平面向量与解三角形单元检测题

平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1. 设 x , y € R,向量 a = (x, 1) , b = (1 , y ) , c = (2 , — 4)，且 a 丄c, b // c ,则|a + b | =()C . 2 护D . 10uuu 1 uuu ULU urn 2 uuu2. 在△ ABC 中, N 是 AC 边上一点，且 AN =-NC , P 是 BN 上的一点，若 AP = mAB +-AC ,29则实数m 的值为(C . 1D .1) , E (1 , 2) , C ( — 2, — 1) , D (3 , 4)，则向量X B 在&方向上的投影为4.在直角坐标系xOy 中，AB= (2,1) , A C= (3 , k )，若三角形 ABC 是直角三角形，则 的可能值个数是(.2 C . 3 D .a 与b 的夹角为 B . 4 C . 33 .已知点 A — 1 , 4120°, |a | = 3, |a + b | =屮3,贝U |b | 等于D. 1A. 1 B 5.已知向量A . 56.在四边形B.7.如图所示ABCb中, Ab= (1 , 2) , Bb= ( — 4 , 2)，则该四边形的面积为2^/5 C .,非零向量5 D . 100A=a^B=b,且BC1 OA,C为垂足，若症=入a(入工0),则入=( 28 .在△ ABC 中,sin A< sin 2B+sin2C-sin Bsin C,贝U A 的取值范围是( )(A) (0, n] (B)[n, n)6 69.设△ ABC的内角A, B,n n(C)(0, -] (D)[ — , n )3 3C所对边分别为a, b, c若b+ c= a, A= B,则角C10.在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A, B, C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数入，使得OC= X O A^ (1 —入)脸立，此时称实数入为“向量X C^于3和X B勺终点共线分解系数”.若已知P1(3, 1) , P2( —1,3),且向量OP与向量a= (1,1)垂直，则“向量OP关于OP和OP的终点共线分解系数”为( )A. — 3 B . 3 C . 1 D . — 1二、填空题(本大题共5小题，每小题11.在平面直角坐标系xOy中，已知5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)ULr ULUOA = ( —1, t) , OB = (2,2).若/ ABO= 90°,则实数t的值为_________ .12.已知a= (1,2) , b= (1 ,入)，若a与b的夹角为钝角，则实数入的取值范围是13•已知正方形ABC啲边长为2, E为CD的中点，贝U X E- Bb=冗14.设e1, e2为单位向量，且61 , e2的夹角为 ~，若a= & + 3e2 , b= 2e1，则向量a在b方向上的射影为 _________ .15.若非零向量a , b 满足|a | =1 b | , (2 a + b ) • b = 0，则a 与b 的夹角为 ____________ .解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 已知△ ABC 的角A B,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设向量m F (a , b ), n = (sin B , sinp = (b — 2, a — 2).(1)若m// n ,求证：△ ABC 为等腰三角形；n(2)若mX p ,边长c = 2，角C =—，求△ ABC 的面积.17.在△ ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列；(2) 若C=2n ,求a 的值.3 b1a=— c+bcos C.22C2A 3,a cos 2 + c cos 2=尹(1)求证：a , b , c 成等差数列；(2)若/ B= 60°, b = 4,求^ ABC 勺面积.20. △ ABC 为一个等腰三角形形状的空地 ，腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决 定在空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形 ，设分 成的四边形和三角形的周长相等 ，面积分别为S 1和S 2.(1)若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； (2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上，求色的最小值.S2(1)证明：b c 2a ;面四边形OACB 面积的最最大值。

参考答案:2x — 4= 0,1. B由题意可知—4— 2y =骤)16. A , 18.在△ ABC 中,a 、b 、 c 分别是角A B C 所对的边，且(1)求角B 的大小；⑵若&ABC = J 3 ,求b 的最小值.19.在△ ABC 中，角 A,B ,C 的对边分别为a , b , c ,若21.已知△ ABC 勺角A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 sin B sin C sin A2 cos B cosC。

cos A(2)如图，点 0是^ ABC 外一点，设AOB (0),OA=2OB 2, 当 b C 时，求平解得X = 2,y =— 2.0,故a+ b= (3 , —1), |a + b| =低.uuu 1 uuu uuu 1 uuu UUl UUl 2 uuu uuu 22.选 B 如图，因为AN = ^NC ，所以 AN = -AC , AP = mAB + -AC = mAB +-21B, P , N 三点共线，所以 n +-= 1，所以n=-.336. C 解析因为云C- Bb= 0，所以K CL B D1 _乡 _乡1故四边形 ABCb 勺面积S = -| A C |丽 =-X ^/5X ^5 = 5.1uuuAN，因为 3. A 解析A B= (2 , 1) , cb= (5 , 5)，所以就&方向上的投4. B 解析: 若/ B= 90°.若/ A = 90°,贝U X B - AC= 6+ k = 0, k =— 6;，贝y AB- BC= AB-(AC — AB = 0, 6 + k 一 5= 0, k =一 1 ； ，贝U AC- C B = AC^AB- AC = 0, k 2—k + 3=0 无解. 若/ C = 90° •••综上，k 可能取—6, — 1两个数.故选B. 5. B 解析 向量a 与b 的夹角为120°, |a | = 3, |a + b | =>/i3,3则 a • b = | a || b | - cos 120 ° =—孑 b | , | a + b | 2= | a |2 + 2a • b +| b |2. 所以 13= 9— 3|b | + | b |2,则 | b | =— 1(舍去)或|b | = 4.7. A 【解析】丄",即BG 丄DC ,所以(Q C -。

』’OC =0,所以be 1BC 0A' ' BC^OC OIC 2T-0B oc =0,22a ■ to即X |a| - X a - b=0,又 入工0,解得 入=百..■ 2 2 2 8 C.解析：根据正弦定理，由sin AW sin B+sin C-sin Bsin C 得2 a <b 2 2 ,+c -bc,b2 c 2 a 2根据余弦定理 cos A= --------------2bc2bc 2n又••• 0<A<n , ••• 0<AC — ,故选 C.39. B 【解析】 由3sin A = 5sin57a b c bB,得 3a = 5b .又因为 b + c = 2a,10. D. 5 3b2+ b 2-釘 5 2X j b x b—g 因为C € (0 ,n )，所以C=年.解析：设 OR =(X , y )，则由 OP L a 知 x + y = 0，于是 OP = (x , — x ), 设OP = X OP + (1 — 4 X — 1 = X , 入)OP ,(X ,— X )=入(3,1) + (1 —入)(—1,3) = (4 入—1,3 — 2 入).11. 5解析:t = 5.3— 2 X = —X ,UlU uuu 于是 4 入—1+ 3— 2入=0, X =— 1.ULTuuu uuuOA = (3,2 — t )，由题意知 OB AB = 0,所以 2X 3+ 2(2 — t ) = 0,—2 .因为a与b的夹角为钝角，所以cos e <0且cos e 1,1所以a 'b <0且a 与b 不反向.由a 'b <0得1 + 2入<0,故 入<——, 由a 与b 共线得入=2，故a 与b 不可能反向.12 -解析 由题意知：X E - B b=(Afc + 6E •(尺D — AB =(丽2AB •(Ab-AB =也即3b 2=5ab,所以旦=3b 51sin A= — sin C+si n Bcos C,2又因为 A=n -(B+C),所以 sin A=sin(B+C),1可得 sin Bcos C+cos Bsin C=— sin C+sin Bcos C, 又 sin C 丰 0,所以入的取值范围为 一8 a • b解析 a 在b 方向上的射影为| a |cos < a , b >^——.1 b|a •b = (e i + 3e 2)*2 e i = 2e 1 + 6e i • e 2= 5.| b | = |2 e i | =2. • Tbi215. 120°【解析】•/(2 a + b ) • b = 0,.・.2a ・ b + b =••• a • b =— q b 2,设 a 与 b 的夹角为 0,又 | a | = | b | ,一 2b2" a • b --cos 0 = J -~, 1 = 1 .. , 1丨 a ll b | 丨 a ll b |16.解：(1)证明：••• m// n ,.・. a sin A = b sin Ba b即a • 2R = b • 2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径， 故a = ^即^ ABC 为等腰三角形.(2)由题意可知 m- p = 0, 即卩 a (b — 2) + b (a — 2) = 0. •• a + b = ab.由余弦定理可知 4= a + b — ab = (a + b ) — 3ab , 即(ab ) — 3ab — 4 = 0 ,• ab = 4(舍去 ab =— 1).丄， 1 1 n 厂 故 S =尹b sin C = 2 - 4 - sin —=寸3.=—2,.・.0 = 120°. 17.(1)证明：由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sinb 因为 一a — = -----= —c —,所以 a+c-2b=0, sin A sin B sin C所以2b=a+c,即a 、b 、c 成等差数列.2B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0.222_.2 n ⑵ 解：由余弦定理 c =a +b -2ab • cos C 及 2b=a+c,c=—32 2 2I得(a-2b) =a +b -2ab-2.即 a 2+4b 2-4ab=a 2+b 2+ab,18.解:(1)由正弦定理可得=4 — 0— 2 =—>9 1 —>AD AD21n 即cos B=—,所以B=—.2 32222⑵因为S AABC F J 3 ,所以一acsin n=73 ,所以ac=4,23由余弦定理可知 b 2=a 2+c 2-ac > 2ac -ac=ac,当且仅当a=c 时等号成立. 所以b 2>4,即b >2,所以b 的最小值为2.”丄2C 2A1 + cos C 1 + cos A 3 19.解析： (1) a cos 2+ c cos ㊁=a -------2 --- c ----- 2 -- =^b ,即 a (1 + cos C ) + c (1 + cos A ) = 3b .由正弦定理得： sin A ^ sin A cos C + sin C + cos A sin C = 3sin B ,即 sin A + sin C + sin( A + C ) = 3sin B ,. sin A + sin C = 2sin B. 由正弦定理得，a + c = 2b,故a , (2)由/ B = 60°, b = 4及余弦定理得： ••(a + c ) — 3ac = 16，又由(1)知ABC 的面积 S = ^ac sin B = ^ac sin 60 ° = 4羽.3 3 3 20.解:⑴ TE 为AC 中点时，则AE=EC 二，v _ +3<上+4, •••F 不在BC 上.故F 在AB 上,2 2272 可得AF=—,在三角形 ABC 中,cos A=—.23在三角形 AEF 中,EF 2=A E+A F-2AE ・ AFcos A= 15 , A2 2即小路一端E 为AC 中点时小路的长度为 逅百米.2(2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上,如图所示,设 CE=x,CF=y,则 x+y=5,邑=S29 11 592-仁一，当x=y=-时取等号.x y 225 211答：最小值为一•b, c 成等差数列. 42= a 2+ C 2— 2ac cos 60 ° ,2a + c = 2b ,代入上式得 4b — 3ac = 16，解得 ac = 16,S ABC S CEF = S ABC 〔 S CEFSCEF1—CACBsi nC9 9 =2 ----------------- 1=——1 >。