探究化归与转化思想在高中数学中的应用2

- 1 - 探究化归与转化思想在高中数学中的应用 在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化，归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之——化归和转化的思想方法。 数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。 世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”，的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。 由于转化具有多向性，层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。 在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。 下面谈谈化归与转化思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型。 1、 正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。

例1、 已知函数14)(2axxxf在（0，1）内至少有一个零点，试求实数a的取值范围。 分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理。 解：（法一）当函数14)(2axxxf在（0，1）内没有零点时0142axx在（0，1）内

没有实数根，即在（0，1）内，xxa14.

而当x（0，1）时，414214xxxx，得,414xx。 要使xxa14，必有4a 故满足题设的实数的取值范围是,4 （法二）设14)(2axxxf，对称轴为8ax，注意到01)0(f，故对称轴必须在y轴的右侧。 (1) 当180a时，即80a，

有Raaafa,440)0(,0162或44aa或，此时84a； (2)当18a时，有,5050)1(aaf此时有8a。 - 2 -

综合（1）（2）得实数的取值范围是,4 点评：运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力，分类讨论能力和较强的洞察力（注意到),01)0(f有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确。“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处。

2、一般与特殊的转化

当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。 例1：设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___________. 分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：312,,SSS成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算. 略解：qaaS112 2111311,qaqaaSaS ∵1322SSS ∴12111222aqaqaa(a1≠0) ∴q=－2或q=0（舍去） 例2：设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC，则四棱锥B—PAQC的体积为： A．61V B．41V C．31V D．21V 分析：P、Q运动四棱锥B—PAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决 略解：取P与A重合，Q与C重合的特殊情况 VVVVABCCCACBPAQCB3111

3、主与次的转化 利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。

例1:（2006年四川卷文21题）已知函数,5)()(,13)(3axxfxgaxxxf其中)(xf是的)(xf的导函数。 （Ⅰ）对满足11a的一切a的值， 都有,0)(xg求实数x的取值范围； （Ⅱ）（略） 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然

可a将视作自变量，则上述问题即可转化为在1,1内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。

解：（Ⅰ）由题意2335gxxaxa 令,53)3()(2xaxa 11a - 3 -

对11a，恒有0gx，即0a ∴1010 即22320380xxxx 解得213x

故2,13x时，对满足11a的一切a的值，都有0gx 22axx≤0对]1,1[x上恒成立，求实数a的取值范围.

例2、对任何]1,1[a函数axaxxf24)4()(2的值总大于0，则实数x的取值范围是：_______ 分析：对于例2：我们也可以转化为例1的形式 只需视)(xf为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：

略解：令)2()2()2()(2xxaxxg为关于a的一次函数，

由图像知 0)1(0)1(gg 或x＜1或x＞3 4、常量与变量的转化 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。

例2、 已知曲线系kC的方程为14922kykx,试证明:坐标平面内任一点()0,)(,baba,在kC中总存在一椭圆和一双曲线过该点. 分析：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当

kC944时，或kk表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间)4,(和(4,9)内分别存在k

值,使曲线kC过点(a,b).

解：设点()0,)(,baba)在曲线kC上,则14922kykx整理得 0)9436()13(22222bakbak ①

.05)9(,05)4(),9436()13()(2222222afbfbakbakkf令 可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在)4,(和(4,9)内分别有一根,即对 平面内任一点(a,b),在曲线系kC中总存在一椭圆和一双曲线通过该点. 点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解析几何中用的较普通。 5、特殊与一般的转化 - 4 -

一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。

例3、 已知向量)sin2,(cos),sin2,(cos2211OBOA，

若),sin,(cos11OA)sin,(cos22OB，满足0OBOA，则OAB的面积OABS等于 。 分析：可取21,的某些特殊值代人求解。

解：由条件0OBOA可得0)cos(21。利用特殊值，如设0,221代 入，则)0,1(),2,0(BA，故面积为1。

例4、已知函数)10()(aaaaaxfxx且,求)10099()1002()1001(fff 的值. 分析:直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系.

解:)1()(xfxf aaaxxaaaxx11=aaaxxaaaax

=aaaxxxaaa=1aaaaxx 于是)10099()1002()1001(fff =)10050()10051()10049()10098()1002()10099()1001(fffffff =2992`1491 点评：一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。 6、 等与不等的转化 相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果。

例5、已知ba,都是实数，且11122abba求证：122ba。 分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求a与b之间的关系。

解：,2)1(1222baba2)1(1222abab， 11122abba

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