c 至多有两个偶数B ．,,a b c 都是偶数C ．,,a b c 至多有一个偶数D ．,,a b c 都不是偶数【答案】D【详解】因为“至少有一个”的否定是“都不是”，因此要做的假设是,,a b c 都不是偶数，故选D ．2．设z 是复数，若()1i i z -=-(i 是虚数单位)，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为i2B ．1i2z -+=C ．1z =D ．1z z +=【答案】D【分析】先求得z ，由此判断出正确选项. 【详解】依题意()11i i z --==， ()()1111112i i z i i i ++===--+，B 错， 所以z 的虚部为12，A 错，z ==C 错， 11122z z +=+=，D 正确. 故选：D3．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为（ ）A ．18B ．316 C ．14D ．12【答案】C【分析】由古典概型的概率计算公式可得.【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ，共有4416⨯=个基本事件；而使不等式a －2b ＋4<0成立的事件包含：(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共有4个基本事件；由古典概型公式得所求概率41=164P =． 故选：C ．4．若()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与B 的关系是 A ．互斥不对立 B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上答案都不对 【答案】D【详解】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 也不见得对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的． 【解析】互斥事件与对立事件5．已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数fx 的图象如所示，则（ ）A ．()f x 在1x =处取得极小值B ．()f x 在1x =处取得极大值C ．()f x 是R 上的增函数D ．()f x 是(),1-∞上的减函数，1,上的增函数【答案】C【分析】由导函数图象可知0f x在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,即可判断选项.【详解】由图可得,0fx在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,故C 正确、D 错误；所以()f x 没有极值,故A 、B 错误； 故选:C【点睛】本题考查导函数图象的应用,属于基础题.6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”他体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“．．．”即代表着无限次重复，但它却是个定值，可以通过方程11x x +=求得51x +=282828+++=（ ）A ．432-B ．4C ．432+D ．432±【答案】C【分析】282828x +++=28x x +=，注意到0x >，解出x 即可．【详解】282828x +++=28x x +，其中0x >，28x x +两边平方，得282x x =+，即2820x x --=，解得432x =-或432x =+ 故选：C ． 7．设曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，则=a （ ） A ．12B ．1-C ．12-D ．1【答案】C【分析】求出函数的导数，然后可得答案 【详解】由2x y x =-可得()()222222y x x x x '=---=--，所以当4x =时12y '=-，因为曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，所以12a =-， 故选：C8．ACB △是等腰直角三角形，在斜边AB 上任取一点M ，则AM AC <的概率（ ） A 2B ．34C ．12D ．23【答案】A【分析】设1BC AC ==，先求出点M 的可能位置的长度，然后可得答案. 【详解】设1BC AC ==，则2AB =在斜边AB 上任取一点M ，满足AM AC <的点M 的可能位置的长度为1， 22=，故选：A9．若函数()21y ax x =-在区间33(上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <1【答案】A【分析】先对函数求导，由函数在区间33(上为减函数，可得导数小于零的范围为33(，可求得a 的取值范围. 【详解】由函数()21y ax x =-，求导可得()22331y ax a a x '=-=-，因为函数在区间33(上为减函数， 所以在区间33(上()2310y a x '=-≤， 因为231x -在区间33(小于零，且0a ≠， 所以只需0a >即可， 故选：A.10．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．32m ≥B ．32m >C ．32m ≤D ．32m <【答案】A【详解】试题分析：因为函数431()232f x x x m =-+，所以()3226f x x x '=-． 令f′（x ）=0得x=0或x=3，当()()''3,0;03,0;x f x x f x >><<< 经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-272． 不等式f （x ）+9≥0恒成立，即f （x ）≥-9恒成立，所以3m-272≥-9，解得m≥32【解析】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值11．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．如果不放回的任意取出2个球，则它们重量相等的概率为（ ）． A ．215B ．715 C ．13D ．15【答案】A【分析】计算出总的取法数和列出满足重量相等的情况，即可得到答案.【详解】总共有2615C =种取法，其中满足重量相等的有：取出的球的编号为1,5和2,4，所以概率为215故选：A12．设函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值，求实数a 的取值范围（ ） A ．1e 2e ,∞⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭B ．1e ,e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1e 2e ,∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据函数导函数在区间1(0,)e内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.【详解】由22(2)1()ln ()1(1)a x a x f x x f x x x x -++'=+⇒=--， 因为函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值， 所以22(2)1()0(1)x a x f x x x -++'==-在1(0,)e内有解， 即2()(2)10g x x a x =-++=在1(0,)e内有解，21(2)102x a x a x x-++=⇒=+-， 设222111()2()1x h x x h x x x x-'=+-⇒=-=，当1(0,)e x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，所以min 1()(e)e 2eh x h ==+-，要想方程12a x x =+-在1(0,)e x ∈时有解，只需min 1()e 2ea h x a >⇒>+-，故选：A 二、填空题13．若复数z 满足(1)2z i ⋅+=(i 为虚数单位)，则z =___________. 【答案】1i -【分析】直接进行复数除法. 【详解】解：因为(1)2z i ⋅+=， 所以22(1)2211(1)(1)2i iz i i i i --====-++-. 故答案为：1i -.14．国家级邛海湿地公园在每天上午8点起每半小时会有一趟观光车从景区入口发车入园，某人在9点至10点之间到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待的时间不超过10分钟的概率____________【答案】13【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】根据题意可知，在9:20~9.30,9:50~10:00这两段时间内到达，等待的时间不超过10分钟，所以等待的时间不超过10分钟的概率为10101603+=， 故答案为：1315．已知函数()()1ln 21f x x x x =+-+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值为____________【答案】2ln 22--【分析】求导后代入1x =可得()1f '，由导数定义可知所求式子为()21f '-，由此可得结果. 【详解】()1ln 21x f x x x+'=+-，()1ln 21f '∴=+， ()()()()()00121121lim2lim 212ln 222x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'∴=-⨯=-=--∆-∆.故答案为：2ln 22--.16．定义在R 上的函数31()33f x x x =-+．①()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数． ②()f x y x'=在(0,)+∞上存在极小值． ③()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+垂直．④设()4ln g x x m =-，若存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，则25m e >-． 以上对函数的描述中正确的选项是：___________ 【答案】①④【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、存在性的性质逐一判断即可. 【详解】由321()3()1(1)(1)3f x x x f x x x x '=-+⇒=-=-+.①：当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以此时函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以以时函数单调递增，因此本结论正确； ②：()1f x y x x x '==-，因为函数1y x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以此时函数没有极值，因此本结论不正确；③：(0)1f '=-，直线22y x =+的斜率为2，因为2(1)21⨯-=-≠-，所以()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+不垂直，因此本选项结论不正确；④：2()()4ln 1g x f x x m x <⇒-<-'，存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，转化为存在[1,e]x ∈，使24ln 1x m x -<-成立，由224ln 14ln 1x m x m x x -<-⇒>-+， 设2()4ln 1h x x x =-+，[1,e]x ∈，所以42(2)(2)()22x x h x x x -+-'=-=， 当[1,2]x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增，当(2,e]x ∈，()0,()h x h x '<单调递减， 所以当2x =时，函数有最大值，因为22(1)0,(e)4e 15e h h ==-+=-，所以2min ()5e h x =-，要想存在[1,e]x ∈，使24ln 1m x x >-+成立，只需2min ()5e m h x >=-，因此本结论正确，故答案为：①④ 三、解答题17．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合.如下图．某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．(1)若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率． (2)若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率． 【答案】(1)110(2)45【分析】（1）首先运用组合数求出基本事件的总数，再根据古典概型即可求出概率； （2）首先运用组合数求出基本事件的总数和对立事件的总数，再根据对立事件的概率即可求解.【详解】(1)记“能拼成吉祥物”为A 事件.基本事件总数在6个乒乓球中任取3个有3620C =种.而满足条件的只有2种，即“冰墩墩”和“雪容融”. ∴()212010P A ==； (2)记至少抽到一个“墩”为B 事件，则一个“墩”也抽不到的种类数为34C ，则()3436415C P B C =-=.18．若直线L 与曲线2,(0)y x x =>和2249x y +=都相切，则求L 的方程． 【答案】222y x =-【分析】设切点00(,)x y ，再利用导数的几何意义可求得曲线2,(0)y x x =>的切线方程20020x x y x --=，再由切线与圆2249x y +=20202314x =+，从而可求出0x ，进而可求出切线方程【详解】设切点00(,)x y ，即200(,)x x ，00x >.∴02k x =，则切线方程：20002()y x x x x -=-，即20020x x y x --=.20202314x =+，得420091640x x --=. 解得202x =，∵00x >，∴02x =故L 的方程为：222(2)y x -=， 即22y x =-.19．i 是虚数单位，已知数列{n a }，若2i n n a n =⋅，求该数列{n a }的前4n 项的和4n S ． 【答案】44i n n -【分析】利用错位相减法求和即可.【详解】由23441242i 4i 6i 8i nn n S a a a n =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ....①则234414i 2i 4i 6i 8i n n S n +=++⋅⋅⋅+ ....②由①-②得234414(1i)2i 2i 2i 2i 8i n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-即234414142(i i i i )8i 8i 44i 1i 1in n n nn n S n n +++++⋅⋅⋅+--===---.20．已知函数2()2ln f x x a x =-，(0)a >． (1)若1a =时，求函数()f x 的单调区间．(2)若()0f x >在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)(),4e ∞-.【分析】（1）由题可求函数的导数，然后利用导数与单调性的关系即得； （2）利用参变分离法，求函数的最值即得.【详解】(1)当1a =时，()22ln ,(0)f x x x x =->.则由()'f x ()()2121140x x x x x-+=-=>，得12x >， ()0f x '<，得102x <<∴()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，即函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)∵()0f x >在[1,2]上恒成立. ①当1x =时，()0f x >恒成立.②当(1,2]x ∈时，ln 0x >，则由()0f x >得22ln x a x<在(1,2]x ∈上恒成立.令()(]()22,1,2ln x g x x x=∈，则由()g x '()()222ln 10ln x x x -=>， 得2e x >>，()0g x '<得1e x <<即()g x 在e]上单调递减，在e,2⎡⎤⎣⎦上单调递增.∴()(min e 4e g x g==.∴(),4e a ∞∈-.21．观察：下面三个式子的结构规律 ①223sin sincoscos 66334ππππ+⋅+=②22553sin sincoscos 9918184ππππ+⋅+= ③223sin sincoscos 1212444ππππ+⋅+=你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【答案】223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析【分析】根据三个式子的结构规律可得结论；利用两角和差余弦公式化简整理即可证得结论.【详解】猜想：223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；证明如下：222sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 6666ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+++=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222223131cos cos sin sin sin cos sin cos sin 66244ππαααααααα⎛⎫+-=-++ ⎪⎝⎭223333cos sin cos 444αααα=+=. 22．设函数()()x ln ,bf xg x ax x ==+，函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 设0x >，试比较()f x 与()g x 的大小.【答案】（I ）11,22a b ==-; (II)当()0,1x ∈时，()()f xg x >；当()1,x ∈+∞时，()() f x g x <；当1x =时，()() f x g x =.【分析】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线列方程求解即可；(Ⅱ) 设0x >，令()()()11In 2F x f x g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性，分三种情况讨论，分别比较()f x 与()g x 的大小即可.【详解】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点()1,0也在函数()g x 的图象上， 且在此点处()f x 与()g x 有公切线 ()()21',bf xg x a x x'==-， ∴由题意可得：011,122a b a b a b +=⎧⇒==-⎨-=⎩ （Ⅱ）由（I ）可知()112g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()()()2221111111211n 11102222F x f x g x l x x F x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=-+-=--≤ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()F x ∴是()0,+∞上的减函数，而F(1)=0，11 ∴当()0,1x ∈时，()0F x >，有()()f x g x >；当()1,x ∈+∞时，()0F x <，有()()f x g x <；当1x =时，()0F x =，有()()f x g x =.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，利用导数比较大小，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.。
2021-2022学年贵州省铜仁市高二下学期期末质量检测数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年贵州省铜仁市高二下学期期末质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知{}{}220,,1,0,1,2A x x x B =+>∈=-N ，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【分析】对集合A 化简，再与集合B 进行交集运算，可得到共有3个元素，再用判断子集个数公式即可.【详解】因为220x +>，所以1x >-，则{}1,A x x x =>-∈N ,而又因为{}1,0,1,2B =-,所以{}0,1,2A B =，集合中有3个元素，所以A B 的子集个数为：328=（个）. 故选：D.2．设复数z 满足()1i 3i z -=+，则复平面内与z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法法则可得12z i =+，即可得到答案. 【详解】因为()1i 3i z -=+，所以()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+， 所以复平面内与z 对应的点位于第一象限， 故选：A3．下列函数中值域为(0,)+∞的是（ ）A ．y =B ．y =C ．12x y -=D ．2log y x =【答案】C【分析】根据指数对数和幂函数的值域判断即可【详解】y =[)0,∞+，y =R ，12x y -=值域为(0,)+∞，2log y x =值域为R ，故只有12x y -=满足. 故选：C4．点(3,0)到双曲线222116x yb-=的一条渐近线的距离为95，则双曲线的离心率e =（ ）A ．54B ．53C ．43D ．2516【答案】A【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到线的距离公式可得29b =，进而求得离心率即可【详解】由题意，双曲线222116x y b-=的一条渐近线方程为40bx y -=95=，即()2225916b b =+，解得29b =，故54e == 故选：A5．叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q 与叶广泥的质量m 的关系是22log 10mQ =，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m 为多少个单位（ ） A ．2 B ．242log 5C ．160D ．6【答案】C【分析】由题意282log 10m=，由指数与对数的关系求解即可 【详解】由题意有：282log 10m =， 所以2log 410m= 所以4210m =， 所以4210160m =⨯=， 故选：C6．在ABC 中，若222,=+-a b c bc AD 是BC 边上的高，2a =，则AD 的最大值为（ ）AB C ．1D ．32【答案】B【分析】利用余弦定理求得角A ，再利用基本不等式可求得bc 的最大值，再根据11sin 22ABCSbc A a AD ==⋅，即可得出答案. 【详解】解：因为222222cos a b c bc b c bc A =+-=+-， 所以1cos 2A =， 又()0,A π∈，所以3A π=，则224b c bc bc =+-≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 又AD 是BC 边上的高， 则11sin 22ABCSbc A a AD ==⋅， 所以334AD bc =≤， 所以AD 的最大值为3. 故选：B.7．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，1342,6+==a a S ，则q =（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．12【答案】A【分析】根据等比数列，利用2413()a a q a a +=+即可求解.【详解】依题意，根据等比数列{}n a 的性质，2413()2a a q a a q +=+=，于是41313()36S a a q a a q =+++==，于是2q.故选：A8．下表反应的是铜仁市2021年12月~2022年6月份全社会固定资产投资及增长率情况，根据图表，下列叙述正确的是（ ）A ．增长率最大的月份全社会固定资产投资必最大B ．增长率降低，说明全社会围定资产投资减少C ．增长率平均值低于17%D ．全社会固定资产投资的中位数低于其平均数 【答案】D【分析】拆线图表示增长率，条形图表示全社会固定资产投资，分别对各选项一一对比，判断每一选项的对错，最终得出答案.【详解】选项A ：增长率最大的月份是1月，而全社会固定资产投资最大的月份是6月，故A 错；选项B ：由图知增长率从5月到6月是降低的，而全社会固定资产投资在5月到6月却是增长的，故B 错； 选项C ：增长率的平均值为20.021.716.716.416.417.412.217.267++++++≈ (%)，故C 错；选项D ：全社会固定资产投资的中位数是687.7，而全社会固定资产投资的 平均数为415.8506.1590.8687.7800.8939.91054.5713.667++++++≈ ，故D 正确.故选：D.9．已知平面向量(1,3),(1,2),4a x x b x a b =+-=-⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3π B ．4π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】先利用数量积的坐标运算求解x ，再利用夹角公式求解夹角.【详解】因为(1,3),(1,2),4a x x b x a b =+-=-⋅=-，所以24126x x -+-=-，解得1x =； 所以(2,2),(0,2)a b =-=，22,2a b ==；4cos ,22a b a b a b⋅-===⨯[],0,π∈a b ，所以a 与b 的夹角为34π. 故选：D.10．锐角ABC 中，2,2==b C B ，则边c 的可能取值为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．72【答案】C【分析】根据给定条件，求出B 的范围，再利用正弦定理求出边c 的范围即可判断作答.【详解】锐角ABC 中，2C B =，则π022π0π32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得π6π4B <<，有23cos 22B <<， 由正弦定理得：sin 2sin 24cos (22,23)sin sin b C Bc B B B===∈，选项A ，B ，D 都不满足，选项C 满足. 故选：C11．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C.点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线. 12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)(2)f x f x -+=-+，又(1)f x +为偶函数，若(1)1f =，则(2)(7)+=f f （ ） A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】D【分析】利用给定条件，推理得出(4)(2)()f x f x f x +=-+=，再利用赋值法计算作答. 【详解】因为()1f x +为偶函数，则(1)(1)f x f x +=-+， 即有(2)[(1)1]()-+=--+=f x f x f x ，又(2)(2)f x f x -+=-+， 因此(2)()f x f x +=-，有(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 于是得(7)(34)(3)(12)(1)1=+==+=-=-f f f f f ， 又(2)(0),(2)(0)==-f f f f ，则有(2)0f =， 所以(2)(7)1+=-f f ， 故选：D 二、填空题13．函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则58⎛⎫= ⎪⎝⎭f π______________．【答案】2-【分析】先由周期求出ω，直接代入求解.【详解】因为函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2ππω=，解得：2ω=.所以()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以552sin 22884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：-214．焦点在x轴上的椭圆过点(，离心率e =______________． 【答案】22184x y +=【分析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，再根据椭圆所过的点及离心率求出22,a b ，即可得解.【详解】解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则有22231a b c e a ⎧+=⎪⎪⎨⎪===⎪⎩2284a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆的标准方程为22184x y +=.故答案为：22184x y +=.15．2022年全球文化创意产业合作与发展国际会议将于12月在上海举行，上海交大两位教授分别在“数字治理与城市文旅”“文创伦理与法规”“数字孪生与文化品牌”“数智文创与用户行为研究”四个选题中选择两个提交提案，则他们选择的不完全相同但都选择了“文创伦理与法规”的概率是____________． 【答案】16【分析】根据题意分析两位教授选择的组合情况总数与满足条件的总数，结合古典概型的方法求解即可【详解】由题意，一人从4个选题中选择2个选题，共24C 6=种情况，故二人选择共有2244C C 36=种组合情况，其中满足条件的有23A 6=种，故他们选择的不完全相同但都选择了“文创伦理与法规”的概率是61366= 故答案为：1616．在ABC 中，90ACB ∠=，8AB =，60ABC ∠=，PC ⊥平面ABC ，4PC =，M 是AB 上一个动点，则PM 的最小值为______． 【答案】27【分析】要使PM 的最小，只需CM 最小即可，作CH AB ⊥于H ，连PH ，根据线面垂直的性质可知PH AB ⊥，PH 为PM 的最小值，在直角三角形PCH 中求出PH 即可． 【详解】解：如图，作CH AB ⊥于H ，连PH ，PC ⊥面ABC ，PH AB ∴⊥，PH 为PM 的最小值，而3CH =4PC =， 27PH ∴=故答案为27【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题．三、解答题17．2022年6月5日神州四专搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员在酒泉卫星发射中心发射成功，表明中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“T”字基本结构的搭建，为了解民众对我国航天事业的关注度，随机抽取1000人，其中本科学历480人，高中及以下学历520人，得到如下22⨯列联表：(1)若高中及以下学历了解的6人中，高中学历2人，高中以下学历4人，从中任意抽取2人，求2人都不是高中以下学历的概率；(2)若认为了解与否与学历有关，则出错的概率是多少？附表：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】(1)1 15(2)低于0.001【分析】（1）设出事件，根据古典概率的求解方法可得答案；（2）计算卡方，和参考值比较可得答案.（1）设2人都不是高中以下学历为事件A，则2226C1()C15P A==，故2人都不是高中以下学历的概率为1 15.（2）由题意可知：221000(385144426)27.1410.8348052044956K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以犯错误的概率低于0.001.18．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1546927,,,+=a a a a a 成等比数列，求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】21nn +. 【分析】利用等比中项及等差数列的基本量的运算可得n S ，然后利用裂项相消法即得. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠， ∵1527a a +=，∴1347+=a d ， 又469,,a a a 成等比数列，∴2496=a a a ，∴()()()2111385++=+a d a d a d ， ∴111,1,(1)===+-=n a d a a n d n∴1(1)(1)22-+=+=n n n n n S na d ， ∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴12311111111111122221223341⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n T S S S S n n ∴1111111112221122334111⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n n T n n n n ． 19．如图长方体ABCD EFGH -中，21,,62===AD AB DH ，延长,AB DC 到M ，N ，使,==AB BM DC CN ．(1)证明：EC //平面FBN ；(2)求MB 与平面FBN 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 6【分析】(1)通过证明四边形EFNC 为平行四边形，从而得到线线平行，进一步得到线面平行；(2)利用等体积法求得线面角中的要素，再解三角形即可. （1）证明：∵多面体ABCD EFGH -为长方体，∴,///,/,EF AB AB CD EF AB AB DC ==，∴,//EF DC EF CD =，又D ，C ，N 三点共线，且DC CN =，∴,//EF CN EF CN =，∴四边形EFNC 为平行四边形，∴//EC FN ，又EC ⊄平面,⊂FBN FN 平面FBN ，∴//EC 平面FBN ．（2）设三棱锥-M FBN 的高为h ，FBN 的面积为116362222⨯⨯=⨯⨯=FB BN ，三棱锥-M FBN 的体积为12h ．又三棱锥-F BMN 的体积为112311632262⨯⨯⨯⨯==h ，故33h =，又22=MB ∴MB 与平面FBN 所成角的正弦值为363322=．20．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设()1,2M -是抛物线上一点． (1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x 轴上，过点M 做两条直线12,l l 分别交抛物线于A ，B 两点，若直线1l 与2l 的倾斜角互补，求MAB △面积的最大值． 【答案】(1)24y x =或212=-x y(2)6【分析】（1）设抛物线方程为22y px =或22x py =-()0>p ，点M 代入抛物线方程可得答案；（2）抛物线方程为24y x =，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据MA MB k k =-，得124y y +=，设直线211:4AB y l y y x -=-， 求出点M 到直线AB l 的距离为d ，||AB ，可得ABM S △，令12y t -=，得31164ABM S t t =-△，31()164f t t t =-是偶函数，讨论02t ≤≤的情况利用导数判断单调性可得答案．（1）由题意抛物线过点(1,2)M -，所以设抛物线方程为：22y px =或22x py =-()0>p ，带入点M 得，2p =或14p =，抛物线方程为：24y x =或212=-x y ． （2）由抛物线焦点在x 轴上，抛物线方程为24y x =，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为直线1l 与2l 的倾斜角互补，所以MAMB k k =-，得122212221144y y y y ++=---，即()()()()121122222222y y y y y y ++=-+-+-，整理得124y y +=，所以212221144AB y y k y y -==-则设直线211:4AB y l y y x -=-，即21104yx y y -+-=，点M 到直线AB l的距离为：d =，21121||4y AB y y =-=-=-，所以()2111112216224=-=---△ABM S y y y ，令12y t -=，由12124,0,0+=≥≥y y y y ，得22t -≤≤，所以31164ABM S t t =-△．因为31()164f t t t =-是偶函数，所以只需讨论02t ≤≤的情况．当02t ≤≤时，令3()16g t t t =-，则2()1630g t t '=->，所以3()16g t t t =-在[0,2]上单调递增，所以3()16g t t t =-的最大值为(2)24g =，即31164ABM S t t =-△的最大值为1(2)(2)64f g ==．综上可知，ABM 的面积的最大值为6．21．已知函数()e 1xf x x =--．(1)求()f x 的极值；(2)若()()21f x x a x ≤+-在()0,x ∈+∞时有解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)极小值为0，无极大值； (2)e 2a ≥-【分析】（1）直接求导确定单调性求出极值即可；（2）先参变分离得到2e 1x x a x--≥，再构造函数求导确定最小值，即可求出实数a 的取值范围．（1）()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，则()f x 在(),0∞-上单减，在()0,∞+上单增，故()f x 的极小值为()00f =，无极大值.（2）()2e 11xx x a x --≤+-在()0,x ∈+∞时有解，即2e 1x x a x--≥在()0,x ∈+∞时有解，令()()2e 1,0,x x g x x x --=∈+∞，则()()()()()222e 2e 11e 1x x x x x x x x g x x x -⋅------'==，由（1）知()e 1xf x x =--在()0,∞+上单增，且()00f =，则e 10x x -->，则当01x <<时，()()0,g x g x '<单减，当1x >时，()()0,g x g x '>单增，所以()()1e 2g x g ≥=-，故e 2a ≥-.22．平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1,1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若P 点的极坐标为(3,)π，过点P 的直线交C 于A ，B 两点，(1,1)M ，求||||MAB PA PB S ⋅△的最大值． 【答案】(1)22:(1)(1)2C x y -+-= (2)15【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系消去参数可得答案；（2）把极坐标化为直角坐标，结合圆的切割线定理求出PA PB ⋅，结合基本不等式可得答案.（1）因为1,1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩1x y θθ=-=-平方相加可得22:(1)(1)2C x y -+-=.（2）由P 点的极坐标为(3,)π，所以P 点的直角坐标为(3,0)-22:(1)(1)2C x y -+-=圆心为(1,1)，半径为r =过点P 做圆C 切线PN ， PN =由切割线定理可得：2||||||15PA PB PN ⋅==,11||||22MABS AB d AB =⋅=△1||((0,2AB AB =∈14MAB S =△221||8||142AB AB +-≤⋅=，当且仅当2AB =时，MAB S 面积取得最大值1，所以||||MAB PA PB S ⋅△取得最大值15.23．()4f x x m x =+--． (1)2m =时，解不等式()4f x <；(2)若区间[2,3]是不等式()1f x x ≥-的解集的子集，求m 的取值范围． 【答案】(1)(3),-∞ (2)(,6][1,)-∞-+∞【分析】（1）分类讨论去掉绝对值符号后解不等式；（2）注意到[2,3]上可以脱去一个绝对值符号，此后分离参数转化为恒成立问题来做. （1）当2m =时，()244f x x x =+--<当4x ≥时，不等式(2)(4)4x x +--<，解得：x ∈∅当24x -<<时，不等式(2)(4)4x x ++-<，解得：23x -<<当2x -≤时，不等式(2)(4)4x x -++-<，解得：2x -≤综上：不等式的解集为：(3),-∞. （2）由题意得，不等式41x m x x +--≥-在区间[2,3]上成立等价于：(4)1x m x x ++-≥-，也等价于3x m +≥在区间[2,3]上恒成立当2m -<时，min 23x m m +=+≥，解得：m 1≥当23m <-<时，min 03x m +=<，解得：m ∈∅当3m ->时，min 33x m m +=--≥，解得：6m ≤-综上：m 的取值范围为：(,6][1,)-∞-+∞。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高二下学期期末考试数学试题(Word版)
哈尔滨市第三十二中学校2021-2022学年度（下）学期 高二数学 期末试卷第I 卷 选择题(共60分)一、单选题（共计10个小题，每小题5分）1．已知集合115|A x x =-<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}|04B x x =<<，则A B ⋃=（ ）A ．()1,4-B ．()1,0-C ．10,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(]0,42．同时抛2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X ，则X 的期望是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．323．已知()0.3P A =，(|)0.6P B A =，且事件A 、B 相互独立，则()P AB =（ ） A ．0.18B ．0.5C ．0.3D ．0.94．已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()20.023P ξ>=，则()22P ξ-≤≤=（ ）A ．0.977B ．0.954C ．0.5D ．0.0235．随机变量~(1,4)X N ，若(2)0.3P X ≥=，则(0)P X ≥=（ ） A ．0.2B ．0.6C ．0.4D ．0.76．关于线性回归的描述，有下列命题： ①回归直线一定经过样本中心点； ②相关系数r 的越大，拟合效果越好； ③相关指数2R 越近1拟合效果越好； ④残差平方和越小，拟合效果越好． 其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．计算：7733A =A （ ） A ．44AB ．47AC ．47C D ．37A8．现有6名男医生、5名女医生，从中选出3名男医生、2名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．150种B ．180种C ．200种D ．462种9．命题：“0x ∀>，e 1x >”的否定是（ ） A ．0x ∀>，e 1x ≤B ．0x ∀≤，e 1x ≤C ．0x ∃>，e 1x ≤D ．0x ∃≤，e 1x ≤10．若0a b >>，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）． A ．22ac bc > B ．11a b< C ．22a b >D ．a c b c +>+二、多选题（共计2个小题，每小题5分，全选对得5分，选错0分，部分对得2分）11．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则(人数保留整数) （ ）参考数据：若20.682 7220.954 5()()()Z N P Z P Z μσμσμσμσμσ<≤≈<≤≈～，，则－＋，－＋，330.997 3()P Z μσμσ<≤≈－＋．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150D ．超过98分的人数为112．下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ） A ．若回归方程为6 2.5y x =-，则变量y 与x 负相关B ．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(),x yC ．若决定系数2R 的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D ．若散点图中所有点都在直线0.92 4.21y x =-上，则相关系数0.92r =第II 卷 非选择题（共 90分）二．填空题（共4小题，每小题5分）13．若()202222022012202212x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则122022a a a ++⋅⋅⋅+=__________.14．5!=___________15．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为13，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后也出现红灯的概率为________.16．已知2x >，则42x x +-的最小值是______．四、解答题（共计5个小题，共计70分）17．（10分）某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ 18．（12分）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X 表示“正面朝上”出现的次数．求： (1)求X 的分布列； (2)求()E X ．19．（12分）为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30,100]范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下图所示．(1)根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）某科研团队对1050例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分析.其中130名吸烟患者中，重症人数为30人，重症比例约为23.1%；920名非吸烟患者中，重症人数为120人，重症比例为13.0%. (1)根据以上数据完成22⨯列联表；(2)根据（1）中列联表数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（12分）设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？202207高二数学期末考试答案单选题1—10 ABABD CBCCA多选题：11. ABD 12. AB 13.0 14. 120 15.0.6 16. 617．鸡舍为正方形，边长为25米.设矩形的长为x 米，宽为y 米，则2(x ＋y )＝100，即x ＋y ＝50，则鸡舍的面积22256252x y xy +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝y ＝25时取等号，即鸡舍为正方形，边长为25米时鸡舍面积最大. 18．(1)答案见解析 (2)()2E X =由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为12， 所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()4444111C C 04,222kkk k P X k k k Z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===≤≤∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1016P X ==, ()114P X == , ()328P X ==,()134P X ==, ()1416P X ==； X 的分布列如下:(2) 14,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭,()1422E X ∴=⨯=19．(1)众数65分;中位数66.4分 (2)X 的分布列见解析，数学期望为45(1)由频率分布直方图，众数为65分， 又因为()100.0040.0080.0200.32⨯++=， 所以中位数在[60,70]之间，为0.50.32601066.40.02810-+⨯≈⨯（分）；(2)由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为15，所以10,1,2,3,4,~4,5X X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()4414C 0,1,2,3,455kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故X 的分布列为期望()14455E X =⨯=20． (1) 由题得：(2)221050(30800120100)9.365 6.635130920900150K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关. 21．(1)0.0345(2)此次品由甲车间生产的概率为：2569，由乙车间生产的概率为：2869，由丙车间生产的概率为：1669(1)取到次品的概率为0.250.050.350.040.40.020.0345⨯+⨯+⨯=(2)若取到的是次品，则：此次品由甲车间生产的概率为：0.250.050.012525 0.03450.034569⨯==.此次品由乙车间生产的概率为：0.350.040.01428 0.03450.034569⨯==.此次品由丙车间生产的概率为：0.40.020.00816 0.03450.034569⨯==.。
2021-2022学年广东省肇庆市高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省肇庆市高二下学期期末数学试题一、单选题1．2234A C +=（ ） A ．0 B ．6 C ．12 D ．18【答案】C【分析】利用排列数公式和组合数公式直接计算即可【详解】因为23A 326=⨯=，2443C 621⨯==⨯， 所以224A C 12+=，故选：C.2．已知函数()sin f x x =，()f x '是函数()f x 的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1-C ．1 D【答案】A【分析】先求出函数的导函数，进而将2x π=代入导函数即可求得答案.【详解】因为()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.故选：A.3．在等差数列{}n a 中，267,21a a ==，则4a =（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．28【答案】A【分析】利用等差数列等差中项求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 中，267,21a a ==， 624142a a a +==， 故选：A.4．已知()2~4,X N σ，且()10.1P X <=，则()7P X ≤=（ ）A ．0. 8B ．0. 05C ．0. 1D ．0. 9【答案】D【分析】根据题意可知：正态分布的对称轴为：4x =，根据对称性可得(7)0.1P X >=，再结合对立事件的概率()71(7)P X P X ≤=->．【详解】()10.1P X <=，所以(7)0.1P X >=，所以()70.9P X ≤=故选：D.5．3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ） A ．48种 B ．36种 C ．20种 D ．24种【答案】B【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有3333A A 36=排法，故选:B.6．在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为23，连续闯过前两关的概率为13. 事件A 表示小明第一关闯关成功，事件B 表示小明第二关闯关成功，则()|P B A =（ ）A ．29B ．13C ．12D ．79【答案】C【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，()()21,,33P A P AB ==则()()()113|223P AB P B A P A ===， 故选：C.7．等比数列{}n a 中的项1a ，105a 是函数()32692f x x x x =-+-的极值点，则53a =（ ）A ．3 B．C．D【答案】D【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到1105a a ⋅，然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，()()()23129313f x x x x x =-+=--'，则(),1x ∈-∞时()0f x '>，函数单调递增，()1,3x ∈时()0f x '<，函数单调递减，()3,x ∈+∞时()0f x '>，函数单调递增，于是x =1和x =3是函数的两个极值点，故1a ，105a 是()231290x x f x =-+='的两个根，所以11053a a ⋅=，所以25311053a a a =⋅=，又110540a a +=>，所以10a >，1050a >，设公比为q ，525310a a q =>，所以55a 故选：D.8．当0x >时，11e 2x a x->-恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()e,∞+ C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【答案】A【分析】先分离参数得到121e x x a x -->，进而通过导数方法求出函数()121e x xf x x --=的最大值，最后求得答案. 【详解】由11121e2ex x x a a x x --->-⇒>， 设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e e x x x x x x f x x x --+-+-++'==， 当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >. 故选：A. 二、多选题9．下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有（ ）A ．图①中的y 和x 相关程度很强B ．图②中的y 和x 成正相关关系C ．图③中的y 和x 成负相关关系D ．图④中的y 和x 成非线性相关关系【答案】BCD【分析】根据散点图的分布逐个分析判断即可【详解】对于图①中的散点杂乱，无规律，所以y 和x 相关程度极弱，所以A 错误， 对于图②中，散点分布在某条直线的附近，且呈上升趋势，所以y 和x 成正相关关系，所以正确，对于图③中，散点分布在某条直线的附近，且呈下降趋势，所以y 和x 成负相关关系，所以正确，对于图④中，散点分布在某条曲线附近，所以y 和x 成非线性相关关系，所以正确， 故选：BCD10．已知数列{}n a 满足12a =，11,3,n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，记21n n b a -=，则（ ）A ．13b =B ．26b =C ．14n n b b +-=D ．42n b n =+【答案】BC【分析】代入前几项即可判断出A,B ，然后分奇偶可点数列{}n b 的通项公式，从而判断出C ，D.【详解】由题意可得21233413,36,17a a a a a a =+==+==+=， 所以11322,6b a b a ====，所以A 错误，B 正确；又()*2212121,3k k k k a a a a k N -++=+=∈，故21214k k a a +-=+，即14n n b b +-=，所以{}n b 为等差数列，故()21442n b n n =+-⨯=-，所以C 正确，D 错误， 故选：BC.11．已知()522100121012x a a x a x a x -=++++，则（ ）A ．0123101a a a a a +++++=-B ．02468101a a a a a a +++++=-C ．135791a a a a a ++++=-D ．12310231020a a a a ++++=-【答案】ABD【分析】利用赋值处理问题，令1,1x x ==-，整理可判断ABC 的正误；利用求导可得()()92314221051242310x x a a x a xa x --=++++，再令1x =，代入运算判断D 正误．【详解】令1x =，则()5120310121a a a a a -=+++++=-，所以A 正确；令1x =-，则()5120310121a a a a a -=-+-++=-，又0123101a a a a a +++++=-，所以02468101a a a a a a +++++=-，135790a a a a a ++++=，所以B 正确，C 错误；()()()542292312101251242310x x x a a x a xa x '⎡⎤-=--=++++⎢⎥⎣⎦，令1x =，则()()4123105124231020a a a a ⨯-⨯-=++++=-，故D 正确；故选：ABD ．12．设0.1199e 1,1,cos 2001010a b c ==-=，则下列选项正确的是（ ）A ．a b >B ．a c >C ．c a >D ．c b >【答案】ACD【分析】分别构造函数()211cos ,2f x x x =--()1e cos ,x g x x x =--()1e 2x h x x =-，利用导数确定单调性，进而可比较大小.【详解】219911111200200210a ⎛⎫==-=-⨯ ⎪⎝⎭，设()()211cos ,sin ,2f x x x f x x x =-=-+'-记s (n )i x x m x -+=，则1cos 0()x m x '-+≤=，所以函数()f x '单调递减， 当0x ≥时，()()00f x f ''≤=，所以函数()f x 单调递减，所以()()00f x f ≤=，故21111cos 021010⎛⎫-⨯-< ⎪⎝⎭，所以21111cos 21010a c ⎛⎫=-⨯<= ⎪⎝⎭，故B 错误，C 正确.设()1e cos ,()(1)e sin x x g x x x g x x x =--'=-++， 当0x >时，11,e 1x x +>>，所以(1)e 1sin x x x +>≥， 所以()(1)e sin 0x g x x x '=-++<，所以函数()g x 单调递减，所以()(0)0g x g <=，所以1e cos x x x -<， 所以0.1e 11cos 1010b c =-<=，故D 正确. 设()1e 2x h x x =-，当0x >时，1()e 02xh x '=->，所以函数()h x 单调递增，所以()(0)10h x h >=>，所以1e 2xx >，故21e 2x x x >，得211e 12x x x -<-，所以0.12110.1e10.12-<-⨯，即0.12111991e 10.1102200b a =-<-⨯==，故A 正确，故选：ACD. 三、填空题13．在()52x -的展开式中，4x 的系数为_________. （用数字作答） 【答案】10-【分析】由二项式展开式的通项即可求得答案.【详解】因为5(2)x 展开式的通项为515C (2)k k kk T x -+=-，当1k =时，141425C (2)10T x x =-=-，所以4x 的系数为10-.故答案为：-10.14．已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和1个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为_________. 【答案】13【分析】设从乙盒中取到两个红球为事件1A ，从乙盒中取到一红一白两个小球为事件2A ，最终取到的球是白球为事件B ，利用全概率公式求解即可.【详解】设从乙盒中取到两个红球为事件1A ，从乙盒中取到一红一白两个小球为事件2A ，最终取到的球是白球为事件B ，由题意得1A 和2A 是互斥事件，则由全概率公式得()()()121123222212113838C C C C 1|C C C C 3i i i P B P A P B A ===⨯+⨯=∑.故答案为：13.15．某学校有A ，B 两家餐厅，通过调查发现：开学第一天的中午，有一半的学生到A 餐厅就餐，另一半的学生到B 餐厅就餐；从第二天起，在前一天选择A 餐厅就餐的学生中，次日会有14的学生继续选择A 餐厅，在前一天选择B 餐厅就餐的学生中，次日会有12的学生继续选择B 餐厅. 该学校共有学生3500人，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到A 餐厅就餐的学生人数为_________人. （用整数作答） 【答案】1400【分析】设第n 天选择A 餐厅就餐的学生比例为n a ，得出递推公式()1111142n n n a a a --=+-，进而得到25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以110为首项，14-为公比的等比数列，从而解得12115104n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再代入求得151a 即可【详解】设第n 天选择A 餐厅就餐的学生比例为n a ，由题意得，112a =，()1111142n n n a a a --=+-，所以11142n n a a -=-+，故1212545n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以110为首项，14-为公比的等比数列，所以12115104n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则150151211251045a ⎛⎫=+⨯-≈⎪⎝⎭，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到A 厅就餐的学生人数为15123500350014005a ⨯≈⨯=（人）. 故答案为：1400 四、双空题16．已知随机变量X 的分布列为则随机变量X 的数学期望()E X =_________，方差()D X =_________. 【答案】 3 1【分析】利用方差和期望的公式可求得结果. 【详解】()10.120.230.340.43E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()2222130.1230.2330.3430.41D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故答案为：3；1. 五、解答题17．已知函数()3232420f x x x x =--+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间[]1,5-上的最大值和最小值.【答案】(1)单调递减区间为()2,4-，单调递增区间为(,2]-∞-，[4,)+∞ (2)最小值为60-，最大值为40【分析】（1）对函数求导，然后通过导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由（1）可得()f x 在[1,4)-上递减，在(4,5]上递增，然后求出(1),(4),(5)f f f -，进行比较可求出函数的最值【详解】(1)()f x 的定义域为R ，2()36243(2)(4)f x x x x x '=--=+-， 令()0f x '=，解得122,4x x =-=，当2x <-时，()0f x '>，当24x -<<时，()0f x '<，当4x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在区间(,2]-∞-和[4,)+∞上单调递增，在区间()2,4-上单调递减， 故()f x 的单调递减区间为()2,4-，单调递增区间为(,2]-∞-，[4,)+∞.(2)由（1）得，当x 在区间[1,5]-上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表所示.所以函数()f x 在区间[1,5]-上的最小值为60-，最大值为40. 18．某市统计了该市近五年的环保投资额y （万元）得下表：以x 为解释变量，y 为响应变量，若用ˆˆˆybx a =+作为经验回归方程，则决定系数210.9860R =，若用12ˆˆˆln yc c x =+作为经验回归方程，则决定系数210.9343R =. (1)判断ˆˆˆybx a =+与12ˆˆˆln y c c x =+哪一个更适合作为年环保投资额y 关于年份代号x 的经验回归方程，并说明理由；(2)根据（1）的判断结果及表中数据，求出y 关于年份代号x 的经验回归方程. 参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其经验回归直线ˆˆˆv bu a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1122211()()()nnii i i i i nniii i uu v v u v nu vb uu unu====---⋅==--∑∑∑∑，a v bu =-.参考数据：51624i i i x y ==∑，51ln 207.38i i i x x =≈∑，514.78i i x =≈∑.【答案】(1)ˆˆˆybx a =+更适合作为年环保投资额y 关于年份代号x 的经验回归方程，理由见解析 (2)ˆ11.40.2yx =- 【分析】（1）由2212R R >，可知ˆˆˆy bx a =+的拟合效果更好，从而判断出结果；（2）先求得,x y ，521i i x =∑，25x 代入公式求得ˆb，ˆa ，从而求得回归直线方程. 【详解】(1)由2212R R >，可知ˆˆˆybx a =+的拟合效果更好，所以ˆˆˆy bx a =+更适合作为年环保投资额y 关于年份代号x 的经验回归方程. (2)由表格数据，得1234535x ++++==，12203548551703455y ++++===，522222211234555ii x==++++=∑，2255345x =⨯=，由公式，得51522156245334ˆ11.4105i ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯===-∑∑，ˆˆ3411.430.2ay bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的经验回归方程为ˆ11.40.2yx =-. 19．已知有4名医生和2名护士要到疫区支援两所医院的工作，每名医生只能到一所医院工作，每名护士也只能到一所医院工作.(1)求两所医院都既有医生又有护士的分配方案的种数；(2)在这6人中随机抽取3人，记其中医生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)28； (2)分布列见解析，2.【分析】（1）先分配两名护士，然后4名医生分为1人、3人和2人、2人两种情况进行分配，最后求得答案；（2）根据超几何分布求概率的方法求出概率，进而根据期望公式求出期望.【详解】(1)先分2名护士到两所医院有22A 种分法，4名医生可分为1人、3人两组或2人、2人两组，再分到两所医院，1人，3人两组共有14C 种分法，2人、2人两组共有2422C A 种分法，所以两所医院都要求既有医生又有护士的分配方案的种数为2212424222C A C A 28 A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (2)由题意，1,2,3X =，124236C C 1(1)C 5P X ===， 214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===.X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.20．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且2a 是1a 与5a 的等比中项，713a =.(1)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和. 【答案】(1)21nn + (2)1(1)3n n +-⋅【分析】（1）先利用等差数列的性质求得数列的通项，然后利用裂项求和即可；（2）先利用1n n S S --求得数列{}n b 的通项公式，好利用错位相减法求得结果.【详解】(1)由题意得2215a a a =，所以()()21114a d a a d +=+又0d ≠，所以解得12d a =又17613a a d =+=，故1a 1,d 2， 故21n a n =-， 所以111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭|的前n 项和为n P ，则111111111111232352212122121n n P n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)当1n =时，1112231S b b ==-，所以11b = 由231n n S b =-，① 得11231,2n n S b n --=-≥，②①—②得()112233,2n n n n n S S b b b n ---==-≥所以13,2nn b n b -=≥，故数列{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以13n n b -=，故1(21)3n n n a b n -⋅=-⋅.设数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n Q ，则21113353(21)3n n Q n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，③ 233133353(21)3n n Q n =⨯+⨯+⨯++-⋅，④③—④，得12121232323(21)3n n n Q n --=+⨯+⨯++⨯--⋅，所以()1313212(21)32(22)313n n n n Q n n ---=+⨯--⋅=---⋅-，所以1(1)3nn Q n =+-⋅.21．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.(1)请补全22⨯列联表，试根据小概率值0.05α=的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差. 附表：附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)表格见解析，有关联(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为34【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可【详解】(1)零假设为0H ：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出22⨯列联表如下：220.05120(40102050)40 4.444 3.841606090309x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05 (2)由题意得，经常进行体育活动者的频率为3011204=， 所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为14，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以4411()C 1,0,1,2,3,444kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，4041181(0)C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13141127(1)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241127(2)C 144128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3134113(3)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4044111(4)C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：X 的数学期望为1()414E X np ==⨯=，X 的方差为113()(1)41444D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.22．已知()()21e xbxf x a x =--. (1)若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210bx y +-=，求a ，b 的值； (2)当1a =时，函数()f x 有两个零点，求b 的取值范围. 【答案】(1)1,2a b == (2)(0,)+∞【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）当1a =时，2(1)e ()e x xx bx f x --=，再分0b =，0b >和0b <三种情况，求导分析函数的单调性与最值，进而分析零点的个数即可【详解】(1)2(0)(01)f a a =⨯-=，又()20010b f ⨯+-=，所以1a =. 因为()(1)2(1)(1)2e e x x b x b f x a x x a -⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 所以(0)(2)2f a b b '=-+=-，故22b a ==， 综上1,2a b ==.(2)当1a =时，22(1)e ()(1)e e x x xbx x bxf x x --=--=，当0b =时，()()21f x x =-只有一个零点，故0b ≠， 当0b ≠时，()12(1)(1)2e e x x x b f x x b x -⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， i. 当0b >时，20e xb+>，令()01f x x '=⇒=， 当(,1)x ∞∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以当0b >时，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.又(1)0,(0)10e bf f =-<=>，又221b +>>，所以2e 1b +>，故222222(1)e (2)(1)(2)1(2)0e e e b b b b b b b b b b f b +++++-++-++=>=>， 所以0b >时函数()f x 有两个零点 ii. 当0b <时，今()(1)20e xb f x x ⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，解得121,ln 2b x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.若12ln 12e 2b x x b ⎛⎫=⇒-=⇒=- ⎪⎝⎭，所以()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.若ln 12b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即2e b <-时，当(,1)x ∞∈-时，()0f x '>，当1,ln 2b x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<， 当ln ,2b x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>.所以函数()f x 在(),1-∞上单调递增，1,ln 2b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在ln ,2b ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增. 又(1)0ebf =->，22ln 2ln 2ln ln 1ln 12ln 202222e b b b b b b b f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=---=--+->> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 至多有一个零点，不符合题意.若ln 12b ⎛⎫-< ⎪⎝⎭时，即2e 0b -<<，当,ln 2b x ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，当ln ,12b x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在,ln 2b ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在ln ,12b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 又(1)0ebf =->，ln (1)02b f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 至多有一个零点，不符合题意. 综上，b 的取值范围是(0,)+∞.。
2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．在下面的图示中，是流程图的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据流程图的定义即可判断.【详解】A 是流程图，B 是知识结构图，C 是图表，D 是韦恩图. 故选：A.2．复数()7i 17i z =-的共轭复数为（ ）A ．7＋iB ．－7－iC ．7－iD ．－7＋i【答案】D【分析】先计算复数()7i 17i z =-，然后由共轭复数定义即可得到答案.【详解】∵()()()73i 17i =i 17i i 17i 7i z =--=--=--，∴7i z =-+． 故选：D3．在极坐标系中，曲线()()2sin 2cos 0ρθρθ--=表示（ ） A ．两条直线 B ．两个圆，且这两个圆有公共点 C ．两条射线 D ．两个圆，且这两个圆无公共点【答案】B【分析】根据原式得2sin ρθ=或2cos ρθ=确定为两个圆，联立两圆直角坐标方程可确定有公共点.【详解】由()()2sin 2cos 0ρθρθ--=，得2sin ρθ=或2cos ρθ=，所以曲线()()2sin 2cos 0ρθρθ--=表示两个圆， 将2sin ρθ=等式两边同乘ρ，得到22sin ρρθ=， 由222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得直角坐标方程为222x y y +=， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将2cos ρθ=化直角坐标方程为222x y x +=，联立222222x y y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， 故这两个圆有公共点. 故选：B4．矩形的长和宽分别为a ，b 正确的对应结论为（ ）A ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，其体积为abcB ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，cC ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，其表面积为()2ab bc ac ++D ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c 【答案】B【分析】由矩形的对角线类比到长方体的体对角线即可得到结论．【详解】矩形的对角线类比到长方体中对应的几何量为体对角线长．故正确的对应结论为长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c 故选：B5．在用反证法证明命题“若三个正数a ，b ，c 满足27abc =，则a ，b ，c 三个数中至多有两个数小于3”时，应该反设为（ ） A ．假设a ，b ，c 三个数都小于3 B ．假设a ，b ，c 三个数都大于3C ．假设a ，b ，c 三个数中至少有两个数小于3D ．假设a ，b ，c 三个数中至多有两个数不小于3 【答案】A【分析】反证法证明题目时，往往先假设所给命题的结论不成立，或结论的反面成立，再推导出矛盾.【详解】至多有两个意味着不超过两个，则应该假设a ，b ，c 三个数都小于3. 故选：A.6．将一组数据()(),1,2,,8x y x =⋅⋅⋅绘制成如图所示的散点图，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y 和x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a x =+B ．2y a bx =+C ．sin y a b x =+D ．b y a x=+【答案】A【分析】根据散点图的趋势结合相应函数的增长变化的特征选定正确的选项. 【详解】对于B ，当0b >时，为开口向上的二次函数，不符合，当0b <，为开口向下的二次函数，20y bx '=<，则2y a bx =+在(0,)+∞为减函数，不符合，对于C ，散点图不呈现正弦函数关系，故不符合，对于D ，当0b >时，在(0,)+∞为减函数，不符合，当0b <，在(0,)+∞为增函数，但by a x=+会趋近于一个常数值，故不符合散点的变化趋势，故D 错误， 对于A ，2y x'=，y a b x =+0b >，当x 增大时，y '在减小，即函数各点切线斜率减小，即增长速度变慢，且散点图的变化趋势符合y a x =+故A 正确， 故选：A.7．下列命题的证明最适合用分析法的是（ ） A ．若4a >，8b >，证明：ln ln 5ln 2a b +> B 72510>C 257 D ．证明：22sin 2cos sin 2ααα+-≥【答案】B【分析】分析法即执果索因，B 选项等价于两边平方比较大小，属于分析法的应用. 【详解】选项A 和D 的证明最适合用综合法，选项C 的证明最适合用反证法，选项B 的证明最适合用分析法. 故选：B.8．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ） A ．2z 不可能为纯虚数B ．2z 在复平面内对应的点可能位于第二象限C ．2z 在复平面内对应的点一定位于第三象限D ．2z 在复平面内对应的点可能位于第四象限 【答案】D【分析】利用第二象限z 的辐角范围确定2z 的辐角范围，即可判断各选项的正误. 【详解】由z 为第二象限，其对应辐角范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2z 对应辐角为(),2ππ，故2z 在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y 轴的负半轴. 所以A 、B 、C 错误，D 正确. 故选：D9．观察数组：()0,2,2，()2,3,5，()4,5,9，()6,7,13，()8,11,19，….根据规律可得第7个数组为（ ） A ．()10,13,23 B ．()10,12,22C ．()12,15,27D ．()12,17,29【答案】D【分析】根据数组的第一个数成等差数列，第二个数为质数，第三个数是前两个数之和求解.【详解】数组的第一个数成等差数列，且首项为0，公差为2； 数组的第二个数为质数，且按从小到大的顺序排列； 数组的第三个数是前两个数之和.因此第6个数组为()10,13,23，第7个数组为()12,17,29. 故选：D10．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为325455x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点()2,5M -，直线l 与圆()22:217C x y ++=交于A ，B 两点，则MA MB ⋅的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【分析】将直线l 的参数方程与()22217x y ++=联立，然后利用直线参数的几何意义求解.【详解】解：将直线l 的参数方程325455x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()22217x y ++=，得2880t t ++=，设|MA|，|MB|对应的参数分别为1t ，2t ，则128t t =， 所以128MA MB t t ⋅==. 故选：C11．观察下列各式：2864=，38512=，484096=，…．根据规律可得99998的个位数是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A【分析】观察题目中各式可得8n 的个位数的周期T ＝4，由周期即可推得99998的个位数. 【详解】经观察易知8，28，38，48，58，68，78，88的个位数分别为8，4，2，6，8，4，2，6．故8n （n 为正整数）的个位数的周期T ＝4．因为9999249943=⨯+，所以99998的个位数与38的个位数相等，所以99998的个位数是2． 故选：A12．若复数()21122i z a a =-+-为纯虚数，其中a ∈R ，复数2z 满足2111z z -+=，则2z 的最小值为（ ） A ．0 B1C ．4D1【答案】B【分析】根据纯虚数确定a ，再利用复数模的几何意义，把2z 转化为求点到点距离的问题，即可得解.【详解】因为()21122i z a a =-+-为纯虚数，所以1a =-，14i z =-.设()2i ,z x y x y =+∈R ，因为2111z z -+=， 所以()()22141x y +++=，所以点(),P x y 的轨迹为以()1,4C --为圆心，1为半径的圆， 则P 到坐标原点O 距离的最小值为1171OC -=-， 所以222z x y =+的最小值为171-. 故选：B 二、填空题13．函数()22f x x x --=+的值域为___________. 【答案】22,22-⎡⎤⎣⎦【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，结合图象得到函数的值域； 【详解】解：因为()22,2222,2222,2x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎪⎩，函数图象如下所示：所以()2222f x -≤22,22-⎡⎤⎣⎦； 故答案为：22,22-⎡⎣14．咽拭子检测是一种医学检测方法，用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测，可以了解患者病情､口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况，具体数据如表所示：根据以上数据发现y 与t 呈线性相关，其回归方程为ˆˆ10.2=+yt a ，则估计第8天使用的棉签袋数为___________. 【答案】86【分析】根据所给数据求出 4.4=a ，确定回归方程，代入8t =即可估算出第八天使用棉签袋数. 【详解】因为1234535t ++++==，1524364456355y ++++==，所以3510.23 4.4=-⨯=a ，所以10.2 4.4y t =+. 当8t =时，10.28 4.486y =⨯+=. 故答案为：8615．一个二元码是由0和1组成的数字串12n x x x ⋅⋅⋅．（n *∈N ），其中k x （k ＝1，2，…，n ）称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1或由1变为0）．已知某个二元码126x x x ⋅⋅⋅的码元满足如下校验方程组：2461341450,1,0.x x x x x x x x x ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩ 其中⊕的运算法则：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．若这个二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了100101，则利用上述校验方程组可判定，这个二元码为______． 【答案】101101【分析】利用题目给的校验方程组直接检验即可.【详解】假设这个二元码为100101．经计算2460x x x ⊕⊕=成立，1450x x x ⊕⊕=也成立．但1341x x x ⊕⊕=不成立．因此，1x ，3x ，4x 有一个错误，由2460x x x ⊕⊕=与1450x x x ⊕⊕=，知1x ，2x ，4x ，5x ，6x 没有错误，则3x 错误．故这个二元码为101101．故答案为：10110116．如图，若程序框图的运行结果20212022S =，则t 的取值范围为___________.【答案】(]2021,2022【分析】根据程序的功能和数列的裂项相消法求解. 【详解】解：根据程序，运行过程如下： 1111122232233S =+=+-=⨯，3k =，不符合题意，所以3t ≥不成立； 111111132233422344S =++=+--=⨯⨯，4k =，不符合题意，所以4t ≥不成立； (11111111120201223202020212232020202120212021)S =++⋅⋅⋅+=+-+⋅⋅⋅+-=-=⨯⨯，2021k =，不符合题意，所以2021t >不成立，即2021t >； 11111111120211223202120222232021202220222022S =++⋅⋅⋅+=+-+⋅⋅⋅+-=-=⨯⨯，2022k =，符合题意，所以2022t ≥成立.故t 的取值范围为(]2021,2022. 故答案为：(]2021,2022 三、解答题17．已知()1i 62i z +=-． (1)求z 的虚部； (2)求1zz+． 【答案】(1)-4【分析】（1）利用复数商的运算得到复数z ，即可得到虚部. （2）计算出1zz+，利用模的公式计算即可. 【详解】(1)因为()1i 62i z +=-，所以()()62i 1i 62i 48i24i 1i 22z ----====-+， 所以z 的虚部为－4．(2)因为24i z =-，所以24i z =+．所以()212i 24i 12i 34i 24i 12i 555z z +++====-+--，故1z z +=．18．新高考的选课走班模式在全国陆续展开，为进一步了解学生在选择高考科目时的情况，某学校对高一年级部分学生的选课情况进行统计，其中是否选择地理和化学的学生数量统计情况如表所示：(1)求出列联表中a ，b ，c 的值并估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率； (2)能否有90%的把握（即在犯错误的概率不超过0.1的前提下）认为学生是否选择地理和化学有关联？参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，【答案】(1)413(2)没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联【分析】（1）根表中所给数据求出a ，b ，c ，同时选择地理和化学的频率为65a，求解即可.（2）将已知数据代入2K 公式，求得近似值与2.706比较，即可判断是否有把握.【详解】(1)由列联表可知32,1833,1830,a b c b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得20,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率为46513a =. (2)因为()226520181215 1.899 2.70632333035K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联.19．已知直线l 的参数方程为3322x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 40ρρθ+-=． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)若点P 为直线l 上的动点，点Q 是曲线C 上的动点，求PQ 的最小值． 【答案】(1)23120x y --=，2214x y +=【分析】（1）直接消去参数t ，可得l 的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得曲线C 的普通方程；（2）求出曲线C 的参数方程，设()2cos ,sin Q θθ，然后利用点到直线的距离公式表示出点Q 到直线23120x y --=的距离，化简变形后可求出其最小值【详解】(1)由3322x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得l 的直角坐标方程为23120x y --=．由曲线C 的极坐标方程2223sin 40ρρθ+-=及222,sin ,x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可得222340x y y ++-=，整理得2214x y +=，所以曲线C 的普通方程是2214x y +=．(2)直线l 的普通方程为23120x y --=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤<）．设()2cos ,sin Q θθ，则点Q 到直线23120x y --=的距离d =3tan 4ϕ=）．当()cos 1θϕ+=时，min d =所以min PQ =20．已知实数x ，y 满足250x y +-=． (1)求关于x 的不等式2x y +>的解集； (2)若12x >，3y >，求14213x y +--的最小值． 【答案】(1)()1,7 (2)9【分析】（1）去绝对值，得到不等式组，即可解出不打算的解集； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】(1)原不等式可化为252x x -<+，即252,252x x x x -<+⎧⎨->--⎩，解得17x <<，故所求不等式的解集为()1,7． (2)由25x y +=，得2131x y -+-=． 因为()()4211414321259213213213x y x y x y x y x y -⎛⎫-+=+-+-=++≥ ⎪------⎝⎭， 当且仅当23x =，113y =时，等号成立． 所以14213x y +--的最小值为9． 21．为研究男体育特长生的身高与体重之间的关系，从某校的男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：(1)根据最小二乘法的思想与公式求得身高与体重的线性回归方程为0.875.9y x =-.利用已经求得的线性回归方程，完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）. e(2)通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式：()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i e y bx a =--.参考数据：8178880i i i x y ==∑，821226112i i x ==∑，168=x ，58.5=y ，()821226i i y y=-=∑.【答案】(1)填表答案见解析，2R 约为0.91 (2)0.67555.9y x =-【分析】（1）根据0.875.9y x =-，结合残差的定义完成残差表，再根据所提供数据，求相关指数；（2）利用最小二乘法求解；【详解】(1)解：对编号为6的数据：6660.817375.9 3.5e =-⨯+=； 对编号为7的数据：7570.816675.90.1e =-⨯+=； 对编号为8的数据：8570.816975.9 2.3e =-⨯+=-. 完成的残差表如下所示：e()()()()()22222222210.10.30.9 1.50.5 2.30.5 3.52ˆ 1.2ni i i y y=-=+++-+-+-+-+=∑，()()2212121.2110.91226ni ii n ii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91. (2)由（1）可知，第六组数据的体重应为58，此时8178880817377496i i i x y ==-⨯=∑，又821226112i i x ==∑，168=x ，57.5=y ，8182221877496816857.50.67522611281688i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，57.50.67516855.9a =-⨯=-，所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为0.67555.9y x =-.22．已知函数()()2e e x g xf x =+.(1)证明：22ln 1x x -≥.(2)若函数()32ln 3f x x x x =--，证明：()0g x >.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）令()22ln h x x x =-，利用导数法求解；（2）易得()()222ln 3e e x g x x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，再（1）转化为()()23e e x g x x ≥-+，然后令()()23e e ϕ=-+x x x ，用导数法证明()0x ϕ>即可.【详解】(1)解：令()22ln h x x x =-，则()()22122x h x x x x-'=-=，0x >， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以()()()min 11h x h x h >==， 故22ln 1x x -≥.(2)若()32ln 3f x x x x =--， 则()()222ln 3e e x g x x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由（1）可得()()23e e x g x x ≥-+.令()()23e e ϕ=-+x x x ，则()()2e x x x ϕ'=-，当02x <<时，()0x ϕ'<，当2x >时，()0x ϕ'>， 所以()()()min 20x x ϕϕϕ≥==， 则()0g x ≥，又12≠， 所以()0g x ≥中的等号不成立， 故()0g x >.23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为()()22221cos 1sin ραρα-=-．(1)求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；(2)射线()π03θρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于M N ，两点，求线段MN 的长． 【答案】(1)3cos {33sin x y θθ==+（θ为参数），221x y +=.(2)1【分析】（1）根据已知条件直接利用转换关系，把极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化即可，（2）根据已知条件及ρ的几何意义，联立方程组得出M N ，的极坐标，进而可以求解线段MN 的长.【详解】(1)因为1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=，所以曲线1C 的参数方程为3cos {33sin x y θθ==+（θ为参数）．由()()22221cos 1sin ραρα-=-，得21ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为221x y +=．(2)由1C ：()2239x y +-=及222,sin x y y ρρθ=+=， 得6sin ρθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为6sin ρθ=， 设12ππ,,33M N ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则因为射线()π03θρ=≥与曲线1C 交于 M 点， 所以6sin {π3ρθθ==，解得1ρ=π3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又因为射线()π03θρ=≥与曲线2C 交于 N 点， 21{π3ρθ==,解得21ρ=，即π1,3N ⎛⎫⎪⎝⎭121MN ρρ∴=-=所以线段MN的长为1．24．已知函数()423f x x a x =---+，a ∈R ． (1)当2a =时，求不等式()7f x ≥-的解集； (2)若()2f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】(1)[]5,6- (2)51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）分类讨论法求解不等式即可得出结果；（2）由绝对值的三角不等式得到2323x a x a -++≥+，进而可得232a +≥，解不等式即可求出结果.【详解】(1)当2a =时，()443f x x x =---+，()7f x ≥-等价于()()34437x x x <-⎧⎨+-++≥-⎩或()()344437x x x -≤≤⎧⎨+--+≥-⎩或()()44437x x x >⎧⎨---+≥-⎩， 即53x -≤<-或34x -≤≤或46x <≤， 故不等式()7f x ≥-的解集为{}56x x -≤≤．(2)不等式()2f x ≤可转化为232x a x -++≥，因为2323x a x a -++≥+，所以()2f x ≤等价于232a +≥， 可得12a ≥-或52a ≤-，即a 的取值范围是51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。
2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则UA =（ ）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：{|32UA x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)UA =--，故选：D ．2．下列命题中，正确的是（ ） A ．23i -的虚部是3i - B ．34i +的共轭复数是34i -+ C ．1i 2+= D ．复数12ii+在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D【分析】根据复数的虚部的概念可判断A ；根据共轭复数的概念判断B;根据复数模的计算可判断C ；根据复数的除法求得12i2i i+=-，结合复数的几何意义判断D. 【详解】因为23i -的虚部是3-，故A 错误；34i +的共轭复数是34i -，故B 错误；1i +=C 错误；复数212i (12i)i2i i i ++==-，故12i i +在复平面内对应的点在第四象限，D 正确，故选：D3．在等差数列{}n a 中，131,3a a =-=，则10a =（ ） A ．10 B ．17C ．21D ．35【答案】B【分析】由已知求出公差即可求解.【详解】设等差数列的公差为d ，则312a a d =+，即312d =-+，解得2d =，所以101919217a a d =+=-+⨯=. 故选：B.4．已知()()()()52501252111x a a x a x a x -=+-+-++-，则0a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．32【答案】A【分析】令10x -=可得0a ．【详解】令1x =，则()()()()52501250121111111a a a a a -=+-+-++-==-.故选：A.5．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的22⨯列联表：根据表中数据，得到2256(8121620) 4.66728282432K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，所以我们至少有（ ）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：2 3.84()10.05P K ≥≈，2( 6.635)0.01≥≈P K ）A ．99% B ．95%C ．1%D ．5%【答案】B【分析】利用2K 与临界值比较，即可得到结论. 【详解】结合题意和独立性检验的结论，由2 4.667 3.841K ≈>，23.84()10.05P K ≥≈，故这种判断出错的可能性至多为0.05，即005， 故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系. 故选：B【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题.6．已知a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，sin sin cos B C A =，则C =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】D【分析】根据正弦定理可得cos b c A =，再根据余弦定理化简求解即可【详解】∵sin sin cos B C A =，∴cos b c A =由余弦定理知22222222b c a b c a b c bc b +-+-=⋅=，整理得222+=a b c ，故2C π=.故选：D7．现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A = A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】C【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出()P B A .【详解】解：由题意知，()22342737C C P A C +==，()242727C P AB C ==， 所以()()()227337P AB P B A P A ===.故选:C.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了组合数的计算，考查了分类计数原理.8．等边ABC 的外接圆的半径为1，M 是ABC 的边AC 的中点，P 是该外接圆上的动点，则PB PM ⋅的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．0【答案】A【分析】先将所求问题中的向量转换成起点为外心O 的向量，再根据向量数量积建立函数模型，最后通过函数思想即可求解．【详解】如图，设等边ABC 的外心为O ，又半径为1，且M 是ABC 的边AC 的中点，B ∴、O 、M 三点共线，且21BO OM ==，∴()()PB PM OB OP OM OP ⋅=-⋅-2()OB OM OP OB OM OP =⋅-⋅++111(1)()122OP OB OB =⨯⨯--⋅-+1122OP OB =-⋅ 11cos 22OPOB =-<>，又,[0,]OP OB π<>∈， ∴当,=OP OB π<>时，PB PM ⋅的最大值为11(1)122-⨯-=．故选：A ．二、多选题9．已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为（ ） ξ 1 2 3 P 14 312a -22aA ．－12B ．12C ．14D ．14-【答案】BC【分析】由题可知22411312a a -+=+，即得.【详解】由题可得22411312a a -+=+，∴12a =或14a =，经检验适合题意. 故选：BC.10．数列{}n a 的通项公式为31,,22,,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则（ ）A ．37a =B ．310a =C ．2320a a =D ．2370a a =【答案】BC【分析】直接求出23,a a 即得解.【详解】解：由通项公式得22222a =⨯-=，333110a =⨯+=，所以2320a a ⋅=. 故选：BC.11．某工厂研究某种产品的产量x （单位：吨）与需求某种材料y （单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示．根据表中的数据可得回归直线方程ˆˆ0.7y x a =+，则以下说法正确的是（ ）A ．y 与x 的样本相关系数0r <B ．产量为8吨时预测所需材料一定为5.95吨C ．ˆ0.35a= D ．产品产量增加1吨时，所需材料约增加0.7吨 【答案】CD【分析】由产量与材料正相关否定选项A ；求得ˆa的值判断选项C ；求得产量为8吨时所需材料的估计值判断选项B ；求得产品产量增加1吨时所需材料约增加的值判断选项D.【详解】表中的数据可得回归直线方程ˆ0.7y x a =+，则产量与材料正相关， 则相关系数0r >.故选项A 判断错误；11(3467)5,(2.534 5.9) 3.8544x y =+++==+++=则ˆ3.850.75a=⨯+，解之得ˆ0.35a =.故选项C 判断正确； 由ˆ0.780.35 5.95y =⨯+=（吨），可得产量为8吨时预测 所需材料约为5.95吨. 故选项B 判断错误；由ˆ0.70.35yx =+可得，产品产量增加1吨时，所需材料约 增加0.7吨. 故选项D 判断正确. 故选：CD12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，下列结论正确的有（ ）A ．::2:3:4a b c =B ．sin sin 12sin 8A B C -=C ．最小角的正弦值78D ．最大角的余弦值为14-【答案】AD【分析】由正弦定理可判断A; 由sin :sin :sin 2:3:4A B C =，可设sin 2,sin 3,sin 4A k B k C k ===，丛而可判断B;根据题意可判断出最小角和最大角，由余弦定理可求得其值，判断C,D. 【详解】对于A ，由正弦定理可得::sin :sin :sin a b c A B C =，故A 正确； 对于B ，由sin :sin :sin 2:3:4A B C =，可设sin 2,sin 3,sin 4A k B k C k ===， 故sin sin 2312sin 248A B k k C k --==-⨯，故B 错误；对于C ，由::2:3:4a b c =可知角A 为最小角，设2,3,4a t b t c t ===， 故22222291647cos 22348b c a t t t A bc t t +-+-===⨯⨯，则sin A =，故C 错误； 对于D ，由C 的分析可知C 为最大角，则22222294161cos 22234b ac t t t C ab t t +-+-===-⨯⨯， 故D 正确， 故选：AD三、填空题13．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .【答案】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．14．已知{}n a 为等比数列，36457,8a a a a +=-=-，则27a a +=_________． 【答案】312【分析】先由等比数列的性质求出36,a a ，进而求出q ，再计算27a a +即可.【详解】设公比为q ，由题意知：45368a a a a ==-，又367a a +=-，解得3618a a =⎧⎨=-⎩或3681a a =-⎧⎨=⎩，若3618a a =⎧⎨=-⎩，则3638a q a ==-，2q =-，则3276312a a a a q q +=+=；若3681a a =-⎧⎨=⎩，则36318a q a ==-，12q =-，则3276312a a a a q q +=+=. 故答案为：312. 15．为纪念北京冬奥会申奥成功，中国邮政发行纪念邮票，每套图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会“会徽飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为______________．【答案】35##0.6【分析】由古典概型的概率公式求解即可.【详解】从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有35C 10=种，恰有1枚吉祥物邮票的情况有1132C C 6⋅=种，则恰有1枚吉祥物邮票的概率63105=， 故答案为：3516．已知直线1y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，则a b +=___________. 【答案】1【分析】首先求出函数的导函数，设切点为()00,x y ，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为e 1x b y +=-，所以e x b y +'=，设切点为()00,x y ，则000001e 11e x bx by x a y k ++=-+⎧⎪=-⎨⎪==⎩，解得00010x b x a +=⎧⎨-+=⎩，两式相减得1a b +=，故答案为：1四、解答题17．已知等差数列{}n a 中，12a =，2412a a +=，设2n an b =.(1)求证：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n n a b +的前n 项和. 【答案】(1)证明见解析(2)()()41413nn n ++-【分析】（1）直接利用等比数列的定义证明；（2）采用分组求和法分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和，再相加即可. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由2412a a +=，可得()()11312a d a d +++=，即12412a d +=. 又12a =，可得2d =.故()()112122n a a n d n n =+-=+-⋅=依题意，224nnn b ==，因为11444n n n n b b ++==（常数）. 故{}n b 是首项为4，公比4的等比数列. （2）{}n a 的前n 项和为()()()122122n n a a n n n n ++==+ {}n b 的前n 项和为()11443441114n nn b b q q +--==--- 故{}n n a b +的前n 项和为()()41413nn n ++-. 18．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X 表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）3人，2人，2人.（2）分布列见解析，()127E X =【解析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.（2）根据独立重复试验中概率计算公式,可分别求得随机变量X 的概率,即可得其分布列.由数学期望公式,即可求得期望值.【详解】（1）由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3:2:2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人,2人,2人. （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.则()()343370,1,2,3k kC C P X k k C -⋅===,所以,随机变量X 的分布列为 X 01 2 3 P13512351835435随机变量X 的数学期望()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了分层抽样的特征和计算,独立重复试验概率的计算方法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法,属于基础题.19．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小． 【答案】(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系，()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-, 设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r 所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n 同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴=20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin b A B ，求ABC 面积的最大值． 【答案】(1)π3A =【分析】（1）先利用正弦定理及余弦定理求得cos A 的值，进而求得角A 的值；（2）先利用余弦定理构造关于b c 、的不等式，进而得到bc 的最大值，即可求得ABC 面积的最大值．【详解】（1）由221cos 2a b bc ac B -+=，可得22222122a cb a b ac bc ac +--=⋅-， 得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==， 由于0πA <<，所以π3A =．（2）由sin b A B ，可得sin a B B =，又sin 0B >，则a =则222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥-，（当且仅当b c =时等号成立）则3bc ≤，（当且仅当b c ==则11sin 322ABC S bc A =≤⨯=△ 即ABC21．已知椭圆M的短轴长为()2,0-和()2,0.(1)求椭圆M 的标准方程.(2)直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，若线段AB 的中点()1,1P ，求直线l 的方程.【答案】(1)22173x y +=； (2)37100x y +-=.【分析】（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，由此可得椭圆方程；（2）利用点差法可求得直线l 斜率，由此可得直线l 方程.【详解】（1）由题意可设椭圆M 方程为：()222210x y a b a b+=>>，则2224b a b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆M 的标准方程为：22173x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222173173x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得：()()()()1212121273x x x x y y y y +-+-=-， ∴直线l 斜率1212121237y y x x k x x y y -+==-⋅-+， 又AB 中点为()1,1P ，122x x ∴+=，122y y +=，37k ∴=-， ∴直线l 方程为：()3117y x -=--，即37100x y +-=. 22．已知函数21()ln 2f x x ax a ． (1)当1a =时，求()f x 的最大值； (2)若ln 2()2f x 恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)12(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得()f x 的最大值；（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于a 的不等式，解之即可求得a 的取值范围．【详解】（1）1a =时，21()ln 12f x x x =-+，()0x > 则111()x x f x x x x ，()0x >当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，则当1x =时，()f x 取得最大值11(1)ln1122f （2）21()ln 2f x x ax a ，()0x >，则211()ax f x ax x x-'=-=，()0x > 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，且1ln 2ln 22f a a ，则当x ln 2()2f x ，不符合要求. 当0a >时，2111()ax ax ax f x x x ，()0x >当0x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x >()0f x '<，()f x 单调递减，则当x =()f x 取得最大值11ln 22f a a 则由ln 2()2f x 恒成立，可得111ln ln 2222a a 成立， 令111()ln ln 2,0222h x x x x 则121()1,022x h x x x x 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 则当12x =时，()h x 取得最小值111111()ln ln 20222222h 则111()ln ln 20222h x x x 恒成立，（当且仅当12x =时等号成立） 则111ln ln 20222a a 的解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭则a 的取值范围为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭．。
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2021-2022学年陕西省渭南市富平县高二下学期期末数学（文）试题一、单选题1．若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D2．下列说法错误．．的是（ ） A ．相关系数r 越大，相关性越强 B ．当变量x 和y 正相关时，相关系数0r > C ．相关系数||r 越接近于1，相关性越强 D ．样本不同，相关系数r 可能有差异【答案】A【分析】根据相关系数的概念判断即可.【详解】解：用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，||r 越接近于1，相关性越强，当变量x 和y 正相关时，相关系数0r >，当变量x 和y 负相关时，相关系数0r <， 样本不同，相关系数r 可能有差异，故B 、C 、D 正确；对于A ：如10.1r =，21r =-，显然12r r >，但是21r =，故线性相关性更强，即A 错误； 故选：A3．如图所示的知识结构图中，①②处应分别填（ ）A ．归纳，类比B ．合情推理，演绎推理C ．分析法，三段论D ．分析法，反证法【答案】D【分析】由直接证明和间接证明的基本方法即可得出答案.【详解】直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法是反证故选：D.4．设事件A ，B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()P AB AB ⋃=（ ） A ．0.36 B ．0.504C ．0.54D ．0.9【答案】C【分析】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【详解】根据题意，AB AB 与互斥，A B ，相互独立，B ，A 相互独立，AB ，AB 相互独立，故()P AB AB ⋃=()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B +=+0.60.70.40.30.54=⨯+⨯=.故选：C.5．在用反证法证明命题“若三个正数a ，b ，c 满足27abc =，则a ，b ，c 三个数中至多有两个数小于3”时，应该反设为（ ） A ．假设a ，b ，c 三个数都小于3 B ．假设a ，b ，c 三个数都大于3C ．假设a ，b ，c 三个数中至少有两个数小于3D ．假设a ，b ，c 三个数中至多有两个数不小于3 【答案】A【分析】反证法证明题目时，往往先假设所给命题的结论不成立，或结论的反面成立，再推导出矛盾.【详解】至多有两个意味着不超过两个，则应该假设a ，b ，c 三个数都小于3. 故选：A.6．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的浓度的数据如下表．由最小二乘法求得回归直线方程0.72 6.24ˆyx =+．表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据为时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x （万辆）100 102108 114 116 PM2.5的浓度y （微克/立方米）78848890A ．78B ．79C ．80D ．81【答案】C【分析】设表中模糊不清的数据为m ，然后求出,x y ，代入回归方程中求得结果 【详解】解： 设表中模糊不清的数据为m ，由表中数据得：5401085x ==，3405m y +=，因为由最小二乘法求得回归方程为0.72 6.24ˆyx =+，将108x =，3405m y +=代入回归直线方程，得80m =． 故选：C 7．计算232022i i i i ++++=（ ） A ．2022 B ．1i -C ．1i -+D ．0【答案】C【分析】求出i n 的周期，且i 1i+1=0--，所以2320222i i i i i i ++++=+，即可求出答案.【详解】因为23456i =1,i i,i 1,i i,i 1,-=-===-，所以周期为4，且i 1i+1=0--，所以2320222i i i i i i i 1++++=+=-.故选:C.8．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.53z x =+，则c =（ ） A ．3 B ．3eC ．0.5D ．0.5e【答案】B【分析】根据指对数互化求解即可.【详解】解：因为0.53z x =+，ln z y =，所以0.53ln x y +=，所以0.5330.5x x y e e e +==⨯，故3c e =. 故选：B.【点睛】本题考查非线性回归问题的转化，是基础题.9．有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球.这6个球手感上不可区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为（ ） A ．712B ．512C ．12D ．23【答案】A【分析】设A 1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”，A 2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”，B ＝“从乙袋中任取一球是红球”，利用1122()(|)()(|)()P B P B A P A P B A P A =+求解即可. 【详解】设A 1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”，A 2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”， B ＝“从乙袋中任取一球是红球”；112212317+=234312()(|)()(|)()P B P B A P A P B A P A =+⨯⨯=.故选：A10．一枚骰子掷两次，甲表示事件“第一次掷出的点数是2”，乙表示事件“第二次掷出的点数是3”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是5”，丁表示事件“两次掷出的点数相同”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件的乘法公式，结合题意，逐一判断即可.【详解】根据题意可得：()16P =甲，()16P =乙，()41369P ==丙，()61366P ==丁， 又()()()113654P P P =≠=甲丙甲丙， ()()()136P P P ==甲丁甲丁， ()()()113654P P P =≠=乙丙乙丙， ()()()1054P P P =≠=丙丁丙丁． 故选：B ．11．如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数3S 为28，按其规律再画下去，可以得到n 层六边形，则n S 可以表示为（ ）A ．=41n S n +B ．=42n S n +C ．2=23n S n n +D ．2=23+1n S n n +【答案】D【分析】由图，发现每层点数的规律，即可求得结果. 【详解】15a =，25419a =+⨯=，354213a =+⨯=，……， 所以{}n a 是以5为首项，4为公差的等差数列， 所以()2112312n n n S na d n n -=+=++. 故选：D12．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ） A ．甲胜乙 B ．乙胜丙C ．乙平丁D ．丙平丁【答案】C【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.【详解】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分， 由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即34+2216⨯⨯=，丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局， 丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁， 故选：C. 二、填空题13．若复数i(34i)=-z ，则||z =___________． 【答案】5【分析】根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得.【详解】解：2i(34i)=3i 4i 43i z =--=+，所以5||z 故答案为：5.14．《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的应用数学著作，书中有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”下图所示的程序框图给出了解决这类问题的一个算法，执行该程序框图，输出的S =___________．【答案】12【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的S 的值． 【详解】模拟程序框图的运行过程： S 判断条件 i 0 1 3 是 2 7 是 3 12 否2i =时，7=S ，选“是”，3i =时，12S =，选“否”，输出12S =. 故答案为：1215．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．【答案】11【详解】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时 16．已知a 为实数，并且2i 13i 4++-a 的实部和虚部相等，则=a ___________．【答案】6【分析】根据复数的除法运算，可得到复数的实部和虚部，从而列出方程，解得答案. 【详解】由题意得，222i 1(2i)(3i)116(923)i3i 4449a a a a a a +++-+++==+-+++， 因为2i 13i 4++-a 的实部和虚部相等，故221962394a a a a -++=++，即212210a a -+= ，解得6a =，故答案为：6三、解答题17．已知复数i(,)z a b a b =+∈R ．(1)若复数z 在复平面内对应的点位于实轴上方（不包括实轴），求a ，b 满足的条件； (2)若(2)2i 3(1)i +-=-+-a a b b ，求a ，b 的值． 【答案】(1)0b > (2)1,1a b ==-．【分析】（1）由复数的几何意义求解； （2）根据复数相等的定义求解． 【详解】(1)由题意0b >．(2)由题意2321a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．18．甲、乙两台机床加工同一规格（直径20.0mm ）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，并整理如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3；乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4． 规定误差不超过0.2mm 的零件为一级品，误差大于0.2mm 的零件为二级品．(1)根据以上数据完成下面的22⨯列联表：(2)判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)列联表见解析(2)没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异． 【分析】（1）根据数据完善列联表； （2）计算出卡方，即可判断；【详解】(1)解：依题意可得22⨯列联表如下：(2)解：根据列联表得2230(16527) 3.7582371812K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为3.758 3.841<，所以没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异． 19．已知122i,i =-=+z z a ． (1)求21144--z z 的值；(2)若121z z =，求复数a ． 【答案】(1)9- (2)24i 55a =- 【分析】（1）由复数的乘法运算代入即可得出答案. （2）设复数i a m n =+，先求出()21i z m n =++，又因为21121+i 55z z ==，由复数相等即可求出,m n ，进一步可求出复数a.【详解】(1)()22212i =4+i 4i=34i,z =---()21144=34i 42i 434i 84i 49z z ------=--+-=-.(2)由题意设复数i a m n =+，则()2i=1i z a m n =+++， 因为121z z =，所以221112+i 21=+i 2i 4i 55z z ===--， 即()211i +i 55m n ++=，所以21,155n m =+=，即2424,,i 5555n m a ==-=-.综上所述，复数24i 55a =-. 20．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：由散点图知根部横截面积与材积量线性相关，并计算得10102110.038,0.2474====∑∑i i i i i x x y ．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程；(3)现测量了该林区2500棵这种树木的根部横截面积，并得到这些树木的根部横截面积总和为250021153m ==∑i i x ．利用（2）中所求的回归直线方程，估计这些树木的总材积量．附：回归直线方程的斜率1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，截距ˆˆay bx =-． 【答案】(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39； (2) 6.70.012y x =-； (3)995.1【分析】（1）利用平均数公式计算出0.60.0610x ==， 3.90.3910y ==即可； （2）利用题干数据，代入公式，计算出ˆ 6.7b=，0012ˆ.a =-，得到线性回归方程； （3）将1532500x =代入到线性回归方程中，计算出0.39804y =，从而求出这些树木的总材积量.【详解】(1)由题意得：0.60.0610x ==， 3.90.3910y ==， 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39(2)101102221100.2474100.060.390.01346.70.038100.060.002ˆ10i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，0.39 6.70.060.012ˆˆay bx =-=-⨯=-， 故该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为 6.70.012y x =- (3)因为250021153m ==∑i i x ，所以2500211153m 25002500ii x ==∑， 将1532500x =代入 6.70.012y x =-中，得到0.39804y =， 则估计这些树木的总材积量为0.398042500995.1⨯=21．甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求甲最终获胜的概率.【答案】(1)116； (2)34； (3)932.【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算即可得出甲赢的概率.【详解】(1)记事件M ：甲连胜四场，则()411216P M ⎛⎫== ⎪⎝⎭；(2)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为()()()()411424P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ⎛⎫'=+++=⨯= ⎪⎝⎭，所以需要进行第五场比赛的概率为314P P '=-=； (3)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M ：甲赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、 BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，所以，甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为：4cos 453sin 45x t y t ︒︒⎧=+⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5ρ=． (1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程，并判断这两条曲线的形状； (2)求这两条曲线交点的直角坐标．【答案】(1)曲线1C 的普通方程为1y x =-；曲线2C 的普通方程为225+2x y =．(2)()43，或()34--，． 【分析】（1）将曲线1C 的参数方程消参可得曲线1C 的普通方程，根据极坐标与平面直角坐标互化公式可得曲线2C 的普通方程；（2）由（1）联立两曲线的普通方程可求得两曲线交点的直角坐标.【详解】(1)解：曲线1C 的参数方程可化为：4cos 453sin 45x t y t ︒︒⎧-=⎨-=⎩所以34y x -=-，整理得曲线1C 的普通方程为1y x =-，曲线1C 是一条直线；因为曲线2C 的极坐标方程为5ρ=，所以曲线2C 的普通方程为225+2x y =．曲线2C 是圆心在原点，半径为5的圆.(2)解：由（1）221+25y x x y =-⎧⎨=⎩得()22125+x x -=，整理得2120x x --=，解得4x =或3x =-，所以当4x =时，3y =；当3x =-时，4y =-，所以这两条曲线交点的直角坐标为()43，或()34--，． 23．已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ． (1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值． 【答案】(1){}|23x x -≤≤(2)【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解，即可得解； （2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，再利用基本不等式计算可得. 【详解】(1)解：()|1||2|f x x x =++-，∴2215x x ≥⎧⎨-≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或1215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩，解得：23x ≤≤或12x -<<或21x -≤≤-， ∴不等式()5f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤.(2)解：由()|1||2||(1)(2)|3f x x x x x =++-+--=，当且仅当12x -时，()f x 取得最小值，且最小值为3，则3m =； 即3ab =，又0a >、0b >，所以2a b +≥=2a b =，即a =b 时取等号，即2a b +的最小值为。