气体动理论基础
气体动理论
2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同, 试
问单位体积内的分子数是否相同?
（答案:相同）
3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分 子数密度不同,试问他们的压强是否相同? （答案:不同）
4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体 分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动 动能是否相同?方均根速率是否相同？（答案:相同,相同,不同）
2. 理想气体的内能包括哪些？ 理想气体的内能=所有气体分子动能量的总和;
3. 内能与机械能有什么区别？
机械能可以为零，而内能永不为零。
一摩尔理想气体的内能:
Emol N
i KT i RT
2
2
M千克理想气体的内能: E M i RT i vRT
M mol 2
2
问题：
1.三个容器内分别储有1mol氦气(He),1mol氢气(H2),1mol氨 气(NH3)( 三种气体均 视为刚性分子的理想气体),若它们的 温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少？ (答案:12.5J, 20.8J, 24.9J) 2.写出下列各量的表达式：
(2) 分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个 方向上气体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各 个方向运动的平均分子数应该相等;
(3) 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。
五、气体动理论的统计方法 (statistical metheds)
用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的 真实性质。对个别分子（或原子）运用牛顿定律求 出其微观量，如:质量、速度、能量等，再用统计的 方法，求出大量分子关于微观量的统计平均值，并 用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质， 如:温度、压强、热容等。
气体动理论1分子运动的基本概念
2 x 2 y
2 x
2 i 2 ix 2 iy
2 y
2 iz
2 z
2 2 x
2 z
1 2 3
2 y 2 z
7
计算平均值的公式
N N
i i i
i i
分子的平均 平动动能
1 2 t ＝ 2
1 2
i
35
刚性理想气体分子系统
分子内部势能也为零
所以内能为
E iK
i
1mol刚性理想气体分子系统 其内能为
i E0 N A kT i RT 2 2
mol
i E E0 RT 2
36
讨论 1)一般情况下 不加说明 把分子看作刚性分子 2)理气内能是温度的单值函数 为什么？
i
dI i 2 ni m dtdA
2 ix
ni m dtdA
2 ix
第4步：由压强的定义得出结果
dI dF P dA d t d A
n m
i i
2 ix
i
ixdt
dA
14
dF dI 2 P ni mix dA d tdA i
Ni 2 mix i V
38
一、 解决粒子集体行为的统计方法 1.伽耳顿板演示 1) 实验装置
单个粒子行为--- 偶然
大量粒子行为--- 必然
x x x
x
39
2)物理启示 怎么研究 统计分布律？ 如研究粒子按坐标分布规律 应给出坐标 x 附近x 间隔内 粒子数 N x 占总分子数 N 的百分比
N x Px N
E0
气体动理论
1atm = 76 cmHg =1.013×105Pa
2. 体积： 分子活动的空间 （并非分子大小的总和） 3. 温度： 物体冷热程度的量度
（反映分子热运动剧烈程度的量）
热力学温标： T= t +273.15 K
3
概念
平衡态： 一个孤立系统，宏观状态参量都不随时间 变化的状态。 （热动平衡）
宏观上各量均不变，而微观上分子热运动永不停息。
平衡过程： 在过程进行的每一时刻，系统都无限的 接近平衡态。 （准静态过程）
1 2 1 2
4
说明
(1) 平衡（准静态）过程是一个无摩擦 的、无限缓慢进行的理想化过程； (2) 除一些进行得极快的过程（如 爆炸过程）外，大多数情况下 都可以把实际过程看成是准静 态过程； (3) 准静态过程在状态图上可用一 条曲线表示, 如图： 图中每一个点代表一个平衡态， 一条曲线代表一个平衡过程。
15
§9-5 麦克斯韦速率分布律
一、速率分布
ห้องสมุดไป่ตู้
宏观上足够小 ——不计偏差，此区间内粒子速率均为 微观上足够大 ——区间内仍包含大量分子
速率 v1 ～ v2 ΔN1 ΔN1/N v2 ～ v3 ΔN2 ΔN2/N
… …
vi ～ vi +Δv ΔNi ΔNi/N
… …
分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布
结论 (1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律 (2) 统计规律和涨落现象是分不开的。
11
§9-4 理想气体的压强公式
一、理想气体的模型
宏观模型： 在任何情况下严格符合气体三个实验定律。
气 体 动 理 论2
§1.6 麦克斯韦速率分布律 ( Maxwell
Speed Distribution Law )
引入 单个分子的速率是不可预知的，而大量分子的速 率分布却遵循统计规律。 将理想气体中不同速率的分子分组，速率相近的分为 一组。 例如：取v =10 m s，则 第一组：速率在0～10m s 之间的分子有N1个； 第二组：速率在10～20 m s 之间的分子有N2个； … 第i 组：速率在vi～vi+v m s 之间的分子有Ni 个； … 它们各自占总分子数的比率为： N1 N、N2 N、… Ni N … 则 从N 个分子中任取一个分子，其速率在vi～vi+v m s 之间的可能性(几率)为Ni N。
x z
y
y
3. 刚性多原子分子(刚体) i = 6 位置坐标3+方位坐标2+角度坐标1 角度坐标1 ——转动自由度。 x
o
y
二、能量均分定理 ( Theorem of Equipartition of Energy ) 1. 能量均分定理 理想气体在绝对温度 T 的平衡状态下，分子所具有 的平均动能(包括转动能和振动能)平均分配在每个 自由度上，每个自由度的能量都是 kT / 2。
二、能量均分定理 ( Theorem of Equipartition of Energy ) 2. 理想气体分子的平均动能
( average kinetic energy of ideal gases molecule )
i k kT 2
i 为分子的自由度数。
3 k kT 2 5 k kT 2 6 ε k kT 3kT 2
三、理想气体的内能 ( internal energy of ideal gases ) E i E ν RT 2 说明： （1）理想气体内能的改变量与过程无关; （2）温度一定时，1 摩尔任何单原子分子理想气体 的内能都相同，均为3RT / 2 。 双原子分子、多原子分子类推。 推论：各种理想气体的内能 3 E ν RT 单原子分子气体 2 5 E ν RT 刚性双原子分子气体 2 E 3ν RT 刚性多原子分子气体
气体分子动理论的基本概念
F rs rt
s t
r ：两个分子的中心距离 、、 s、t ：正数，由实验确定。
1.第一项是正的，代表斥力； 2.第二项是负的，代表引力； 3.s,t都比较大，所以随着分子间距r的增大，分子力急剧减小。 4.有一定的有效作用距离，超出此距离，作用力可忽略。 5.s>t，所以斥力的有效作用距离比引力小。
第二章 气体分子动理论的基本概念
2.1 物质的微观模型
一、物质由大量分子所组成的论点是指宏观物体是不连续 的，它由大量分子或原子（离子）所组成的。
利用扫描隧道显微镜技术 把一个个原子排列成 IBM 字 母的照片.
分子的数密度和线度
NA 6.0221367(36) 1023 mol1
分子数密度（ n ）：单位体积内的分子数目.
二、物体内的分子在不停地做着无规则热运动，其剧烈程度 与物体的温度有关
由于分子之间的相互碰撞，每个 分子的运动方向和速率都在不断 地改变；任何时刻，在液体或 气体内部，沿各个方向运动的分 子都有，而且分子运动的速率有 大有小。
与物体的温度有关，温度越高，分子 的无规则运动越剧烈
扩散现象说明：一切物体（气 体、液体、固体）的分子都在不
停地运动着。
布朗运动并非分子的运动， 但它能间接反映出液体（或 气体）内分子运动的无规则 性。
为什么？
1. 为什么固体和液体的分子不会散开而能保持一定的体积？ 2. 为什么固体和液体的分子不会散开而能保持一定的体积？铅 柱被切成两段，然后把两个断面对上，在两头加上不大的压力就 能使两段铅柱重新接合起来。
N NA
m
RT
RT
1 m
R M
T
大学物理第16章气体动理论
pA
lim N
NA N
1 2
抛硬币的 统计规律
2020/1/15
DUT 余 虹
4
16.1 理想气体的压强
一、分子的作用力与压强
总数N 个，分子质量m ，摩尔质量，
体积V，温度T。
F
气体分子频繁碰撞 容器壁——给容器
壁冲量。大量分子在t 时间内给予I
的冲量，宏观上表现为对器壁的平均
vf
v
d
v
0
f
vd v
0
vf
v d
v
麦克斯韦分布律
v 1.60 RT
2020/1/15
DUT 余 虹
21
（3）方均根速率 v 2
一段速率区间v1~v2的方均速率
f v
v122
v2 v 2 d N N v v2 2 f v d v
v1 v2 d N
作用力
F I t
气体对容器壁的压强
P F I S S t
2020/1/15
DUT 余 虹
5
二、P 与微观量 的关系
分子按速度区 间分组
第i 组: 速度 近vi 似~ 认vi 为 都dv是i v i
分子数N
i ，分子数密度
ni
Ni V
考察这组分子给面元A的冲量
一 碰壁前速度 vix viy viz
一、速率分布函数
处于平衡态的气体，每个分子 朝各个方向运动的概率均等。
可是大量分子速度分 量的方均值相等。
一个分子，某一时刻速度
v
通常 v xv y v z
v
气体动力论
aa
a
N个分子作用在S1面的压强为：
Pb F ca m bv1 2 x cv2 2x v2 Nx
Nm v1 2xv2 2x v2 Nx abc N
由于： v1 2xv2 2N x v2 Nxv2 x1 3v2
abcV
N V
n
所以：
p
1 3
nmv2
压强公式
P
2 3
n
k
k
1 2
mv2
分子平均平动动能
对于理想气体，分子间的相互作用力忽略不计，所以理想气体 分子没有相互作用的势能。因此，理想气体的内能就是所有分子的 各种运动动能的总和。
EM 2i RT2i PV
内能只是气体状态参数温度T的单值函数 气体状态变化时内能的增量:
EM 2i RT2i(PV)
第23页，本讲稿共40页
讨论题：明确下列各种表示的物理意义
2、平衡态，准静态过程
若无外界影响，系统的宏观性质将在长时间内保持不变，这种 状态称为平衡态。
系统从一个状态经过一系列中间状态变到另一个状态，这叫状 态变化过程，简称过程。如果这其中经过的所有中间状态都无限接 近平衡状态，则称这种过程为准静态过程，也叫平衡过程。平衡过 程是无限缓慢地进行的极限过程。
③、分子的平均转动动能的总和 N2 2kT 0.66 178 0J
④、分子的平均动能的总和
NkT 1.6 710J 5 2
8
第26页，本讲稿共40页
§6.5 气体分子按速率分布规律
伽尔顿板实验
粒子落入其中一 格是一个偶然事件， 大量粒子在空间的 分布服从统计规律。
.......................................................................................................................................
第7章 气体动理论
碰后折回来需用的时间：
2x vx
t vxt 2x / vx 2x
一个分子在 t 时间内碰撞器壁的总冲量：
I1
2mv
x
t
2x / v x
mv
2 x
t
x
(3) N 个分子在 t 时间内
碰撞器壁的总冲量：
IN
N
mv
2 ix
t
x i 1
m x
t
N i 1
v2 ix
y
A1
vy
m
(4) I Ft P F / s
kr
1 2
mvc2x
1 2
mvc2y
1 2
mvc2z
1 2
J yc2y
1 2
J zc2z
1 2
J x c2x
2.能量均分定理（Boltzmann 假设）
t
1 2
mv2
3 2
kT
v
2 x
v
2 y
v
2 z
1 3
v2
1 2
mv
2 x
1 2
m
v
2 y
1 2
mvz2
1 ( 1 mv2 ) 32
1 kT 2
φ
确定刚体转轴的方位: 需要二个自由度(α,β);
β P（x,y,z)
α
γo
X
确定刚体绕转轴转过的角度, Z
需要一个自由度(φ);
刚体位置的确定共需要六个自由度。
3.气体分子模型自由度 ①单原子分子: 如氦原子 He 需要三个平动自由度 i=t=3;
②刚性双原子分子: 如氧气分子
O2
质心需要三个平动自由度;两原子连线方位需要
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第10章气体动理论基础教学基本要求1. 掌握系统、平衡态、温度、状态方程、准静态过程等概念；2. 理解并掌握理想气体的压强公式、温度的统计解释；3. 掌握波耳兹曼分布率的简单应用。
4. 理解能量均分定理，掌握理想气体内能的计算；5. 理解并掌握麦克斯韦速率分布律的意义及其简单应用；6. 掌握平均自由程和平均碰撞频率及其简单应用。
教学内容提要气体动理论，是从物质的微观结构出发，依据每个粒子所遵循的力学规律，用统计的观点和统计平均的方法，寻求宏观量与微观量之间的关系，研究气体的性质。
本章从气体分子微观模型出发，揭示理想气体压强产生的原因和实质，然后用压强的微观表示式与理想气体状态方程进行比较，得到平均平动动能与温度的关系式，从而说明温度的微观本质。
接着介绍理性气体平衡状态下的几个统计规律：能量均分定理、麦克斯韦速率分布律和波耳兹曼分布率、平均碰撞次数和平均自由程等。
1．热力学系统的微观量、宏观量平衡态及准静态过程热力学系统由大量作无规则运动的粒子组成，简称系统。
微观量描写系统中单个粒子运动状态的物理量。
宏观量描述系统整体特性的物理量。
平衡态一个与外界没有联系的孤立系统，不管它开始时处于何种状态，经过一段时间以后，都会达到一个宏观性质不随时间变化的状态，这样的状态称为平衡态。
平衡态的气体常用宏观量压强p、体积V和温度T等状态参量描述。
准静态过程如果过程进行得十分缓慢，使其中的每一步所经历的时间均比驰豫时间长的多，则每一步都有充分的时间来建立新的平衡态，使过程中的每一中间状态均可以近似看作平衡态，这样的过程称为准静态过程。
2. 理想气体的状态方程，其中为物质的质量，为物质的摩尔质量，其中为分子数密度3. 理想气体的压强公式，其中为分子平均平动动能4．玻耳兹曼分布式中A为待定常量，大小由气体的温度、气体的总分子数及分子本身的属性决定，称为玻耳兹曼因子，它是决定分子按能量分布的关键因素。
5. 统计规律和速率分布函数统计规律存在于大量无规行为或偶然事件中的群体规律。
统计规律随条件变化而变化。
速率分布函数，其物理意义是：在平衡态下，速率在v值附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率，也表示一个分子的速率出现在v值附近单位速率区间的概率。
速率分布函数必须满足归一化条件由速率分布函数f(v)和总分子数N，可得速率区间的分子数速率区间的分子数比率为分布曲线下微元矩形的面积。
速率区间的分子数速率区间的分子数比率为分布曲线下的面积。
6. 各种速率的统计平均值平均速率方均速率……7. 理想气体的麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦分布的最概然速率麦克斯韦分布的平均速率麦克斯韦分布的方均根速率8. 理想气体的能量分子平均平动动能（温度公式）分子平均动能理想气体的内能，其中表示气体的摩尔数， i=t+r为分子自由度，t=3为平动自由度，r为转动自由度。
单原子分子r=0, i=3，双原子分子r=2, i=5，多原子分子r=3, i=6。
9．平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率平均自由程重点和难点分析1. 理想气体状态方程系统处于平衡状态时，具有一些可确定的宏观属性，这样的属性可以用相应的物理量来表示，从这些物理量中选取一些相互独立的、由系统本身性质决定的物理量来描述系统的平衡态，这些物理量称状态参量。
状态参量之间的关系式叫系统的状态方程。
在任意平衡态下，理想气体可以用压强、体积，温度3个状态参量来描述，它们之间的关系式称理想气体状态方程。
上式还可以改写为为单位体积内气体分子数。
对于一定质量的理想气体，从一个平衡态变化到另一个平衡态时，其状态参量之间的关系是：若在状态变化过程中，质量发生变化，上式不成立。
对于实际气体，在压强不太大，温度不太低的情况下，可近似地当作理想气体来计算。
2. 理想气体的压强为了推导理想气体的压强公式，首先在一定实验事实的基础上，提出了理想气体分子的微观模型：把理想气体分子看成是弹性小球并能自由运动的质点，然后根据力学规律计算单个分子对器壁碰撞的平均冲力；利用统计平均的方法，计算大量气体分子对器壁的平均冲力的总和。
最后用气体压强的定义—容器壁单位面积上所受气体的作用力，导出理想气体压强公式。
从压强公式的导出可以看出，上式表明了宏观量与微观量、之间是一个统计规律的关系，注意，统计规律中未考虑外场的作用，忽略了重力。
从微观看，个别分子对器壁的碰撞是断续的，作用在容器壁上的冲力的大小是不确定的、有起伏的，只有当所取容器壁单位面积足够大，观测时间足够长时，大量气体分子连续不断地作用在器壁单位面积上的平均冲力才有确定的值。
气体压强应该时大量分子对容器壁不断碰撞的统计平均结果，是一个统计平均值。
3. 温度的统计解释温度是一个直接表征系统热平衡状态的宏观物理量，气体分子平均平动动能与温度的关系式为上式表明温度是分子平均平动动能的量度。
而分子平均平动动能是大量分子热运动的一个统计平均值，因而温度也是一个统计平均值。
分子平均平动动能不包括气体有规则运动提供的分子平动动能，只有分子无规则热运动的平均平动动能才对温度有贡献。
气体分子永不停息作无规则热运动，平均平动动能不可能为零，因此，热力学温度不能达到零度。
处于平衡状态下不同的热力学系统，只要温度相同，则分子平均平动动能相同，与分子种类无关。
4. 能量按自由度均分定理气体分子的自由度需要根据其结构进行具体分析才能确定。
能量按自由度均分定理是在平衡态下，大量分子无规则热运动碰撞的结果，是经典统计物理学的结论。
对于个别分子来说，在任一瞬时，每一自由度上的能量和总能量完全可能与能量均分定理所得的平均能量值有很大的差别，而且每一种形式的能力也不一定按自由度均分。
在温度不高时，因分子运动表现出明显的量子特性，这原理就不适用了。
能量均分定理可用来计算理想气体的内能。
在平衡态下，每一个自由度的平均动能均为。
一个自由度为的气体分子，平均能量为。
式中，其中表示平动自由度，表示转动自由度。
对于理想气体，不计分子间相互作用力，分子间的势能可忽略。
内能为气体分子平均能量之总和，即5. 气体分子速率分布规律在平衡态下，因大量气体分子作无规则热运动，每个分子的速度、能量都在不断地发生变化，在任一时刻，每个分子的速度、能量大小完全是偶然的，但对大量分子整体而言，气体分子热运动的速率、速度和能量等都遵循着一定的统计规律。
在某一平衡态下，气体分子具有向各个方向从零到无限大的各种可能速率。
然而，气体分子在各个速率区间的分子数占总分组数的百分比是存在确定的统计分布规律的，是速率的确定函数，用表示，则其物理意义是：气体分子在速率附近，处于单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
若以为纵坐标，为横坐标，测得分子速率分布曲线如图10.1所示，图中窄条面积为表示速率附近区间内的分组数占总分子数的比率。
曲线下的总面积表示分布在0～∞的速率区间内所有分子与总分组数的比率，其值等于1，即满足的归一化条件。
图10.1分子速率分布曲线6. 平均碰撞频率和平均自由程在任一时刻，大量分子的无规则运动，使得分子在连续两次碰撞之间所经过的自由路程是无规则的，真正意义的是这些自由路程的统计平均值。
同样，大量分子的无规则热运动，使得分子在单位时间内与其他分子碰撞的次数布确定，具有偶然性，有意义的是其平均碰撞频率。
平均碰撞频率、平均自由程和平均速度三者之间的关系式为例题分析例10.1 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?解：理想气体分子的能量平动动能转动动能内能例10.2 说明下列各物理量的物理意义（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：：表示一定质量的气体，在温度为的平衡态时，分布在速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.()：表示分布在速率附近，速率区间内的分子数占总分子数的百分比.()：表示分布在速率附近、速率区间内的分子数密度．()：表示分布在速率附近、速率区间内的分子数．()：表示分布在区间内的分子数占总分子数的百分比．()：表示分布在的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是.()：表示分布在区间内的分子数.例10.3 设由N个粒子，其速率分布函数为（1）作出速率分布曲线；（2）由和求的值；（3）求（4）求个粒子的平均速率；（5）求速率介于～之间的粒子数；（6）求～区间内粒子的平均速率。
解（1）速率分布曲线例10.3所示。
（2）由分布函数必须满足归一化条件，即有所以（3）由的物理意义知（4）N个粒子的平均速率（5）～内的粒子数（6）～内平均速率例 10.4 根据玻尔兹曼分布率，求在一定温度下，大气压随高度的变化规律。
解设在处单位体积内的大气分子数为，根据玻尔兹曼分布率，由理想气体压强所以得式中，，为处得压强。
例10.5 某种气体分子的平均自由程为，方均根为，求分子的碰撞频率。
解因为所以。