2019届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课件
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f (x )，g (x )的奇偶性，那么函数f (x )±g (x )，f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论？提示在函数f (x )，g (x )公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)；(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f 32______.答案1解析f 32＝f －124×－122＋2＝1.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()A ．－13 B.13C.12D ．－12答案B 解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案3解析∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )2＋x ，x <0，x 2＋x ，x >0.解(1)－x 2≥0，2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)－x 2>0，－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A ．f (x )＝x ＋sin 2xB ．f (x )＝x 2－cos xC ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－x f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A ．y ＝xB ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案－2解析f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f(2)，所以f(4)＝－1f(2)＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f(1)＋f(2)＋＝0＋f(0)＋＝f(0)＋＝f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.答案e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________.答案1解析∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f 12＝f 32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以ff (－1)＝f (1)，故从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0－a －2＝a 2≤0，1－a ≤0，≤0，≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A.(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)，当x ，12时，f(x)＝12log(1)x ，则f(x)()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0答案D解析当x ，12时，由f(x)＝12log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－12，f(x)<0.由f(x)知，函数的周期为32，f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[3,5]B．[－1,1]C．[1,3]D．[－1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1)＝－1，f(－3)＝1，要使得－1≤f(x－2)≤1，即1≤|x－2|≤3，即1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1，解得－1≤x≤1或3≤x≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)3，x≤0，(x)，x>0，解不等式f(6－x2)>f(x)．解∵g(x)是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于()A ．－3B ．－54C.54D ．3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (1)等于()A ．－2B ．0C ．2D ．1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，124＝－2，∴f (1)＝－2.5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()A ．(2，＋∞)(2，＋∞)(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2020])，则a 的最大值是()A ．2018B ．2010C ．2020D ．2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5，∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2020＝12×168＋4，∴a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011.故选D.7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ________．答案－ln 2解析由已知可得ln 1e2＝－2，所以f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－ln 2.9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案1e，e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝由f (ln t )＋2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，0≤x <1，－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m的最大值是()A ．－1B ．－13C ．－12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1(m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，(m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2](－2)<0，(2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
近年高考数学复习 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性教师用书 文 北师大版(
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第三节函数的奇偶性与周期性［考纲传真] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。
2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性。
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．奇（偶）函数的性质(1）对于函数f （x)，f (x）为奇函数⇔f （－x)＝－f （x）；f (x）为偶函数⇔f （－x)＝f (x）．(2）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．（3）如果奇函数y＝f （x）在原点有定义，则f （0）＝0。
3．函数的周期性(1)对于函数f (x),如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x＋T)＝f （x），则f (x)为周期函数．（2）最小正周期：如果在周期函数f (x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f （x）的最小正周期．（3）若T是函数y＝f (x）的一个周期，则nT（n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f （x)的一个周期．1．（思考辨析)判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）（1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．（)(2)若函数y＝f (x＋a）是偶函数,则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( )(3）若函数y＝f （x＋b）是奇函数,则函数y＝f （x)关于点（b，0)中心对称．（）（4)函数f (x)在定义域上满足f (x＋a)＝－f （x)，则f (x)是周期为2a(a＞0）的周期函数．（）[答案] (1)×(2）√（3)√(4）√2．已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）【导学号：66482035】A．－错误!B．错误!C．错误!D．－错误!B［依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝错误!，则a＋b＝错误!。
高考数学复习全套课件 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性
F(－x)＝f(－x)＋f(x)，则F(－x)＝F(x)，所以 为偶函数 － ＝ － ＋ ， 为偶函数. － ＝ ，所以f(x)为偶函数 答案： 答案：D
2.对任意实数 ，下列函数中的奇函数是 对任意实数x， 对任意实数 A.y＝2x－3 ＝ － C.y＝ln5x ＝ B.y＝－ 2 ＝－3x ＝－ D.y＝－ ＝－|x|cosx ＝－
1.周期函数问题，在考题中常有两类表现形式：一类是研 周期函数问题，在考题中常有两类表现形式： 周期函数问题 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性. 抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明， 给予证明， 抽象函数的周期常常应用定义 ＋ ＝ 给予证明 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 推导满足周期定义的等式， 推导满足周期定义的等式，从而在证明函数为周期函 数的同时求出周期. 数的同时求出周期
是非奇非偶函数. ∴f(x)是非奇非偶函数 是非奇非偶函数
判断(或证明 抽象函数的奇偶性的步骤 判断 或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 或证明 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现 －x)， 利用函数奇偶性的定义，找准方向 想办法出现 想办法出现f(－ ， 利用函数奇偶性的定义 f(x))； ； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值 (3)找出 －x)与f(x)的关系，得出结论 找出f(－ 与 的关系 得出结论. 的关系， 找出
解析： ＝－f(x)， 是奇函数. 解析：∵f(－x)＝－ ，∴f(x)是奇函数 － ＝－ 是奇函数 可知f(x)关于直线 对称， 由f(1＋x)＝f(1－x)可知 关于直线 ＝1对称， ＋ ＝ － 可知 关于直线x＝ 对称 ＝－f(－ ＝－ ＝－f(2＋ ∴f(x)＝－ －x)＝－ ＋x) ＝－ ＝－[－f(4＋x)]＝f(x＋4)， ＝－ － ＋ ＝ ＋ ， 即f(x)＝f(x＋4)， ＝ ＋ ， 的一个周期， ∴4为f(x)的一个周期， 为 的一个周期 ＝－f(1)＝－ ∴f(－2009)＝f(－1)＝－ ＝－ 3＝－ － ＝ － ＝－ ＝－1 ＝－1. 答案： 答案：－1
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
2017届高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性应
第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2015高考福建卷)下列函数为奇函数的是( D )(A)y= (B)y=e x(C)y=cos x (D)y=e x-e-x解析:因为函数y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数y=为非奇非偶函数,排除A;因为函数y=e x的图像既不关于y轴对称,也不关于原点对称,所以函数y=e x为非奇非偶函数,排除B;由函数y=cos x为偶函数,排除C;因为y=f(x)=e x-e-x,定义域关于原点对称,f(-x)=e-x-e x=-(e x-e-x)=-f(x),所以函数y=e x-e-x为奇函数.2.(2015孝感模拟)下列函数中,既是偶函数又是在区间(-∞,0)上单调递增的函数是( D )(A)y=ln |x| (B)y=x2(C)y=tan x (D)y=2-|x|解析:函数y=ln |x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且为偶函数,而函数y=ln x在(0,+∞)上是单调递增的,由对称性可知y=ln |x|在区间(-∞,0)上是单调递减的,A错误;易知y=x2在区间(-∞,0)上是单调递减的,B错误;y=tan x定义域为(kπ-,kπ+),k∈Z,故在区间(-∞,0)上不存在单调性.D.y=2-|x|=()|x|既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增,故选D.3.(2015潮州模拟)已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是( C )(A)(,1) (B)(0,)∪(1,+∞)(C)(,10) (D)(0,1)∪(10,+∞)解析:由f(x)是偶函数,f(lg x)>f(1),又因为f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,所以|lg x|<1,所以-1<lg x<1,所以<x<10.4.已知函数f(x)=ln (-3x)+1,则f(lg 2)+f(lg )等于( D )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:设g(x)=ln (-3x),则g(-x)=ln(+3x)=ln =-ln(-3x)=-g(x).所以g(x)为奇函数.所以f(lg 2)+f(lg )=f(lg 2)+f(-lg 2)=g(lg 2)+1+g(-lg 2)+1=g(lg 2)-g(lg 2)+2=2.5.(2015广西玉林、贵港4月联考)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x ≤1时,f(x)=2x,则f(2 015)等于( B )(A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2解析:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),故f(x)的周期为4,又因为函数f(x)为奇函数,2 015=504×4-1,所以f(2 015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2×1=-2.6.已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2,f()=4,则f(2 016)等于( A )(A)0 (B)2 (C)-2 (D)4解析:设F(x)=f(x)-2,则F()=alog2+blog3=-(alog2x+blog3x)=-F(x),所以F(2 016)=-F()=-(4-2)=-2,f(2 016)=F(2 016)+2=0.7.f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)= .解析:f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-28.若f(x)=+a是奇函数,则a= .解析:由题意知f(-1)+f(1)=0,即+a++a=0,解得a=.答案:9.(2015高密模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在[0,2]上f(x)=则f()+f()= .解析:定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),所以f()+f()=f(2×4-)+f(2×4-)=f(-)+f(-)=-f()-f（）=-×-sin π=.答案:10.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式.解:(1)因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),所以f(1)=0,f(-1)=0.(2)由题意知,f(0)=0.当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).由f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-=-,综上,在[-1,1]上,f(x)=11.(2015淮安模拟)已知函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)若a>1时,求使f(x)>0的x的集合.解:(1)因为f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0,所以解得-1<x<1,所以f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)是奇函数,证明:f(x)=log a,x∈(-1,1).因为f(-x)=log a=log a（）-1=-log a=-f(x),所以f(x)为奇函数.(3)因为f(x)=log a,所以f(0)=0,又f(x)==-1+在(-1,1)上递增,因为a>1,所以f(x)在(-1,1)上为递增函数,由f(x)>f(0)得x>0,又因为x∈(-1,1),所以使f(x)>0的x的集合为(0,1).能力提升练(时间:15分钟)12.(2015南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( C )(A)(1,3) (B)(-1,1)(C)(-1,0)∪(1,3) (D)(-1,0)∪(0,1)解析:f(x)的图像如图.当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈ .当x∈[1,3]时,由xf(x)>0得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).故选C.13.(2016威海质检)周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)=则f(2 014)+f(2 015)等于( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f(2 014)=f(503×4+2)=f(2)=log22+1=2,f(2 015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=-12=-1,所以f(2 014)+f(2 015)=1.14.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= .解析:因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.答案:015.(2015西城模拟)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的t∈(-1,1),不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求k的取值范围.解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1,从而有f(x)=,又由f(1)=-f(-1) ,知=-,解得a=2.(2)由(1)知f(x)==-+,易知f(x)在R上为减函数,因f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0等价于f(t2-2t)>-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t<-2t2+k,即对一切t∈(-1,1),3t2-2t-k<0恒成立,即k>3t2-2t在t∈(-1,1)上恒成立,令g(t)=3t2-2t,t∈(-1,1),则g(t)∈[-,5),所以k≥5,即k的取值范围为[5,+∞).16.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:①f(x·y)=f(x)+f(y),②f(2)=1;③当x>1时,f(x)>0.(1)求证:函数f(x)为偶函数;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集.(1)证明:由f(2)=f(1×2)=f(1)+f(2)得f(1)=0.由f(1)=f(-1×(-1))=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,得f(-1)=0,所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)解:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则>1,由x>1时,f(x)>0,得f()>0,所以f(x2)=f(x1·)=f(x1)+f(),所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.(3)解:由f(x·y)=f(x)+f(y)得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3)),又f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,所以原不等式转化为f(x(x-3))≤f(4),因为f(x)是偶函数,所以|x(x-3)|≤4.解得-1≤x≤4且x≠0,所以不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集为[-1,0)∪(0,4].精彩5分钟1.(2015揭阳模拟)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时,f(x)是单调函数,则满足f(x)=f()的所有x之和为( D )(A)3 (B)-3 (C)8 (D)-8解题关键:本题的关键是f(x)=f()转化成自变量之间的关系.解析:因为当x>0时,f(x)是单调函数,所以等价于x=-,等价于x2+5x+3=0,x1+x2=-5,或是x=,等价于x2+3x-3=0,所以x3+x4=-3,所以所有的和是-8.2.(2015峨眉山市模拟)设定义在区间(-b,b)上的函数f(x)=lg是奇函数(a,b∈R,且a≠-2),则a b的取值范围是( A )(A)(1,] (B)(0,] (C)(1,) (D)(0,)解题关键:本题(-b,b)是定义域上的子集,是一个隐含条件,可以得出b的范围.解析:函数f(-x)=lg,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,即lg+lg=0,即lg=0,所以=1,所以a2=4,即a=2,又函数的定义域是{x|-<x<},又(-b,b)是定义域的子集,所以0<b≤,所以a b的取值范围是(1,].故选A.。
全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课件理
【变式训练】(2015·广东高考)下列函数中，既不是 奇函数，也不是偶函数的是( A.y=x+ex B. )
C.y=
1 yx x D.
1 2 x 2
x
y 1 x2
【解析】选A.函数y=x+ex的定义域为R，关于原点对
x既 所以函数 y=x+e 1 1 ， 不是奇函数，也不是偶函数； e
x
④f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x)；当x<0时， f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x)；当x=0时，f(0)=0， 也满足f(-x)=-f(x)．故该函数为奇函数．
答案:②③④
考向二
函数的周期性及其应用
x e 1 e 1 1 e g x ， x x x 1 e e 1 1 e
x x
所以函数g(x)为奇函数.
所以h(-x)=f(-x)·g(-x)
=f(x)·[-g(x)]
=-f(x)g(x)=-h(x)，
所以函数h(x)=f(x)·g(x)是奇函数. 所以h(1)=f(1)·g(1)=
【特别提醒】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶
函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,
偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x
即f(-x)=-f(x-2),
则f(x-2)=f(x+2),可知周期为4,
高考数学一轮复习第二章函数2.6幂函数与二次函数性质的再研究课件文北师大版
4 2 1 a=23 ,b=33 ,c=253 ,则(
)
关闭
因为 a=2 = 4 ,c=25 = 5 ,b= 3 , 且函数 y=������ 在[0,+∞)内是增函数, 所以 A 3 < 4 < 5 ,即 b<a<c.故选 A.
解析
2 3 2 3 2 3 2 3
关闭
4 3
2 3
1 3
2 3
2 3
答案
2.6
幂函数与二次函数性质的再研究
-2知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
1.幂函数 (1)幂函数的定义 如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα 数称为幂函数. (2)五种幂函数的图像
,这样的函
-3知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
(3)五种幂函数的性质
函数特 征性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
1
2
函数 单调性 奇偶性
y=ax2+bx+c(a≠0) a>0 在 -∞,������ 2������ ������ 2������
a<0 在 -∞,������ 2������
上递减,在 -
上递增,在 -
������ 2������
,+
, + ∞ 上递增
∞ 上递减
当 b= 0 时,y 为偶函数;当 b≠0 时,y 既不是奇函数也不 是偶函数
关闭
因为关于 x 的方程 x +mx+ =0 有两个不相等的实数根,所以 Δ=m2-4× ×1>0,即 m2>1,解得 m<-1 或 m>1,故选 B. 4 B
解析
专题2.3 函数的奇偶性与周期性-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第二篇函数及其性质专题2.03函数的奇偶性与周期性【考试要求】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，其在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错. (3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y ＝f (x ＋b )的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y ＝f (x )的图象关于(b ，0)对称，正确. 【教材衍化】2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |D.y ＝2－x【答案】 B【解析】 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(必修4P46A10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【答案】 1【解析】 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 【真题体验】4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 3B.y ＝x 14 C.y ＝|x |D.y ＝|tan x |【答案】 C【解析】 对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；对于B ，y ＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 【答案】 12【解析】 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数， ∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.6.(2019·上海崇明区二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________. 【答案】 log 2(3－x )【解析】 当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]， 又f (x )在R 是上以2为周期的偶函数，∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ). 【考点聚焦】考点一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.【答案】见解析【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg(1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg(1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数. 【规律方法】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x ＋12xD.y ＝x 2＋sin x(2)已知f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A.f (x )＋g (x )是偶函数B.f (x )＋g (x )是奇函数C.f (x )g (x )是奇函数D.f (x )g (x )是偶函数 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )， 因为f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，所以h (x )＝x 2x －1＋x2＝x ·2x ＋x 2（2x －1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为h (－x )＝－x ·2－x －x 2（2－x －1）＝x （1＋2x ）2（2x －1）＝h (x )， 所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数， 令F (x )＝f (x )g (x )＝x 22（2x －1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).所以F (－x )＝（－x ）22（2－x －1）＝x 2·2x2（1－2x ）， 因为F (－x )≠F (x )且F (－x )≠－F (x )，所以F (x )＝g (x )f (x )既不是奇函数也不是偶函数. 考点二 函数的周期性及其应用【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50B.0C.2D.50(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 (1)C (2)7【解析】 (1)法一 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ). ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ).因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数， 由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2， 故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.法二 取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. (2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个. 【规律方法】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】 (1)(2019·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f ⎝⎛⎭⎫－92＝( ) A.－34B.－14C.14D.34(2)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】 (1)A (2)6【解析】 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－92＝－f ⎝⎛⎭⎫92＝－f ⎝⎛⎭⎫12 又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )故f ⎝⎛⎭⎫－92＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－12⎝⎛⎭⎫1＋12＝－34. (2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)， 又f (x )在R 上是偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.考点三 函数性质的综合运用 角度1 函数单调性与奇偶性【例3－1】 (2019·石家庄模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6]【答案】 B【解析】 因为f(x)是定义在[－2b ，3＋b]上的偶函数， 所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数.故f(x －1)≥f(3)⇒f(|x －1|)≥f(3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x≤4.【规律方法】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)(2019·山东省实验中学检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( ) A.2B.－18C.18D.－2(2)(2019·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( ) A.π3B.2π3C.πD.4π3【答案】 (1)D (2)B【解析】 (1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )， ∴f (x )是周期为5的函数，∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)， ∵f (x )是奇函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ， ∴f (－2)＝－f (2)＝－(23－3×2)＝－2， 故f (2 018)＝－2.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2). ∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.【规律方法】 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 【答案】 (1)2 (2)⎣⎡⎦⎤1e ，e【解析】 (1)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)， 则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2. (2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.【反思与感悟】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用. 【易错防范】1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 【核心素养提升】【数学运算】——活用函数性质中“三个二级”结论 类型1 奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.【答案】 2【解析】 显然函数f (x )的定义域为R ， f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 类型2 抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( ) A.3 B.2 C.1 D.0【答案】 C【解析】 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 017)＝－f (2 017)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1， ∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.类型3 抽象函数的对称性 已知函数f (x )是定义在R 上的函数.(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.【例3】 (2019·日照调研)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________. 【答案】 4【解析】 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称， 所以函数y ＝f (x )的图象关于(0，0)对称， 所以f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4) ＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0， 所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3 C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |【答案】 C【解析】 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数. 对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0， 则g (－8)＝( ) A.－2B.－3C.2D.3【答案】 A 【解析】 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ).因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2.法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A.－2B.2C.－98D.98 【答案】 B【解析】 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)，由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.4.(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a【答案】 C【解析】 法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 【答案】 A【解析】 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.二、填空题6.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.【答案】 1【解析】 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.7.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 【答案】 －2【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－2. 8.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫13，1【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 三、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.【答案】见解析【解析】(1)由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝ －f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立.于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A.{x |0<x <1或x >2}B.{x |x <0或x >2}C.{x |x <0或x >3}D.{x |x <－1或x >1}【答案】 A【解析】 由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1).∴x －1>1或0>x －1>－1，解之得x >2或0<x <1.12.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14B.f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32C.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14D.f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 【答案】 C【解析】 由题设知：f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0，1]上是减函数，所以f (x )在[－1，0]上也是减函数，综上函数f (x )在[－1，1]上是减函数；又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12，－14<14<12， ∴f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14，即f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.13.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________. 【答案】 ①②【解析】 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误.14.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】见解析【解析】(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.【新高考创新预测】15.(多填题、新定义题)定义：函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[－2b，3b－1]上的函数f(x)＝x3－ax2－(b＋2)x是奇函数，则a＋b＝________，函数f(x)的极差为________. 【答案】1 4【解析】由f(x)在[－2b，3b－1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b＋3b－1＝0，b＝1，又由f(－x)＋f(x)＝0可求得a＝0，所以a＋b＝1.又f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，易知f(x)在(－2，－1)，(1，2)上单调递增，f(x)在(－1，1)上单调递减，所以在[－2，2]上的最大值、最小值分别为f(－1)＝f(2)＝2，f(1)＝f(－2)＝－2，所以极。