7.6 空间直线及其方程
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
:L2
:L2
x xm1 1my2 yn11n2 zpz11p,2
m1 xx2
m2
mm 12ynn2nn1y122
ppz12pp,21z2
,
0,
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
定义8 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为
M1( x1, y1, z1 ), 为直线外一点，
M1
求M1到直线的距离d .
S平行四边形 d v
d
M0
v
L
d S平行四边形 M0M1 v
v
v
1 熟记直线的几种方程
2 直线与平面的位置关系
3
点到直线的距离
4
*杂例
1. 求直线
x 2y z 3 0
2x
y 2z
6
0
对称式方程。
x 3 t
2.空间直线的对称式方程与参数方程
定义6 如果一非零向量平行于一条已知直线，这 个向量称为这条直线的方向向量．
v {m, n, p},
M0( x0 , y0 , z0 ),
M( x, y, z), z
M L, M 0 M // v
L
M0M {x x0 , y y0, z z0}
x x0 y y0 z z0
2．一直线通过A(2,2,1)
且与直线
y
t
平行，求此
z 1 2t
直线的方程．
3．求直线 x 1 y z 3
1 4 1
和直线
x 2
y 2 z 的夹角．
2 1
4．求通过直线
高等数学 第5讲 空间直线及其方程
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B,C )
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L
sn sn
Am Bn C p m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
D1 D2
0 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
m n
t t
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
比例，所以对于任何一个 值，方程(3)的系数：
A1 A2、B1 B2、C1 C2不全为零，从而方程(3)表示
空间直线及其方程
空间直线及其方程Newly compiled on November 23, 2020第六节 空间直线及其方程Straight Line in Space and Equation教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两直线的位置关系,并会建立直线方程.课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的条件.教学重点: 空间直线的图形及其方程教学难点: 空间直线方程的求解教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程教学内容:一、直线的标准方程如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量.设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =---,且0M M s ,则有(1)(1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数.【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即由式(1)可得直线方程为【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程.解 取12{3,6,9}M M =为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为即注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行;2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的;3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零.由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为称此方程为直线的两点式方程.二、直线的参数方程令直线的标准方程000x x y y z z t m n p---===,则有 000x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ (t 为参数)(2) 方程(2)称为直线的参数方程.显然直线上任一点都对应唯一确定的t 值.反之,每取定一个t 值,都得到一个确定的点.直线的标准方程可化为参数方程.反之,由直线的参数方程消去参数t ,即得标准方程.三、直线的一般方程空间直线L 可以看作是过该直线的两个不重合的平面1π和2π的交线.如果平面1π的方程为11110A x B y C z D +++=,2π的方程为22220A x B y C z D +++=,那么直线L 上的任一点,既在平面1π上,又在平面2π上,因此直线L 上的任一点的坐标都满足方程组(3) 反之,不在直线L 上的点,不能同时在平面1π和2π上.即不在直线L 上的点,不满足方程组(3), 方程组(3),是直线L 的方程,称方程组(3)为直线的一般方程,其中111,,A B C 与22,,A B 2C 不成比例.由于过直线L 的平面有无穷多个,可以任取两个,将其联立,便得直线L 的一般方程.因此,直线L 的一般方程不是唯一的.【例3】 将直线的一般方程化为标准方程.解 首先,求此直线上一个点的坐标,为此先选定该点的一个坐标,例如,设1z =,代入原方程组,得解之,得2,0x y ==.于是得该直线上一定点(2,0,1).其次,确定直线的一个方向向量.由于直线L 在两个平面上,所以L 与两个平面的法向量12,n n 都垂直.因此可以选取12⨯n n 为直线L 的方向向量s :于是得直线的标准方程为四、两直线的夹角，平行与垂直的条件两直线1L 和2L 的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两条直线的夹角,通常记为ϕ.设1L 和2L 的方程分别为它们的方向向量分别为11112222{,,},{,,}m n p m n p ==s s .故它们的夹角θ若不大于2π,则ϕθ=;若θ大于2π,则ϕπθ=-,故1L 和2L 的夹角ϕ的余弦为 由此得两直线1L 和2L 平行的充要条件是两直线1L 和2L 垂直的充要条件是【例4】 一直线通过点0(3,2,5)M -,且与平面430,2510x z x y z --=---=的交线平行,求该直线的方程.解 由于所求直线与两平面的交线平行,故可取两平面交线的方向向量为所求直线的方向向量.即故所求直线方程为即【例5】 试判定下列直线和平面的位置关系.(1)24x y z ==和4210x y z ++-=; (2) 123302x y z ---==和80y -=.解(1)直线的方向向量111,,24⎧⎫=⎨⎬⎩⎭s,平面的法向量{4,2,1}=n,显然111:4:2:124==,故s n,所以,直线与平面垂直.(2) 直线的方向向量{3,0,2}=s,平面的法向量{0,1,0}=n,显然,0⋅=s n,故⊥s n,所以,直线与平面平行.课堂练习:1.将直线方程121513x y z-+-==-化为参数方程.2.写出各坐标轴的一般方程.小结:学习了直线的三种方程,两直线的夹角、平行与垂直的条件.要求理解空间直线的概念，熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程，会判断两直线的位置关系，并会建立直线方程。
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
空间直线的一般方程
2 2 2 2 2 2
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0,
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例如， 直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
l
M1
解
设所求直线为l , 先求两直线的交点。
M0
L
过点M0做平面垂直于直线L： 3x+2y-z=5 x 1 3 t L的参数方程： y 1 2t 代入平面方程 z t
所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7)
取 s kM 0 M1 {2,1,4}
z
1 2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件
• 由两个平面确定一条直线；
• 由空间的两点确定一条直线；
• 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
如果一非零向量 s 平行于 一条已知直线L，向量 s 称为
直线L的方向向量． 设定点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) L,
所求直线方程
m 4p 0 m n p s n1 , s n2 4 3 1 2m n 5 p 0
取 s {4,3,1}
例 5 一直线过点 M0(2,1,3)， 且与直线 L: 直相交，求其方程.
x 1 y 1 z 垂 3 2 1
x 5 y z 0 例7 求过直线: 且与平面 x 4 y x z 4 0, 8 z 12 0 组成 角的平面方程. 4 解 过已知直线的平面束方程为
空间及其直线方程
∀ M ∈ L,
r M 0 M // s
r s = { m , n, p}, M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
直线的点向式（对称式） 直线的点向式（对称式）方程 x − x 0 y − y0 z − z0 = = =t 令 p m n
x = x 0 + mt y = y 0 + nt z = z + pt 0
直线的参数方程
直线的一组方向数 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦 方向余弦. 直线的方向余弦
例1
用点向式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
两直线的位置关系： 两直线的位置关系：
(1) L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0, m1 n1 p1 = = , ( 2) L1 // L2 ⇐⇒ m 2 n2 p2 r 例如， 例如， 直线 L1 : s1 = {1,−4, 0}, r 直线 L2 : s2 = {0,0,1}, r r r r Q s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
x +1 y −1 z 令 = = =t 3 2 −1
x = 3t − 1 ⇒ y = 2t + 1. z = −t
3 代入平面方程得 t = , 7
交点 N ( ,
2 13 3 ,− ) 7 7 7
空间直线及其方程29977资料
2
空间直线的一般方程
L
o
y
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z C2z
D1 D2
0 0
x
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义：
z s
L
如果一非零向量平行于一
条已知直线，这个向量称为
这条直线的方向向量．
o
y
记为s （m, n, p）.
x
直线的任一方向向量的三个坐标m,n,p叫做 该直线的一组方向数.
4 -1 3
解 已知直线的方向向量为 s1 (4，-1，3)， 依题意,所求直线与已知直线平行,
故可取直线的方向向量 s s1 (4, 1, 3),
因此所求直线方程为
x2
y3
z4 .
4 -1 3
例2 用对称式方程及参数方程表示直线：
x y z 2x y
方向向量的余弦称为直线的方向余弦.
整理发布
建立直线方程
设M0( x0 , y0 , z0 ), s （m, n, p）.
M(x, y, z) L,
z s
L
有 M0M （x x0, y y0, z z0）
且 M0M// s
M0
o
即 x x0 y y0 z z0
思考题解答
s (2m,n,6
s
k
0,
s
p),
i
且有
0,
s
0.
s62m0,p0n00,p 6, m 0, 故当 m 0, n 0, p 6 时结论成立．
空间直线及其方程
三、直线与平面
注意
当直线与平面垂直时,直线在平面上的投影为点，此 时规定直线与平面的夹角为
三、直线与平面
设直线的方向向量为s=（ m,n,p, ）平面的法向量为n=
（ A,B,C, ）直线与平面的夹角为φ,则
，所以
.由两向量夹角余弦的坐标表示式,有
三、直线与平面
【例6】
设直线
，平面π:x-y+2z=3，
一、空间直线方程
同时，这个平行六面体的体积V还可表示为高与底面积的乘 积，即V=d·s1×s2，从而有 由两直线不平行，可知s1×s2≠0，故有
二、两直线的夹角及位置关系
1. 两直线的夹角
把两直线的方向向量的夹角φ称为两直线的夹角，由于方向 向量有两个方向，这里同样约定
设直线L1和L2的方向向量分别为s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，
一、空间直线方程
【例3】
已知直线的一般方程
试求其
点向式方程及参数方程. 解 首先任求直线上的一点，如令x=1，可得到 解得y=-1,z=2，于是点1,-1,2在直线上.
设两平面的法向量分别为n1，n2，直线的方向向量为s，则
一、空间直线方程
因此，直线的点向式方程为
令 程为
，得所给直线的参数方
一、空间直线方程
求直线与平面的夹角.
解 直线L的方向向量为s=（ 2,-1,2, ）平面π的法向量
为n=（ 1,-1,2, ）则L与π的夹角φ满足
因此，L与π的夹角φ为
三、直线与平面
2. 直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有两种情况：相交（包含垂直）， 平行（包含在平面上）.设直线L的方向向量为s=m,n,p,平面π 的方程为Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n=A,B,C,则L与π垂直、 平行的充要条件分别为：
空间直线及其方程
例如, 当
直线方程为
3. 参数式方程
设
得参数式方程 :Biblioteka 例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
,得
是直线上一点 . 再求直线的方向向量 已知直线的两平面的法向量为
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
解题思路:
先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
t
是直线上一点
习题课
三、杂例
例4. 求与两平面 x–4z=3 和2x–y–5z=1的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
解: 所求直线的方向向量可取为
利用点向式可得方程
例5. 求直线
的交点 . 解: 化直线方程为参数方程
与平面
代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.
例6. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，
因此其一般式方程
(不唯一)
1 2
2. 对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，则这个向量叫做 这条直线的方向向量。
已知直线上一点
和它的方向向量
设直线上的动点为
L
则
故有
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
在平面 故应有：
得
从而得投影直线方程
这是投影平面 这是给定的平面
例8.
一直线过点
且垂直于直线
又和直线
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积. 的方向向量为
面的法向量为
则所求直线的方向向量