鞅的中心极限定理和鞅逼近
第三章鞅与停时
⎧ X ,τ ≥ n 设 τ 为取非负整数值的停时， 令 X nτ = X min( n ,τ ) = ⎨ n ， 称为随机过程 X n ⎩ X τ ,τ < n
在 τ 处停止过程。 引理 3.3.1：设 {X n , Fn } 是鞅，则 X nτ , Fn 也是鞅。
则 A ∈ Fσ ⇒ A I {σ ≤ τ }∈ Fτ ， 从而若 σ ≤ τ 则 Fσ ⊂ Fτ 。 定理 3.1.2： 设 σ ,τ 为停时，
3.2 离散指标鞅 设 (Ω, F , P) 为概率空间， {Fn } 为一列单调增的子 σ -域(代数)，即 Fn ⊂ Fn +1 ， 随机变量序列 {X n } 称为对于 {Fn } 是适应的(adapted)，若对任意 n ，σ ( X n ) ⊂ Fn ， 即 X n 是 Fn 可测的。对于随机变量序列 {X n }，总可以找到与之适应的单调增的一 此 σ -域 Fn 称为一个 “筛选” (filtration)。 例如取 Fn = σ ( X 0 , X 1 ,L X n ) 。 列 σ -域 Fn ， 我们用偶序对 ( X n , Fn ) 表示。 称 {X n }对于 {Fn } 是 若 X n 对于单调增的 Fn 是适应的， 可预料的(predictable)，若对任意 n ， X n 是 Fn −1 可测的。 定义 3.2.1：适应随机过程 {X n , Fn , n ≥ 0} ，称为是鞅(martingale)，如果对任意 n ，
{X n , Fn }
是 鞅 ，
t1 ≤ t 2 ≤ L ≤ t n ≤ L 为 非 降 有 界 停 时 ， 则 X tn , Ftn 是 鞅 。 ( X tn
{
}
随机过程-第六章 鞅与停时
E (Yn ) 0 E , Y (n ) ； X 0 0, X n Yi ，则 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。
i 1
n
-1-
例 6.2 （ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ） 设 Y0 1 ， {Yn , n 1} 服 从 独 立 同 分 布 ， 且
3、若 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是（上）鞅， g 是关于 Y0 , Y1 ,, Yn 的（非负）函数， 则
6.1 离散鞅的定义
定义 6.1 鞅：随机过程 { X n , n 0} 是鞅，如果 n 0 有
（1） E ( X n ) ； （2） E ( X n1 X 0 , X1 ,, X n ) X n , a.s. 鞅是公平赌博的一种推广。 假设我们把 X n 解释为第 n 次赌博后的赌资， 则根据定义 6.1, 第 n 1 次赌博后的平均赌资恰好等于 X n ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会 均等。 对（2）式两边取期望得
f ( y) f ( z )dF ( z y)
则称 { X n n f (Yn ), n 0} 是一个鞅。 例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实 际研究中应用广泛。 例 6.6 波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初 坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球， 则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以 Yn 第 n 次 抽取后坛子中的红球数，则 Y0 1 ， Yn 是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为
a0 (Y1 ) a0 , E[ f (Z0 ) Y1 ] E[ f (Z0 )] ，令
一致可积鞅 l1收敛
一致可积鞅 l1收敛
一致可积鞅$L1$收敛的意思是：在$L1$空间中，如果鞅$X_n$一致有界，那么它将几乎处处收敛，并且$L1$收敛到$X$。
鞅收敛定理分为两层次：第一层次即在很自然的条件下，上下鞅的几乎处处收敛，困难点在于Doob的上穿不等式，有很强的直观意义。
一致可积的概念在概率测度中极其有用，它等价于一致绝对连续外加$\sup E(|X_t|)<\infty$，在无限测度空间下，一致可积不能保证积分下的收敛性。
这些收敛定理的证明需要运用概率论、高等数学等知识，如果你想深入了解，可以查阅相关数学书籍或咨询专业的数学学者。
第5章 鞅
（3）
则称{X n } 关于{Yn } 为上鞅
类似
下鞅
E( X n1 | Y0 ,, Yn ) X n
关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本， 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本， 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3
{ X n }为鞅的充分必要条件是，X n }既为上鞅 {
也为下鞅。
性质4
{ X n } 上鞅 { X n } 下鞅
{ X n } 下鞅 { X n } 上鞅
性质5
{ X n } 上鞅
E( X m | Y0 ,, Yn ) X n
m 0, n 0 m n m 0, n 0 m n
E( X nk 1 | Y0 ,, Yn ) E[ E( X nk 1 | Y0 ,, Ynk ) | Y0 ,, Yn ]
E( X nk | Y0 ,, Yn ) X n 即当 m n k 1 时（1）成立。
性质1 证 性质2
常数序列 {cn } 为鞅。 其中 cn c
E( n1 | X n , X n1,, X 0 ) E( X n | X n , X n1,, X 0 ) E( n1 ) X n p q X n1 ,, X 0 ) X n p q
>0 <0 =0
k P ( X n 1 k 1 X n k ) n2 k n2k P( X n 1 k X n k ) 1 n2 n2
令Mn 表示第n次抽取后红球所占的比例，则 Xn Mn n2
且{Mn }是一个鞅。
大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总
大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总大数定理和中心极限定理都是概率论中非常重要的定理，它们在概率论和统计学中有着广泛的应用。
下面我们来详细介绍它们的关系及应用。
大数定理（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述的是随机变量序列的平均值收敛于期望的情况。
大数定理主要分为弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律指的是当样本容量趋于无穷大时，随机变量的平均值收敛于期望的概率为1；强大数定律则指的是在一些条件下，随机变量的平均值几乎处处收敛于期望，即概率为1中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中另一个重要的定理，它描述的是随机变量序列的和随着样本容量的增大逼近于正态分布的现象。
中心极限定理分为三种形式：林德伯格-列维定理、德莫佛拉-拉普拉斯定理和契比雪夫不等式。
其中，林德伯格-列维定理是最早提出的版本，它陈述了独立随机变量和的分布函数在适当的标准化下会趋近于标准正态分布。
大数定理和中心极限定理的关系：大数定理和中心极限定理在一定程度上是互补的。
大数定理关注的是样本容量趋于无穷大时随机变量的平均值的收敛情况，中心极限定理则关注的是样本容量增加时和的分布趋近于正态分布的情况。
可以说，中心极限定理是大数定理的一种具体形式。
应用汇总：大数定理和中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们来汇总一些常见的应用领域：1.投资与金融：大数定理可以应用在股票市场分析中，通过分析历史数据计算出平均回报率，从而预测未来的回报率。
而中心极限定理则可以用于计算股票收益率的置信区间，帮助投资者进行风险管理。
2.生物统计学：大数定理和中心极限定理在生物统计学中有着广泛的应用。
例如，通过大数定理可以估计人口中患其中一种疾病的比例，从而指导公共卫生政策制定。
而中心极限定理则可以用于计算样本均值的置信区间，帮助比较两个群体的差异性。
3.教育评估：在教育评估中，大数定理和中心极限定理可以用于计算学生的平均成绩以及学校的平均分数的置信区间。
鞅与随机微分方程
鞅与随机微分方程引言随机微分方程是概率论在微分方程中的应用，而鞅（martingale）是一类重要的随机过程。
本文将从鞅的定义、性质和随机微分方程的推导与求解等方面进行探讨。
鞅的定义与性质鞅是一类特殊的随机过程，它具有一些重要的性质。
下面我们首先给出鞅的定义，并介绍几个常见的性质。
鞅的定义设(Ω,ℱ,P)是一个概率空间，{ℱt}是一个增加的滤过过程，X t是一个随机过程。
如果对于任意的s<t，我们有E(|X t|)<∞且E(X t|ℱs)=X s，则称随机过程X t是一个鞅。
鞅的性质鞅具有一些重要的性质，下面我们介绍其中几个常见的性质。
1.鞅的期望恒等于初始值：E(X t)=E(X0)。
2.鞅的条件期望是鞅的函数：如果g是一个可测函数，且E(|g(X t)|)<∞，则Y t=g(X t)也是一个鞅。
3.马尔可夫性质：如果随机过程X t在ℱt意义下是可测的，则对于任意的t1<t2<⋯<t n，有E(X tn |ℱt1)=X tn−1。
随机微分方程的推导与求解随机微分方程是一类微分方程，它包含了随机项。
下面我们将介绍如何推导和求解随机微分方程。
随机微分方程的推导考虑一般形式的随机微分方程：dX t=f(X t,t)dt+g(X t,t)dW t其中，f和g是已知的函数，W t是一个标准布朗运动。
我们的目标是求解该方程，即找到函数X t的表达式。
为了求解随机微分方程，我们需要借助于鞅的性质。
首先，我们可以将上式两边取期望，并利用鞅的期望恒等于初始值的性质，得到：E(dX t)=E(f(X t,t)dt+g(X t,t)dW t)由于布朗运动的特性，我们知道E(dW t)=0，因此上式可以简化为：E(dX t)=E(f(X t,t)dt)随机微分方程的求解接下来，我们将对上述等式进行进一步的推导，以便求解随机微分方程。
首先，我们注意到当t固定时，X t可以看作是一个随机变量。
第6章 鞅
k P ( X n 1 k 1 X n k ) n2 k n2k P( X n 1 k X n k ) 1 n2 n2
令Mn 表示第n次抽取后红球所占的比例，则 Xn Mn n2
P(Yn 1) p, P(Yn 1) q,
定义
n1
X n Y1 Y2 Yn
由{Xn , n≥1}的定义知Yn+1与 {X1 , X2 ，…，Xn}独立， 所以 E( X n1 | X n , X n1 ,, X1 )
E(Yn1 | X n , X n1 ,, X1 ) E( X n | X n , X n1 ,, X1 )
n1 n 2 n1
2
2
Y
2Yn 1 Yk Yk n 2 2 k 1 k 1
n n
2
Y
2 n 1
2Yn1 Yk X n 2
k 1
n
E X n1 | Y0 , , Yn
n 2 2 E (Yn1 2Yn1 Yk X n ) | Y0 , , Yn k 1 n 2 EYn1 2 Yk E (Yn1 | Y0 ,, Yn ) X n 2 k 1
E ( X n1 X n ) | X0 ,, X n 0
【注】如果{Xn}为鞅，则它有某种无后效性, 即当已
知时刻n以及它以前的值 X0 , …, Xn ,那么n+1时刻的 值 Xn+1对 X0 , X1 , …, Xn的条件期望与时刻n以前的 值 X0 , …, Xn-1无关，并且等于 Xn 。 鞅的直观背景解释： 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n次的赌本为Xn
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科研热词 几乎处处中心极限定理 中心极限定理 马尔可夫链 非高斯性 随机退避 随机元 超brown运动 负(正)相依.mr(2000)主题分类 蒙特卡洛仿真 胎紧性 置信区间 网络安全 组合风险叠加 氧化层陷阱 概率分布 最大收益概率 最优套期比 攻击检测 收敛性 岩土工程 岩土参数 存量组合 增量组合 噪声 可靠性评估 可靠度分析 可分距离空间 变异系数 占位时 加权和 偏度系数 α 稳定分布 sar图像 n型金属氧化物半导体场效应晶体管 mac攻击 cfar目标检测 60f15 60f05
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鞅的中心极限定理和鞅逼近
德伯特—极限定理是历史上很重要的定理，它是一个有关极限的定理，它的出现改变了人们对极限正确理解的根本思想。
它指出，对于某一类限定的函数f（x），当x趋近某一定值c时，所有的极限等于f（c）。
这个定理由德伯特——金斯堡在1821年提出，它是20世纪以来数学发展的转折点。
鞅逼近，是利用德伯特极限定理中极限的性质，把不同尺度的量对对近似，反复迭代求解它们的值，最终可以使用德伯特定理中的一般极限表达式来描述它们之间的关系，从而分析和研究各种物理，化学和生物等问题。
德伯特-极限定理和鞅逼近都是数学研究的重要理论，它们的应用也极为广泛。
单位极限定理，也就是上文提到的德伯特——极限定理，极大地提高了函数中极限的求解精度。
同时，这个定理也可以用来证明高阶假设，从而加深了人们对一般正则性函数的理解，包括平滑性，无穷交叠等特点。
而鞅逼近，拓展了德伯特极限定理的作用，用它来分析复杂的物理和化学现象，来源动力学系统的模型，以及对声学，地学，电学等各种研究领域的应用。
其实，归根结底，德伯特—极限定理和鞅逼近在现代数学研究中具有广泛的应用，无论是静态还是动态研究，都能发挥它们的作用，以促进数学研究工作的开展，提高理论水平，而这也为后来的新理论发展做准备。