第一章 概率论的基本概念-2
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
第一章 概率论的基本概念
引言一、为什么要学习概率论与数理统计？学习概率论与数理统计的意义！二、概率论研究的是什么？在日常生活中，有很多事，他们的发生与否是确定的，比如上抛硬币必然下落等。
然而，还有许多事的发生与否或发生的结果是不确定的，这类事件就是不确定事件。
这类事件在“大数试验”下是有规律的。
比如：生男生女，抛硬币等。
概率论的任务就在于揭露与研究随机事件的规律性。
第一章概率论的基本概念§1随机试验首先，看几个试验：E1：抛币观察正、反面。
{正、反}E2：掷一骰子，观察点数。
{1、2、3、4、5、6}E3：顶点投篮，投中为止，记录投篮次数。
{1，2，3，……}以上三试验具有以下特征：ⅰ）在相同条件下可重复进行。
ⅱ）试验的可能出现的结果不唯一，但知道所有可能出现的结果。
ⅲ）再试验前不能预知哪一种结果出现。
我们将具有这三个特征的试验称为随机试验 E 。
以后我们说的试验都是随机试验。
注：如果一个随机试验E由几个随机试验E1×E2×……×E n复合而成，则称E为复合试验。
E=E1×E2×……×E n如：抛三枚硬币E ，第一次E1，第二次E2，第三次E3。
§2 样本空间随机事件1、定义：定义1、随机试验E的每一个可能出现的结果称为样本点e 。
定义2、随机试验E中所有可能发生的试验结果组成的集合叫样本空间S。
定义3、随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件。
一般用A，B，C，D，……表示注：A，B，C，D，……为基本空间的一个子集。
A随机事件AA⇔⇔。
试验结果属于中的样本点出现发生2、下面介绍几个特殊的随机事件。
1）基本事件：仅含有单个样本点的事件。
2）必然事件S：样本空间S是自身的子集，包含所有的样本点，每次试验中S总是发生，故称为必然事件。
3) 不可能事件φ：φ是S的子集。
φ中不含任何样本点。
每次试验中φ必不发生。
故称为不可能事件。
例1：掷一枚骰子，观察点数。
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
伊藤清概率论第一章
例如，由 R 的全体区间构成的族所生成的完全加法族为 Borel
集合族．再如，端点为有理数的全体区间构成的族也生成同一
个 Borel 集合族．R 上的完全加法族有很多种，但是 Borel 集合
族是最有用的一个．
将空间 Ω 与其子集构成的一个完全加法族 F 结合来考虑
时，所产生的序偶 (Ω, F ) 称为可测空间. 然而，当 Ω = R 时，通
4 第 1 章 概率论的基本概念
的测度 P ，称为 (Ω, F ) 上的概率测度. 对于 E ∈ F ，称 P (E) 为 E 的概率或 E 的P -测度.
将 Ω, F , P 一起考虑时，所产生的序偶 (Ω, F , P ) 称为概 率空间.
§2 概率空间的实际意义
针对想理解后面出现的定理含义的读者，这里有必要对前 一节定义的抽象概率空间在实际随机现象研究中的应用加以说 明，仅对推理感兴趣的读者另当别论.
k=1
3◦ 属于 F 的集合的余集也属于 F ，即若 E ∈ F ，则
2 第 1 章 概率论的基本概念
Ω−E ∈ F．
利用这三个条件，我们可以推出下列结论.
4◦ 空集 (今后用 ∅ 表示) 也属于 F ．事实上，在 3◦ 中取
E = Ω 即可.
∞
5◦ 如果 E1, E2, E3, · · · ∈ F , 则 Ek ∈ F .
这个等式称为有限可加性. 以此类推，仅依靠形式的推理是不能导出完全可加性的. 将
概率的完全可加性作为基础来假设，是数学上的理想化模式. 你 渐渐地便能理解这种理想化不是与实际相悖的，反而是与其一 致的.
综合以上三个步骤的分析便获得概率空间 (Ω, F , P ).
§3 概率测度的简单性质
第1章 概率论的基本概念.
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
第1章 概率论的基本概念
确定概率的常用方法有： （1）频率方法(统计方法) （2）古典方法 （3）几何方法 （4）公理化方法 （5）主观方法
古典概率
(1) 古典概率的假想世界是不存在的 .对于那些极其罕见的， 定义 1.2.5 如果试验满足下面两个特征，则称其 但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后 为古典概型(或有限等可能概型)： 恰好站立，一次课堂讨论时突然着火等. （1 ）有限性：样本点的个数有限； (2) 古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的 .而在 （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同 . 实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的 .
(3) 如果AiAj= (1 i < j k)，则
fn(A1∪A2∪ … ∪Ak ) = fn(A1 ) +fn(A2 ) + … +fn(Ak 着事件在一次试验中发生的可能性就 大，反之亦然. 人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加， 频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频 率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.
互不相容与对立区别 随机事件间的关系与运算
（1）事件A与事件B对立 AB= , A∪B= . （2）事件 A与事件B互不相容 AB= . 关系 运算 包含 相等 互不相容 并 交 差 补
如果属于A的样本点一定 由在 中而不在事件 A 中的样本点 , B没有相同的样本点， 如果事件 A 由事件 如果 A A 与事件 B ，且 A B 中所共有的样本 B，那么 A=B. A中而不在事件B中的样 中所有的样本点 由在事件 属于B，则称 A 包含于 B ， BB.B 组成的新事件，也叫 A的对立 B A A A 则称互不相容 . 记作 A ∩ B= . 点组成的新事件 即B包含 A=B A B, A B A. . 组成的新事件 .记作 A记作 ∪ B.BA 本点组成的新事件 .记作 A-B. 或 A. 记作 B. .
1概率论的基本概念
[注样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元 ]
素取决于试验的内容和目的．
二、随机事件
1.随机事件: 试验E的样本空间S的子集. 简称事件． 通常用字母A，B，C表示.
A的对立事件记作 A .
ASA
B A
A
[注]
(1) 事件之间的关系可用文氏图表示； (2) 对于任意事件A，显然
AA , A
A S,
A S A, A A
(3) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互不相容的． (4) B A B A B AB
B
A
A U B A U ( B A )
S1={H, T}（H表示出现正面， T表示出现反面）
试验E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.
S2= {HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数. S3={0,1,2,3} 试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. S4={1,2,3,4,5,6}
第一章 概率论的基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：概率论是研究什么的？
研究和揭示随机现象的统计 在一定条件下必然发生的现象 确定现象 规律性的数学学科 例：向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变; … … 例:抛一枚硬币,结果可能正(反)面朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；… …
第1章 概率论与数理统计的基本概念
第1章概率论与数理统计的基本概念1.1考点归纳一、随机事件及其运算1．事件间的关系（1）包含关系如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（见图1-1），或称B包含A，记为A B，或B A。
用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生。
对任一事件A，必有AΩ。
图1-1A B（2）相等关系如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B,而且属于B 的样本点必属于A，即A B且B A，则称事件A与B相等，记为A ＝B．（3）互不相容如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容．用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生．2．事件间的运算（1）和事件事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件A B发生．称为n个事件A1，A2，…，A n的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．（2）积事件事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．称为n个事件A1，A2，…，A n的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．（3）差事件事件A-B＝{x|x∈A且x B）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．（4）互斥事件若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A 与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．（5）逆事件若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．3．事件的运算性质设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）．（4）对偶律（德摩根公式）事件并的对立等于对立的交：事件交的对立等于对立的并：二、频率与概率1．频率（1）定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A/n称为事件A发生的频率，并记成．（2）频率的基本性质①；②；③若A1，A2，…，A k是两两互不相容的事件，则2．概率（1）定义设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（A）满足下列条件：①非负性：对于每一个事件A，有P（A）≥0；②规范性：对于必然事件S，有P（S）＝1；③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于，i≠j，i，j＝1，2，…，有P（A1∪A2∪…）＝P（A1）＋P （A2）＋…（2）概率的性质①②（有限可加性）若A1，A2，…，A n是两两互不相容的事件，则有：P（A1∪A2∪…∪A n）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A n）③设A，B是两个事件，若，则有：P（B-A）＝P（B）-P（A）与P（B）≥P（A）④对于任一事件A，P（A）≤1；⑤（逆事件的概率）对于任一事件A，有；⑥（加法公式）对于任意两事件A，B有P（A∪B）＝P（A）＋P （B）－P（AB）；一般，对于任意n个事件A1，A2，…，A n，可以用归纳法证得：三、等可能概型（古典概型）1．定义如果一个随机试验具有以下两个特点：（1）试验的样本空间只包含有限个元素；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.则这种试验称为等可能概型．2．等可能概型的计算方法若事件A包含k个基本事件，即A＝，这里，是1，2，…，n中某k个不同的数，则有四、条件概率1．条件概率（1）定义设A，B是两个事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．（2）条件概率的性质①非负性：对于每一事件B，有P（B|A）≥0；②规范性：对于必然事件S，有P（S|A）＝1；③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有注：所有概率的性质都适用于条件概率．2．乘法定理（1）设P（A）＞0，则有P（AB）＝P（B|A）P（A），上式也称为乘法公式．（2）一般，设A1，A2，…，A n为n个事件，n≥2，且，则有3．全概率公式和贝叶斯公式（1）样本空间划分的定义设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，B n为E的一组事件．若①，i＝j，i，j＝l，2，…，n；②B1∪B2∪…∪B n＝S；则称B1，B2，…，B n为样本空间S的一个划分．若B1，B2，…，B n是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B1，B2，…，B n中必有一个且仅有一个发生．（2）全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，B n为S 的一个划分，且P（B i）＞0（i＝1，2，…，n），则P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|B n）P（B n）．（3）贝叶斯公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，B n为S 的一个划分，且P（A）＞0，p（B i）＞0（i＝1，2，…，n），则注：在n=2的情况下，全概率公式和贝叶斯公式分别成为：五、独立性1．两个事件的独立性（1）定义设A，B是两事件，如果满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立．（2）两个定理①设A，B是两事件，且P（A）＞0，若A，B相互独立，则P （B|A）＝P（B）．反之亦然．②若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与，与B，与．2．三个事件的独立性设A，B，C是三个事件，如果满足等式则称事件A，B，C相互独立．3.n个事件的独立性（1）定义设A1，A2，…，A n是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，A n相互独立．（2）两个推论①若事件A1，A2，…，A n（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的．②若n个事件A1，A2，…，A n（n≥2）相互独立，则将A1，A2，…，A n中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立．1.2典型题（含考研真题）详解一、选择题1．设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（）．[数一2017研]A．B．C．D．【答案】A【考点】概率公式计算【解析】因为，得，化简得．A项，，因为，所以．2．设，，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]A．与相互独立B．与互不相容C．与相互独立D．与互不相容【答案】C【考点】相互独立【解析】由，得．3．设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（）．[数三2016研]A．B．C． D．【答案】A【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），则4．若A，B为任意两个随机事件，则（）。
概率论
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。