1函数的概念及表示

1 东北师大附中2011—2012学年高三数学（ 理）第一轮复习导学案004 函数的概念及表示 编写教师：高长玉 审稿教师：冯维丽 一、知识梳理（阅读教材必修1第15页至26页） 1．函数 （1） 函数的定义

设A、B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数

x，在集合B中都有唯一的数()fx和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个

函数，记作()yfx，xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数()fx的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合()fxxA叫做函数()fx的值域．

显然，()fxxAB． （2） 构成函数的三要素 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数． 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义． （3） 函数的表达方法：解析式、图象法、列表法． 2．映射

映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中

的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定元素y和它对应，那么就称对应f：AB叫做从集合A到集合B的一个映射． 映射与函数的关系：函数是特殊的映射． 3．分段函数 分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的不同取值区间上的对应关系不同，则可以用几个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 4．函数解析式的求法 求函数解析式的常用方法：待定系数法、拼凑法、换元法、赋值法和函数方程法． 二、题型探究 探究一：映射与函数的概念问题 2

例1 设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,fVVaV，记a的象为()fa．若映射:fVV满足：对所有a、bV及任意实数，都有()()()fabfafb，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题： ①设f是平面M上的线性变换，若a、bV，则()()()fabfafb；

②若e是平面M上的单位向量，对aV，设()faae，则f是平面M上的线性变换； ③对aV，设()faa，则f是平面M上的线性变换； ④设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数均有()()fkakfa． 其中的真命题是___________（写出所有真命题的编号）． 解析：对① ∵f是平面M上的线性变换，

∴()()()fabfafb对任意实数，都成立． 令1，得()()()fabfafb，∴①正确． 对② ∵()faae，∴()fababe， 且()()()()()fafbaebeabe， ∴()()()fabfafb，②不正确． 对③ ∵aV，()faa，∴任意实数，都有()()()()fababfafb， ∴ f是平面M上的线性变换，③正确． 对④ ∵f是平面M上的线性变换， ∴对所有a、bV及任意实数，都有()()()fabfafb． 令,0k，则有()()fkakfa，∴④正确． 例2 函数)(xf的定义域为A，若Axx21,且)()(21xfxf时总有21xx，则称)(xf为单函数． 例如，函数12)(xxf )(Rx是单函数．下列命题： ①函数)(xf=2x)(Rx是单函数； ②若)(xf为单函数，Axx21,且21xx，则)()(21xfxf； ③若BAf:为单函数，则对于任意Bb，它至多有一个原象； ④函数)(xf在某区间上具有单调性，则)(xf一定是单函数． 其中的真命题是_________（写出所有真命题的编号）． 3

答案：②③ 解析：对于①，若)()(21xfxf，则21xx，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若存在Bb有两个及以上的原象，也即当)()(21xfxf时，不一定有21xx，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件． 探究二：探究函数的定义域 例3 求下列函数的定义域：

（1）02)23()12lg(2)(xxxxxf；（2）)lg()lg()(22axkaxxf．

解：（1）023112012022xxxxx，解得函数定义域为]2,23()23,1()1,21(. （2）



22axkax

 ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），

①当0()akR时，函数定义域为),0(； ②当0a时，得axaxkax或， 1）当10ka时，函数定义域为),(ka， 2）当110ka时，函数定义域为),(a， 3）当10ka时，函数定义域为),(),(aaka； ③当0a时，得axaxkax或， 1）当10ka时，函数定义域为),(ka， 2）当110ka时，函数定义域为),(a， 3）当10ka时，函数定义域为),(),(aaka． 点评：在这里只需要根据解析式有意义列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数 4

的取值进行讨论，培养学生分类讨论的能力． 例4 已知函数()fx的定义域为[0, 1]，求下列函数的定义域：

（1）)12(xf；（2）)1(2xf． 解：（1）∵0211x，∴102x，故函数(21)fx的定义域为1[,0]2． （2）∵2011x，即212x，∴21x或12x， 故函数2(1)fx的定义域为[2,1][1,2]． 例5 设xxxf22lg)(，则)2()2(xfxf的定义域为 （A） 4,00,4 （B） 4,11,4 （C） 2,11,2 （D） 4,22,4

解：选B．由202xx，得22x，()fx的定义域为2,2．

故22,2222.xx 解得4,11,4x．故)2()2(xfxf的定义域为4,11,4． 点评：已知函数)(xf的定义域为[,]ab，求函数[()]yfgx的定义域，只需()agxb即可． 探究三：探究函数的解析式 例6 （1）已知3311()fxxxx，求()fx；

（2）已知2(1)lgfxx，求()fx； （3）已知()fx是一次函数，且满足3(1)2(1)217fxfxx，求()fx； （4）已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx． 解：（1）∵3331111()()3()fxxxxxxxx，∴3()3fxxx（2x或2x）． （2）令21tx（1t），则21xt，∴2()lg1ftt，2()lg (1)1fxxx． （3）设()(0)fxaxba， 则3(1)2(1)333222fxfxaxabaxab5217axbax， ∴2a，7b，∴()27fxx． （4）12()()3fxfxx ①， 把①中的x换成1x，得132()()ffxxx ②， 5

①2②得33()6fxxx，∴1()2fxxx． 例7 在ABC中，2BC，3ACAB．中线AD的长为y，若以AB的长为x，建立y与x的函数关系，指出定义域、值域． 解：如图所示，设ADC，则ADB．

在ADC中，2223cos21xyy ①，

在ABD中，222cos21xyy ②.

由①，②得：2732xxy.

由,0273,23,32,02xxxxxxx 解得2521x.定义域为25,21. 45232xy，当2521x时，494523452x，

2325y，值域为23,25.

点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法． 三、方法提升 1．判断一个对应是否为映射关键看是否“取值任意性，成象唯一性”；判断是否为函数一看是否为映射；二看A、B是否为非空数集． 2．“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法．由给定函数解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练． （1）求函数解析式的题型有： ①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

②已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法； ③已知函数图象，求函数解析式； ④()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其它未知量，需构造另一个等式：解方程组法； ⑤应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． （2）求函数定义域一般有三类问题： ①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； ②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

③已知()fx的定义域求[()]fgx的定义域或已知[()]fgx的定义域求()fx的定义域．