2019年-上海海事大学高数课件2数列的极限-PPT精选文档
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数学分析讲解---数列极限ppt课件
无穷小，无穷大和无界的关系
定理 若xn
0,
则
lim
n
xn
lim
n
1 xn
0.
无穷大 无界，反之不成立
例8 当n
时，xn
n2
cos
n 是（
）.
(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大.
15
Stolz定理
设{yn}严格增加，且
lim
n
yn
.
若
12
定理5 若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B, 则有
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim
n
xn
)
lim
xn
A
lim
n
xn
n yn
B
lim
n
yn
(B 0);
1 3
Ex. 求极限 lim1 2 L n
n
nn
2 3
五、数列收敛准则
1单调有界定理 设数列{xn}单调增加. 则当{xn}有上界时, {xn}收敛，当{xn} 上无界时, {xn}为正无穷大，且均成立
lim
n
《数列极限》课件
数列极限的求法和定理
夹逼定理
当数列中的部分项趋近于某值 时，可以用夹逼定理计算数列 极限。
单调有界性原理
针对单调有界数列极限计算， 有效避免无关项的干扰。
等比数列求和公式
等比数列常用求和公式是根据 数列的公比、项数和首项等参 数来计算其总和。
数Байду номын сангаас极限的应用
1
概率论
数列极限可以用于计算连续抛硬币等随机事件的概率。
2
微积分
通过数列极限的积分运算，在空间形体的计算上取得模型化精确结果。
3
金融学
通过数列极限的公式及定理，对于计息的时间长度和贷款利率有精确的计算方法。
数列极限和函数极限的关系
概念解释
数列极限和函数极限都是极 限概念，数列极限为数列中 每一项趋向于某个常数值， 函数极限为自变量无限接近 某一值时因变量所趋向的极 限值。
《数列极限》PPT课件
欢迎大家来学习本课程，我们将深入了解数列极限的概念及应用，同时带您 领略数学的神奇之处。
数列极限概述
1 数列
数列就是按照一定次序排 列的一列数。
2 收敛与发散
数列收敛是指数列的值无 限地靠近某个数，发散表 示数列的值趋于正无穷或 负无穷。
3 应用
数列极限有诸如杨辉三角、 黄金分割数等数学问题的 解决方法。
针对实际问题，通过数列极限相 应的公式和求值技巧得出定量结 果。
数列的定义及分类
等差数列
其数列中每一项与前一项之差相 等。
等比数列
其数列中每一项与前一项之比相 等。
斐波那契数列
其数列中每一项都等于前两项之 和。
数列极限的定义和性质
1 数列极限的定义
数列极限是 指随着数列项数的增加，数列中 的每一项趋近于某个确定的常数。
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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高等数学《 数列极限的定义》课件
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+
三、数列的极限
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
一、概念的引入
一尺之椎，日取其半，永世不竭 .
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。
பைடு நூலகம்
当
n
时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1
.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
要
xn 1
1, 100
由1 1 , n 100
只要 n 100,
2 N1, N 2 使得 当n N1 时恒有| xn a | ;
当n N2 时恒有| xn b | ; 取N maxN1, N2,
则当n N时有 | a b | | ( xn b) ( xn a) |
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+
三、数列的极限
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
一、概念的引入
一尺之椎，日取其半，永世不竭 .
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。
பைடு நூலகம்
当
n
时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1
.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
要
xn 1
1, 100
由1 1 , n 100
只要 n 100,
2 N1, N 2 使得 当n N1 时恒有| xn a | ;
当n N2 时恒有| xn b | ; 取N maxN1, N2,
则当n N时有 | a b | | ( xn b) ( xn a) |
数列极限的定义ppt课件
当n无限增大时, an无限接近于a . 当n无限增大时, |ana|无限接近于0 . 当n无限增大时, |ana|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |ana|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |ana|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, an无限接近于常 数a.
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3 0, 存在N（），使得，当n N时，
an a 成立
11
用定义证明
lim
n
an=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
n
nn
随着n的增加，1/n会越来越小.例如
给定 1,
由 1 1, n
只要 n 1时,
有 an 1 1,
给定 1 , 由 1 1 ,
10
n 10
只要 n 10时,
有
1 an 1 10 ,
给定 给定
1, 1010 1000
由 ,
1 1 , n 100 只要 n
只要 n 1000时,
2
数列的极限
例如
111 1
, , , 248
, 2n
,
;
2, 3 , 4 ,L , n 1 ,L ; 23 n
{
1 2n
}
{n 1} n
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
n (1)n1
{
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |ana|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, an无限接近于常 数a.
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3 0, 存在N（），使得，当n N时，
an a 成立
11
用定义证明
lim
n
an=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
n
nn
随着n的增加，1/n会越来越小.例如
给定 1,
由 1 1, n
只要 n 1时,
有 an 1 1,
给定 1 , 由 1 1 ,
10
n 10
只要 n 10时,
有
1 an 1 10 ,
给定 给定
1, 1010 1000
由 ,
1 1 , n 100 只要 n
只要 n 1000时,
2
数列的极限
例如
111 1
, , , 248
, 2n
,
;
2, 3 , 4 ,L , n 1 ,L ; 23 n
{
1 2n
}
{n 1} n
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
n (1)n1
{
数列的极限讲解PPT课件
xn的极限,或者称数列xn收敛于a,记为
lim
n
xn
a,
或xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数 有关.
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N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
可以看到, 随着n 趋于无穷, 数列的 通项有以下两种变 化趋势: (1) 通项无限趋近于
一个确定的常数; (2) 通项不趋近于任何确定的常数.
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问题: 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
数列极限ppt课件
例4 由前面我当 们 n无 看限 到 时 增 ： , 大
1 2n
0
1 (1)n 0 n
n n 1
1
数列极限的直观定义—定性描画
普通地, 假设数列{xn} 当 n 时,
xn 可以无限地趋近某个常数 a, 那么称数
列{xn} 当 n 时以 a 为极限, 记
为
nl imxn a.
此时, 也称数列是收敛的.
极限描画的是变量的变化趋势.
讨论数列
(1)n
10 n
当 n无限增大时的变化趋势.
容易看出:
当 n无限增大时,
(1)n 10n
无限地趋近于. 零
U(O,) 0
U(O1,) 1
x1 x3 x2n-1
x2n x4 x2
(
1 10
••• (••• ••••(••• *•••)•••• •••)• • •
数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 M 0 ,使 x I 时 得 ,有 |f ( x ) | M 当 成 , 则称 f(x)在 函区 I数 上间 .有界
y yf(x) M
yM
I (
O
) x
M yM
数列的有界性的定义
若 M 0 ,使 |x n | M 得 ,n N 成 , 立 则称 { x n } 有 数 .否 界 列 { 则 x n } 是 称 无 . 界
若 { x n } 满 x 1 x 2 足 x n ,则 {xn}严格单, 调 记{ 增 为 xn} 加 .
单调减少 若 { x n } 满 x 1 x 2 足 x n ,则 {xn}单调 , 也 增 { 记 xn} 加 .为