计算机图形学第三章

Bresenham算法公式推导 算法公式推导
Pk的递推公式 由 Pk+1 = 2∆y*xk+1-2∆x*yk+1+C ∆ ∆ Pk = 2∆y*xk -2∆x*yk+C ∆ ∆
∴ Pk+1－Pk = 2∆y－2∆x(yk+1－yk); ∆ － ∆
Bresenham算法公式推导 算法公式推导
由 Pk+1－Pk = 2∆y－2∆x(yk+1－yk); ∆ － ∆
setpixel(Round(x), Round(y), RED);
} }
DDA算法 评价 算法
比直接使用公式 y=m*x+b快 ，没有 快 用乘法; 用乘法 设置增量的除法运算、 设置增量的除法运算、取整操作和浮 点运算仍然耗时； 点运算仍然耗时； 较长线段的误差积累。 较长线段的误差积累。
2. Bresenham算法 算法
3.1 点和直线 点和直线
点 直线
点的绘制
光栅扫描系统：帧缓冲器对应位置设为 光栅扫描系统：帧缓冲器对应位置设为1 其他元素的绘制都在以点为基础产生。 其他元素的绘制都在以点为基础产生。
点的绘制
屏幕坐标 OpenGL中指定二维、三维世界坐标系统 中指定二维、 中指定二维 OpenGL画点函数 画点函数
13 12 11 10 10 11 12 13 14 15 16
y=mx+ b
从(10,10)像素开始，绘制0<m<1直线的屏幕网格
Bresenham 算法思想
y yk+1 y yk
y=mx+b
d2 d1
xk
xk+1
x
Bresenham 算法公式推导 算法公式推导
假定： 假定：0<m<1， ， 已知(x 已知 k, yk)，求下一点 k+1, yk+1) ，求下一点(x (xk+1, yk+1)的两种可能 k+1, yk) 和 (xk+1, yk+1) 的两种可能:(x 的两种可能 其中x 其中 k+1 ＝ xk+1 推导： 推导： 的距离分别为d1、 设两点与理想直线的距离分别为 、d2
直线绘制要求
直 端点准确 亮度均匀 速度 属性
求直线中间的各个像素点
y y2 y1
x1
x2 x
1. DDA算法 算法
数字微分分析仪 思想：在一个坐标轴上以单位间隔对线 思想：在一个坐标轴上以单位间隔对线 单位间隔 段取样，则另一个坐标轴以常数 或 段取样，则另一个坐标轴以常数m或 1/m变化，从而获得线段上各像素点 变化， 变化
3. 中点画线算法
思想
P2 Q M P P1
3. 中点画线算法
判别式： 判别式：点与直线的位置关系 F(x,y)=y-(mx+b) <0 (x,y)位于直线下方，选(x+1,y) (x,y)位于直线下方， 位于直线下方 F(x,y) =0 (x,y)位于直线本身上 位于直线本身上 >0 (x,y)位于直线上方，选(x+1,y+1) 位于直线上方， 位于直线上方
由Bresenham提出的一种精确而有效的光 提出的一种精确而有效的光 栅线段生成算法，可用于直线、 圆弧 圆弧)和 栅线段生成算法，可用于直线、圆(圆弧 和 其它曲线的生成
思想 算法公式推导 算法描述 程序实现 举例
Bresenham 算法思想
思想： 思想：只用整数计算寻找最接近实际直线的整数坐标
xIncrement = dx/(float) steps; yIncrement = dy/(float) steps; setpixel(Round(x), Round(y), RED); for(k=0;k<steps;k++) { x += xIncrement; y += yIncrement;
DDA算法 举例 算法
18 17 16 15 14 13 12 11 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
DDA算法的 实现 算法的C实现 算法的 #define Round(a) ((int)(a + 0.5)) void lineDDA(int xa, int ya, int xb, int yb) { int dx = xb - xa, dy = yb - ya, steps, k; float xIncrement, yIncrement, x=xa, y=ya; if (abs(dx); else steps = abs(dy);
Bresenham 算法举例
step k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Pk 6 2 -2 14 10 6 2 -2 14 10 (x k+1， yk+1) (21， 11) (22， 12) (23， 12) (24， 13) (25， 14) (26， 15) (27， 16) (28， 16) (29， 17) (30， 18)
Bresenham 算法公式推导 算法公式推导
决策参数 决策参数Pk表示相对距离，其值为 参数
Pk = ∆x (d1-d2)＝2∆y*xk -2∆x*yk+C ＝ ∆ ∆ 其中C 其中 = 2∆y + ∆x*(2b-1) ∆ 推论： 推论： 如果P 则选择y 如果 k < 0, 则选择 k Pk ≥0, 则选择 k+1 则选择y
第三章 输出图元
第三章
点绘制 画线算法 圆生成算法
输出图元
椭圆生成算法 区域填充 字符生成
图元的概念
最基本的图形元素/图形输出原语 最基本的图形元素 图形输出原语 类型
图形一级元素： 图形一级元素：点、线 图形二级元素： 图形二级元素：弧、圆、多边形、曲 多边形、 线、字符 其他： 其他：...
5) 重复第 步，共∆x-1次 重复第4步 次
Bresenham算法的 实现 算法的C实现 算法的 实现(0<m<1且x0<x1) 且 void lineBres(int xa,int ya,int xb,int yb) { int dx=xb-xa,dy=yb-ya; int p=2*dy-dx; int twoDy=2*dy,twoDyDx=2*(dy-dx); int x,y,xEnd; x=xa;y=ya; xEnd=xa; setpixel(x,y,RED);
直线的绘制
光栅扫描系统 屏幕位置以整数值表示; 屏幕位置以整数值表示 以线路径上的离散点来显示线段 显示的线段具有阶梯效果
直线的绘制
计算机绘制的直线是由一系列与该 直线最近的像素绘制而成 理论直线与计算机绘制的直线之间 总有一定的偏差 只能尽量减少偏差 偏差取决于屏幕光栅(分辨率 和光 偏差取决于屏幕光栅 分辨率)和光 分辨率 点的运动方向
∴ Pk的递推公式： 的递推公式：
Pk+2 ∆y Pk+1= P0 = 2∆y－∆x ∆ － Pk+2 ∆y－2 ∆x (Pk < 0) (Pk ≥ 0)
Bresenham算法的步骤 算法的步骤
1) 输入直线端点坐标 0,y0)，(xn,yn) 输入直线端点坐标(x ， 2) 画起始点 0,y0)； 画起始点(x ； 3) 计算常量∆x、∆y、2 ∆y 和2∆y - 2∆x， 计算常量∆ 、 、 ∆ ∆ ， 并计算决策参数P 并计算决策参数 0 =2∆y - ∆x ∆ 4) 从k=0开始，在沿线路径的每个 k处，计 开始， 开始 在沿线路径的每个x 并确定下一点(x 算Pk+1，并确定下一点 k+1,yk+1) Pk+2 ∆y Pk+1= Pk+2 ∆y－2 ∆x (Pk < 0) (xk+1, yk ) (Pk ≥ 0) (xk+1, yk+1 )
y |m|>1 y2
y1
x1
x2 x
DDA算法公式 算法公式
直线斜率满足|m|>1时， 时 直线斜率满足 方向为单位步长。 取y方向为单位步长。 方向为单位步长 递推公式为： 递推公式为： yk+1=yk±1 xk+1=xk±1/m
DDA算法 算法
画直线的DDA算法可表示为 算法可表示为: 画直线的 算法可表示为 若|m|≤1:xk+1=xk+1,yk+1=yk+m or : xk+1=xk-1,yk+1=yk-m 若|m|≥1:yk+1=yk+1,xk+1=xk+1/m or :yk+1=yk-1,yk+1=yk-1/m ;xa<xb ;xa>xb ;ya<yb ; ya>yb
Bresenham 算法公式推导 算法公式推导
d1＝y－yk＝m*xk+1+b-yk ＝m*(xk+1)+b- yk ＝ － d2＝ yk+1－y＝yk+1-m*(xk+1)-b ＝ ＝ d1－d2＝2m(xk+1)-2yk+2b-1 － ＝ 令m= ∆y / ∆x，代入上述方程 ， 引入决策参数 ， 引入决策参数 Pk，则
直线中间的各个像素点－沿x轴取样 直线中间的各个像素点－ 轴取样
y
|m| <1
y2 y1
x1
x2
x
DDA算法公式 算法公式
直线斜率满足|m|<1时， 时 直线斜率满足 方向为单位步长。 取x方向为单位步长。 方向为单位步长 递推公式为： 递推公式为： xk+1=xk±1 yk+1=yk±m
求直线中间各个像素点－ 求直线中间各个像素点－沿y轴取样 轴取样
3.2 画线算法