平面向量与解三角形单元检测题

平面向量与解三角形单元检测题

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)

1. 设 x , y € R,向量 a = (x, 1) , b = (1 , y ) , c = (2 , — 4)，且 a 丄c, b // c ,则|a + b | =(

)

C . 2 护

D . 10

uuu 1 uuu ULU urn 2 uuu

2. 在△ ABC 中, N 是 AC 边上一点，且 AN =-NC , P 是 BN 上的一点，若 AP = mAB +-AC ,

2

9

则实数m 的值为(

C . 1

D .

1) , E (1 , 2) , C ( — 2, — 1) , D (3 , 4)，则向量X B 在&方向上的投影为

4.在直角坐标系xOy 中，AB= (2,1) , A C= (3 , k )，若三角形 ABC 是直角三角形，则 的可能

值个数是(

.2 C . 3 D .

a 与

b 的夹角为 B . 4 C . 3

3 .已知点 A — 1 , 4

120°, |a | = 3, |a + b | =屮3,贝U |b | 等于

D. 1

A. 1 B 5.已知向量

A . 5

6.在四边形

B.

7.如图所示ABCb中, Ab= (1 , 2) , Bb= ( — 4 , 2)，则该四边形的面积为

2^/5 C .

,非零向量

5 D . 10

0A=a^B=b,且BC1 OA,C为垂足，若症=入a(入工0),则入=( 2

8 .在△ ABC 中,sin A< sin 2B+sin2C-sin Bsin C,贝U A 的取值范围是( )

(A) (0, n

] (B)[

n

, n)

6 6

9.设△ ABC的内角A, B,

n n

(C)(0, -] (D)[ — , n )

3 3

C所对边分别为a, b, c若b+ c= a, A= B,

则角C

10.在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A, B, C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数入，使得OC= X O A^ (1 —入)脸立，此时称实数入为“向量

X C^于3和X B勺终点共线分解系数”.若已知P1(3, 1) , P2( —1,3),且向量OP与向量a= (1,1)垂直，则“向

量OP关于OP和OP的终点共线分解系数”为( )

A. — 3 B . 3 C . 1 D . — 1

二、填空题(本大题共5小题，每小题

11.在平面直角坐标系xOy中，已知5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)

ULr ULU

OA = ( —1, t) , OB = (2,2).若/ ABO= 90°,则实

数t的值为_________ .

12.已知a= (1,2) , b= (1 ,入)，若a与b的夹角为钝角，则实数入的取值范围是

13?已知正方形ABC啲边长为2, E为CD的中点，贝U X E- Bb=

冗

14.设e1, e2为单位向量，且61 , e2的夹角为 ~，若a= & + 3e2 , b= 2e1，则向量a在b方

向上的射影为 _________ .

15.若非零向量a , b 满足|a | =1 b | , (2 a + b ) ? b = 0，则a 与b 的夹角为 ____________ .

解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 已知△ ABC 的角A B,

C 所对的边分别是

a ,

b ,

c ,设向量m F (a , b )

, n = (sin B , sin

p = (b — 2, a — 2).

(1)若m// n ,求证：△ ABC 为等腰三角形；

n

(2)若mX p ,边长c = 2，角C =—，求△ ABC 的面积.

17.在△ ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列；(2) 若C=2n ,求a 的值.

3 b

1

a=— c+bcos C.

2

2C

2A 3

,

a cos 2 + c cos 2=尹

(1)求证：a , b , c 成等差数列；(2)若/ B= 60°, b = 4,求^ ABC 勺面积.

20. △ ABC 为一个等腰三角形形状的空地 ，腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决 定在空

地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形 ，设分 成的四边形和三角形的周长相等 ，面积分别为S 1和S 2.

(1)若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； (2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上，求色

的最小值.

S

2

(1)证明：b c 2a ;

面四边形OACB 面积的最最大值。

参考答案:

2x — 4= 0,

1. B

由题意可知

—4— 2y =

骤)

16. A , 18.在△ ABC 中,a 、b 、 c 分别是角A B C 所对的边，且

(1)求角B 的大小；⑵

若&ABC = J 3 ,求b 的最小值.

19.在△ ABC 中，角 A,

B ,

C 的对边分别为a , b , c ,若

21.已知△ ABC 勺角A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 sin B sin C sin A

2 cos B cosC

。

cos A

(2)如图，点 0是^ ABC 外一点，设

AOB (0

),OA=2OB 2, 当 b C 时，求平

解得X = 2,

y =— 2.

0,

故a+ b= (3 , —1), |a + b| =低.

uuu 1 uuu uuu 1 uuu UUl UUl 2 uuu uuu 2

2.选 B 如图，因为

AN = ^NC ，所以 AN = -AC , AP = mAB + -AC = mAB +-

2

1

B, P , N 三点共线，所以 n +-= 1，所以n=-.

3

3

6. C 解析因为云C- Bb= 0，所以

K CL B D

1 _乡 _乡

1

故四边形 ABCb 勺面积S = -| A C |

丽 =-X ^/5X ^5 = 5.

1

uuu

AN

，因为 3. A 解析

A B= (2 , 1) , cb= (5 , 5)，所以就&方向上的投

4. B 解析: 若/ B= 90°

.若/ A = 90°,贝U X B - AC= 6+ k = 0, k =— 6;

，贝y AB- BC= AB-(AC — AB = 0, 6 + k 一 5= 0, k =一 1 ； ，贝U A

C- C B = AC^AB- AC = 0, k 2

—k + 3=0 无解. 若/ C = 90° ???综上，k 可能取—6, — 1两个数.故选

B. 5. B 解析 向量a 与b 的夹角为120°, |a | = 3, |a + b | =>/i3,

3

则 a ? b = | a || b | - cos 120 ° =—孑 b | , | a + b | 2= | a |2 + 2a ? b +

| b |2. 所以 13= 9— 3|b | + | b |2,则 | b | =— 1(舍去)或|b | = 4.

7. A 【解析】

丄",

即BG 丄DC ,

所以(Q C -

。』’OC =0,

所以be 1

BC 0A' ' BC^OC OIC 2

T

-0B oc =0,

2

2

a ■ to

即X |a| - X a - b=0,又 入工0,解得 入=百.

.■ 2 2 2 8 C.解析：根据正弦定理，由sin AW sin B+sin C-sin Bsin C 得

2 a

+c -bc,

b

2 c 2 a 2

根据余弦定理 cos A= --------------

2bc

2bc 2

n

又??? 0

3

9. B 【解析】 由3sin A = 5sin

5

7

a b c b

B,得 3a = 5b .又因为 b + c = 2a,

10. D. 5 3b

2+ b 2-釘 5 2X j b x b

—g 因为C € (0 ,n )，所以C=年.

解析：设 OR =(X , y )，则由 OP L a 知 x + y = 0，于是 OP = (x , — x ), 设

OP = X OP + (1 — 4 X — 1 = X , 入)OP ,(X ,— X )=入(3,1) + (1 —入)(—1,3) = (4 入—1,3 — 2 入).

11. 5解析:

t = 5.

3— 2 X = —

X ,

UlU uuu 于是 4 入—1+ 3— 2入=0, X =— 1.

ULT

uuu uuu

OA = (3,2 — t )，由题意知 OB AB = 0,所以 2X 3+ 2(2 — t ) = 0,

—2 .因为a与b的夹角为钝角，所以cos e <0且cos e 1,

1

所以a 'b <0且a 与b 不反向.由a 'b <0得1 + 2入<0,故 入<——, 由a 与b 共线得入=2，故a 与b 不可能反向.

1

2 -

解析 由题意知：X E - B b=(Afc + 6E ?(尺D — AB =(丽2AB ?(Ab-AB =

也即3b 2=5ab,所以旦=3

b 5

1

sin A= — sin C+si n Bcos C,

2

又因为 A=n -(B+C),所以 sin A=sin(B+C),

1

可得 sin Bcos C+cos Bsin C=

— sin C+sin Bcos C, 又 sin C 丰 0,

所以入的取值范围为 一8 a ? b

解析 a 在b 方向上的射影为| a |cos < a , b >^——.

1 b|

a ?

b = (e i + 3e 2)*2 e i = 2e 1 + 6e i ? e 2= 5.| b | = |2 e i | =2. ? Tbi

2

15. 120°【解析】

?/(2 a + b ) ? b = 0,.?.2a ? b + b =

??? a ? b =— q b 2,设 a 与 b 的夹角为 0,又 | a | = | b | ,

一 2b

2

" a ? b --cos 0 = J -~, 1 = 1 .. , 1

丨 a ll b | 丨 a ll b |

16.解：(1)证明：??? m// n ,.?. a sin A = b sin B

a b

即a ? 2R = b ? 2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径， 故a = ^即^ ABC 为等腰三角形.

(2)由题意可知 m- p = 0, 即卩 a (b — 2) + b (a — 2) = 0. ?? a + b = ab.

由余弦定理可知 4= a + b — ab = (a + b ) — 3ab , 即(ab ) — 3ab — 4 = 0 ,? ab = 4(舍去 ab =— 1).

丄， 1 1 n 厂 故 S =尹b sin C = 2 - 4 - sin —=寸3.

=—2,.?.0 = 120°. 17.(1)证明：由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin

b 因为 一a — = -----

= —c —,所以 a+c-2b=0, sin A sin B sin C

所以2b=a+c,即a 、b 、c 成等差数列.

2

B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0.

2

2

2

_.

2 n ⑵ 解：由余弦定理 c =a +b -2ab ? cos C 及 2b=a+c,c=—

3

2 2 2

I

得(a-2b) =a +b -2ab

-

2

.即 a 2+4b 2-4ab=a 2+b 2+ab,

18.解:(1)由正弦定理可得

=4 — 0— 2 =

—>9 1 —>

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