函数零点问题
函数零点问题
1.(2014课标卷 1.12）已知函数3
2
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且
00x >，则a 的取值范围是
（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 2.(2014北京6.）已知函数()26
log f x x x
=
-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）
A.()0,1
B.()1,2
C.()2,4
D.()4,+∞ 3.
（
2014
重
庆
10.
）
已
知
函
数
]
1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311
)(---=???
??∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零
点，则实数m 的取值范围是（ ）
A.]21,0(]2,4
9(?-- B.]
21,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,4
9(?-- D.]
32
,0(]2,411(?-- 4.（2014天津14.）已知函数()?????>-≤++=0,2
20
,452
x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零
点，则实数a 的取值范围为_______
5.（2014湖北9.）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为
A. {1,3}
B. {3,1,1,3}--
C. {23}
D. {21,3}-
6.（2014福建15.）函数()???>+-≤-=0
,ln 620
,22x x x x x x f 的零点个数是_________
7.（2014湖南21.）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）记
i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有
222
121112
3
n x x x +++ 3,0[∈x 时,|2 1 2|)(2+ -=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ___________ . 9.(2014辽宁21.）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=--- ， 2()(1x g x x ππ =--. 证明：（1）存在唯一0(0,)2 x π ∈，使0()0f x =； （2）存在唯一1( ,)2 x π π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<. 10.（2014四川21.）已知函数2 ()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =???为自然对数的底数。 （Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21e a -<<。 11.(2014课标卷2.21)已知函数f （x ）=32 32x x ax -++，曲线()y f x =在点（0,2）处 的切线与x 轴交点的横坐标为-2. （I ） 求a ； （II ）证明：当k<1时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。 12.（2014陕西21.）设函数 ()ln ,m f x x m R x =+ ∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值； （2）讨论函数()'()3 x g x f x =-零点的个数； （3）若对任意()() 0, 1f b f a b a b a ->><-恒成立，求m 的取值范围. 13.（2013陕西21.）已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2 112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a ??? 与 ()()f b f a b a --的大小, 并说明理由. 14.（2012陕西21.）设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈ （1）设2n ≥，1, 1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12?? ??? 内存在唯一的零点； （2）设n 为偶数，(1)1f -≤，(1)1f ≤，求b+3c 的最小值和最大值； （3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围； 2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I ）数学（文科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =I （ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- （2）若0tan >α，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α （3）设i i z ++= 11 ，则=||z A. 2 1 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A. B. 21 C. 2 1 D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)4 2tan(π -=x y 中， 最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( ) A. 20 3 B.72 C.165 D.158 10.已知抛物线C ：x y =2 的焦点为F ,()y x A 0 ,是C 上一点，x F A 0 4 5=，则=x 0 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1, x y a x y +≥??-≤-?且z x ay =+的最小值为7，则a = （A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 （12）已知函数3 2 ()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是 （B ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 第II 卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. （15）设函数()113,1,,1, x e x f x x x -? =??≥?则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________. （16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2 560x x -+=的根。 （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ?? ? ??? 的前n 项和. （18）（本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： （I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图： （II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 19.(本题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥ （2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο 求三棱柱111C B A ABC -的高. 20.（本小题满分12分） 已知点)2,2(P ，圆C :082 2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程； （2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积 21（12分） 设函数()()2 1ln 12 a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b; （2）若存在01,x ≥使得()01 a f x a < -，求a 的取值范围。 2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标Ⅱ)数学（文科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x |2 x -x -20=﹜，则A I B= (A) ? （B ）{}2 （C ）{}0 (D) {}2- (2) 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i - （3）函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘ （x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b= （A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项 n S = （A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + (D) ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱 体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 13 （7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则 三棱锥11DC B A -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D ） 3 （8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥?? --≤??-+≥?，则 2z x y =+的最大值为 （A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1 （10）设F 为抛物线2 :y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为 °30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A ） 30 （B ）6 （C ）12 （D ）73 （11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是 （A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ （12）设点0(x ,1)M ，若在圆2 2 :x y =1O +上存在点N ，使得° 45OMN ∠=,则0x 的取值 范围是 （A ）[]1,1- （B ）1122?? -????， （C ）2,2??-?? （D ） 2 222? ? -???? ， 第Ⅱ卷 二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。 （13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. （14）函数)sin()(?+=x x f —2?sin x cos 的最大值为_________. （15）已知函数 () f x 的图像关于直线x =2对称，)0(f =3，则=-)1(f _______. （16）数列{}n a 满足1+n a =n a -11 ，2a =2，则1 a =_________. 三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2. (I )求C 和BD; (II )求四边形ABCD 的面积。 （18）（本小题满分12分） 如图，四凌锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。 （I ）证明：PP//平面AEC; (II )设置AP=1，AD=3,三棱锥 P-ABD 的体积V= 4 3 ，求A 到平面PBD 的距离。 （19）（本小题满分12分） 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。根据这50位市民 （I ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数； （II ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率； （III ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 （20）（本小题满分12分） 设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：122 22=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴 垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 （I ）若直线MN 的斜率为 4 3 ，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。 （21）（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=32 32x x ax -++，曲线()y f x =在点（0,2）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2. （II ） 求a ； （II ）证明：当时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 函数零点存在性定理基础题 1．函数()25x f x =-存在零点的区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 【答案】B ． 【解析】 函数单调递增，并且()()()23130f f ?=-?<，所以在区间()3,2上存在一个零点． 2．若函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或1a > D ．11a -<< 【答案】C ． 【解析】 由零点存在性定理得：(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >．选C ． 3．函数f （x ）＝ln x － 2x 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（1e ，1）和（3，4） D ．（e ，＋∞） 【答案】B ． 【解析】 ∵f （1）＝－2<0，f （2）＝ln2－1<0，又∵f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数， ∴在（1，2）内f （x ）无零点．又∵f （3）＝ln3－ 23 >0，∴f （2）·f （3）<0． ∴f （x ）在（2，3）内有一个零点．故选B ． 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有部分对应值表如下： 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ） A ．()1-∞, B ．()12, C ．()23, D ．()3+∞, ()1f x ax =+(1,1)-a 【答案】C ． 【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<，根据函数的零点存在性定理，一定存在零点的区间是()2,3．故选C ． 5．函数f （x ）=log 3x －8+2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（5，6） 【答案】C ． 【解析】 函数f （x ）=log 3x -8+2x 为增函数， ∵f （3）=log 33-8+2×3=-1＜0，f （4）=log 34-8+2×4=log 34＞1＞0， ∴函数在（3，4）内存在零点．故选C ． 6．方程log 3x +x =3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞） 【答案】C ． 【解析】 可构造函数f （x ）=log 3x +x -3，方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f （x ）=log 3x +x -3零点所在的区间，又函数f （x ）=log 3x +x -3在定义域上单调递增，结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可． 由于f （0）不存在，f （1）=-2，f （2）=log 32-1＜0，f （3）=1＞0， 故零点存在于区间（2，3），方程log 3x +x =3的解所在的区间是（2，3） 故选C ． ?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3) ? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。 证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++，如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为 ],[22b a ，它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?，0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ；②n n n a b a b 2-=-；③0)()( 函数零点的题型总结 例题及解析 考点一函数零点存在性定理的应用 【例1】已知函数f(x)=(1 2 )x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( ) (A)(0,1 3) (B)(1 3 ,1 2 ) (C)(1 2,2 3 ) (D)(2 3 ,1) 解析:f(0)=1>0,f(1 3)=(1 2 )13-(1 3 )13>0, F(1 2)=(1 2 )12-(1 2 )13<0,f(1 3 )f(1 2 )<0, 所以函数f(x)在区间(1 3,1 2 )内必有零点,选B. 【跟踪训练1】已知函数f(x)=2 x -log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 解析:由题意,函数f(x)=2 x -log3x为单调递减函数, 且f(2)= 2 2-log32=1-log32>0,f(3)= 2 3 -log33=-1 3 <0, 所以f(2)·f(3)<0, 所以函数f(x)=2 x -log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C. 【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( ) (A)[0,1] (B)[-1,0] (C)[0,2] (D)[-1,1] 解析:f(1)=ln 2>0, 当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D; 当a=2时,f(1 2)=ln 3 2 -1 2 <0,所以f(x)在(1 2 ,1)上至少有一个零点,舍 去C.因此选A. 考点二函数零点的个数 考查角度1:由函数解析式确定零点个数 【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知f(x)=2x x +x-2 x ,则y=f(x)的零点个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以 x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π 2 ,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B. 解析:(2)令2x x +x-2 x =0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由 图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C. 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数零点存在性定理文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)．f(b) 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3） 例题2： 已知函数有零点，则实数的取值范围是（） 答案： 例题3： 例题4： 函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得 ∴（5a-1）（a+1）≥0 ∴a≥ 1/5 或a≤-1 故选D ． 教案 课题：零点存在定理 授课人： 一、内容及内容解析： 本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根. 各个内容之间的联系： 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标： 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()( 方程根的个数 图像法 1. 已知函数?（x ）=2 -x e x （1）求?（x ）的单调区间 增),3(+∞减)3,2()2,( -∞ （2）判断关于x 的方程e x =k(x-2)(k ∈R)的解的情况 2已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 利用单调性 1已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式)(x f ＞x 2的解集为（-1，3）。 （1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式 34)(2++-=x x x f （2）若函数)()(x xf x g =在区间?? ? ??∞-3,a 内单调递减，求a 的取值范围 (]1,-∞- （3）当a =-1时，证明：方程12)(3 -=x x f 仅有一个实数根 2、已知a ＞0，l x n x ax x f ),1(112)(2+++-=是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线 （1）求l 的方程 1+-=x y （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值 2 1=a （3）证明：对任意的),(*N ∈=n n a 函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 的单调递减区 间的长度的取值范围（区间[]21,x x 的长度=12x x -） (] 2,1 分离参数求值域 1. 已知函数=)(x f log 4)()14(R x kx x ∈++是偶函数 （1）求k 的值 2 1-=k （2）若方程0)(=-m x f 有解，求m 的取值范围 m ≥ 21 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 函数的零点及应用 一、要点扫描 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根． 二、典型例题剖析 1．求函数的零点 例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点． 解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1， ∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1. 评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2 x ＋1 (a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数． 解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2 x ＋1 ，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x ) 与f 2(x )的交点的横坐标． 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点. 一、方程的根及函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象及x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象及x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象及x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象及x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象及x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是 函数()f x 零点的个数。即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区 函数的应用函数的零点 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 《函数的零点》教学设计 【教学目标】 1、学生能够结合具体二次方程，说出方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点横坐标三者的关系； 2、学生能利用函数图象和性质判断二次函数的零点个数，并会求二次函数的零点； 3、通过对具体例题的讨论，学生能总结出函数零点存在性定理，能说出图象连续不断的意义及作用；能举例说明定理的逆命题不成立； 4、学生能运用零点存在性定理证明函数在某区间上存在零点； 5、学生初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．【课堂实录】 一、创设情境，引入新课 1.你会解方程0 3 2 2= -x x吗方法是什么 - 学生众：会。可以用因式分解，配方，求根公式…… 2.你会解方程x lg吗你能确定上述方程的解的个数吗 =3 x- 学生众：（第一个问号）不会。 学生1：可以作函数x y- =3的图象，两个函数交点的横坐标就 =和x y lg 是方程x lg的根，由图可知，两个函数有且只有一个交点，所以方程的=3 x- 解有一个。 教师：这位同学说的非常完美。我们在现实问题的解决中经常会遇到无法用公式法等求解的方程，这位同学将方程的问题转化为函数来解决，这正是本 章要研究的一个重要思想与方法——函数与方程。为了理清两者的关系，我们从简单的一元二次方程和一元二次函数的关系出发进行研究。 二、问题引动，明晰概念 问题1：方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3有怎样的联系呢？ 学生2：方程x2-2x-3=0的根就是函数y= x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标，也就是函数y= x2-2x-3中令y=0时的x的解。 教师：很好。我们把函数y= x2-2x-3中使y=0时的x的解称为函数y= x2-2x-3的零点。“零点”是一个新的概念，但它的本质我们并不陌生。（在黑板上板书一元二次函数零点的定义，及零点、交点横坐标、方程的根三者之间的等价关系） 例1求证：二次函数y=x2-2x-1有两个不同的零点。 学生3：（略） 问题2：你能将这个特殊的二次函数推广到一般的二次函数来研究它的零点吗？ 学生4：用对应方程的Δ的正负判断零点的 个数。Δ>0，函数有两个零点；Δ=0，函数有一 个零点；Δ<0，函数无零点。 学生一起归纳：二次函数零点的判定（填写右表） 问题3：你能将零点的概念推广到一般函数吗？ 学生归纳定义：一般地，我们把使函数y＝f(x) 的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点。 主题函数的零点与应用问题 教学内容 1. 理解函数零点的概念，会求函数的零点； 2. 掌握常见类型函数的应用。 问题：已知二次函数6 2- - =x x y ①求0 = y时x的值. ②作出函数的简图，并观察方程0 6 2= - -x x的根与函数图象与x轴交点之间的关系. 1.零点的定义：一般地，如果函数) (x f y=在实数a处的值等于零，即0 ) (= a f，则a叫做这个函数的零点； 2.函数零点的求法：求函数) (x f y=的零点就是求相应的方程0 ) (= x f的根，一般可以 借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点. 思考：如何判断函数) (x f y=在区间] , [b a上是否存在零点. 问题：完成下表，回答问题： 方程 3 2 2= - -x x 1 2 2= + -x x0 3 2 2= + -x x 函数 3 2 2- - =x x y 1 2 2+ - =x x y3 2 2+ - =x x y 图像 x y －2 3 x y －1 3 x y 1 x y 方程的根 11-=x ，32=x 121==x x 无实根 函数零点 3. 函数)(x f y =在区间],[b a 上存在零点的条件：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()( 葛沽一中整体建构教学模式导学案 高一 年级 数学 学科 主备人： 备课或教研组长审核签字 使用人签字 使用时间 第 11 周 第 5 课 课题： 零点存在定理的应用 教学过程 一、例题精析 应用迁移 拓展提升 1．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 2．(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5) 3．（2014·北京模拟）已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1] 小结： 5.(2014·济南模拟)函数f(x)＝ 的零点个数为( ) 6.函数的零点个数是_________________ 小结： 提示：建议：注意：要求： 二．拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 9.设函数1 ()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1 (,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1 (,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 10. 函数3()=2+2x f x x －在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) B.1 12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) 函数的性质及零点应用问题 1. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当X ≥0时，f （x ）=3x +m （m 为常数），则f （-log 35）的值为_________ 2. 已知偶函数f （x ）在 [ 0,+∞）上单调递减，f （2）= 0 ，若f （x -1）> 0，则x 的取值范围是________ 3. 函数f （x ）是周期为4的偶函数，当x ∈[ 0 ，2 ]时，f （x ）=x -1，则不等式xf （x ）> 0在[-1，3]上的解集为______ 4. 设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[-1，1）时，f （x ）= -4x 2+2 （-1≤x ＜0），f （x ） = x （0≤x ＜1），则f （3/2）的值为_____ 5. 已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，|x 2-2x+2 1|，若函数y=f （x ）-a 在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围______ 6. 已知函数f （x ）=|lnx|，g （x ）=0 （0＜x ≤1）；g （x ）= |x 2-4|-2 （x ＞1），则方程|f （x ）+g （x ）| = 1 实根的个数为______ 7. 已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则使得f （x ）＞f （2x -1）成立的x 的取值范围是________ 8. 已知函数f （x ）为定义在[2-a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f （-m 2-5a ）＞f （-m 2+2m -2），则实数m 的取值范围是_________ 9. 已知函数{x f 0 x ,3)42(20x 1x loga =+-+≥+）（＜，），（a x a x （a ＞0且a ≠1），在R 上单调递减，且方程|f （x ） |=2又两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
函数零点存在性定理基础题
函数零点存在性定理
专题分段函数与函数零点答案
函数零点存在性定理.
函数与函数的零点知识点总结
根的存在性证明(零点定理)
函数零点的题型总结
高中数学-函数零点问题及例题解析
函数零点存在性定理图文稿
零点存在定理的教案
导数在函数零点中的应用
函数零点问题(讲解)
函数的零点及应用
函数的零点问题(讲解)
函数应用、零点、二分法知识点和练习
函数的应用函数的零点
新高一数学第16讲-函数的零点与应用问题
零点存在定理的应用
函数的性质及其零点应用问题