线性方程组解的探究

1 线性方程组解的探究 摘要： 本文主要介绍了线性方程组解存在的条件以及求线性方程组的几种基本方法。 关键词：线性方程组 克拉默法则 初等变换 可逆矩阵。 Researching on Solution to the Linear Equation System

Abstract :This paper describes the existence of linear equations solving linear equations conditions and several basic methods. Keywords : linear equation Cramer Rule primary transformation reversible matrix

自然科学与工程技术领域与线性方程组有关的问题比较普遍，常遇到许多与线性方程组有关的数学问题，中学数学中的“鸡兔同笼”问题就是一个和线性方程组有关的典型例题。同时，线性方程组也是大学数学研究讨论的重点，线性方程组可以分成未知量个数与方程的个数相等和未知量个数与方程的个数不等两类。掌握其解法对于解决学习生活中经常遇到的线性方程组问题就方便了很多,解基本线性方程组三种常用的处理方法是克拉默法则、消元法和初等变换法，利用矩阵的逆求解也是一种较常用的方法，本文将详细讲述。 1.线性方程组有关内容 1.1 线性方程组主要的表达方式 1) 标准型







mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa



22112222212111212111

（1）

2) 矩阵型 2

令nmijaA，),,(21nxxxx,),(21nbbbB，方程组(1)可表述为 BAx （2）

1.2 定义1 线性方程组的初等变换 1) 用一非零的数乘以某一方程； 2) 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3) 互换两个方程的位置。 1.3 几个基本的知识 1) 在方程组(2)中，若0B，即0Ax称为齐次线性方程组，若0B称为非齐次线性方程组； 2) 在方程组(2)中，称BAA,为（2）的增广矩阵； 3) 称0Ax为BAx的导出组； 4) 克拉默法则：设A是nn矩阵(即nm)，线性方程组BAx，若0A，

则线性方程组有唯一解，且有：ddxddxddxnn,,2211.其中Ad，id是把矩阵A中第i列换成方程组的常数项nbbb,,,21



，所成的矩阵行列式ni,2,1.

5) )(Ar表示矩阵A的秩，即A的极大线性无关组的个数。 2.线性方程组的解 2.1特殊的线性方程组的解法（nm，0A) 这种特殊的线性方程组我们在中学数学中经常遇到,在中学通常用加减消元法或代入消元法来解决它，然而对于这类满足克拉默法则的方程，我们用克拉默法则求解起来更加方便。 例1. 用克拉默法则解非齐次线性方程组







4333235233362324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx

解：70,70,70,70,704321ddddd ， 3

方程组有唯一解：1,1,1,144332211ddxddxddxddx .

2.2 一般的线性方程组的解法 2.2.1 初等变换 对于方程组(1)进行一系列初等变换就变成阶梯形方程组







.00,00,0,,,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc

(3) 若(3)中有方程10rd但是01rd，这时不管nxx,1取什么值时上式都不成立。因而（3）无解，故（1）无解，当01rd或者（3）中没有“0=0”时，分为两种情况： 1）nr时梯形方程可化为







.,,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc



（4）

其中.,2,1,0nicii

有最后一个方程开始，就可以逐次解决了。

2）nr这时梯形方程组可化为







.,,11,2211,222221111,11212111rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc



（5）

这样给出一组nrxx,,1的值，就能唯一地得出方程组（5）的一组解，这样就可 4

以用nxx,,1r把rrxxx,,21表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解。

其实这个方法也可以用矩阵的形式表示出来





00000000000000cc00ccc0cccc1222221111211rrrnrrnrnr

ddd

d

或者

.222221111211000000000000000cc00ccc0ccccrrnrrnrnr

dd

d

由此我们就能得出如下结论： 在方程组（2）中，若A为nm矩阵，则方程组（2）的情况如下： a) nArAr)()(，方程组（2）有唯一解； b) nArA)()(r，方程组（2）的解有无穷多个； c) )()(ArAr,方程组（2）无解。 在方程组（2）中，若)0,,0,0(,,,21nbbbB，A为nm矩阵，则其解的情况如下： a) nA)(r,方程组0Ax有唯一零解； b) nA)(r,方程组0Ax有无穷多个解，从而有非零解。 5

例2.取什么值时，线性方程组 





324622432132121xxxxxxxx

有解，并求其解的一般形式。 解：,1000322101014321032210101224162214101A 因而当=1时，原方程组有解，此时原方程组的一般解为







,,21,1321kxkxkx

其中k为任意常数。 此方程的一般解还可以表示为

.21,13231xxxx

其中3x为自由未知量（即任意常数）。

例3.非齐次线性方程组BAx中未知量的个数为n，方程的个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ） A. nr时，方程组BAx有唯一解 B. mr时，方程组BAx有解 C. nr时，方程组BAx有无穷多解 D. nm时，方程组BAx有唯一解 解: 因为A为nm矩阵,1nmA是矩阵,当mr时,必有mArAr)()(，故方程组BAx一定有解，所以选B.

2.2.2 逆矩阵法 定理1 : 设矩阵A可逆，则矩阵方程BAX有解，并且把矩阵A,B合成分块矩阵),(BA,对这个矩阵施行初等行变换,当A化为单位矩阵I时, B就化成了X. 6

证明:设有矩阵方程BAX,其中矩阵A可逆，则有BAX1,显然又有AAI1，所以对分块块矩阵),(BA,就得到),(),1BAAXI（.

因为A可逆，故1A也可逆，所以1A可以表示为一系列初等矩阵SQQQ,,,21的

乘积: 121QQQAS,因而我们得到),(),(121XIBAQQQAS



.

以上等式表明: 若对分块矩阵),(BA施行初等行变换,当左边的A化为单位矩阵I 时，右边的B就会化成BAX1,即BAIBA1,,行，定理得证①。 应用此定理应如何求解齐次线性方程组：先求出(1)的系数矩阵A的秩r，再取A

中某个不为零的r阶子式D所在的r个方程组成的方程组，然后把与D的元素相应的未知量当作未知量，而将其余的rn个未知量当作参数移到方程的另一边，就得到了形如BAX的矩阵方程，即可用定理1 的方法求解。 例4.解齐次线性方程组







03270161311402332075434321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx

解：0000000020-1917-098-71312-71613-1142-33-275-43行变换A 42)()(ArAr， 因而线性方程组有无穷多个解，且017071D，所以原方程组与方程

4324321201917987xxxxxxx

同解

① 黄月兰.谈用逆矩阵的方法求解线性方程组[J],《南宁师范高等专科学报》，2001年第三期.