自控原理习题参考答案(7)

第七章习题参考答案
7-1 试求下列函数的初值和终值。

（2）2
11
)1(10=)(－－－z z z X
解：0=)1(10=)(=)0(2
11
∞→∞→－－－z z lim z X lim x z z
∞=)1(10)1(=)()1(=)∞(211
1→1→－－－－－z z z lim z X z lim x z z
7-2
试求下列函数的Z 反变换。

（2）)
2()1(=)(2－－z z z z X （4）))((=)(3T T e z e z z
z X －－－－
解 （2）1
)1(2=)2()1(=
)(22－－－－－－－z z
z z z z z z z z X
1
2=]1)1(2[
=)(2－－－－－－－－１n z z
z z z z Z nT x n
)()1(2=)(∑∞
=nT t δn t x n n *
－－－
（4）)
)((=)(3T T e z e z z
z X －－－－
])
)(([=])([=)(31∑∑T T n n e z e z z
s Re z z X s Re nT x －－－－－
T T nT z=e T
T T n e
e e e z e z e z z R Ｔ331=)]())(([=－－－－－－－－－－－
T T nT
z=e T
T T n e
e e e z e z e z z R Ｔ－－－－－－－－－－－33332=)]())(([=3
T T nT
nT T T nT T T nT e
e e e e e e e e e nT x －－－－－－－－－－－－－－33333=+=)(
)(=)(∑∞
0=33nT t δe
e e e t x n T T nT
nT *
－－－－－－－
7-4 试判断图7-24所示系统的稳定性。

解 开环脉冲传递函数为
))()(190()
()1()()1100(+))()(1(99))((900=
]
901910+11011)1(10)[(1=]
100+1
90110+1910+1101110[)(1=]
1)
+.0101)(+.10(10
[)(1=]1)+.0101)(+.10(101[=)(100101021002100101001010010212121T T T T T T T T T
T Ts e z e z z e z z e z z e z e z z e z e z T e z z
e z z z z z Tz z s s s s Z z s s s Z z s s s s e Z z G －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－闭环系统的特征方程为：0=)(+1z G
0=)()1()()1100(+))()(1(9))((90010210021001010010T
T T T T T e z z e z z e z e z z e z e z T －－－－－－－－－－－－－－－－－
将1=T 代入上式得：
0=)()1()()1100(+))()(1(9))((90010
210021*********－－－－－－－－－－－－－－－－－e z z e z z e z e z z e z e z
整理后，近似得：
0=11+79+1023z z z
将1
1
+=
－w w z 代入上述特征方程，得 0=293049+5023－－w w w
w 域的劳斯表为：
图7-24 采样系统
29
492029
4930500
1
23
－－－－w /w
w w
可见，系统不稳定。

7-5 设离散系统如图7-25所示，要求：
(1) 当K=5时，分别在z 域和w 域中分析系统的稳定性；
(2) 确定使系统稳定的K 值范围。

解：（1）当K =5时，开环脉冲传递函数为
))(1()1(+))(1()(5=
]
+1)1(5)[(1=]
5
+1
+15[)(1=]
1)
+.20(5[)(1=]1)+.20(1[=)(52
555212121T T T T
Ts e z z z e z z e z T e z z
z z z Tz z s s s Z z s s Z z s s K s e Z z G －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
闭环系统的特征方程为：0=)(+1z G
0=)1(+)(525－－－z e z T T 将T =1代入上式，并整理得
0=9660+3+2.z z
上述方程的根为：z 1=－0.367，z 2=－2.633 。

可见，一个极点在单位圆内，另一个极点在单位圆外，故系统不稳定。

将11
+=－w w z 代入上述特征方程，得
0=9660+1
1+3+11+2.w w w w －）－（ 整理得：
图7-25 离散系统
0=0340680+66.942.w .w －１
可见，上述特征方程存在着负系数，故系统在w 域内也是不稳定。

（2）开环脉冲传递函数为
)
)(1()1(+))(1()(55=]51+151)1()[(1=]
5+1
51+1511[)(1=]
5)
+(5
[)(1=]
1)
+.20(1[=)(52555212121T T T T Ts e z z z e z z e z T K e
z z
z z z Tz z K s s s Z z K s s Z z K s s K s e Z z G －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
特征方程为0=)(+1z G ，即0=)1(+))(1)(5()(5255－－－－－－－－z K e z z K e z KT T T
将T =1代入上式，并整理得
0336.009598.0)336.05(4.006752=+++K z K z － 将11
+=
－w w z 代入上述特征方程，得 00336.09598.01
1)336.05067.04(1152=+++++K w w K w w －－）－（ 整理得：
0=96632672.010+)808.02328.99(+471.052K .w K Kw －－ 因此，系统稳定的K 值范围为：393<<0.K 。

7-6 设离散系统如图7-26所示，其中()r t t =，试求稳态误差系数K p 、K v 、K a ，并求系统的稳态误差()e ∞。

解：开环脉冲传递函数为
图7-26 离散系统
))(1()1(+))(1()(=
]
+1)1()[(1=]
+1
+11[)(1=]
1)
+(1
[)(1=]1)+(11[=)(2
212121T T T T
Ts e z z z e z z e z T e z z
z z z Tz z s s s Z z s s Z z s s s e Z z G －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－１
－－－－
将10=.T 代入上式得：
)
)(1()1(+))(1()0.1(=)
)(1()1(+))(1()(=
)(102
101
02
...T T T e z z z e z z e
z e z z z e z z e z T z G －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
特征方程为：0=)(+1z G
0=)1(+)0.1(210－－－z e z .
整理得：0=0959+19102
.z z － 解得方程的解为：0840±950=21.j .z ,，可见两个根均在单位圆内，故系统稳定。

∞=)](+[1=1
→z G lim K z p
10=)
)(1()1(+))(1()0.1(1)(=)(1)(=102
10101→1→.e z z z e z z e z z lim z G z lim K ...z z v －－－－－－－－－－－－
0=)(1)(=21
→z G z lim K z a －
当()r t t 时，稳态误差为：1=.1
0.1
0==
)(v K T ∞e。