1.5.定积分概念及几何意义doc
定积分概念
§1.5.3定积分的概念（2课时）教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2．理解定积分的几何意义. 3．掌握定积分的基本性质． 【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.教学过程：• 复习：•• • 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课：正确理解定积分的概念• (1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．• （2）一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 • 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L•将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：•11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 •如果x D 无限接近于0（亦即n ?）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =ò，•其中-ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
定积分定义-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
bx
解决环节：
1) 分割. 在区间 [a, b] 内插入若干个分点，
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a,b] 分成 n y
个小区间 [ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间 [ xi1, xi ]
上任取一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
(i 1, 2,, n)
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
o
y x2
i 1x
n
n
i1
f
(i )xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 n(n 6
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1) 6n n
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i
2xi
y
y x2
lim 1 (1 1)(2 1)
n 6 n n
1
lim
n
n i 1
sin
i
n
n
1
sin xdx.
0
i xi
[a ,
b]上的定积分,
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的概念
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
O
a
c
b
x
例1：利用定积分的定义,计算
的值.
1
0
x 3 dx
即
b a
a
b
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
a
b
lim f (x)dx f ( i)xi。
0
i 1
n
积分上限
a f ( x )dx I lim f ( i )xi 0 i 1
b
积分下限
n
被 积 函 数
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f(x)
f (x)dx f (x)dx (x)dx。 a fa(x)dx a fa(x)dx(x)dxf(x)dx。 c a f c fc a f (x)dx
y yf (x)
b
a f (x)dx a f (x)dx c
O a b x
b
c
b
f (x)dx。
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y
上述曲边梯形面积的负值。
a
(1)分割
将区间[0,1]分为n等分:
y x2
分别过上述n-1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分 成n个小曲边梯形， 它们的面积记作：
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
定积分的概念
（2）作和
f x 上一点，作乘积
ξ x f
i 1 i
n
任取 ξ i xi 1 , xi i 1,2,, n,
ξ i, f ξ i 为曲线 f ξ i xi 1,2,, n ，则
f x 在 a, b
上的积分和。
n
称为函数
例2 计算积分
1
0
1 x dx
2
解：由定积分的几何意 义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围 的面积（见下图）
y
1 4
面积值为圆的面积的
所以
1
0
1 x dx
2
4
1 x
三:
定积分的基本性质
性质1.
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
几何意义
y
o
A1
A 2
A
3
x
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a , x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
b a 4．规定： f ( x)dx f ( x)dx
a
a
f ( x)dx 0
4.
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、x b 所围成.
其面积A等于函数f ( x )在区间 [a , b]上的定积分， 即 A
《定积分几何意义》课件
定积分的性质
总结词
定积分的性质
详细描述
定积分具有线性性质、可加性、可减性、可正可负性等性质。这些性质在计算定积分时具有重要的作 用。
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何解释
详细描述
定积分在几何上表示由曲线和x轴围成 的曲边梯形的面积。这个面积可以是 正值也可以是负值，取决于曲边梯形 在x轴的上方还是下方。
解释
其中$omega$表示角速度，T表示周期。
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CHAPTER 02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在 积分上下限的函数值的差。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为积分的上 下限。
微积分基本定理的应用
解决实际问题
微积分基本定理可以用来解决各 种实际问题，如计算面积、体积 、长度等。
《定积分几何意义》 ppt课件
目 录
• 定积分的概念 • 微积分基本定理 • 面积的计算 • 几何应用 • 定积分的物理应用
CHAPTER 01
定积分的概念
定积分的定义
总结词
定积分的基本定义
详细描述
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。定积分常用于计算面积、体积等，是微积分的基本概念之 一。
曲线的长度计算
直线段的长度
直线段的长度可以通过定积分计算，公式为$int_{a}^{b} 1 dx$，其中$a$和$b$为直线 段的端点。
圆弧的长度
圆弧的长度也可以通过定积分计算，公式为$int_{a}x$，其中$f(x)$为圆弧对应的中心角函数。
定积分的概念(1.5.1-1.5.3)
思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细， 各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大， 这就是一个求极限的过程。
y
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
i 1 i nn
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
温馨提示： 12 +22 +32 + +n 2
=
1 n3
12
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
定积分的定义及几何意义
定积分教学难点：过程的理解.1.定积分的概念:2.定积分的性质根据定积分的定义, 不难得出定积分的如下性质:性质1性质2b1dx babkf (x)dxabk f (x)dx (其中k是不为0的常数) a性质3ba[f1(x) f2(x)]dx b ba f1(x)dx a f2(x)dxa a性质4bf(x)dxcf (x)dxbf (x)dx (其中a c b)教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义.教学重点：掌握过程步骤: 分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)般地，设函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点x0x1x2L X j 1X j L x n b 将区间［a,b］等分成n个小区间，每个小区间长度为x ( x b a)，在每个小区间X i 1, x 上取一点ni i 1,2,L ,n，作和式：Sn b af( i) x f( i)i 1 n如果x无限接近于0(亦即n)时，上述和式S n无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(X)在区间［a,b］上的定积分。
记为: b f (x)dxa其中f (x)成为被积函数，x叫做积分变量，［a,b］为积分区间，b积分上限, a积分下限。
说明:(1)定积分 f (x)dx是一个常数，即S n无限趋近的常数S ( na 时)称为b ,.,.f (x)dx，而不是S n.(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割：n等分区间a,b ; ②近似代替: 取点i X i 1, X j ；n③求和：一a f( i);i 1 n ④取极限:b f (x)dxanlimni 1(3)积分的几何意义：曲边图形面积:积分的物理意义: 变速运动路程bf x dx ;at2 、v(t)dt; 变力做功bF(r)dra例题：求曲线y x 2与x 1,y 0所围成的区域的面积 解：（1）分割:将区间 0,1等分成n 个小区间：ti i 1 1n nn（2）近似代替：1/i s( 1)2n r1n（3）求和：SS i从而得到 S 的近似值 s 1(11 1 -)(2 -) i 16n n（4）取极限：S lim S n limn1 i 1 1 1 1 5lim -1 - 1—— 2 - nni 1nnn 3 n 2n 31 例1.利用定积分的定义计算(x 2 1)dx 的值。
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
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2012—2013学年高二数学选修2-2导学案 编号6 编制人：审核人： 班级_______小组____________姓名___________教师评价____________ 日期2013-3-4
课题：1.5定积分概念及几何意义
【使用说明及学法指导】 1.先预习教材p38„--p50,然后开始做导学案
2．针对预习提纲，深化对定积分概念及几何意义的理解 3.带※号的为较高要求BC层同学不做. 【学习目标】 1.理解求曲边图形面积的过程：分割、近似代替、求和、取极限，感受在其过程中渗透的思想方法； 2.借助于几何直观理解定积分的概念； 3. 掌握定积分的几何意义及相关性质. 【学习难点重点】 1.定积分的概念及定积分的几何意义. 2.定积分的基本性质及运算
【课前预习案 】 【自学提纲：(基本概念、公式及方法)】 一．问题 如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()yfx的一段，我们把由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx所围成的图形称为______________．如何计算面积？ 如：求由抛物线2yx，直线1x以及x轴所围成的平面图形的面积S. 分析： （1）．________ 在区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间： 记第i个区间为_______________，其长度为_________ 分别过上述1n个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
1S，2S，„，nS显然，s=______________ （2）__________ 如图所示，当n很大，即x很小时，在区间1,iinn上，可以用小矩形的面积iS_____________，即在局部范围内“_________________”， （3）_________ 图中阴影部分的面积nS为 2111111nnnniiiiiiSSfxnnn
=________________________________=________________________=312116nnnn=___________________________________ （4）____________ 分别将区间0,1等分n等份（如图），当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时有 __________________________________________________________________ 归纳总结：步骤:____________________________________________
ini-1
n1Oyx
y=x2二．定积分的概念 一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点 0121iinaxxxxxxb 将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为__________），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：_______________________ 如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx_____________的定积分。记为：_______________ ，其中()fx___________，x叫_________[,]ab为______________，b__________，a_______________。 三．定积分的几何意义 如果在区间[,]ab上函数________且恒有__________，那么定积分()bafxdx
表示由直线________________________________________所围成的曲边梯形的面积。． 三．课前检测
1．和式i＝15 (yi＋1)可表示为( )
A．(y1＋1)＋(y5＋1) B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1 C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5 D．(y1＋1)(y2＋1)„(y5＋1) 2．在求由x＝a，x＝b(a积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S； ③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于( ) A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi＋1) C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均不正确 4.定积分abf(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关 5．由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积可以写成________ 【课中探究案】 【自主探究 合作展示】 例1：利用定积分的定义,计算130xdx的值.
例2：利定积分的几何意义 1求1201-xdx的值 2求120-1-xdx的值 例3.若a()=bfxdxA，ca()=Bfxdx，C()=Cbfxdx (a问1）ak()=bfxdx_______ 2）12a()+f(x)=bfxdx______________
3) dcac()+f(x)dx=fxdx__________________ 试举例说明以上结果
例4.已知函数3-2,2f()=22,cos,2xxxxxxx求f(x)在区间[－2,2π]上的积分． 【当堂达标测试】 1．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形
面积和式的极限形式正确的是( ) A.limn→∞i＝1n[11＋in2·2n] B.limn→∞i＝1n[11＋2in2·2n]
C.limn→∞i＝1n 11＋i2·1n D.limn→∞i＝1n[11＋in2·n] 2．下列说法成立的个数是( ) ①abf(x)dx＝i＝1nf(ξi)b－an
②abf(x)dx等于当n趋近于＋∞时，f(ξi)·b－an无限趋近的值 ③abf(x)dx等于当n无限趋近于＋∞时，i＝1nf(ξi)b－an无限趋近的常数 ④abf(x)dx可以是一个函数式子 A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知13f(x)dx＝56，则( )
A.12f(x)dx＝28 B.23f(x)dx＝28 C.122f(x)dx＝56 D.12f(x)dx＋23f(x)dx＝56 4.已知abf(x)dx＝6，则ab6f(x)dx等于( ) A．6 B．6(b－a) C．36 D．不确定 5.下列命题不正确的是( ) A．若f(x)是连续的奇函数，则-a()=0afxdx B．若f(x)是连续的偶函数，则a-a0()=2()afxdxfxdx C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则a()>0bfxdx
6．2x0f()=2<0xxxx则1-1()fxdx的值是( ) A. 12-1xdx B. 1-12xdx C. 012-10+2xxdxdx D.012-102+xdxxdx. 7．求 60(2-4)=xdx____________
※8.利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分11121
-1[(tanx)+(cosx)]dx=
( )
A．201[(tanx)11＋(cosx)21]dx B．0
C．201(cosx)21dx D．2 【任务完成情况自查及评定】 【课后巩固案】 1利用定积分的几何意义，说明下列等式． (1) 102x=1dx (2) 12-11-=2xdx
※(3)求3214--1=xdx 2.设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分01f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，
x2，„，xN和y1，y2，„，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，„，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，„，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分
0
1f(x)dx的近似值为________．
※3.利用定积分的性质求1-12xx4＋1＋sin3x＋x2－ex－1ex＋1dx.