北大无线通信课件：第四章-讲

第四章e无线电信号传输II: Small-Scale Fading and Multipath Small-Scale Fading 是描述信号在很短距离或短时间内迅速起伏的模型。因此，在研究这类问题时,信号的Large-Scale 衰落效应将被忽略。Fading来自于多径信号相干叠加的结果。

4．1．Small-Scale 多径传播

多径是引起无线电信道中的Small-Scale fading 效应的

根源。它对信道的最主要影响表现为：

（１）接收信号在很小距离上或短时间内的迅速变化。（２）信号受到一随机的频率调制，调制频率是Doppler频移。

（３）由多径引起的信号延时扩展。

一般地讲，MS收到的信号是来自很多途径信号的叠加。由于多径信号的相位差异，多径的信号中的一些使

信号增强，而另一些使信号消弱。因此，在MS和环境

都静止的情况下，信号在空间上的起伏大约在波长范围

以内；而在高速移动的MS情况下或多径环境迅速变化

时，我们还必须考虑Doppler效应对Small-Scale fading

的影响。

4．1．2．Doppler 频移及信号衰落

考虑一个以恒定速度v 运动的MS, 它沿X 到Y 的移动距离为d 。 它接收来自S 的信号（见图４-１）。 由远场近似可知：从X 到Y 的接收信号路程差为

=?d cos θ

= V t ?cos θ。 由这一路径差引起的相差为：

λ

θ

π?cos 2t V ?=

? （４-１）

所以Doppler 频移为：

t

f

d

??=

?π

21＝

θ

λ

cos V

（４-２）

从下面的简单模型（如图４-２所示）可以看出, Doppler 频移对信号的衰减作用。移动站接收的直达信号为：

])2(exp[)

1(t V

f

j A S

f

r

λ

π-

= （４-３a ）

发射信号为：

])2(exp[)2(t V

f

j A S

f

r

λ

π+

= （４-３b ）

接收信号之和为： =

S r S S

r

r

)2()1(-

＝２A sin t f j t V

f πλ

π2exp 2

(4-4)

它是由Doppler 频移引起的。

图4-1 MS 相对BS 运动示意图。

由上式看出，信号A 经历了一个周期为V

T

λ

=

的衰落调制。

图4-2 多谱勒效应引起的fading

在随机多径情况下θ的可能值分布在０～

2π,Doppler 效应使信号带宽增加。

4．2．多径信道的冲击响应模式 (Impulse Response Model

of a Multipath Channel)

MS 接收信号的Small-Scale 变化可由冲击响应来分析，因为冲击响应给出了信道宽带响应的特性， 它提供了分析任何信号通过信道的信息。 一个移动通讯信道可以由一个参数随时间变化的线性滤波器来描述。参数随时间变化是由移动站运动或环境的变化引起的。

图4-3 MS 以恒定速度相对BS 运动的示意图。

设：MS 如图4-3所示， 线性滤波器响应可写为：

),(t d h ， 则接收信号与发射信号可写为：

?-=∞

-t

d t d h x t y τ

ττ),()()( （4-5）

若MS 的运动速度为v, 则上式写为：

?-=∞

-t

d t vt h x t d y τ

ττ),()(),( （4-6）

因为 y 只是 t 的函数，（4-2）又改写为：

),()()(t vt h t x t y ?=

（4-7）

进而， 如果v

是常数（至少在一小段时间内可以这样

假设），x 和y 为发射和接收波形，τ代表多径时延，则有：

?=∞

∞

-τ

ττd t h x t y ),()()(=),()(τt h t x ? （4-8）

由于信道是一个限带信道，),(t vt h 可以等价地用复的基带冲击响应),(t vt h b 来表示：

),(2

1)(21)(21τt h t c t r b ?

=

（4-9）

式中： )}2exp()(Re{)(t f j t c t x c π=

（4-10） })2exp()(Re{)(t f j t r t y c π=

（4-11）

)}2exp(),(Re{),(f j t h t h c b πττ=

（4-12）

我们采用等间隔量化的方法来描述延时：τττ?=-+i i 1. 令τ0= 0, 定义了τi 为Excess delay. 延时在τ1+i 与 τi 之间的信号用一个可分辨的τi 表示。 通常表述为：τ

τ?=i i

，

（ i = 0, 1, 2, … N-1）， N 表示所有可能的等间距多径分量。 这个模型的频域跨度为 1/2τ?. 也就是说，这个模型可用于分析带宽为 1/2τ?的发射信号。

在多径信道中接收信号包含了发射信号的一系列复制品, 他们经历了不同的衰落, 时延和相移。 因此，信道的基带冲击响应可写为：

)]([)],()(2exp[),(),(1

t t t f j t t h i N i i i c i b ττδτφτπτατ-∑+=-= （4-13）

上式中),(ταt i ,τi 和),()(2τφτπt t f j i i c +分别代表第i

条途径幅度和时延（实数）和相移。一般情况下多径相移用

θi 表示。 图

4-4表示不同时刻的),(τt h

b

冲击响应图。

图4-4 基带冲击响应示意图。

如果信道在 Small Scale time 或distance interval 内不随时

间变化。则（4-13）式可简化为：

)(]exp[)(1

ττδθα

τi N i i i

b j h --=

∑-= （4-14）

在预测信道响应)(τh b 时，采用p(t) = )(T t -δ的发射脉

冲。 这个技术称为：Channel Sounding Technology.

4．2．1． 带宽和接收信号功率

用Channel Sounding Technology 预测多径信道响是

确定实际系统参量的重要手段。 下面， 我们考虑两种极端情况下的Cannel Sounding 测量, 并说明在同一信道中

Small-scale fading 的作用是非常不同的。 （1）宽带信号

考虑发射RF 信号

}2exp{)(Re{)(t f j t p t x c π=

(4-15)

)(t p 是脉宽为T bb 周期为T REP 的脉冲。 信道最大时

延为 τmax 并且T REP >>τmax 。设：)(t p 表达式为

T t p bb

τm ax

2

)(= （T t

bb

≤≤0） (4-16)

信道输出信号为：

)()][exp(2

1)(10

τθαi i N i i t p j t r --∑=

?-=

=)]

[exp(1

θαi N i i j -∑-=T bb

τm ax )

-2

T -rect(t i bb τ

（4-17）

在某时刻的接收功率就为：

)

(02

t r =

?ττm ax

*

m ax

)()(1o

dt

t r t r （4-18）

=?

∑----∑-=-=τθθτταατm ax 101000m ax })]{exp[)()()()(Re{4

1

1o N j i j i j N i i j dt j t p t p t t

如果脉冲p(t) 可用来分辨所有的多径信号， 即：

T bb i i >-=?+)(1τττ.

(4-18) 可写为：

)(02

t r =?

-∑-=ττατm ax 2

1002m ax )}()(Re{4

11o i N i i dt t p t

（4-19）

=

?-

∑-=τττατmax

2

10

02

max

})-2

rect({

)(1

i max

o

N i i dt

T t T t bb bb

（4-20）

=∑-=1

02)(N i i t α

上式表明， 当多径延时可由宽带脉冲信号分辨时，信

号的接收功率就等于各个路径信号功率之和。接收功率是用平均值量度的：

E θα,[P WB ] = ∑-=10

______

2)(N i i t α

（4-21）

E θα, [ ]表示对所有可能的αi 和θi 平均。 我们就可得到如下重

要结论：如果发射信号脉冲是可以分辨多径的, 则 small-scale 接收信号功率等于各径信号功率之和。

(2) 窄带信号 (CW Signal)

令 (4-9)式中的C(t ) =2, 接收信号为:

∑-==

1

)],(exp[)(N i i i

t j t r τθα

(4-22)

接收瞬时功率为：

∑=

-=10

)]

,(exp[)(2

2

N i i i t j t r τθα (4-23)

当接收机在某一小地域移动时, 信号强度会随αi 和θi 变

化而变化。实验表明， αi 的变化很小， 而θi 变化却很快。 因此， 接收功率是一个运动距离的快变化函数。 接收平均功率为：

E θα,[P CW

] ≈

∑∑-∑+-=-=-=101

_

__________10

__2

)cos(2N i N j j i ij N i i r θθα

（4-24）

其中

r ij 是多径幅度相关因子

r ij =][αααj i E

（4-25）

如果__

__________)cos(θθj i -= 0 或r ij = 0， 则接收平均功率等于各个路径平均功率之和。 通常 θi 在 0 ~ 2π内为等概率分布， 所以（4-20）式可写为：

E θα,[P CW

] ≈

∑-=10

__

2

N i i

α （4-26）

因此， 宽带和窄带信号的接收功率平均值相等。 而瞬

时值则有很大差异。

4．3．多径信道参数（Parameter of Mobile Multipath Channels ）

上节（4-20)式是一个极其重要的公式。由它导出的功率延时轮廓图可以确定很多信道参数。这些信道参数是由信道测量的统计平均值得到的。平均值的概念是指在局部地域下测量值的平均值。在450Hz ~ 6GHz 频段内，室内信道的测量范围大约在2米左右，室外信道的测量范围大约为6米。

4．3．1． 时延扩散参数 (Time Dispersion Parameters) 为了比较不同的信道及给出设计信道的考虑参量， 我们将引进一些可以描述信道特征的参数。 例如：基本参数mean excess delay, rms delay spread 和 maximum excess delay spread 。 这些参数都可以由功率延时性质导出。

宽带多径信道的时散（time dispersion ）性质可以由mean excess delay 和 rms delay spread 导出。

首先， 我们定义mean excess 为功率时延轮廓的一阶矩：

∑∑=

∑∑=

k

k k

k k k

k

k

k

k p p )

()(2

2

_

τττα

τατ （4-27）

rms delay spread 定义为两阶的方均根：

)

(_

2

_

2

ττστ-=

（4-28）

式中

∑∑=

k

k k

k k p p )

()(2

_2ττττ （4-29）

上面定义的时延是相对第一个到达信号而言的， 即： 0=τo （4-28）

中rms delay spread 在室内外环境下的典

型值分别为纳秒和微秒数量级。 值得指出的是在实际系统中， 对参数rms delay spread 和 excess spread 的估计是建立在整个BS 覆盖区域内的测量结果上的。

Maximum excess delay 定义是：当时延信号与最大信号比衰落至XdB时所需的时延。其表达式为：τ

-.

τo

x

图4-5门限值的选取示意图。

由上述定义可知，maximum excess delay 一般与检测门限值的设置有关。 图4-5 表示了门限值的选取。

由于信道的功率时延轮廓和频率响应遵从傅立叶变

换。因此，上述特性也可以从信道的频响特性得到。

4．3．2． 相关带宽 （Coherence bandwidth ） 相关带宽是用来量度在信道频带线性范围的统计参量， 即： 信道在多大频率范围内有近似相等的增益， 并且相位的响应是线性的。 1989年， William Y .C. Lee 给出了相关带宽与rms delay spread 的关系。 其结果如下：

如果确定频率的相关函数大于0.9, 则相关带宽 B c 可由下

式给出：

στ

501≈

B c （4-30）

如果确定频率的相关函数大于0.5, 则相关带宽可由下式给出：

στ

51≈

B c （4-31）

应该指出，在一般情况下， 不存在相关带宽与rms delay spread 严格的关系式。 因此在很多情况下，必须借助于频谱分析或仿真的方法得到准确的B c

值。

例题： 利用图4-6给出的测量值估计mean excess delay, rms

delay spread 和相关带宽。 在没有均衡器的情况下， 这样的信道是否适合GSM 或AMPS 系统。

解：利用公式（4-27）可以算出mean excess delay _

τ=

s μ38.41

1.01.001.0)

0(01.02)1.0()1)(1.0()5)(1(=++++++

_

2

τ

=

2

2

2

2

07.211

1.01.001.0)

0(01.02)1.0()1)(1.0()5)(1(s

μ=++++++

rms delay spread 由下式得到： s μστ37.138.407.212

=-= 相关带宽B c

（相关函数大于0.5）：

B c 146

51=≈

στ

KHz

AMPS 信道带宽为30Khz, 因此在没有均衡器的情况下适合

上述信道。

GSM 信道带宽为200Khz, 因此在没有均衡器的情况下不

适合上述信道

图4-6 时延轮廓图

4．3．3． 多谱勒扩展和相关时间（Doppler Spread

and

)

(s μ

Coherence Time ）

时延扩散和相关带宽是描述信道的时延展开参量. 它们并不包括由于MS 移动引起的信道随时间变化的信息。多谱勒频展和相关时间将给出信道在Small-Scale 环境下的估值。

定义多谱勒扩展为B D

， 它是由多谱勒效应引起的频带扩展宽度。 即：如果发射机发射频率为f c ， 由于多谱勒效应， 接收信号谱分布在f c +f D 到 f c -f D 之间。多谱勒频率展宽为：

B D =2f D

（4-32） 一般地讲，f D

与接收机相对BS 运动的速度和角度有关。 如果基带信号带宽远大于多谱勒扩展， 则在接收机方可以忽略多谱勒效应。

相关时间是表现在时域上的多谱勒扩展效应， 它是用来测量信道由频散引起的时域的上变化参量。相关时间T C

与多谱勒扩展成反比：

f

T m

C 1≈

（4-33）

式中f m

=v/c 是最大频移。

相关时间是一个统计量， 即： 在这段时间内冲击响应是不变的。 换句话说， 在这段时间内信道对两接收信号的幅值响应是相关的。显而易见， 当基带信号的互易宽度大于相关时间T C 时，接收信号将会变形。 如果确定时间相关函数大于0.5， 则相关时间由下列公式给出：

f

T m

C

π169=

（4-34）

在现代通讯系统中， 认为（34）式的限制过于严厉而（33）式又过于宽松， 所以通常取他们的几何平均值：

2169f

T m

C π=

=f

m

423.0

（4-35）

由相关时间的定义可知：当两接收信号在时域上的分离大于

T C

时， 它们的相对幅值将受信道影响。

例题: 已知MS 的运动速度为: 50m/s, 通信载波频率 f =

1.9GHz. 求采样速率的下限及Doppler 频散. 解: 取相关因子=0.5

=

T C v

169πλ=

vf

16C 9π= 563s μ

速率下限 > 1/(2

T c

)= 3.5KHz

Doppler 频散: 66

.316v ==

=c

f f

B m

C Hz

4．4． Small-Scale Fading 分类 (Types of Small-Scale Fading)

以上章节介绍了接收信号特性与信道及发射信号（基带信号）的关系。即：接收信号与信号参数和信道参数的关系。 信道中时延扩散和频率色散将导致四种不同的信道响应。

多径时延展宽导致了信号的时延扩展和频率选择性衰落。 多谱勒展宽导致了频率色散和时间选择性衰落。 这两个传播机制是相互独立的。 图4-7表示了这两种响应给信道带来的影响。

图4-7 信道参量图

4．5． 瑞利信道和瑞森信道 (Rayleigh and Ricean

Distributions )

瑞利信道模型是用于描述在多径信道中接收信号包络随时间变化的有效工具。在存在多径传播的随参信道中，就每条路径的信号而言，它的衰耗和时延都是随机变化的。因此，多径传播后的接收信号将是衰减和时延都随时间变化的各路径的信号的合成。

设发射为t A 0

cos ω，则经过n 条路径传播后的接收信号R(t)可用下式表示：

∑∑==-=

-=

n

i i i

n i i i

t t t t t t t R 1

01

0)]

(cos[)()]([cos )()(?ωμ

τωμ

（4－36）

式中)(t i

μ

为第i 条路径的接收信号振幅；)

(t i

τ

为第i 条路

径的传输时延，它随时间不同而变化；

)()(0

t t i

i

τω?-=

（4－37） 经大量观察表明，)(t i μ和)(t i

?随时间的变化与发射载频的周期相比，通常要缓慢得多，即)(t i μ及)(t i

?可以认为是缓慢变化的随机过程。因此，式（4－36）可改写为

∑∑==-

=

n

i i i

n i i i

t t t t t t t R 1

01

0)(sin sin )()(cos cos )()(?ωμ

?ωμ

（4－38）

设:

=

)(t X c ∑=n

i i i

t t 1

)(cos )(?μ

(4－39.a)

∑==

n

i i i

s t t t X 1

)(s i n )()(?μ

(4－39.b)

则式（4-38）变成

)](cos[)(sin )(cos )()(000t t t V t t X t t X t R s c ?ωωω+=-=

(4-40)

式中V(t)为合成波R(t)的包络；)(t ?为合成波R(t)的相位。即有:

)

()()(2

2

t X t X t V s c +=

(4-41.a)

)

()()(t X t X arctg

t c s =?

(4-41.b)

由于)(t i

μ及)(t i

?是缓慢变化的，因而，)(t X s

、)(t X c

及包络V(t)、相位)(t ?也是缓慢变化的。

由式(4-41)可以看出，V(t)及)(t ?与)(t X s

和)(t X c

有关，而)(t X s

及)(t X c

由式（4-39）决定。由这两式可见，在任一时刻t 1上，)(1t X s 及)(1

t X c 是n 个随机变量之和。当n 充分大时（多径传播时通常满足这一条件），在“和”中的每一个随机变量可以认为是独立地出现的且具有均匀的特性。因此，根据概率论中的中心极限定理，可以确认)(1t X s 、)(1

t X c 是高斯随机变量，从而，认为)(t X s 及)(t X c

是平稳的高斯过程，因此V(t)的一维分布就服从瑞利分布，而)(t ?的一维分布为均匀

分布。

)2exp()(2

22

σ

σ

r r r p e e

e -

=

（4-42）

典型的瑞利分布见图（4-8）。

瑞利信道模型主要用于在发射机和接收机之间无直达波的情况。

在发射机和接收机之间有明显的直达波时，瑞森信道模型更符合实际。 它的数学表达式为：

???

???

?≥≥≥≥+-=0

,

000

,0)(]2exp[)(2

022

22r A r A Ar I A

r r r p σσσ

(4-43)

式中： A 和()0

I

分别是主信号（直达波）幅值和零阶Bessel

函数。

图4-8 Rayleigh 分布图。

4.6.Clarke 模型

1968年，Clarke 基于散射导出了适用于“Flat channel”模型。

Flat channel：信号带宽小于信道的相关带宽。时延扩展小于信号符号（Symbol）的宽度。

假设：电矢量是垂直水平面极化

接收信号来自水平面上N个幅度相等的平面波，其方位和项角是随机分布的。

图4-9描述了一个以速度v行使的移动站：移动站沿x 方向运动，入射波夹角为 。

图4-9 到达移动站信号示意图。

第n条路径的Doppler 频移为