曲线习题课
练习01曲线运动之运动合成图像-2021年高考物理一轮复习习题课(必修2)
曲线运动习题课--运动合成图像练习1、（多选）质量为m＝2 kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立xOy坐标系，t ＝0时物体位于坐标系的原点O.物体在x轴和y轴方向的分速度v x、v y随时间t变化的图线如图甲、乙所示．则()A．t＝0时，物体速度的大小为3 m/sB．t＝8 s时，物体速度的大小为4 m/sC．t＝8 s时，物体速度的方向与x轴正向夹角为37°D．t＝8 s时，物体的位置坐标为(24 m,16 m)2、有一个质量为2 kg的质点在x－y平面上运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是()A．质点所受的合外力为3 NB．质点的初速度为3 m/sC．质点做匀变速直线运动D．质点初速度的方向与合外力的方向垂直3、质量为2 kg的质点在x-y平面上运动，x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像分别如图所示，则质点()A．初速度为4 m/sB．所受合外力为4 NC．做匀变速直线运动D．初速度的方向与合外力的方向垂直4．(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v -t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x -t图像如图丙所示。
若以地面为参考系，下列说法正确的是()A．猴子的运动轨迹为直线B．猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/sD．猴子在0～2 s内的加速度大小为4 m/s25、(多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度－时间图象如图3甲、乙所示，下列说法中正确的是()图3A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)D．4 s末物体坐标为(6 m,2 m)6、(多选)质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图线分别如图所示，由图可知()A．最初4 s内物体的位移为8 2 mB．从开始至6 s末物体都做曲线运动C．最初4 s内物体做曲线运动，接下来的2 s内物体做直线运动D．最初4 s内物体做直线运动，接下来的2 s内物体做曲线运动7.一个质点从水平面内的xOy坐标系的原点出发开始运动，其沿x轴正方向的分速度随时间变化的图象及沿y轴正方向的位移随时间变化的图象如图6甲、乙所示，一条直线过坐标原点、与x轴正方向成30°角，如图丙所示。
高中数学-双曲线习题课精品ppt课件
的圆是否恒过点A, 并说明理由.
练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）c 6 ,经过点(-5, 2), 焦点在x轴上； x y 5 （2）与 1有相同的渐近线,且过（3， ）； 16 4 2 （3）经过点P (3,2 7 ), Q(-6 2, 7)
2 2
(4)以椭圆
的顶点为焦点且a＝5
例题1：
2 2
求证:椭圆
x y 1 x2-15y2=15 与双曲线 25 9
5 15
有相同的焦点F1,F2.
求|PF1|的值.
x2 y2 练1.双曲线与椭圆 1 有共同的焦点,且 27 36
与此椭圆一个交点的纵坐标为4,求这个双曲 2 2 y x 线的方程. 1 4 5 2 2 2 2 x y x y 1 练2.如果椭圆 2 1 与双曲线 4 a a 2
的焦点相同,求a的值.
a 1
练习1：
1.直线y kx 1交双曲线C : x 2 y 2 1于A, B 两点, O为坐标原点, OAB的面积为 2 ,求k的 值.
y 2.已知双曲线E : x 1和定点A( 1,0).过F ( 2,0) 3 的直线交曲线E于B, C两点, 试判断以线段BC为直径
直线与双曲线的位置关系： 练、若直线y=kx+1与双曲线 x y 1 4 个值. 仅有一个公共点,则这样的k可取___
2 2
y
p
O
曲线的切线的求法-习题课
2 x0 1 3 x0 2 x0
解得x0 1或x0 9
解得切线方程为： x 2 y 1 0或x 6 y 9 0
练习：已知曲线
1 3 4 x . y= 3 3
（1）求曲线在点（2，4）处的切线方 程； （2） 求曲线过点 （2 ， 4） 的切线方程.．
2
2
则 f ' 5
.
练习： 2.若直线y kx与曲线y x3 3x 2 2 x相切， 求实数k的值。 3 2 解：设切点（ x0 , kx0 ), （x0 , x0 3x0 2x0 )
斜率k 3x0 6x 2
2
联立方程得
kx0 x0 3x0 2x0
k 3x0 6x 2
3 2 3 2 3 2
3
2
设切点
求出切线方程 依据题意，代人条件 代数求解 得到结论
设切点 导数的几何意义
斜率的两点式公式 代数求解 得到结论
三、过曲线外一点，求切线方程
解：设切点（ x0 , x0 )
1 斜率k 2 x0
例3.求过点 x0 斜率k 3 x0
练习：已知函数y=ex. (1)求函数在点x=e处的切线的方程； (2)过原点作曲线y＝ex的切线,求切线的方程.
(1) y e x e
e
e1
e ;(2) y ex
e
例 3 已知函数 f(x)＝x (x－1)， 若 f ' (x0)＝f(x0)， 求 x0 的值．
练习：已知函数 f x 的导函数为 f ' x ， 且满足 f x 3x 2 xf ' 2 ，
切线y (2x1 2) x 2x
习题第29讲 曲线与方程--高考数学习题和答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。
《课后习题答案及解析》第五章 曲线运动
第五章 曲线运动第一节 曲线运动1.一个质点从平面直角坐标系的原点开始运动并开始计时。
它在t 1时刻到达x 1=2.0m 、y 1=1.5 m 的位置；在t 2时刻到达x 2=3.6cm 、y 2=4.8 m 的位置。
作草图表示质点在0～t 1和0～t 2如时间内发生的位移l 1和l 2，然后计算它们的大小及它们与x 轴的夹角θ1和θ2答：质点两次位移的草图如图所示，根据勾股定理和三角函数的定义可得：l 1 =2.5m, l 2=6.0m ； θ1=arctan(3/4) θ2=arctan(4/3)2.在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。
随后，降落伞张开，跳伞员做减速运动如图所示。
速度降至一定值后便不再降低，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。
无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是5m/s 。
现在有风，风使他以4m/s 的速度沿水平方向向东运动。
他将以多大速度着地?计算并画图说明。
答：根据题意，无风时跳伞员着地的速度为v 2，风的作用使他获得向东的速度v 1，落地速度v 为v 2、v 1的合速度，如图所示。
v 22221245/ 6.4/v v m s m s +=+=与竖直方向的夹角为θ，tan θ=0.8, θ=38.70。
3.跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国运动员多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。
如图是一位跳水队员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v 入水。
整个运动过程中，在哪几个位置头部的速度方向与入水时v 的方向相同?在哪几个位置与v 的方向相反?在图中标出这些位置。
l 12.0 1.53.64.8 l 2 x /m Oy /m答：如图所示，在A 、C 位置头部的速度与入水时速度v 方向相同；在B 、D 位置头部的速度与入水时速度v 方向相反。
4.汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用时2 min ，每行驶半周，速度方向改变多少度?汽车每行驶10 s ，速度方向改变多少度?先作一个圆表示汽车运动的轨迹，然后作出汽车在相隔10 s 的两个位置速度矢量的示意图。
D8.1_曲线积分_习题课
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
y
C
这说明积分与路径无关, 故
L
2
I
AB a 2 x dx a
( x y ) d x ( y x ) dy
2
B
o
Ax
解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( xz
B
利用对称性
3
AB AB
y d x z d y xdz xd z
3
A x
o
C y
3 (1 z )d z
0
1
考研真题
1. （数学一 2010）
已知曲线 L 的方程为 y 1 x (x [1,1]) 起点是 (1, 0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分 xydx x 2dy =
I 2 ( x y y ) d x ( y 2 x) d y
2
2
L
练习题:
1. 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
x
提示:
I e sin y d x (e cos y 2)d y 2 y d x
x L L
L AB
AB
2 yd x
L
y
2 为从点 A(3, ) 到 B(1,2) 的直线段。 3 13 2 1 4 2 解: ∴原式= 3 [1 f ( x)]dx 2 2 [y2f (y) 1]dy 2 9 3 3 y
2 3 2 2 1 [ f ( x)]dx 2 [ f ( y) 2 ]dy 3 2 3 3 y 3 1
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(一)
2 [ a cos t ( a sin t ) b sin t ( b cos t )] dt 0
- 12 -
a b
2
2
2
习 题 课（一）
三 格林公式及其应用 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
第 十 章
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P x y d xd y D
y dx
L
2
2
2
-8-
习 题 课（一）
（3） L ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz , 其中
2 2 2 2 2 2
L
为球面的一部分
x y z 1, x 0 , y 0 , z 0
2 2 2
第 的围线，其方向从 z 正向看去是逆时针的。 十 y2 z2 1 章 z 解 L L1 L 2 L 3 x 0 曲 L2 x2 z2 1 x cos t 线 积 L y 0 L3 t :0 1 y sin t 分 2 o 与 z 0 L1 曲 x x2 y2 1 面 积 z 0 分 y cos t z cos t t :0 L 3 x sin t L 2 z sin t t :0 2 2 x 0 y 0
Pd x Qd y
L
曲 在D 内具有一 线 设D 是单连通域 , 函数 积 分 阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 与 P Q . 曲 (1) 在 D 内每一点都有 y x 面 积 Pd x Qd y 0 . 分 (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L
曲线积分习题课
原式
Q P 解 易验证 4 xy e x sin y x y
( , ) 2 ( 0, 0 )
( e x cos y 2 xy 2 )dx ( 2 x 2 y e x sin y)dy
e dx (
2 0 x 0
2
4 4 ( , ) x 2 2 2 2 或：原式 （e cos y x y ） ( 0, 0 ) e 1 4
ydx xdy 1 L x 2 y 2 r 2 1 l ydx xdy r 2
2dxdy 2
D
16
2 2 3 y y 3 x y ( yx e ) dx ( xe xy 8 y ) dy 例5 计算 L: 1 L 2 2 4 9 9x 4 y
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
8
14
x 2 2 x 例3 证明曲线积分 ( e cos y 2 xy ) dx ( 2 x y e sin y )dy L
与路径无关。若 L为以A( 0,0)到B( 计算积分的值。
2
, )的任意简单曲线，
x2 y2 解： L : 1, 即3x2+4y2=12，所以 4 3 2 2 ( 3 x 4 y )ds 12ds 12a .
L L
又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以
L
sin( xy )ds 0
于是
I = 12a。
11
(2) 已知L为圆周 : x 2 y 2 a 2 , 求
x 2 y 2 ds
双曲线习题课(2)
5 5 2 或 k 即 28k 55k 25 0 解得 k 7 4 5 但 2 k 1 ∴ k 2 5 故直线AB的方程为 x y 1 0 2
2
设 C xc , yc ，则由已知 OA OB mOC
∵ A、B 在双曲线上，
y ①
2
x2 y 1 ∴ 4 2 (2 x )2 (2 y )2 1 4 2
由 ① - ② 得： x 2 y 1 0 .
2
②
M
2
o
. .N
2
x
2
即为所求直线 的方程. AB
(2) 假设过N 的直线交双曲线于 ( x1 ， 1 ) ， ( x2 ， 2 ) ，则 C y D y
2
2
解： (1)设直线AB：y 1 k ( x 1) ，则
y kx 1 k 2 y2 x 1 4 2
2 2
2
2
M
2
o
. .N
2
x
(1 2k ) x 4k(1 k ) x 2(1 k ) 4 0 x1 x2 2k (1 k ) k1. 由 1 1 得 2 2 2 1 2k
得 x1, y1 x2 , y2 mxc , myc
x1 x2 y1 y2 ∴ xc , yc , m m
m 0
2k 2 4 5 ，y y (kx 1x (kx 1) k ( x1 ) 2 ) 22 又 x1 x 2 2 1 2 1 k 1 2k 2 2 2 8 即 y1 y 2 k 2 1 k 2 1
∴△ABC的面积 S 1 6 3 1
练习14曲线运动之速度突变(力、速度)-2021年高考物理一轮复习习题课(必修2)
曲线运动习题课--速度突变（力、速度）练习1．（多选）一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方L/2处钉有一颗钉子，如图4-3-6所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间O LA．小球线速度没有变化B．小球的角速度突然增大到原来的2倍C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍D．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍2、（多选）一小车带一轻支架，支架上通过细线连接小球，一起向前匀速运动，当突然遇到前面障碍物瞬间，则A．小球速度没有变化B．小球受到的拉力变大，C．小球速度变小D．小球受到的拉力不变。
3、如图所示：摆球的质量为m，从偏离水平方向30°的位置由静止释放，设绳子为理想轻绳，已知绳长为L，重力加速度为g，求30o（1）小球运动到最低点A时绳子受到的拉力是多少？（2）从小球静止释放到最低点A的过程中，此系统中产生的总热量是多少？4. 如图所示，质量为m的小球用长为L的细绳系于O点，把小球拿到O点正上方且使细绳拉直的位置A后，以的速度水平向右弹出（空气阻力不计）（1）小球从弹出至下落到与O点等高的位置这一过程中，小球做什么运动，请说明理由；（2）求小球到达最低点时细绳上的拉力大小。
5．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力。
不计空气阻力，取g＝10 m/s2。
(1)在小球以速度v1＝4 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中的张力大小为多少？(2)在小球以速度v2＝1 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间。
(3)接(2)问，当小球摆到最低点时，绳子拉力的大小是多少？6、物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定．若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10 m/s2，则：(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v1＝4 m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？(3)在小球以速度v2＝1 m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．曲线运动习题课--速度突变（力、速度）练习答案1．（多选）一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方L/2处钉有一颗钉子，如图4-3-6所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间O LA．小球线速度没有变化B．小球的角速度突然增大到原来的2倍C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍D．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍答案：ABC 解析在小球通过最低点的瞬间，水平方向上不受外力作用，沿切线方向小球的加速度等于零，因而小球的线速度不会发生变化，故A 正确；在线速度不变的情况下，小球的半径突然减小到原来的一半，由v =ωr 可知角速度增大为原来的2倍，故B 正确；由a =v 2/r ，可知向心加速度突然增大到原来的2倍，故C 正确；在最低点，F -mg =ma ，可以看出D 不正确2、一小车带一轻支架，支架上通过细线连接小球，一起向前匀速运动，当突然遇到前面障碍物瞬间，则A ．小球速度没有变化B ．小球受到的拉力变大，C ．小球速度变小D ．小球受到的拉力不变。
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(0≤t≤1)
(6-25)
5、 De Casteljau算法
Pi r 0 Pi r 1 r 1 ( 1 t ) P tP r 1,2, n; i 0,1, n r i i 1
r
计算过程
几何解释
6、B样条曲线的数学表达式
给定m+n+1个顶点Pi (i =0, l, 2, …, m+n)，可 以定义m+1段n次的参数曲线为：
（2）曲线段的终点P（1）位于 P3 P(0) △P1P2P3底边P1P3的中线P2Pm’上， Pm 且距P2点的三分之一处。该点处 P”(1) 的切矢P’(1)平行于△P0P1P2的底 P”(0) P4 边P1P3，且长度为其二分之一。 P0 该点的二阶导数P’’（1）等 图6.18 三次B样条曲线段 ’ 于中线矢量P2Pm 的二倍，
在 式 (6-24) 中 ， 相 对 应 于 式 (6-21) 中 的 基 函 数 Bi,n(t)分别为： B0,2(t)= 1－2t＋t2 B1,2(t)= 2t－t2 B2,2(t)= t2
根据式(6-23)，当n = 2时，二次Bezier曲线在起点P0处 有切向量P'0=P'(t=0)=2(P1–P0)；在终点P2处有切向量P'2 =P'(t=1) = 2(P2–P1)。同时，当t =1/2时：
P0 P 1 P2 P3
t3
t2
(0 t 1)
(6-31)
P' (t ) t 2
1 0 3 1 1 t 1 2 4 2 0 2 1 0 1 3
(0 t 1)
端点性质： （1）曲线段的起点P（0）位于△P0P1P2底边P0P2的中线 P1Pm上，且距P1点的三分之一处。该点处的切矢P’（0）平 行于△P0P1P2的底边P0P2，且长度为其二分之一。 P2 P’(0) 该点的二阶导数P’’（0）等 P’(1) 于中线矢量P1Pm的二倍，
P1
P(1)
（ 3 ） 如 果 在 B 特 征 多 边 形 上 增 加 了 一 个 顶 点 P4 ， 那 么 P1P2P3P4又可定义一段新的三次B样条曲线。因为新曲线段 起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和 P1 、 P2 、 P3 三点有关，所以该二段曲线在连接处的位置矢量， 一阶切矢和二阶切矢都应相等，即： P'1(1) = P'2(0) P''1(1) = P''2(0) 这就证明了，三次B样条曲线可以达到二阶连续。
顶点的三次B 样条曲线在t=1/4 处的值。
P(1/2)
P(0) M P0 P(1) P2
P(0)P(1)
。
P1 P’(1/2)
图6.17
二次B样条曲线
8、三次B样条曲线
P(t ) F0,3 (t ) P0 F1,3 (t ) P1 F2,3 (t ) P2 F3,3 (t ) P3 1 3 3 1 3 6 3 t 1 3 6 3 0 4 1 1 1 P0 P 0 1 0 P2 0 P3
（2）对称性
• 不是形状对称
• 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不 变，只是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状 保持不变。 （3）凸包性 Bé zier曲线必定落在其特征多边形的凸包之内。
Hale Waihona Puke 3、 二次Bezier曲线
当m = 3时，顶点P0，P1，P2可定义一条二次(n=2) Bezier曲线。此时式（6-21）可以改写成： P(t)= (1–t)2P0＋2t(1–t)P1＋t2P2 (0≤t≤1) (6-24)
(70,15),试求最后一个控制点。
例5 改变P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9 为控
制点的三次B样条曲线的一个定点P5，有几 段曲线的形状会改变。
例6 给定四点P0（40,30），P1（50,60），
P2（200,80），P3（240,30），构造一条B
样条曲线，计算参数为0，1/2，1的值并画
i 0
①这表明Bé zier曲线以给定的控制点P0为起点，以
给定的控制点Pn为终点。
② 1）表明Bé zier曲线的起点切向量仅与给定的控制点P0、 P1有关，相切于向量P1－P0，长度为n|P1－P0|。 2）Bé zier曲线在终点的切向量仅与给定的控制点Pn–1和 Pn有关，相切于向量Pn–Pn–1，长度为n|Pn–Pn–1|。
1
P
P0 Pm
P2
图6-16
二次贝济埃曲线
4、 三次Bezier曲线
当m=4时，顶点P0, P1, P2, P3四点可定义一条三次 (n=3)贝济埃曲线。此时式(6-21)可以改写为：
P(t)= (1–t)3P0+3t(1–t)2P1+3t2(1–t)P2+t3P3
= (1–3t+3t2-t)3P0+(3t–6t2+3t3)P1+(3t2–3t3)P2 + t3P3
曲线 习题课
1、 Bezier曲线的数学表达式
Bezier曲线是由多项式调和函数推导出来的，通常n＋1 个顶点定义一个n次多项式，其参数向量表达式为；
n
P(t ) Pi Bi ,n (t )
i 0
(0 t 1)
(6 21)
在式（6-21）中，Pi为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩 斯坦（Bernstein）基函数，也就是Bezier多边形的各顶点 位置向量之间的调和函数。该函数的表达式为：
n! Bi ,n (t ) t i (1 t ) n i C i n t i (1 t ) ni i!(n i)! (6 22)
2、Bé zier曲线的几何性质
（1）端点性质
P(0) Pi Bi ,n (0) P0
i 0 n
n
P(1) Pi Bi ,n (1) Pn
Pk,n(t)=
P
i 0
n
ik
Fi ,n (t )
(0≤t≤1)
(6-26)
式中 Pk,n(t) 为第 k 段 n 次 B 样条曲线段 (k=0,1,…,m) ， Fi,n(t) 为 n 次 B 样条基函数，也称为 B 样条分段混合 函数。 其形式为： 1 n i Fi ,n (t ) (1) j Cnj1 (t n i j ) n (0 t 1, i 0,1,, n) (6-27) n! j 0
例1 用一组型值点来指定曲线曲面的形状时,形状完全 通过给定的型值点列，用该方法得到的曲线曲面称为 曲线曲面的 ,而用控制点列来指定曲线曲面的 形状时,得到的曲线曲面不一定通过控制点列,该方法称 为曲线曲面的 。 例2 一条二次的Bezier曲线的控制顶点为P0, P1,P2,
另一条控制顶点为Q0, Q1, Q2,其中P2=Q0。写出两条
出图形。
例7 由5个控制顶点Pi(i=0,1,…4)所决定的3次B 样条曲线，由ˍˍˍˍˍˍˍ段3次B样条曲线 段光滑连接而成。
例8 给定顶点P0P1P2P3P4P5P6构成的控制 多边形，绘出三次B样条曲线的形状示意图。
P1 P6
P3
P4
P0 P5
P2
例9 求以(30,0),(60,10),(80,30),(90,60) 为控制
曲线可以精确合并为一条Bezier曲线的条件。
例3 计算以(30,0),(60,10),(80,30),(90,60),(90,90)
为控制点的四次Bezier曲线在t=1/2处值，并
画出de Casteljau三角形。
例4
设一条三次Bezier曲线前三个控制点为
(30,0),(60,20),(80,20)。曲线在t=1/2处的值为
7、二次B样条曲线段
（1）二次B样条曲线段的起点P(0)在B特征多边形第一条边 的中点处，且其切向量P1–P0即为第一条边的走向； （2）终点P(1)在B持征多边形线第二条边的中点处，且其切 向量P2–P1即为第二条边的走向。 （3）P（1/2）正是△P(0)P1P(1)的中线P1M的中点，且在P （1/2）处的切线平行于 因此，分段二次B样条曲线是一条抛物线。 可见，由n个顶点定义的二 次B样条曲线，实质上是n–2段 抛物线（相邻三点定义）的连 接，并在连接处达到一阶连续。
1 1 1 1 1 1 P P0 P1 P2 P1 ( P0 P2 ) 2 4 2 2 P 2 4
该式说明，二次Bezier曲线 经过△P0P1P2中的一条中线P1Pm 的中点P。综上所述，我们可以 看出：二次贝济埃曲线是一条抛 物线。见图6-16所示。