贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试数学(文科)试卷
贵阳市2017年高三适应性考试理科数学试卷(二)(word版含答案)
贵阳市2017年高三适应性考试（二）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，若复数zi-在复平面内对应的点为(1,2)，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -2.A B 、为两个非空集合，定义集合{}A B x x A x B -=∈∉且，若{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B -=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,1,2}-D ．{2,1,0}--3.已知向量,,2,1a b a b ==，若()2b b a ⋅-=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 4.已知函数()1(2)1(2)f x n x n x =++-，则()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1 C.-2 D ．-86.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点(2,)(0)P t t t -≠是角α终边上的一点，则tan()4πα+的值为（ ）A ．3-B ．3 C. 13- D ．137.若5()ax x-的展示式中3x 的系数为30，则实数a =（ ）A ．-6B ．6 C. -5 D ．5 8.已知实数x y 、满足1224x y x y ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，则42z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．5 C. 10 D ．129.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16163π-B ．32163π- C. 1683π- D ．3283π- 10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>与两条平行直线1:l y x b =+与2:l y x b =-分别相交于四点,,,A B D C ，且四边形ABCD 的面积为283b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．2 B C.3 D 11.富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（ ）A ．曹雪芹、莎士比亚、雨果B ．雨果、莎士比亚、曹雪芹C.莎士比亚、雨果、曹雪芹 D ．曹雪芹、雨果、莎士比亚12.已知函数2()f x x =，()1g x nx =-，'()g x 为()g x 的导函数．若存在直线l 同为函数()f x 与'()g x 的切线，则直线l 的斜率为（ ）A ．4B ．2 C.4 D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.定积分1201()3xx e dx +-⎰的值为 ． 14.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos c a B b A =+，3a b ==，则ABC ∆的周长为 ．15.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为 ．16.已知等腰直角ABC ∆的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ABC ∆折起，使二面角B ADC --为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且4(2)n n n S a a =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1(1)(1)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++，求证：12n T <． 18.医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H 和V ．现有,,A B C 三种不同配方的药剂，根据分析，,,A B C 三种药剂能控制H 指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V 指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H 指标与能否控制V 指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求,,A B C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H 和V 都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X 的分布列．19. 如图，已知棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，11,2AB AC BC BB ===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求二面角1A C D C --的平面角的余弦值．20.已知椭圆2222:1(0)7x y C a a a+=>-的焦点在x 轴上，且椭圆C 的焦距为2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(4,0)R 的直线l 与椭圆C 交于两点,P Q ，过P 作PN x ⊥轴且与椭圆C 交于另一点N ，F 为椭圆C 的右焦点，求证：三点,,N F Q 在同一条直线上． 21.已知函数22()(2)12f x x x nx ax =-++，()()2g x f x x =--． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0a >且函数()g x 有且仅有一个零点，求实数a 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑．22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，且与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C 与直线l 的普通方程； （Ⅱ）求AOB ∆的面积． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|,(0)f x m x m =-->，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥．试卷答案一、选择题1-5: BCBDB 6-10:DACDA 11、12：D 、C二、填空题13.1e - 14.7 15.14 16.73π 三、解答题17.（Ⅰ）解∵4(2)n n n S a a =+，①当1n =时得211142a a a =+，即12a =，当2n ≥时有1114(2)n n n S a a ---=+②由①-②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即1112()()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，又∵0n a >， ∴12n n a a --=， ∴22(1)2n a n n =+-=． （Ⅱ）证明：∵1(1)(1)n n n b a a =-+1(21)(21)n n =-+111()22121n n =--+，∴12n n T b b b =+++=111111(1)23352121n n -+-++--+111(1)2212n =-<+． 18.（Ⅰ）,,A B C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率为()()()P P ABC P ABC P ABC =++0.5(10.6)(10.75)=⨯-⨯-(10.5)0.6(10.75)+-⨯⨯-(10.5)(10.6)0.75+-⨯-⨯0.275=；（Ⅱ）∵A 有治疗效果的概率为0.50.60.3A P =⨯=，B 有治疗效果的概率为0.60.50.3B P =⨯=，C 有治疗效果的概率为0.750.40.3C P =⨯=，∴,,A B C 三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验， 即~(3,0.3)X B ，∵X 的可能取得为0,1,2,3，∴33()0.3(10.3)k k kP X k C -==⨯⨯-，即0033(0)0.3(10.3)0.343P X C ==⨯⨯-=，123(1)0.3(10.3)0.441P X C ==⨯⨯-=，223(2)0.3(10.3)0.189P X C ==⨯⨯-=，333(3)0.30.027P X C ==⨯=故X 的分布列为19.（Ⅰ）证明：∵在底面ABCD 中，1AB =，AC =2BC =，即222B C A CA B=+，∴AB AC ⊥，∵侧棱1AA ⊥底面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ， ∴1AA AC ⊥， 又∵1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，∴AC ⊥平面11ABB A ；(Ⅱ)过点C 作1CP C D ⊥于P ，连接AP ， 由（Ⅰ）可知，AC ⊥平面11DCC D ，CPA ∠为二面角1A C D C --的平面角，由于112CC BB ==，1CD AB ==，求得CP =，故tan AC CPA CP ∠==cos CPA ∠=即二面角1A C D C --．20.解：∵椭圆2222:1(0)7x y C a a a +=>-的焦点在x 轴上， ∴227a a >-，即272a >， ∵椭圆C 的焦距为2，且222a b c -=， ∴22(7)1a a --=，解得24a =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设l 的方程为(4)y k x =-，点112211(,),(,),(,)P x y Q x y N x y -，则22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22234(4)12x k x +-=， 即2222(34)3264120k x k x k +-+-=，0∆>，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，由题可得直线QN 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，又∵11(4)y k x =-，22(4)y k x =-， ∴直线QN 方程为211121(4)(4)(4)()k x k x y k x x x x x -+-+-=--，令0y =，整理得212211112448x x x x x x x x x --+=++-12121224()8x x x x x x -+=+-22222264123224343432834k k k k k k -⨯-⨯++=-+22222434132243234k k kk -+==--+， 即直线QN 过点(1,0)，又∵椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)F ， ∴三点,,N F Q 在同一条直线上．21.解：（Ⅰ）当1a =-时，22()(2)12f x x x nx x =--+定义域(0,)+∞，'()(22)1(2)2f x x nx x x =-+-- ∴'(1)3f =-，又(1)1f = ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程340x y +-=（Ⅱ）令()()20g x f x x =--=，则22(2)122x x nx ax x -++=+即1(2)1x nxa x--=令1(2)1()x nx h x x --=，则2211221'()nx h x x x x -=--+2121x nxx --=令()121t x x nx =--，则22'()1x t x x x--=--=，∵(0,)x ∈+∞，∴'()0t x <，∴()t x 在(0,)+∞上是减函数，又∵(1)'(1)0t h ==，所以当01x <<时，'()0h x >，当1x >时，'()0h x <， ∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max()(1)10h x h ==>，又因为1()10h e e=-<，22252()0e h e e -=<，0a > ∴当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =（Ⅲ）当1a =，22()(2)1g x x x nx x x =-+-，若2e x e -<<，()g x m ≤，只需证明max ()g x m ≤，'()(1)(321)g x x nx =-+令'()0g x =得1x =或32x e-=，又∵2ex e -<<，∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，即32x e -=是()g x 的极大值点，又333221()22g e e e ---=-+，2()23g e e e =-∵333221()22g e e e ---=-+323222()()2e e e e g e -<<<-=，∴32()()g eg e -<，∴223m e e ≥-22.解：（Ⅰ）已知曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），消去参数得24y x =，直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=得普通方程为40x y --=（Ⅱ）已知抛物线24y x =与直线40x y --=相交于,A B 两点，由2440y x x y ⎧=⎨--=⎩，得||AB =O 到直线l 的距离d ==所以AOB ∆的面积为12S =⨯=23.解：（Ⅰ）因为(1)||f x m x -=-， 所以(1)0f x -≥等价于||x m ≤， 由||x m ≤，得解集为[,],(0)m m m -> 又由(1)0f x -≥的解集为[3,3]-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=1111(23)()323a b c a b c ++++211123)3323a bc a b c ≥++=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．。
贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试数学(理科)试卷(一)
贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试数学（理科）试卷（一）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 虚数单位，则232017z i i i i =++++= （ ）A ．0B ．1C ．i -D ．i2．满足{}{}1,21,2,3,4P ⊆⊄的集合P 的个数是 （ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．数列{}n a 满足()*11110,12,11n n a n n N a a -=-=≥∈--，则2017a =（ ） A ．12017 B ．12016C ．20162017D ．201520164．下面的程序框图，如果输入三个数a b c 、、，()220a b +≠要求判断直线0ax by c ++=与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）A ．0?c =B ．0?b =C ．0?a =D ．0?ab =5．某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A ．2B C ．D ．36．函数曲线12y x =与3y x =所围成的封闭区域的面积为（ ） A ．12B ．512C ．45D ．527．圆C 与x 轴相切于()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点,A B ，且2AB =，则圆C 的标准方程为（ ）A ．()(2212x y -+= B ．()()22122x y -+-=C ．()(2214x y ++=D ．()(2214x y -+=8．设M 为边长为4的正方形ABCD 的边BC 的中点，N 为正方形区域内任意一点（含边界），则∙AM AN 的最大值为（ ） A ．32 B ．24C ．20D ．169．若231,1,lg ,lg ,lg 10m a m b m c m ⎛⎫∈===⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ． b a c <<D ．b c a <<10．已知球O 的半径为2，四点S A B C 、、、均在球O 的表面上，且4,SC AB =6SCA SCB π∠=∠=，则点B 到平面SAC 的距离为（ ）A B ．32C ．D ．111．斜率为()0k k >的直线经过抛物线()20y px p =>的焦点，与抛物线交于A B 、两点，与抛物线的准线交于C 点，当B 为AC 中点时，k 的值为（ ）A BC ．D ．12．已知M 是函数()2112sin 2x f x e x π--⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[]3,5x ∈-上的所有零点之和，则M 的值为（ ）A ． 4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上。
2017年贵州省贵阳市高三适应性考试（二）数学（理）试题（解析版）
2017届贵州省贵阳市高三适应性考试（二）数学（理）试题一、选择题1．设i 为虚数单位，若复数zi-在复平面内对应的点为()1,2，则z =（ ） A. 2i -+ B. 2i - C. 12i -+ D. 12i -【答案】B【解析】由复数z i -在复平面内对应的点为()1,2，得12z i i=+-，即()122z i i i =-+=-，故选B. 2．A B 、为两个非空集合，定义集合{|}A B x x A x B -=∈∉且，若{}2,1,0,1,2A =--， ()(){|120}B x x x =-+<，则A B -=（ ）A. {}2B. {}1,2C. {}2,1,2-D. {}2,1,0-- 【答案】C【解析】由()(){|120}B x x x =-+<得{|21}B x x =-<<，由A B -的定义可知：A B -= {}2,1,2-，故选C.3．已知向量,,2,1a b a b ==，若()2b b a ⋅-=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.56π B. 23π C. 3π D. 6π【答案】B【解析】∵()2b b a ⋅-= ，∴221b a b a b -⋅=⇒⋅=- ，而1cos ,2a b a b a b⋅-〈〉== ，则向量a 与b 的夹角为23π，故选B .4．已知函数()()()1212f x n x n x =++-，则()f x 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数 【答案】D【解析】要使函数有意义，需满足20{220x x x +>⇒>->，即函数的定义域为{}2x x ，∵函数的定义域不关于原点对称，故()f x 是非奇非偶函数，故选D. 5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A. 0B. -1C. -2D. -8 【答案】B【解析】根据流程图可得：第1次循环： 2,1,11y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第2次循环： 1,2,13y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第3次循环： 1,1,13y x y x x y i i =+=-=-=-=+= ； 第4次循环： 2,1,14y x y x x y i i =+=-=-==+= ； 此时程序跳出循环，输出1x y +=- . 本题选择B 选项.6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点()()2,0P t t t -≠是角α终边上的一点，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 3-B. 3C. 13-D. 13【答案】D【解析】∵()()2,0P t t t -≠是角α终边上的一点，∴1tan 2α=-， ∴1tan tan1142tan 1431tan tan 1142παπαπα+-+⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅-⨯- ⎪⎝⎭，故选D. 7．若5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展示式中3x 的系数为30，则实数a =（ ）A. -6B. 6C. -5D. 5【答案】A【解析】5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展示式的通项为()552155rr r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令523r -=，得1r =，依题意知()1530a C -=，得6a =-，故选A.8．已知实数x y 、满足12{24x y x y ≤-≤≤+≤，则42z x y =-的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 10D. 12 【答案】C【解析】作出不等式组12{24x y x y ≤-≤≤+≤对应的平面区域如图：由42z x y =-，得22z y x =-，平移直线22z y x =-，由图象可知当直线22zy x =-经过点B 时，直线22zy x =-的截距最小，此时z 最大，由43{{21x y x x y y +==⇒-==，即()3,1B ，此时43210z =⨯-=，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 9．空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 16163π-B. 32163π-C. 1683π- D. 3283π-【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱（其中圆柱的底面半径为2，高为4）中挖去一个四棱锥（其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2），故该几何体的体积为21132244428233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=-，故选D. 10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>与两条平行直线1:l y x b =+与2:l y x b =-分别相交于四点,,,A B D C ，且四边形ABCD 的面积为283b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】联立直线y x b =+ 与椭圆方程可得： ()222220a b x a bx ++= ，则212222a b x x a b -=+弦长21222bAB x x a b =-=+ ，两平行线之间的距离：d ==，四边形的面积：283b S === ，结合： 222,c e a b c a==+ 可得： e = . 本题选择A 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（ ） A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果 B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹 C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹 D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚 【答案】A【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误； 假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.此题利用排除法，对于A 对于B ，一个不满足，故排除B ；对于C ，满足①③，故排除C ；点睛：充分利用已知条件，利用假设法，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答；看到此题目，我们可以根据“老师只猜对了一个”这一条件，利用假设推理的方法得出正确答案．具体方法为假设老师的第一句话正确，推理其它两句话正确与否，根据“老师只猜对了一个”这一条件来判断假设是否正确. 12．已知函数()2f x x =， ()1g x nx =-， ()'g x 为()g x 的导函数．若存在直线l 同为函数()f x 与()'g x 的切线，则直线l 的斜率为（ ）A. 4B. 2C. 4D. 12【答案】C【解析】∵()1g x nx =-， ()2f x x =，∴()2f x x '=， ()1g x x '=-， ()21g x x''=， 设函数()f x 上的切点坐标为()211,x x ，函数()'g x 上的切点为221,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线斜率12k x =，故切线方程可表示为()21112y x x x x -=-，由于存在直线l 同为函数()f x 与()'g x 的切线，故()1221211212211221{2{12x x x x x x x x x x ==--=-⇒=>，则直线l 的斜率为4，故选C.点睛：本题主要考查了导数的几何意义之函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率以及运算能力，难度适中；在求切线方程中，需注意切点的重要性：切点处的导数为切线的斜率，切点在切线上，切点在曲线上；在该题中利用切点在曲线上设出两个曲线上的切点坐标： ()211,x x ， 221,x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，由点斜式得到切线方程，根据存在直线l 同为函数()f x 与()'g x 的切线221,x x ⎛⎫-⎪⎝⎭也适合切线方程，列出方程组求解.二、填空题13．定积分12013xx e dx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰的值为__________． 【答案】1e -【解析】12310011111|1133333xx x e dx x e x e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+--=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，故答案为1e -.14．在ABC ∆中， ,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2co s c o s c a B b A =+， 3a b ==，则ABC ∆的周长为__________．【答案】7【解析】∵2cos cos c a B b A =+，∴222222222a c b b c a c a b ac bc+-+-=⨯+⨯，化简整理得： 3222c c =，即1c =，则ABC ∆的周长为3317++=，故答案为7.15．从集合{}2,3,4,5中随机抽取一个数a ，从集合{}4,6,8中随机抽取一个数b ，则向量(),m a b =与向量()2,1n =-垂直的概率为__________． 【答案】14【解析】集合{}2,3,4,5中随机抽取一个数a ，从集合{}4,6,8中随机抽取一个数b ，共有4312⨯=种不同取法，向量(),m a b = 与向量()2,1n =-垂直即202b a b a -=⇒=，故m可取()2,4， ()3,6， ()4,83种情形，则向量(),m a b =与向量()2,1n =-垂直的概率为14，故答案为14. 16．已知等腰直角ABC ∆的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ABC ∆折起，使二面角B ADC --为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】73π 【解析】如图所示，等腰直角ABC ∆图形翻折后{AD CD AD BD⊥⊥得AD ⊥面BDC ，故CDB ∠是二面角B AD C --的平面角，即3CDB π∠=，故BCD 是边长为1的等边三角形，其外接圆半径满足12sin60r =，即r =，又因为1AD =，故四面体ABCD 的外接球半径满足22217212R r π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则其表面积为2743R ππ=，故答案为73π.点睛：本题考查四面体ABCD 的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD 的外接球的半径是关键；在图形的翻折中一定注意不变的量和不变的关系，在该题中{AD CD AD BD⊥⊥垂直关系不变， ,,AD BD CD 长度大小不变，进而可得BCD 的外接圆半径，结合AD ⊥面BDC 可得球的半径.三、解答题17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和， 0n a >，且()42n n n S a a =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()111n n n b a a =-+， 12n n T b b b =+++ ，求证： 12n T <． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用()12n n n a S S n -=-≥化简可得12n n a a --=，结合等差数列通项公式可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得{}n b 的通项公式，利用裂项相消法可求得111221n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，故而可得证. 试题解析：（Ⅰ）解∵()42n n n S a a =+，①当1n =时得211142a a a =+，即12a =，当2n ≥时有()11142n n n S a a ---=+②由①-②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-，又∵0n a >， ∴12n n a a --=，∴()2212n a n n =+-=． （Ⅱ）证明：∵()()111n n n b a a =-+ ()()12121n n =-+ 11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴12n n T b b b =+++=111111123352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 点睛：本题主要考查了1n n n a S S -=-的应用及等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列， {}n b 为等比数列等.18．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H 和V ．现有,,A B C 三种不同配方的药剂，根据分析， ,,A B C 三种药剂能控制H 指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V 指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H 指标与能否控制V 指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求,,A B C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H 和V 都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X 的分布列．【答案】（Ⅰ）0.275;（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）三种药剂中恰有一种能控制H 指标有三种情形，由相互独立事件和互斥事件的概率求解；（Ⅱ）计算可得,,A B C 三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，即()~3,0.3X B ，由二项分布的概率计算公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ） ,,A B C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率为()()()P P ABC P ABC P ABC =++()()0.510.610.75=⨯-⨯- ()()10.50.610.75+-⨯⨯- ()()10.510.60.75+-⨯-⨯0.275=；（Ⅱ）∵A 有治疗效果的概率为0.50.60.3A P =⨯=， B 有治疗效果的概率为0.60.50.3B P =⨯=， C 有治疗效果的概率为0.750.40.3C P =⨯=，∴,,A B C 三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验， 即()~3,0.3X B ，∵X 的可能取得为0,1,2,3，∴()()330.310.3kk kP X k C -==⨯⨯-，即()()30300.310.30.343P X C ==⨯⨯-=， ()()21310.310.30.441P X C ==⨯⨯-=，()()22320.310.30.189P X C ==⨯⨯-=， ()33330.30.027P X C ==⨯=故X 的分布列为19．如图，已知棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ， 11,2AB AC BC BB ====．（Ⅰ）求证： AC ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求二面角1A C D C --的平面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析;. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由勾股定理先证得AB AC ⊥，再由线面垂直1AA ⊥底面ABCD 得到线线垂直1AA AC ⊥，由线面垂直判定定理可得证；（Ⅱ）)过点C 作1CP C D ⊥于P ，连接AP ，结合（Ⅰ）可得CPA ∠为二面角1A C D C --的平面角，在CPA 求余弦值即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵在底面ABCD 中， 1AB =， AC 2BC =，即222BC AC AB =+，∴AB AC ⊥，∵侧棱1AA ⊥底面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，∴1AA AC ⊥， 又∵1AA AB A ⋂=， 1,AA AB ⊂平面11ABB A ， ∴AC ⊥平面11ABB A ；(Ⅱ)过点C 作1CP C D ⊥于P ，连接AP ， 由（Ⅰ）可知， AC ⊥平面11DCC D ，CPA ∠为二面角1A C D C --的平面角，由于112CC BB ==， 1CD AB ==，求得CP =tan AC CPA CP ∠==，求得cos CPA ∠=，即二面角1A C D C --．20．已知椭圆2222:1(0)7x y C a a a+=>-的焦点在x 轴上，且椭圆C 的焦距为2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()4,0R 的直线l 与椭圆C 交于两点,P Q ，过P 作PN x ⊥轴且与椭圆C 交于另一点N ， F 为椭圆C 的右焦点，求证：三点,,N F Q 在同一条直线上．【答案】（Ⅰ）22143x y +=;（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由焦距为2可得()2271a a --=，解方程得2a 的值，即可得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为()4y k x =-，点()()()112211,,,,,P x y Q x y N x y -，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得12x x +， 12x x ，直线QN 方程为()211121y y y y x x x x ++=--，结合点在l 上，用1x ， 2x 代替1y ，2y ，化简整理直线QN 方程为()()()()211121444k x k x y k x x x x x -+-+-=--，令0y =，整理得1x =，得证.试题解析：（Ⅰ）∵椭圆2222:1(0)7x y C a a a +=>-的焦点在x 轴上， ∴227a a >-，即272a >， ∵椭圆C 的焦距为2，且222a b c -=，∴()2271a a --=，解得24a =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设l 的方程为()4y k x =-，点()()()112211,,,,,P x y Q x y N x y -， 则()224{3412y k x x y =-+=得()22234412x k x +-=， 即()2222343264120k x k x k +-+-=， 0∆>，21223234k x x k +=+， 2122641234k x x k -=+， 由题可得直线QN 方程为()211121y y y y x x x x ++=--，又∵()114y k x =-， ()224y k x =-， ∴直线QN 方程为()()()()211121444k x k x y k x x x x x -+-+-=--，令0y =，整理得212211112448x x x x x x x x x --+=++- ()121212248x x x x x x -+=+- 22222264123224343432834k k k k k k -⨯-⨯++=-+ 22222434132243234k k kk -+==--+， 即直线QN 过点()1,0，又∵椭圆C 的右焦点坐标为()1,0F ， ∴三点,,N F Q 在同一条直线上．21．已知函数()()22212f x x x nx ax =-++， ()()2g x f x x =--．（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若0a >且函数()g x 有且仅有一个零点，求实数a 的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2e x e -<<时， ()g x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）340x y +-=;（Ⅱ）1a =；（Ⅲ） 223m e e ≥-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数在1x =处的导数值，计算出()1f ，利用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）令()0g x =，解出()121x nxa x--=，令()()121x nxh x x--=，利用导数可得()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，根据()max 0h x >，10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， ()20h e <，可得结果；（Ⅲ）将题意转化为()max g x m ≤，利用导数判断函数()g x 的单调性,可得其最大值.试题解析：（Ⅰ）当1a =-时， ()()22212f x x x nx x =--+定义域()0,+∞，()()()'22122f x x nx x x =-+-- ∴()'13f =-，又()11f = ()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=（Ⅱ）令()()20g x f x x =--=，则()222122x x nx ax x -++=+即()121x nxa x--=令()()121x nxh x x--=，则()2211221'nx h x x x x -=--+ 2121x nxx --= 令()121t x x nx =--，则()22'1x t x x x--=--=， ∵()0,x ∈+∞，∴()'0t x <，∴()t x 在()0,+∞上是减函数，又∵()()1'10t h ==，所以当01x <<时， ()'0h x >，当1x >时， ()'0h x <， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()()max110h x h ==>，又因为110h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ()222520e h e e -=<， 0a > ∴当函数()g x 有且仅有一个零点时， 1a =（Ⅲ）当1a =， ()()2221g x x x nx x x =-+-，若2e x e -<<， ()g x m ≤，只需证明()max g x m ≤， ()()()'1321g x x nx =-+令()'0g x =得1x =或32x e-=，又∵2ex e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增，即32x e-=是()g x 的极大值点，又33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()223g e e e =-∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()3232222e e e e g e -⎛⎫<<<-= ⎪⎝⎭，∴()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴223m e e ≥-点睛：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与根的分布之间的关系以及恒成立问题，在切点处的导数值即为切点的斜率，由点斜式得切线方程；由()0f x '>，得函数单调递增， ()0f x '<得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()m a x a h x>或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.22．选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为24{4x t y t==（t 为参数），以O 为极点x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为()cos sin 4ρθθ-=，且与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C 与直线l 的普通方程； （Ⅱ）求AOB ∆的面积．【答案】（1）40x y --=（2） 【解析】试题分析：(1)利用题意化简可得：已知曲线C 的普通方程为24y x =，直线l 的普通方程为40x y --=；(2)求得弦长AB =d =12S =⨯=试题解析：解：（Ⅰ）已知曲线C 的参数方程为24{4x t y t==（t 为参数），消去参数得24y x =，直线l 的极坐标方程为()cos sin 4ρθθ-=，由cos x ρθ=， sin y ρθ=得普通方程为40x y --=（Ⅱ）已知抛物线24y x =与直线40x y --=相交于,A B 两点，由24{40y x x y =--=，得AB =O 到直线l 的距离d ==所以AOB ∆的面积为12S =⨯=23．选修4-5：不等式选讲已知函数()1,(0)f x m x m =-->，且()10f x +≥的解集为[]3,3-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证： 233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析 【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件. 试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-， 所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m -> 又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭213≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。
贵州省贵阳市第一中学2017届高三数学上学期第二次适应性考试试题理(扫描版)
贵州省贵阳市第一中学2017届高三数学上学期第二次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2017届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A D D C B D C B C A【解析】1．∵集合，，，∴B的子集共有16个，故选D．2．复数．若z的虚部为2，可得，，，故选B．3．对于①，，解得或，故“”是“”的必要不充分条件，故正确；对于②，命题的否定形式是：，，使得，故错误；对于③，否命题是：“若，则或”故错误；对于④，是上的奇函数，则，，与不是互为相反数，故错误，故选A．4．由主视图和俯视图可知原正方体截取两个小正三棱锥后如图1，故选D．5．，；，；，；，；，；，；…，S的取值有周期性，，，，故选D．6．，令，则t是区间(0，1]内的值，而，所以当，即时，取最大值．使的n的值为数列中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项，故选C．7．如图2建系，，，，，，，故选B．8．根据题意，的展开式的通项为，共13项，若为正整数，则r的值可以为0，3，6，即其展开式中含a的正整数次幂的项共3项，其他的有10项，先将不含a的正整数次幂的10项进行全排列，有种情况，排好后，有11个空位，在这11个空位中，任取3个，安排3个含a的正整数次幂的项，有种情况，共有•种情况，故选D．9．实数，满足，且，可得，则，令，即有，则，当且仅当，即时，取得最小值25，故选C．10．设是上的任意一点，则关于直线对称的点的坐标为，则在上，即，即．是奇函数，，即，．，∴当时，，则，，的图象向右平移个单位后得到，故选B．11．不等式组表示的平面区域为M，即为图3中的抛物线在第一象限内阴影部分，，倾斜角小于的区域为图中深色阴影部分；，，由几何概率的计算公式可得，故选C．12．椭圆：与双曲线：的焦点重合，∴满足，即，，排除C，D；又，，则，，，则==，( =，∴＞1，故选A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．，，．14．根据题意可知三棱锥的三条侧棱，，由，，则底面是等腰直角三角形，则。
贵州省贵阳市2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(文)试卷 Word版含解析
贵州省贵阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=( )A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )A．B．C．1 D．33．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+14．下列正确的是( )A．∃x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b25．对任意实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心6．已知sin2α=，则cos2（）=( )A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的b=( )A．7 B．9 C．11 D．138．如图三棱锥V﹣ABC，V A⊥VC，AB⊥BC，∠V AC=∠ACB=30°，若侧面V AC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )A．4：B．4：C．：D．：9．在等比数例{a n}中，2a4，a6，48成等差数列，且a3•a5=64，则{a n}的前8项和为( ) A．255 B．85 C．255或﹣85 D．255或8510．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax去的最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为( )A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( ) A．B．C．D．12．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x ﹣2）f′（x）＞0，则当2＜m＜4时，有( )A．f（2）＞f（2m）＞f（log2m）B．f（log2m）＞f（2m）＞f（2）C．f（2m）＞f（log2m）＞f（2）D．f（2m）＞＞f（2）＞f（log2m）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量，夹角为45°，且||=1，||=3，则|2﹣|=__________．14．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=20，则S11的值为__________．15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为__________．16．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴是直径为0.2cm 的球）正好落人孔中的概率是__________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．若向量=（sinωx，cosωx），b=（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）=a•b﹣，且f（x）的周期是π，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若c=，f（C）=，sinB=3sinA，求a，b的值．18．某校研究性学习小组，为了分析2014年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到了2013年和2014年1～5月CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2014年3，4，5个月数据（分别为x，y，z）没有查到，有的同学清楚的记得2014年的5个CPI数据成等差数列（Ⅰ）求x，y，z的值和2014年1～5月该国CPI数据的方差（Ⅱ）一般认为，某月的CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀，先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，求抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．该国2013年和2014年1～5月份的CPI数据（单位：百分点，1个百分点=1%）年份一月二月三月四月五月2013 2.7 2.4 2.8 3.1 3.92014 4.9 5.0 x y z19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．21．已知函数f（x）=﹣lnx，x∈[1，3]（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，求实数a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．六、选修4-5：不等式选讲24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．贵州省贵阳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=( )A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据并集的含义先求A∪B，注意2只能写一个，再根据补集的含义求解．解答：解：集合A∪B={1，2，4}，则C U（A∪B）={3}，故选B．点评：本题考查集合的基本运算，较简单．2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )A．B．C．1 D．3考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z=i（2﹣i）=2i+1，则|z|=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．解答：解：A中，y=为奇函数，故排除A；B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选D．点评：本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．4．下列正确的是( )A．∃x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b2考点：特称；充要条件；全称．专题：计算题．分析：A和B选项按全称和特称的真假判断来看；C选项看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；D选项看从条件能否推出推结论．解答：解：A错，∵方程的根的判别式△=4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：B错，∵当x=1时，x3=x2；C对，∵x2＞1⇔（x﹣1）（x﹣1）＞0⇔x＜﹣1或x＞1∴x＞1⇒x2＞1成立，但x2＞1⇒x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；D错，∵若a＞b，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）不一定大于0．故选C．点评：本题主要考查了、条件、特称等的有关知识，与其它部分的知识联系密切，所以综合性较强．5．对任意实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=4内，故可得结论解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=4内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心．故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．6．已知sin2α=，则cos2（）=( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角的余弦公式化简后，由诱导公式化简即可求值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（）====．故选：B．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．7．执行如图所示的程序框图，则输出的b=( )A．7 B．9 C．11 D．13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=5时，不满足条件a≤4，退出循环，输出b的值为9．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=1满足条件a≤4，b=3，a=2满足条件a≤4，b=5，a=3满足条件a≤4，b=7，a=4满足条件a≤4，b=9，a=5不满足条件a≤4，退出循环，输出b的值为9．故选：B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．如图三棱锥V﹣ABC，V A⊥VC，AB⊥BC，∠V AC=∠ACB=30°，若侧面V AC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )A．4：B．4：C．：D．：考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：主视图为Rt△V AC，左视图为以△V AC中AC的高为一条直角边，△ABC中AC的高为另一条直角边的直角三角形．解答：解：主视图为Rt△V AC，左视图为以△V AC中AC的高VD为一条直角边，△ABC 中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形．设AC=X，则V A=x，VC=，VD=x，BE=x，则S主视图：S左视图==4：．故选：A．点评：由直观图到三视图，要注意图形的变化和量的转化．属于基础题．9．在等比数例{a n}中，2a4，a6，48成等差数列，且a3•a5=64，则{a n}的前8项和为( ) A．255 B．85 C．255或﹣85 D．255或85考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质求出a4，然后求出a6，求出公比，即可求解{a n}的前8项和．解答：解：在等比数例{a n}中，a3•a5=64，可得a42=64，解得a4=±8．当a4=8时，2a4，a6，48成等差数列，即16，a6，48成等差数列，可得a6=32．q2==4，解得q=±2，q=2时解得a1==1，q=﹣2时，q=﹣1q=2，a1=1时，S8===255．q=﹣2时解得a1=﹣1，S8===85．当a4=﹣8时，2a4，a6，48成等差数列，即﹣16，a6，48成等差数列，可得a6=16．q2=无解．故选：D．点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查计算能力．10．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax去的最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为( )A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3）可得a的取值范围．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=y﹣ax为y=ax+z，联立，解得A（1，3），∵使目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3），由图可知a＞1，∴实数a的取值范围为（1，+∞）．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( ) A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x ﹣2）f′（x）＞0，则当2＜m＜4时，有( )A．f（2）＞f（2m）＞f（log2m） B．f（log2m）＞f（2m）＞f（2）C．f（2m）＞f（log2m）＞f（2） D．f（2m）＞＞f（2）＞f（log2m）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log2m、2m的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log2m）、f（2m）的大小即可．解答：解：∵函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=2∵导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（﹣∞，2）上单调递减∵2＜m＜4∴2＜log2m＜2m∴f（2m）＞f（log2m）＞f（2）．故选：C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和比较大小，同时考查了数形结合的思想，该题有一定的思维量，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量，夹角为45°，且||=1，||=3，则|2﹣|=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的数量积运算，求出模长即可．解答：解：根据题意，得；|2﹣|====．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，应用平面向量的数量积求出向量的模长，是计算题．14．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=20，则S11的值为44．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由于S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8，结合等差数列的性质a4+a8=a5+a7=2a6可求a6，由等差数列的求和公式，S11=，即可求解．解答：解：∵S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8=20由等差数列的性质可得，5a6=20∴a6=4由等差数列的求和公式可得s11==11a6=44故答案为：44．点评：本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为36π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．解答：解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO===3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，球的表面积S=4πr2=36π故答案为：36π点评：本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．16．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴是直径为0.2cm的球）正好落人孔中的概率是．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：∵铜钱的面积S=π•（2﹣0.1）2，能够滴入油的图形为边长为1﹣2×=的正方形，面积，∴P=，故答案为：点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．若向量=（sinωx，cosωx），b=（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）=a•b﹣，且f（x）的周期是π，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若c=，f（C）=，sinB=3sinA，求a，b的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），由T===π即可解得ω．（Ⅱ）由f（C）=sin（2C+）=，可得C=，由余弦定理可得a2+b2﹣ab=7①，由已知及正弦定理可得：b=3a②，联立即可解得a，b的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=a•b﹣=sinωxcosωx+cos2ωx﹣=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+）由T===π解得：ω=1（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+）=，∴2C+=（舍去）或2C+=，∴C=由余弦定理可得：7=a2+b2﹣2abcos即有：a2+b2﹣ab=7①∵sinB=3sinA∴由正弦定理可得：b=3a②由①②即可解得：a=1，b=3点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，平面向量数量积的运算以及特殊角的三角函数值的应用，考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握公式及相关定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．18．某校研究性学习小组，为了分析2014年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到了2013年和2014年1～5月CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2014年3，4，5个月数据（分别为x，y，z）没有查到，有的同学清楚的记得2014年的5个CPI数据成等差数列（Ⅰ）求x，y，z的值和2014年1～5月该国CPI数据的方差（Ⅱ）一般认为，某月的CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀，先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，求抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．该国2013年和2014年1～5月份的CPI数据（单位：百分点，1个百分点=1%）年份一月二月三月四月五月2013 2.7 2.4 2.8 3.1 3.92014 4.9 5.0 x y z考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由公差d=5﹣4.9=0.1，能求出x=5.1，y=5.2，z=5.3，从而能求出2014年1～5月该国CPI数据的平均值，进而能求出2014年1～5月该国CPI数据的方差．（2）先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，基本事件总数n=5×5=25，抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀，包含的基本事件个数m=2，由此能求出抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．解答：解：（1）∵2014年的5个CPI数据4.9，5.0，x，y，z成等差数列∴公差d=5﹣4.9=0.1，∴x=5.1，y=5.2，z=5.3，∴2014年1～5月该国CPI数据的平均值为：==5.1，S2=[（4.9﹣5.1）2+（5.0﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.2﹣5.1）2+（5.3﹣5.1）2]=0.02．（2）先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，基本事件总数n=5×5=25，抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀，包含的基本事件个数m=2，∴抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率P==．点评：本题考相数据的方差和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明PN⊥AD，再证明BN⊥AD，即有AD⊥平面PNB，又AD∥BC，从而可证BC⊥平面PNB．（Ⅱ）可证PN⊥平面ABCD，PN⊥NB，由PA=PD=AD=2，可得PN=NA=，S△PNB=，又BC⊥平面PNB，PM=2MC，即可由V P﹣NBM=V M﹣PNB=V C﹣PNB可得三菱锥P﹣NBM的体积．解答：证明：（Ⅰ）∵PA=AD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，又因为N为AD的中点，∴BN⊥AD，又PN∩BN=N∴AD⊥平面PNB，∵AD∥BC∴BC⊥平面PNB…6分（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∵PA=PD=AD=2，∴PN=NA=，∴S△PNB=又BC⊥平面PNB，PM=2MC，∴V P﹣NBM=V M﹣PNB=V C﹣PNB==…12分点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，三菱锥体积的求法，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义可得a=2，又c=1，再由a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，运用判别式为0，讨论k≠0，k=0，运用直角梯形面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．解答：解：（Ⅰ）由椭圆定义可得2a=|PF1|+|PF2|=4．即a=2，又c=1，b==，则椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．设d1=|F1M|=，d2=|F2N|=，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|•|tanθ|∴|MN|=||，S=||（d1+d2）=||===，∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，|m|＞，|m|+＞+，S＜2．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查化归与转化思想．21．已知函数f（x）=﹣lnx，x∈[1，3]（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）只需要求出函数在该区间上的极值、端点值，然后即可比较得到函数的最值；（2）问题转化为f（x）max＜（4﹣at）min即可，然后借助于导数先研究函数的单调性研究最．解答：解：（1）因为函数，所以，令f′（x）=0得x=±2．因为x∈[1，3]，所以当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，当x∈[2，3]时，f′（x）＞0．故f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增．所以．又f（1）=，且f（1）﹣f（3）=ln3﹣1＞0．所以f（1）＞f（3）．所以x=1时，f（x）max=，f（x）min=f（2）=．（2）由（1）知当x∈[1，3]时，，故对任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，只需对于t∈[0，2]，有＜4﹣at恒成立，即恒成立．令g（t）=at，t∈[0，2]．所以，解得．所以实数a的取值范围是．点评：本题考查了利用导数研究函数在连续的闭区间上的最值问题以及不等式恒成立问题的基本思路，属于常规题，难度不大．四、选修4-1：几何证明选讲22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，由此能证明AC2=AD•AE．（2）由，∠EAC=∠DAC，得△ADC∽△ACE，从而得到∠EGF=∠ACE，由此能证明GF∥AC．解答：证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AB=AC，∴AC2=AD•AE．（2）由（1）得，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．点评：本题考查AD•AE=AC2的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理和相似三角形的性质的合理运用．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值时对应的M点的坐标．解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．六、选修4-5：不等式选讲24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用双绝对值不等式的性质|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|即可证得结论成立；（Ⅱ）构造函数h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=，作出y=h（x）与过定点（1，﹣）的直线y=k（x﹣1）﹣的图象，数形结合即可求得实数k的取值范围．解答：证明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|∴．（Ⅱ）记h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，则函数h（x）的图象在直线y=k（x﹣1）﹣的上方，∵y=k（x﹣1）﹣经过定点（1，﹣），当x=﹣时，y=h（x）取得最小值﹣，显然，当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与M（﹣，﹣）时，k PM==，即k＞；当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与直线y=x平行时，k得到最大值1，∴．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的性质，突出构造函数思想与数形结合思想的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
2017年贵州省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅲ)(附答案解析)
A. B. C. D.
7.函数 的部分图象大致为
A. B.
C. D.
8.执行如图的程序框图，为使输出 的值小于 ，则输入的正整数 的最小值为（）
A. B. C. D.
9.已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A. B. C. D.
证明： 的中点坐标为 ，可得 的中垂线方程为 .
由 可得 ，
所以 的中垂线方程为 .
联立
又 ，可得
所以过 三点的圆的圆心坐标为 ，半径 .
故圆在 轴上截得的弦长为 ，即过 三点的圆在 轴上截得的弦长为定值.
【答案】
解：因为 ，且 的定义域为 ，
所以
，
①当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
②当 时，由于 ，所以 恒成立，
【解答】解Βιβλιοθήκη 函数 ，可知： 是奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
则函数 的图象关于 对称，
当 ， ，
排除 ， ，点 时， ，排除 ．
故选 ．
8.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
本题考查程序框图．
【解答】
解：由题可知初始值 ， ， ，
要使输出 的值小于 ，应满足“ ”，
则进入循环体，从而 ， ， ，
（2）通过（1）可知 ，进而转化可知问题转化为证明：当 时 ．进而令 ，利用导数求出 的最大值即可．
【解答】
解：因为 ，且 的定义域为 ，
所以
，
①当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
②当 时，由于 ，所以 恒成立，
此时 在 上单调递增；
③当 时，令 ，解得： ．
贵州省2017届高考数学适应性试卷(理科)含答案解析
贵州省2017届高考数学适应性试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．已知数列{a n}满足a n=a n，若a3+a4=2，则a4+a5=（）+1A．B．1 C．4 D．84．已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A，B，C 三点共线，则实数m，n（）A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣15．执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．286．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜29．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C．D．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．212．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=．14．（x+a）4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为．15．设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为，则此时球的表面积为．16．已知数列{a n}满足a1=﹣40，且na n﹣（n+1）a n=2n2+2n，则a n取最小值时n+1的值为．三、解答题（本题共70分）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．18．（12分）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：记事件C ：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．19．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠B=90°，将△ABC 沿中位线DE 翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A ﹣DE ﹣C 的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）曲线C1的参数方程为（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．2017年贵州省高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x|x≥1}，则M∩N={x|1≤x＜2}故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵y=（2x+i）（1﹣i）=2x+1+（1﹣2x）i，∴，解得y=2故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．3．已知数列{a n}满足a n=a n，若a3+a4=2，则a4+a5=（）+1A．B．1 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据已知条件可以求得公比q=2．【解答】解：∵数列{a n }满足a n =a n +1，∴=2．则该数列是以2为公比的等比数列． 由a 3+a 4=2，得到：4a 1+8a 1=2，解得a 1=，则a 4+a 5=8a 1+16a 1=24a 1=24×=4， 故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．4．已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A ，B ，C三点共线，则实数m ，n （ ）A ．mn=1B ．mn=﹣1C ．m +n=1D ．m +n=﹣1 【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意可得∥，再根据两个向量共线的性质可得=，由此可得结论．【解答】解：由题意可得∥，∴=λ•，故有=，∴mn=1， 故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b 分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．28【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=28，b=28时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=56，b=140，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=140﹣56=84，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=84﹣56=28，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=56﹣28=28，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值为28．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论．【解答】解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S==；故选：B．【点评】本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案．【解答】解：设棱长为1，则三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为：；三棱锥P﹣BCD的俯视图取最大面积时，P在A1处，俯视图面积为：；故三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出三棱锥P ﹣BCD的正视图与侧视图的形状，是解答的关键．8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】由题意判断出三角形有两解时A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可．【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a==2sinA，∵2sinA∈（2，2）．∴a的取值范围是（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．9．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件对应区域面积为=4，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，面积为2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率为：；故选C【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象的对称关系和条件可知C（6）=0，C（12）=10，再根据气温变化趋势可知在前一段时间内平均气温大于10，使用排除法得出答案．【解答】解：∵气温图象在前6个月的图象关于点（3，0）对称，∴C（6）=0，排除D；注意到后几个月的气温单调下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C；∵该年的平均气温为10℃，∴t=12时，C（12）=10，排除B；故选A．【点评】本题考查了函数图象的几何意义，函数图象的变化规律，属于中档题．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．12．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）+g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，由f（x）+g（x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x +x 2=（x +）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x +8=（x ﹣）2+≥．由图象知要使函数y=f （x ）+g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，∴，解得：b ∈（7，8）故选：A ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f （x ）=（x ﹣a ）（x +3）为偶函数，则f （2）= ﹣5 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f （x ）的定义域为R ，则∀x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），建立等式，解之求出a ，即可求出f （2）．【解答】解：因为函数f （x ）=（x ﹣a ）（x +3）是偶函数，所以∀x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），所以∀x ∈R ，都有（﹣x ﹣a ）•（﹣x +3）=（x ﹣a ）（x +3），即x 2+（a ﹣3）x ﹣3a=x 2﹣（a ﹣3）x ﹣3a ，所以a=3，所以f （2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14．（x +1）（x +a ）4的展开式中含x 4项的系数为9，则实数a 的值为 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用（x +1）（x +a ）4=（x +1）（x 4+4x 3a +…），进而得出．【解答】解：（x +1）（x +a ）4=（x +1）（x 4+4x 3a +…），∵展开式中含x 4项的系数为9，∴1+4a=9，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的展开式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．设A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=，C 是球面上的动点，若四面体OABC 的体积V 的最大值为，则此时球的表面积为 36π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，求出半径，即可求出球O 的体积 【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =×R 2×sin60°×R=，故R=3，则球O 的表面积为4πR 2=36π，故答案为：36π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大是关键．属于中档题16．已知数列{a n }满足a 1=﹣40，且na n +1﹣（n +1）a n =2n 2+2n ，则a n 取最小值时n 的值为 10或11 ．【考点】数列递推式．【分析】na n +1﹣（n +1）a n =2n 2+2n ，化为﹣=2，利用等差数列的通项公式可得a n，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵na n﹣（n+1）a n=2n2+2n，∴﹣=2，+1∴数列{}是等差数列，首项为﹣40，公差为2．∴=﹣40+2（n﹣1），化为：a n=2n2﹣42n=2﹣．则a n取最小值时n的值为10或11．故答案为：10或11．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分）17．（12分）（2017•贵州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由acosB=4，bsinA=3，两式相除，结合正弦定理可求tanB=，又acosB=4，可得cosB＞0，从而可求cosB，即可解得a的值．（2）由（1）知sinB=，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形周长的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB=4，bsinA=3，两式相除，有==•=•=，所以tanB=，又acosB=4，故cosB＞0，则cosB=，所以a=5．…（6分）（2）由（1）知sinB=，由S=acsinB ，得到c=6．由b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得b=，故l=5+6+=11+ 即△ABC 的周长为11+．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017•贵州模拟）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：记事件C：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，由此能求出事件C的概率．【解答】解：（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图：由频率分布直方图得：甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，P（C）=P（B1A1∪B2A2）=P（B1）P（A1）+P（B2）P（A2），由题意P（A1）=，P（A2）=，P（B1）=，P（B2）=，∴P（C）=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合理运用．19．（12分）（2017•贵州模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，可证BC⊥平面ABD，即可证明平面ABD⊥平面ABC．（2）取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0），利用平面ABC的法向量求解．【解答】（1）证明：由题意，DE∥BC，∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ABD；∵面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC；（2）由已知可得二面角A﹣DE﹣C的平面角就是∠ADB设等腰直角三角形ABC的直角边AB=4，则在△ADB中，AD=DB=AB=2，取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，∴AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0）设平面ABC的法向量为，，．由，取，}，∴直线AE与平面ABC所成角的θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为：【点评】本题考查线面垂直，考查向量法求二面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2017•贵州模拟）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意的离心率公式求得a=c，b2=a2﹣c2=c2，将直线方程代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB的斜率不存在时，也成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e==，则a=c，由b2=a2﹣c2=c2，将P（1，）代入椭圆方程，解得：c=1，a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2+1﹣（x1+x2）]=k2（+1﹣）=﹣，则•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+m2﹣m（x1+x2）+y1y2，=+m2﹣m•﹣=，欲使得•为定值，则2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得：m=，此时•=﹣2=﹣；当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=±，由M（，0），可得•=﹣，符合题意．故在x轴上存在定点M（，0），使得•=﹣．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•贵州模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用导数求解单调区间．（2）要证e x＞f′（x），即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x ＞lnx+1即可【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1+a，f′（1）=1+a=2，解得：a=1，故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，故f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；（2）要证e x＞f′（x），即证e x﹣lnx﹣2＞0，即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x+1≥lnx+2即可，即只需证明x＞lnx+1即可令h（x）=x﹣lnx+1，则h′（x）=1﹣，令h′（x）=0，得x=1h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=0．即x+1≥lnx+2成立，即e x＞lnx+2，∴e x＞f′（x）．【点评】本题考查了导数的综合应用，构造合适的新函数，放缩法证明函数不等式，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•贵州模拟）曲线C1的参数方程为（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρco s2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ；曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，普通方程为：y=x2；（2）射线l的参数方程为（t为参数，＜α≤）．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣4tcosα=0，解得t1=0，t2=4cosα．∴|OA|=|t2|=4cosα．把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，解得t1=0，t2=．∴|OB|=|t2|=．∴|OA|•|OB|=4cosα•=4tanα=4k．∵k∈（，1]，∴4k∈（，4]．∴|OA|•|OB|的取值范围是（，4]．【点评】本题考查参数方程与极坐标与普通方程的互化，考查参数的几何意义的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•贵州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）化简f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，利用单调性求出f （x）的最小值；（2）计算[g（a）+g（b）]2，利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|=，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，∵f（1）=4，f（5）=4，∴f（x）的最小值为4．（2）证明：由（1）可知m=4，g（a）+g（b）=+，∴[g（a）+g（b）]2=1+a2+1+b2+2=8+2，∵≤=4，∴[g（a）+g（b）]2≤16，∴g（a）+g（b）≤4．【点评】本题考查了函数的单调性，分段函数的最值计算，基本不等式的应用，属于中档题．。
2017届贵州省贵阳市高三2月适应性考试(一)数学理试卷(带解析)
绝密★启用前2017届贵州省贵阳市高三2月适应性考试（一）数学理试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．虚数单位，则232017z i i i i =++++=（ ）A. 0B. 1C. i -D. i2．满足{}{}1,21,2,3,4P ⊆⊄的集合P的个数是 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 53．数列{}n a满足()*11110,12,11n n a n n N a a -=-=≥∈-- ，则2017a = （ ）A. 12017B. 12016C. 20162017D. 201520164．下面的程序框图，如果输入三个数a b c 、、， ()220a b +≠要求判断直线0ax by c ++=与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）A. 0?c =B. 0?b =C. 0?a =D. 0?ab =5．某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A. 2B.C. D. 36．函数曲线12y x =与3y x =所围成的封闭区域的面积为（ ）A.12B. 512C. 45D. 527．圆C 与x轴相切于()1,0T ，与y轴正半轴交于两点,A B ，且2AB =，则圆C的标准方程为（ ）A. ()(2212x y -+-=B. ()()22122x y -+-=C. ()(2214x y +++=D. ()(2214x y -+=8．设M为边长为4的正方形ABCD 的边BC的中点， N为正方形区域内任意一点（含边界），则·AM AN 的最大值为 （ ）A. 32B. 24C. 20D. 169．若231,1,lg ,lg ,lg 10m a m b m c m ⎛⎫∈===⎪⎝⎭，则 （ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<10．已知球O的半径为2，四点S A B C 、、、 均在球O的表面上，且4,SC AB ==， 6SCA SCB π∠=∠=，则点B 到平面SAC的距离为（ ）A.B.32C. D. 111．斜率为(0)k k >的直线经过抛物线2(0)y px p => 的焦点，与抛物线交于A B 、 两点，与抛物线的准线交于C 点，当B 为AC中点时， k 的值为（ ）A.4B.C.D.12．已知M是函数()2112sin 2x f x e x π--⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[]3,5x ∈-上的所有零点之和，则M的值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知()tan2πα+=，则cos2sin2αα+=__________．14．nx⎛⎝的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中3x的系数为__________．（用数字作答）15．我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在《九章算术圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法.所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率（圆周率指圆周长与该圆直径的比率）.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3，当用正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为__________．（参考数据：0cos150.26≈≈）16．已知数列{}n a满足：()23*1232222nna a a a n n N++++=∈，数列2211log?logn na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为nS，则12310····S S S S=__________．三、解答题17．中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ， ()sin b A C =+， ()cos cos A C B -+=.（1）求角A 的大小； （2）求b c + 的取值范围.18．2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列22⨯列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为12，记甲通过的关数为X ，求X的分布列和数学期望.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19．底面为菱形的直棱柱1111ABCD A B C D -中， E F 、 分别为棱1111A B A D 、的中点.（1）在图中作一个平面α ，使得BD α⊂ ，且平面//AEF α.（不必给出证明过程，只要求作出α 与直棱柱1111ABCD A B C D - 的截面）.（2）若012,60AB AA BAD ==∠= ，求平面AEF 与平面α 的距离d .20．经过原点的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于A B 、两点，点P为椭圆上不同于A B 、 的一点，直线PA PB 、的斜率均存在，且直线PA PB 、的斜率之积为14-.（1）求椭圆C的离心率； （2）设12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k 的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M N 、 两点.若点1F 在以MN为直径的圆内部，求k 的取值范围.21．设()()1ln ,2f x xg x x x ==.（1）求()g x 在1x =-处的切线方程；（2）令()()()·F x x f x g x =- ，求()F x 的单调区间；（3）若任意[)12,1,x x ∈+∞ 且12x x >，都有()()()()121122m g x g x x f x x f x ⎡⎤->-⎣⎦ 恒成立，求实数m 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ--+=，直线l的参数方程为132{32x ty t=+=+（t为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A B 、 两点，点P 的坐标为()3,3 ，求PA PB +的值.23．选修4-5：不等式选讲 设()14f x x x =+-- .（1）若()26f x m m ≤-+ 恒成立，求实数m 的取值范围； （2）设m 的最大值为0m ， a b c 、、均为正实数，当0345a b c m ++= 时，求222a b c ++ 的最小值.参考答案1．D【解析】()()20172320171111i i i i z i i i ii ii--=++++===--，选D. 2．B【解析】由题意得集合P 的个数是 2213-= ，选B. 3．C【解析】由题意得数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭成等差数列，所以()111111111n n n n a a a n=+-⨯=⇒=--- ，因此201720162017a = ，选C.4．A【解析】由题意得空白的判断框中判断是否过圆心，因为直线0ax by c ++= 过原点（即单位圆圆心）时0,c = 因此选A. 5．D【解析】几何体为一个三棱锥，如图，其中最长棱长为()22213PB =+=，选D. 6．B【解析】所围成的封闭区域的面积为134312002215)|343412xx dx x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，选B.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 7．A【解析】设圆心()1,,0C m m >，则有2112,m m r =+===，因此圆C 的标准方程为()(2212x y -+=，选A. 8．B【解析】以A 为坐标原点,AB 所在直线为x轴建立直角坐标系,则()()()4,0,4,4,4,2B C M ,设()(),,0,4N x y x y ≤≤,则·42442424AM AN x y =+≤⨯+⨯= ,当且仅当N C =时取等号,因此选B. 9．C 【解析】()33lg 1,0,2lg lg ,lg a m b m m a c m a a =∈-∴====,所以选C. 10．B【解析】由题意得O 为SC中点，所以2SAC SBC π∠=∠=，因此2,SA SB AC BC ====,取AB 中点M，则,SM AB CM AB ⊥⊥ ,即AB SMC ⊥面,由4cos sinSM CM SC CSM CSM ===⇒∠=⇒∠=,可得1432SMC S ∆== ,由1133332B SAC S ABC B SAC SAC SMC B SAC B SAC V V d S AB S d d ---∆∆--=⇒⨯⨯=⨯⨯⇒⨯=⇒=,所以选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 11．C【解析】过点,A B分别作准线垂线,垂足为,D E,则由抛物线定义得,BF BE AF AD == ,因为B 为AC中点，所以2,3AD BE BC AB AF BF BE ===+=，因此1cos ,tan 3BE CBE k CBE BC ∠===∠==，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若()00,P x y为抛物线22(0)y px p => 上一点，由定义易得02p PF x =+ ；若过焦点的弦ABAB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 12．C【解析】因为()212112sin 2cos 2x x f x ex e x ππ----⎡⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()2f x f x =- ，因为()10f ≠，所以函数零点有偶数个，两两关于1x = 对称.当[]1,5x ∈时， ()(]210,1x y e--=∈，且单调递减； []2cos π2,2y x =∈- ，且在[]1,5上有两个周期，因此当[]1,5x ∈时， ()21x y e --=与2cos πy x =有4个不同的交点；从而所有零点之和为428⨯= ，选C.点睛：对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．15【解析】()tan 2tan 2παα+=⇒=, 222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1441cos2sin2.cos sin 1tan 145ααααααααααα-+-+-+∴+====+++点睛： 给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 14．126【解析】由题意得2512,9nn ==，所以()39921991rr r r r r r T C x C x --+⎛==- ⎝，由3932r-= 得4r =，从而展开式中3x的系数为()4491126.C -=点睛：二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者是指组合数，而后者是字母外的部分.前者只与n 和k有关，恒为正，后者还与,a b 有关，可正可负. 15．3.12【解析】由题意得二十四个全等的等腰三角形的顶角为3601524= cos150.0680.26R ≈≈ ，因此圆周率为240.26 3.122RR⨯=16．111【解析】由题意得：()2323112312312222,222212n n n n a a a a n a a a a n n --++++=++++=-≥，两式相减得()121,22n n n na a n ==≥ ，因为11121,2a a == ，所以12n n a = ，因此()2211111log ?log 11n n a a n n n n +==-++， 11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231012101 (23)1111S S S S =⨯⨯⨯=17．（1）3A π=;（2）32b c <+≤ .【解析】试题分析：（1）先根据三角形内角关系及诱导公式化简()sin b A C =+ 得sin b B =，再根据正弦定理sin sin c bC B=得sin c C =，代入条件()cos cos A C B -+=并利用两角和与差余弦公式化简得sin 2A =，结合三角形为锐角三角形条件可得A 角，（2）由正弦定理将边转化为角sin ,sin c C b B == ，再根据三角形内角关系将两角统一成一个角，根据两角差正弦公式及配角公式化成基本三角函数，最后结合锐角三角形条件确定角的取值范围，并根据正弦函数性质求值域. 试题解析：（1）∵()sin sin b A C B =+= ， ∴1sin sin sin a c b A C B=== ，即sin ,sin a A c C == ，∴由()cos cos A C B -+=，得()()cos cos A C A C C --+= ，∴()cos cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +-- ，∴2sin sin A C C =，∴sin A = ，∴由ABC ∆ 为锐角三角形得3A π=.（2）∵3A π=，∴2sin sin sin sin 36b c B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵232C B ππ=-< ， ∴62B ππ<<，∴sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ ，∴326B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即32b c <+≤ .18．（1）见解析; （2）X2116EX = .【解析】试题分析：（1）根据比例确定人数，填入对应表格，再根据卡方公式计算2 6.593 6.635K ≈<，最后对照数据判断结论不成立，（2）先确定随机变量可能取法0，1，2，再分别计算对应概率（可利用对立事件概率求法求较复杂事件的概率），列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：()()()()()()222100152020456006.593 6.6353565604091n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯ ，则不能认为在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关. （2）记男生甲第i 次通过第一关为()1,2i A i = ，第i次通过第二关为()1,2i B i = ， X的可能取值为0，1，2.()()1210?4P X P A A ===，()()()()()11112121121292? (16)P X P A B P A B B P A A B P A A B B ==+++= ，∴()1931141616P X ==--= ， X∴139210124161616EX =⨯+⨯+⨯=.19．（1）见解析;（2）d =.【解析】试题分析：（1）作面面平行，实质作线线平行，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如三角形中位线、平行四边形性质等，本题中已有//BD EF ,根据对称性在平面11AAC C中寻找另一组平行线，（2）利用向量投影可求两平面之间距离，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得平面AEF 的法向量n，利用向量数量积求向量BA 在n方向上投影的绝对值，即为平面AEF 与平面α 的距离d .试题解析：（1）如图，取1111,B C D C 的中点,M N ，连接,,BM MN ND ，则平面BMND 即为所求平面α .（2）如图，连接,AC AC 交BD 于O ，∵在直棱柱1111ABCD A B C D - 中，底面为菱形， ∴AC BD ⊥ ，∴分别以,DB AC为,x y轴， O为原点建立如图所示空间直角坐标系， 又∵所有棱长为2， 060BAD ∠= ，∴()()()0,,1,0,0,A B C ， ()()()111,0,0,0,,1,0,2D A B -， ()11,0,2D - ，∴11,2,,222E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴131,,2,222AE AF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1,AB = ，设(),,n x y z= 是平面AEF的一个法向量，则·0{·0n AE n AF ==，即1202{1202x y z x y z +=-+=，令y =得()0,43,3n =- ， n =，∴点B到平面AEF的距离·1257AB n h n === ，∴平面AEF与平面α的距离d =.20．（1）e =;（2）k << . 【解析】试题分析: (1)先利用点差法由直线PA PB 、的斜率之积为14- 得,a b之间关系,再解出离心率,(2)点1F在以MN为直径的圆内部，等价于11·0FM F N < ，而11·0FM F N < 可转化为M N 、两点横坐标和与积的关系. 将直线l方程与椭圆方程联立方程组，消去y得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得M N 、两点横坐标和与积关于k的关系式，代入11·0FM F N < ，解不等式可得k的取值范围.试题解析: （1）设()11,A x y则()()1100,,,B x y P x y --，∵点A B P 、、三点均在椭圆上， ∴2200221x y a b+= ， 2211221x y a b+= ，∴ 作差得()()()()1010101022x x x x y y y y a b -+-+=-， ∴222210102210101··14PA PB y y y y b a c k k e x x x x a a -+-==-=-=-+=--+ ，∴e =.（2）设()()12,0,,0F c F c -，直线l的方程为()y k x c =-，记()()3344,,,M x y N x y，∵e =，∴22224,3a b c b ==，联立()2222{14y k x c x y b b =-+= 得()222222148440k x ck x c k b +-+-=， 0∆>， ∴23422222223422814{44443·1414ck x x k c k c c k b x x k k +=+--==++ ，当点1F 在以MN为直径的圆内部时， ()()113434··0F M F N x c x c y y =+++<，∴()()()22222343410k x x c ck x x c c k ++-+++< ，得()()()22222222222448311101414c k c c k k k c k k k -++-++<++ ，解得k << .21．（1）2210x y -+= ;（2）见解析;（3）1m ≥.【解析】试题分析: (1)先确定对应区间函数解析式，再根据导数几何意义，可得切线斜率，最后根据点斜式写切线方程，(2)先根据函数定义域去掉绝对值，再求导数，为研究导函数零点，需对导函数再次求导，利用二次求导得到导函数最大值为零，因此原函数单调递减，即得函数单调区间，（3）研究不等式恒成立问题，关键利用变量分类法进行转化： ()()()()121122m g x g x x f x x f x ⎡⎤->-⎣⎦等价于()()()()111222mg x x f x mg x x f x ->-，所以等价于()()()H x mg x xf x =-在[)1,+∞上是增函数，也即等价于()0H x '≥，再次变量分离得等价于()ln 11x m x x+≥≥ 的最大值，最后利用导数求()()ln 11x h x x x +=≥ 最大值即可.试题解析:（1）()()221012·{12(0)2x x g x x x x x ≥==-< ，当0x <时()g x x '=-，∴()()11,12k g x g ==-=-' ，则()g x在1x =- 处的切线方程为112y x +=+ ，即2210x y -+=.（2）()F x在定义域为()0,+∞，∴()21ln 2F x x x x =- ，则()ln 1F x x x '=+-，令()()ln 1G x F x x x '==+-，则()11G x x '=- ，由()110G x x-'=> 得01x <<， ()110G x x-'=< 得1x >，则()G x在()0,1 上为增函数，在()1,+∞为减函数，即()F x '在()0,1上为增函数，在()1,+∞为减函数，∴()()10F x F ''≤=，∴()F x在()0,+∞上为减函数；（3）据题意，当121x x >≥时， ()()()()121122m g x g x x f x x f x ⎡⎤->-⎣⎦恒成立，∴当121x x >≥时， ()()()()111222mg x x f x mg x x f x ->-恒成立，∴()()()H x mg x xf x =-在[)1,+∞上是增函数，∴()0H x '≥，∴()ln 11x m x x+≥≥ ， 令()()ln 11x h x x x+=≥ ， ∴()221ln 1ln 0x x h x x x -='--=≤ ，∴()h x在[)1,+∞上为减函数，∴()()max 11h x h ==，∴1m ≥.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.22．（1）()()22139x y -+-=；（2）PA PB +=.【解析】试题分析: (1)根据cos ,sin x y ρθρθ==， 222x y ρ+=将曲线C的极坐标方程化为普通方程，(2)由直线参数方程几何意义得1212PA PB t t t t +=+=-=，所以将直线参数方程代入曲线C普通方程，利用韦达定理可得结果. 试题解析:（1）由12cos 6sin 0ρθθρ--+=得22cos 6sin 10ρρθρθ--+=将cos ,sin x y ρθρθ==， 222x y ρ+=代入上式得222610x y x y +--+=，∴曲线C的普通方程为()()22139x y -+-=；（2）∵直线l的参数方程为132{3x ty =+=+（t为参数）.∴直线l过点()3,3P，将132{3x ty =+=，代入222610x y x y +--+=，得2250t t +-=， 420240∆=+=>，∴12122,5t t t t +=-=-，∴由参数的几何意义得1212PA PB t t t t +=+=-==.23．（1）15m ≤≤；（2）12【解析】试题分析: (1)不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()2max 6f x m m ≤-+，由绝对值三角不等式可得()14145f x x x x x =+--≤+-+=，再解不等式256m m ≤-+可得实数m的取值范围；(2)由柯西不等式可得： ()()()222222234534525a b ca b c ++++≥++= ，即得222a b c ++的最小值.试题解析： （1）据绝对值不等式得()2141456f x x x x x m m =+--≤+-+=≤-+，∴2650m m -+≤，∴15m ≤≤；（2）由（1）得05m =， 03455a b c m ++==，据柯西不等式可得： ()()()222222234534525a b c a b c ++++≥++=， （当且仅当321,,1052a b c === 时，“=”成立） ∴222251502a b c ++≥= .。
贵州省贵阳市2017年高三适应性考试(二)理科数学试卷_word版有答案
贵阳市2017年高三适应性考试（二）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，若复数z i-在复平面内对应的点为(1,2)，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -2.A B 、为两个非空集合，定义集合{}A B x x A x B -=∈∉且，若{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B -=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,1,2}-D ．{2,1,0}--3.已知向量,,2,1a b a b ==，若()2b b a ⋅-=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 4.已知函数()1(2)1(2)f x n x n x =++-，则()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1 C.-2 D ．-86.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点(2,)(0)P t t t -≠是角α终边上的一点，则tan()4πα+的值为（ ）A ．3-B ．3 C. 13- D ．137.若5()ax x-的展示式中3x 的系数为30，则实数a =（ ） A ．-6 B ．6 C. -5 D ．58.已知实数x y 、满足1224x y x y ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，则42z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．5 C. 10 D ．129.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16163π-B ．32163π- C. 1683π- D ．3283π- 10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与两条平行直线1:l y x b =+与2:l y x b =-分别相交于四点,,,A B D C ，且四边形ABCD 的面积为283b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A B C. D 11.富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（ ）A ．曹雪芹、莎士比亚、雨果B ．雨果、莎士比亚、曹雪芹C.莎士比亚、雨果、曹雪芹 D ．曹雪芹、雨果、莎士比亚12.已知函数2()f x x =，()1g x nx =-，'()g x 为()g x 的导函数．若存在直线l 同为函数()f x 与'()g x 的切线，则直线l 的斜率为（ ）A ．4B ．2 C.4 D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.定积分1201()3x x e dx +-⎰的值为 ． 14.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos c a B b A =+，3a b ==，则ABC ∆的周长为 ．15.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为 ．16.已知等腰直角ABC ∆的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ABC ∆折起，使二面角B AD C --为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且4(2)n n n S a a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1(1)(1)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++，求证：12n T <． 18.医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H 和V ．现有,,A B C 三种不同配方的药剂，根据分析，,,A B C 三种药剂能控制H 指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V 指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H 指标与能否控制V 指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求,,A B C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H 和V 都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X 的分布列．19. 如图，已知棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，11,2AB AC BC BB ===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求二面角1A C D C --的平面角的余弦值．20.已知椭圆2222:1(0)7x y C a a a+=>-的焦点在x 轴上，且椭圆C 的焦距为2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(4,0)R 的直线l 与椭圆C 交于两点,P Q ，过P 作PN x ⊥轴且与椭圆C 交于另一点N ，F 为椭圆C 的右焦点，求证：三点,,N F Q 在同一条直线上．21.已知函数22()(2)12f x x x nx ax =-++，()()2g x f x x =--．（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >且函数()g x 有且仅有一个零点，求实数a 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑．22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，且与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C 与直线l 的普通方程；（Ⅱ）求AOB ∆的面积．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|,(0)f x m x m =-->，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥．试卷答案一、选择题1-5: BCBDB 6-10:DACDA 11、12：D 、C二、填空题13.1e - 14.7 15.14 16.73π 三、解答题17.（Ⅰ）解∵4(2)n n n S a a =+，①当1n =时得211142a a a =+，即12a =，当2n ≥时有1114(2)n n n S a a ---=+②由①-②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即1112()()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，又∵0n a >，∴12n n a a --=，∴22(1)2n a n n =+-=． （Ⅱ）证明：∵1(1)(1)n n n b a a =-+1(21)(21)n n =-+111()22121n n =--+， ∴12n n T b b b =+++=111111(1)23352121n n -+-++--+111(1)2212n =-<+． 18.（Ⅰ）,,A B C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率为()()()P P ABC P ABC P ABC =++0.5(10.6)(10.75)=⨯-⨯-(10.5)0.6(10.75)+-⨯⨯-(10.5)(10.6)0.75+-⨯-⨯0.275=；（Ⅱ）∵A 有治疗效果的概率为0.50.60.3A P =⨯=，B 有治疗效果的概率为0.60.50.3B P =⨯=，C 有治疗效果的概率为0.750.40.3C P =⨯=，∴,,A B C 三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，即~(3,0.3)X B ，∵X 的可能取得为0,1,2,3，∴33()0.3(10.3)k k k P X k C -==⨯⨯-，即0033(0)0.3(10.3)0.343P X C ==⨯⨯-=，123(1)0.3(10.3)0.441P X C ==⨯⨯-=，223(2)0.3(10.3)0.189P X C ==⨯⨯-=，333(3)0.30.027P X C ==⨯=故X 的分布列为19.（Ⅰ）证明：∵在底面ABCD 中，1AB =，AC ，2BC =，即222BC AC AB =+，∴AB AC ⊥，∵侧棱1AA ⊥底面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，∴1AA AC ⊥，又∵1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，∴AC ⊥平面11ABB A ；(Ⅱ)过点C 作1CP C D ⊥于P ，连接AP ，由（Ⅰ）可知，AC ⊥平面11DCC D ，CPA ∠为二面角1A C D C --的平面角，由于112CC BB ==，1CD AB ==，求得CP =，故tan AC CPA CP ∠==，求得cos CPA ∠=即二面角1A C D C --．20.解：∵椭圆2222:1(0)7x y C a a a +=>-的焦点在x 轴上， ∴227a a >-，即272a >， ∵椭圆C 的焦距为2，且222abc -=，∴22(7)1a a --=，解得24a =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设l 的方程为(4)y k x =-，点112211(,),(,),(,)P x y Q x y N x y -，则22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22234(4)12x k x +-=， 即2222(34)3264120k x k x k +-+-=，0∆>，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+， 由题可得直线QN 方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 又∵11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，∴直线QN 方程为211121(4)(4)(4)()k x k x y k x x x x x -+-+-=--， 令0y =，整理得212211112448x x x x x x x x x --+=++-12121224()8x x x x x x -+=+- 22222264123224343432834k k k k k k -⨯-⨯++=-+22222434132243234k k k k -+==--+， 即直线QN 过点(1,0)，又∵椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)F ，∴三点,,N F Q 在同一条直线上．21.解：（Ⅰ）当1a =-时，22()(2)12f x x x nx x =--+定义域(0,)+∞， '()(22)1(2)2f x x nx x x =-+-- ∴'(1)3f =-，又(1)1f =()f x 在(1,(1))f 处的切线方程340x y +-=（Ⅱ）令()()20g x f x x =--=，则22(2)122x x nx ax x -++=+ 即1(2)1x nx a x--=令1(2)1()x nx h x x --=，则2211221'()nx h x x x x -=--+2121x nx x --= 令()121t x x nx =--，则22'()1x t x x x --=--=， ∵(0,)x ∈+∞，∴'()0t x <，∴()t x 在(0,)+∞上是减函数，又∵(1)'(1)0t h ==，所以当01x <<时，'()0h x >，当1x >时，'()0h x <，∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)10h x h ==>，又因为1()10h e e =-<，22252()0e h e e-=<，0a > ∴当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =（Ⅲ）当1a =，22()(2)1g x x x nx x x =-+-，若2e x e -<<，()g x m ≤，只需证明max ()g x m ≤，'()(1)(321)g x x nx =-+令'()0g x =得1x =或32x e-=，又∵2e x e -<<， ∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，即32x e-=是()g x 的极大值点， 又333221()22g e e e ---=-+，2()23g e e e =- ∵333221()22g e e e ---=-+323222()()2e e e e g e -<<<-=， ∴32()()g e g e -<，∴223m e e ≥- 22.解：（Ⅰ）已知曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），消去参数得24y x =， 直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=得普通方程为40x y --= （Ⅱ）已知抛物线24y x =与直线40x y --=相交于,A B 两点，由2440y x x y ⎧=⎨--=⎩，得||AB =O 到直线l 的距离d ==所以AOB ∆的面积为12S =⨯=23.解：（Ⅰ）因为(1)||f x m x -=-，所以(1)0f x -≥等价于||x m ≤，由||x m ≤，得解集为[,],(0)m m m ->又由(1)0f x -≥的解集为[3,3]-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=1111(23)()323a b c a b c ++++211123)3323a b c a b c≥++=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立， 所以233a b c ++≥．。
2017届贵州省贵阳市高三适应性监测考试(二)理科数学试题及答案
贵阳市2017年高三适应性监测考试（二）理科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设集合{}2320A x x x =++<，集合124xN x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则M N ⋃=（ ）。
A. {}2x x ≥- B. {}1x x >- C. {}1x x <- D. {}2x x ≤-2. 设复数1z ai =+（a 是正实数），且z =12zi-等于 A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 3. 若,x y R ∈，则x y >的一个充实不必要条件是（ ）。
A.x y> B. 22x y > C. >D. 33x y >4. 已知3(,),tan()7224πππαα∈-=-，则sin α的值等于（ ）。
A. 35B. 35- C. 45D. 45-5. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值等于（ ）。
A. 18B. 20C. 21D. 406. 函数()sin cos f x x x =+的图像的一条对称轴方程为（ ）。
A. 4x π= B. 2x π= C. 4x π=-D. 2x π=-7. 61()ax x-展开式的常数项为160-，则a 的值为（ ）。
A. 1-B. 2-C. 1D. 28.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）。
A.49. 函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图像如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 0a b >B. 0a b +>C. 1b a >D. log 2a b >10. 以双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（ ）。
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贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试数学（文科）试卷(一)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知i虚数单位，则113a（ ）
A．0 B．1 C．i D．i
2．满足1,21,2,3,4P的集合P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．某公司某件产品的定价x与销量y之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性
回归直线方程为：ˆˆ0.6517.5yx，则表格中n的值应为（ ）
x
2 4 5 6 8
y
30 40 n 50 70
A．45 B．50 C．55 D．60
4．已知na是等差数列，且公差0d，nS为其前n项和，且56SS，则11S（ ）
A．0 B．1 C．6 D．11
5．下面的程序框图，如果输入三个数abc、、，220ab要求判断直线0axbyc与单位圆的位置
关系，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A．0?c B．0?b C． 0?a D．0?ab
6． 某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）
- 2 - / 5
A．2 B．5 C．22 D．3
7．在0,内任取一个实数x，则1sin2x的概率为（ ）
A．23 B．12 C．13 D．14
8．设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点（含边界），则
AMAN
的最大值为 （ ）
A．32 B．24 C． 20 D．16
9．经过双曲线的左焦点1F作倾斜角为30°的直线，与双曲线的右支交于点P，若以1PF为直径的圆恰好经
过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．2
10．设SA为球的直径，BCD、、三点在球面上，且SA面BCD，三角形BCD的面积为3，
33SBCDABCDVV
，则球的表面积为（ ）
A．16 B．64 C．323 D．32
11．设命题:p若yfx的定义域为R，且函数2yfx图像关于点2,0对称，则函数yfx是
奇函数，命题1132:0,qxxx，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．pq B．pq C．pq D．pq
12．过点22,22M作圆221xy的切线l，l与x轴的交点为抛物线2:20Eypxp的焦点，l与
抛物线E交于AB、两点，则AB中点到抛物线E的准线的距离为（ ）
A．522 B．32 C．722 D．42
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
- 3 - / 5
13．已知2sincos3sincos，则tan2_____________．
14．函数2fxx在1x处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____________．
15．我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在《九章算术圆田术》注中，用割圆术
证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法．所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细
割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率（圆周率指圆周长与该圆直
径的比率）．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每
个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同
于圆的周长，可得圆周率为3，当用正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为
_____________．（参考数据：cos150.966,0.0680.26）
16．已知数列na满足：23*1232222nnaaaannN，数列2211loglognnaa的前n项和为
n
S
，则12310SSSS_____________．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，sinbAC，coscos3ACBc．
（1）求角A的大小；
（2）求bc的取值范围．
18．2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园．元旦期间，
为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放．现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男
生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，
具体数据如图表：
（1）根据条件完成下列22列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别
有关？
愿意 不愿意 总计
男生
女生
- 4 - / 5
总计
（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的
2人中至少有一名男生的概率．
参考数据及公式：
2
0
PKk
0．1 0．05 0．025 0．01
0
k
2．706 3．841 5．024 6．635
2
2
nadbcKabcdacbd
．
19．底面为菱形的直棱柱1111ABCDABCD中，EF、分别为棱1111ABAD、的中点．
（1）在图中作一个平面，使得BD，且平面//AEF．（不必给出证明过程，只要求作出与直棱
柱1111ABCDABCD的截面）．
（2）若12,60ABAABAD，求点C到所作截面的距离．
20．已知圆221:39Fxy与圆222:31Fxy，以圆12FF、的圆心分别为左右焦点的椭圆
22
22
:10xyCabab
经过两圆的交点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线23x上有两点MN、（M在第一象限）满足120FMFN，直线1MF与2NF交于点Q，当
MN
最小时，求线段MQ的长．
21．设21,2xfxxegxxx．
（1）令Fxfxgx，求Fx的最小值；
（2）若任意12,1,xx且12xx有1212mfxfxgxgx恒成立，求实数m的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
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22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
1
2cos6sin0
，直线l的参数方程为132332xtyt（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于AB、两点，点P的坐标为3,3，求PAPB的值．
23．选修4-5：不等式选讲
设14fxxx．
（1）若26fxmm恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设m的最大值为0m，abc、、均为正实数，当0345abcm时，求222abc的最小值．