2020年中考数学压轴题必考题型一次函数问题考点专练(pdf,含解析)

2020 中考数学压轴题：一次函数问题考点专练

【典例分析】

【考点 1】行程问题

【例 1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米. 甲从小区步行去学校，出发 10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5 米. 设甲步行的时间为x (分)，图 1 中线段OA 和折线B -C -D 分别表示甲、乙离开小区的路程y (米)与甲步行时间x (分)的函数关系的图象；图 2 表示甲、乙两人之间的距离s (米)与甲步行时间x (分)的函数关系的图象(不完整).根据图 1 和图 2 中所给信息，解答下列问题：

(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

(3)在图 2 中，画出当25 ≤x ≤ 30 时s 关于x 的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

【答案】(1)甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米；(2)乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是 700 米；(3)图象如图所示见解析.

【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）根据函数图象中的数据可以求得 OA 的函数解析式，然后将 x=18 代入 OA 的函数解析式，即可求得点E 的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．【详解】

(1)由题意，得：甲步行的速度是2400 ÷ 30 = 80 (米/分)，

∴乙出发时甲离开小区的路程是80?10 = 800 (2)设直线OA 的解析式为: y =kx (k ≠ 0) ，∵直线OA 过点A(30, 2400)，

∴ 30k = 2400 ，

解得k = 80 ，

∴直线OA 的解析式为: y = 80x .

∴当x = 18 时，y = 80 ?18 = 1440 ，

∴乙骑自行车的速度是1440 ÷(18 -10)= 180(米).

(米/分).

∵乙骑自行车的时间为25 -10 = 15 (分)，

∴乙骑自行车的路程为180?15 = 2700 (米).

当x = 25 时，甲走过的路程是y = 80x = 80 ? 25 = 2000 (米)，

∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是2700 - 2000 = 700 (3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分），

乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），

当25≤x≤30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如图所示．

(米).

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

【变式1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y (km)与小王的行驶时间x (h)之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．

【答案】（1）小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；（2）y=30x-30(1≤x≤1.5)．【解析】(1)根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；

(2)根据(1)中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．

【详解】

解：（1）由图可得，

小王的速度为：30 ÷ 3 = 10km / h ，

小李的速度为：(30 -10 ?1) ÷1 = 20km / h ，

答：小王和小李的速度分别是10km / h 、20km / h ；

（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30 ? 20 = 1.5h ，

当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10 ?1.5 = 15km ，

?

? ∴点C 的坐标为(1.5,15) ，

设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式为 y = kx + b ，

?k + b = 0 ?1.5k + b = 15 ，解得?k = 30 ，

?

b = -30

即线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式是 y = 30x - 30(1 ≤ x ≤ 1.5) ．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中 xy 所表示的对象量，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

【变式 1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式， 小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离 y(km)与出发时间之间的函数关系式如图 1 中线段 AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 S(km)与出发时间 x(h)之间的函数关系式如图 2 中折线段 CD-DE-EF 所示.

（1） 小丽和小明骑车的速度各是多少？ （2） 求 E 点坐标，并解释点的实际意义.

【答案】（1）V

=16 (km / h ) ，V

=20 (km / h ) ；（2）E(

9 , 144

) 实际意义为小明到达甲地. 小丽

小明

5 5

【解析】(1)观察图 1 可知小丽骑行 36 千米用了 2.25 小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽 的速度，观察图 2 可知小丽与小明 1 小时机遇，由此即可求得小明的速度；

(2)观察图 2，结合两人的速度可知点 E 为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可.

【详解】

(1)V 小丽=36÷2.25=16(km/h)， V 小明=36÷1-16=20(km/h)； (2)36÷20= 9

(h)，

5 16× 9 = 144 (km)，

5 5

所以点 E 的坐标为( 9 ， 144

)，

5 5 实际意义是小明到达了甲地.

【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的关键.

【考点 2】方案选择问题

【例 2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6 元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为7 元/kg ；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg ，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 x kg (x 0) ． （Ⅰ）根据题意填表：

（Ⅱ）设在甲批发店花费 y 1 元，在乙批发店花费 y 2 元，分别求 y 1 ， y 2 关于 x 的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空：

①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发

店一次购买苹果的数量为kg；

②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中的

批发店购买花费少；

③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 360 元，则他在甲、乙两个批发店中的_批发店购买数量多．

【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ）y

1

=6x(x>0)；当0

时，y

2=5x+100．（Ⅲ）①100；②乙；③甲．

50 时，y

2

= 7x ；当x > 50

【解析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6 元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg．可以分别把表一和表二补充完整；

（Ⅱ）根据所花费用=每千克的价格?一次购买数量，可得出y

1、y

2

关于 x 的函数关系式，注

意进行分段；

（Ⅲ）①根据y

1 =y

2

得出 x 的值即可；②把 x=120 分别代入y

1

和y

2

的解析式，并比较y

1

和y

2

的大小即可；③分别求出当y

1 = 360 和y

2

= 360 时 x 的值，并比较大小即可．

【详解】

解：（Ⅰ）当 x=30 时，y

1=30?6=180，y

2

=30?7=210

当 x=150 时，y

1=150?6=900，y

2

=50?7+（5150-50）=850

故答案为：180，900，210，850．（Ⅱ）y

1

= 6x (x > 0) ．

当0

2

= 7x ；

当x > 50 时，y

2 = 7 ? 50 + 5(x - 50) ，即y

2

= 5x + 100 ．

（Ⅲ）①∵ x > 0 ∴6x ≠ 7x

∴当y

1 =y

2

时，即 6x=5x+100

∴x=100

故答案为：100 ②∵x=120 > 50 ，

∴ y

1 = 6?120 = 720 ；y

2

= 5?120 +100=700

∴乙批发店购买花费少；

故答案为：乙

③∵当 x=50 时乙批发店的花费是：350

∵一次购买苹果花费了 360 元，∴x>50

∴当y

1

= 360 时，6x=360，∴x=60

∴当y

2

= 360 时，5x+100=360, ∴x=52

∴甲批发店购买数量

多．故答案为：甲

< 360

【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

【变式 2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 30 元.

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).

(1)请分别写出y1，y2 与x之间的函数表达式.

(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.

【答案】(1) y

1 = 30x + 200; y

2

= 40x ；(2)当x > 20 时选择方式一比方式二省钱.

【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可；(2)根据题意，列出关于 x 的不等式进行解答即可. 【详解】

(1) y

1

= 30x + 200 ，

y

2

= 40x ；

(2)由y

1

2

得：30x + 200 < 40x ，

解得：x > 20 ，

∴当x > 20 时选择方式一比方式 2 省钱，

即一年内来此游泳馆的次数超过 20 次时先择方式一比方式二省钱.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知识解答.

【变式 2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；

（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

【答案】（1）y

甲= 20x ，y

乙

=10x +100 （2）见解析

【解析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；

（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．【详解】

（1）设y甲=k1 x ，根据题意得5k1 =100 ，

解得k

1

= 20 ，

∴ y

甲

= 20x ；

设y

乙=k

2

x +100 ，根据题意得：

20k

2

+100 = 300 ，

解得k

2

= 10 ，

∴ y

乙

= 10x +100 ；

（2）① y甲

② y

甲=y

乙

，即20x = 10x +100 ，解得x = 10 ，当入园次数等于 10 次时，选择两种消费卡费用

一样；

③ y

甲>y

乙

，即20x > 10x +100 ，解得x > 10 ，当入园次数大于 10 次时，选择乙消费卡比较合

算．

【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．

【考点 3】最大利润问题

【例 3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件 30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元．设销售单价为x 元，平均月销售量为 y 件．（1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．

（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？

（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元；（3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950 元．

【解析】（1）当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，再把 80 加上就是平均月销售量；

（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；

（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的 x 值及最大利润．

【详解】

解：（1）由题意得：y＝80+20× 60 x

10

∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）

（2）由题意得：

（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800

解得 x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）

答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元．

（3）设每月获得的利润为 w 元，由题意得：

w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450

＝﹣2（x﹣65）2+2000

∵﹣2＜0

∴当x≤65 时，w 随 x 的增大而增大

∵30≤x≤60

∴当 x＝60 时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950

答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元．

【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．

【变式3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少 4 元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000 元购进乙种水果的数量相同．

（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？

（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克 20 元，乙种水果的销售价定为每千克 25 元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】（1）甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元；（2）水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元．

【解析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3 倍，且购买资金不超过3420 元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答本题．

【详解】

（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是(x + 4) 元，

800

=1000 ，

x x + 4

解得，x = 16 ，

经检验，x = 16 是原分式方程的解，

∴ x + 4 = 20 ，

答：甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元；

（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果(200 -a) 千克，利润为w元，

w = (20 - 16)a + (25 - 20)(200 -a) =-a + 1000 ，

∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，?a 3(200 -a)

?，

?16a + 20(200 -a) 3420

解得，145 ≤a ≤ 150 ，

∴当a = 145 时，w取得最大值，此时w = 855 ，200 -a = 55 ，

答：水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元．

【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

∴

?

?

【变式 3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为 50 元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于 90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示：

（1） 根据图象，直接写出y 与x 的函数关系式；

（2） 该公司要想每天获得 3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元 （3） 销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）y ＝﹣2x +260；（2）销售单价为 80 元；（3）销售单价为 90 元时，每天获得的 利润最大，最大利润是 3200 元．

【解析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；

（2） 根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；

（3） 设每天获得的利润为 w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．

【详解】

（1）设y ＝k x +b （k ≠0，b 为常数） 将点（50，160），（80，100）代入得 ?160 = 50k + b ?100 = 80k + b 解得?k = -2 ?b = 260

∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +260 （2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +260）＝3000

化简得：x 2﹣180x +8000＝0

解得：x 1＝80，x 2＝100 ∵x ≤50×（1+90%）＝95

∴x 2＝100＞95（不符合题意，舍去）答：销售单价为 80 元．

（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得

w ＝（x ﹣50）（﹣2x +260）

＝﹣2x 2+360x ﹣13000

＝﹣2（x ﹣90）2+3200 ∵a ＝﹣2＜0，抛物线开口向下

∴w 有最大值，当x ＝90 时， w 最大值＝3200

答：销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元．

【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大． 【考点 4】几何问题

【例 4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点 B (1, 0) 的直线l 1 与直线l 2 ： y = 2x + 4 相交于点 P (-1, a ) .

（1） 求直线l 1 的解析式； （2） 求四边形 PAOC 的面积.

? ?-k + b = 2

【答案】（1） y = - x +1；（2

） 5

2

【解析】（1）根据 P 点是两直线交点，可求得点 P 的纵坐标，再利用待定系数法将点 B 、点 P 的坐标代入直线 l 1 解析式，得到二元一次方程组，求解即可.

（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点 C （0，1），由S 四边形PAOC = S ?PAB - S ?BOC 可求得四边形 PAOC 的面积 【详解】

解：（1）∵点 P 是两直线的交点，将点 P （1，a ）代入 y = 2x + 4 得2 ?(-1) + 4 = a ，即a = 2 则 P 的坐标为(-1, 2) ，

设直线l 1 的解析式为： y = kx + b (k ≠ 0) ，

那么?k + b = 0 ，

?

解得： ?k = -1 .

?

b = 1

2 ∴l 1 的解析式为： y = - x +1.

（2）直线l 1 与 y 轴相交于点C ，直线l 2 与 x 轴相交于点 A ∴ C 的坐标为(0,1) ， A 点的坐标为(-2, 0) 则 AB = 3 ，

而S 四边形PAOC = S ?PAB - S ?BOC ， ∴ S 四边形PAOC

= 1 ? 3? 2 - 1 ?1?1 = 5 2 2 2

【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 【变式 4-1】

（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 1 分别交 x 轴和 y 轴于点 A (-3, 0), B (0,3) .

(1) 如图 1，已知 P 经过点O ，且与直线l 1 相切于点 B ，求 P 的直径长；

(2) 如图 2，已知直线l 2 : y = 3x - 3 分别交 x 轴和 y 轴于点C 和点 D ，点Q 是直线l 2 上的一个动

点，以Q 为圆心， 2 为半径画圆.

①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线l 1 与 Q 相切；

②设 Q 与直线l 1 相交于 M , N 两点， 连结QM , QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得?QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

P 的直径长为3 ；(2) ①见解析；②存在这样的点Q 1 (3 - 2, 6 - 3 2) 和

2

2 Q 2 (

3 + 2, 6 + 3 2) ，使得?QMN 是等腰直角三角形.

【解析】（1）连接 BC ，证明△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC=AB ，即可求解；

（2） 过点C 作CE ⊥ AB 于点 E ，证明 CE=ACsin45°=4×

2 =2 2

=圆的半径，即可求解；

（3） 假设存在这样的点Q ，使得?QMN 是等腰直角三角形，分点Q 在线段CF 上时和点Q 在

线段CF 的延长线上两种情况，分别求解即可． 【详解】

（1）如图 3，连接 BC ，

∵∠BOC=90°， ∴点 P 在 BC 上，

∵⊙P 与直线 l 1 相切于点 B ， ∴∠ABC=90°，而 OA=OB ， ∴△ABC 为等腰直角三角形， 则⊙P 的直径长=BC=AB=3 (2)如图 4 过点C 作CE ⊥ AB 于点 E ，

2

2 2

图 4

将 y = 0 代入 y = 3x - 3 ，得 x = 1 ， ∴点C 的坐标为(1, 0) . ∴ AC = 4 ， ∵ ∠CAE = 45? ，

∴ CE =

2 AC = 2 .

2

∵点Q 与点C 重合，

又 Q 的半径为2 ， ∴直线l 1 与 Q 相切.

②假设存在这样的点Q ，使得?QMN 是等腰直角三角形， ∵直线l 1 经过点 A (-3, 0), B (0,3) ，

∴ l 的函数解析式为 y = x + 3 .

记直线l 2 与l 1 的交点为 F ， 情况一：

如图 5，当点Q 在线段CF 上时，

由题意，得∠MNQ = 45? . 如图，延长 NQ 交 x 轴于点G ，

2 2 2

图 5

∵ ∠BAO = 45?，

∴ ∠NGA = 180? - 45? - 45? = 90? ， 即 NG ⊥ x 轴，

∴点Q 与 N 有相同的横坐标， 设Q (m , 3m - 3) ，则 N (m , m + 3) ， ∴ QN = m + 3 -(3m - 3) .

∵ Q 的半径为2 ，

∴ m + 3 - (3m - 3) = 2 2 ， 解得m = 3 - ， ∴ 3m - 3 = 6 - 3 ∴ Q 的坐标为(3 - 情况二：

，

2, 6 - 3 2) . 当点Q 在线段CF 的延长线上时，同理可得m = 3 + ， Q 的坐标为(3 + 2, 6 + 3 2) .

∴存在这样的点Q 1 (3 - 2, 6 - 3 2) 和Q 2 (3 + 2, 6 + 3 2) ，使得?QMN 是等腰直角三角形.

【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．

2

3y =

3

x 【变式 4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0 , 2) ，动点P 在3

的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P作PQ⊥AP，交x 轴于点Q，连接AQ．

（1）求线段AP 长度的取值范围；

（2）试问：点P 运动过程中，∠QAP 是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．

（3）当?OPQ 为等腰三角形时，求点Q 的坐标．

【答案】（1）AP≥；（2）∠QAP为定值，∠QAP=30°；（3）Q

1

(2 + 4 , 0) ，Q2 (2 - 4 , 0)，Q3 (-2 , 0) ，Q (

2 3

, 0)

4 3

【解析】（1）作AH ⊥OP ，由点P 在y =

解；

3

x 的图像上知：∠HOQ = 30?，求出 AH，即可得

3

（2）①当点P 在第三象限时，②当点P 在第一象的线段OH 上时，③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时，分别证明Q 、P 、O 、A 四点共圆，即可求得∠QAP =30°；

（3）分OP =OQ ，PO =PQ ，QO =QP 三种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）作AH ⊥OP ，则AP ≥AH

3 3

3