第11讲讲义 一次函数及其应用

第11讲一次函数及其应用1．一次函数的概念一般地，形如的函数叫做一次函数，当b＝0时，我们将y＝kx叫做正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．2．一次函数的图象与性质(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为______________ ,正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是过____________ 的一条直线．正比例函数的图像和性质正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0），图象必经过原点(0,0)k决定函数图象的倾斜方向和增减性k>0,直线从左向右呈上升趋势，y随x的增大而______k<0,直线从左向右呈下降趋势,y随x的增大而______图象经过象限一、三二、四【特别】当k=1时，y=x为第一、三象限的角平分线，图象上点的横、纵坐标相等；当k=-1时，y=-x为第二、四象限的角平分线，图象上点的横、纵坐标互为相反数一次函数的图像和性质一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0）k决定函数图象的倾斜方向和增减性k>0,呈上升趋势，y随x的增大而______k______ ，呈下降趋势，y随x的增大而______b决定图象与y轴交点位置______⇔图象与y轴正半轴相交b<0⇔图象与y轴_______相交b>0⇔图象与y轴正半轴相交b<0⇔图象与y轴_______相交图象经过的象限一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四与坐标轴的交点函数与 x 轴的交点坐标是______（令 y=0，进行求解）；与 y 轴的交点坐标是______（令 x =0，进行求解）3. 一次函数图象的平移(m>0)平移前 平移方向平移后 规律 y ＝kx ＋b 向上（向下）平移m 个单位y ＝kx ＋b ±m上加下减4.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤(1)设：设出一次函数解析式一般形式y ＝kx ＋b(k≠0);(2)列：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入y ＝kx ＋b 得到方程(组); (3)解：解方程(组)求出k ，b 的值； (4)代：写出一次函数的解析式． 5．一次函数与方程(组)的关系(1)一次函数的解析式y ＝kx ＋b 就是一个二元一次方程；(2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的__ __就是方程kx ＋b ＝0的解；(3)一次函数y ＝k 1x ＋b 1与y ＝k 2x ＋b 2的图象交点的横、纵坐标值就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1y ＝k 2x ＋b 2的解．5．一次函数与不等式的关系(1)函数y ＝kx ＋b 的函数值y 大于0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＞0的解集，即函数图象位于x 轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围；(2)函数y ＝kx ＋b 的函数值y 小于0时，自变量x 的取值范围就是不等式 的解集，即函数图象位于x 轴的 部分对应点的横坐标的取值范围． 6．一次函数的实际应用(1)常见类型：①费用问题；②销售问题；③行程问题；④容量问题；⑤方案问题． (2)解一次函数实际问题的一般步骤：①设出实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③利用待定系数法求出一次函数关系式；④确定自变量取值范围；⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义；⑥答．考点1：一次函数的图象与性质1. (2011河北5题2分)一次函数y＝6x＋1的图象不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. (2016河北5题3分)若k≠0，b＜0，则y＝kx＋b的图象可能是()变式训练3. 若a(a≠0)、b互为相反数，则直线y＝ax＋b的图象大致为()4.已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是()5.下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（）A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小C．图象与y轴交于点（0，b） D．当x＞﹣时，y＞06.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k ≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）A． B． C． D．2命题点2 由一次函数图象确定字母的取值范围1.(2014河北6题2分)如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y＝(m－2)x＋n，则m的取值范围在数轴上表示为()2. (2015河北14题2分)如图，直线l：23 3y x=--与直线y＝a(a为常数)的交点在第四象限，则a可能在()A. 1＜a＜2B. －2＜a＜0C. －3≤a≤－2D. －10＜a＜－4变式训练3. 已知点A(0，2)与点B(0，4)，直线y＝mx＋2m与线段AB(包括A、B两点)有交点，则m的取值范围为()A. －2≤m≤－1B. 1≤m≤2C.112m≤≤D.122m≤≤4.(2019石家庄新华区质量检测)把直线y＝－x－3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有()A.4个B. 5个C. 6个D. 7个【例题1】（2018•江苏扬州•3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为．考点2： 一次函数与方程、不等式的关系【例题2】．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4)． (1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．考点3： 一次函数的实际应用【例题3】（2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元． （1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．归纳： 1.对于一次函数方案设计题，关键是读懂题意，然后在列方案时找出其中的数量关系并列出不等式；通过解不等式求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案，在选择最优方案时，通过将每一组解代入相应的关系式中，满足题意的最优解即可定为最优方案．2．在遇到求解一次函数最值问题时，切入问题的关键点在于确定自变量的取值范围，通过给定自变量的范围，选取合适的数值代入解析式求解即可．同时，一次函数确定最值时还应注意以下两点：①当在确定一次函数自变量时，有时需要列不等式解题，对于某些关键字要特别注意，如“不超过”、“不多于”、“最多”等字眼需要使用“≤”；而“至少”、“不少于”等字眼要使用“≥”； ②从方程中得到的解一定要进行检验，即要符合原方程和实际意义，切不可忽略．3．涉及图象问题的实际应用要注意：在观察函数图象时，首先要弄清横轴与纵轴所表示的函数变量，然后在分析函数图象时应注意拐点、交点的实际意义，最后在分析图象时要考虑到函数自变量的取值范围．一、选择题：1. （2019•四川省广安市•3分）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四2. （2018•湘潭）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（）A．B．C．D．3. (2019湖北荆门)（3分）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）A．k≥0且b≤0B．k＞0且b≤0C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜04. （2019•山东临沂•3分）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（）A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小C．图象与y轴交于点（0，b） D．当x＞﹣时，y＞05. （2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）A． B． C． D．2二、填空题：6. （2019•山东潍坊•3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．7. （2018•邵阳）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是．8. （2019▪广西河池▪3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．9. （2019•山东省聊城市•3分）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 .三、解答题：10. （2019•湖北省仙桃市•8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？11. (2017·台州改编)如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)直接写出关于x的不等式2x＋1<mx＋4的解集；(3)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D.若线段CD长为2，求a的值．12. （2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D．（1）求直线CD的解析式；（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．13. (2017·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy中，A(0，5)，直线x＝－5与x轴交于点D，直线y＝－38x－398与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.(1)求点C，E的坐标及直线AB的解析式；(2)设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．14. （2019·贵州安顺·10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？15. (2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x 相交于点B(m，4)．(1)求直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点M，求△AOM的面积；(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n 的取值范围．【变式】(4)将(3)中条件“过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线l1，l2的交点分别为C，D”保持不变，“当点C位于点D上方时”改为“且CD＝2”，求点C的坐标．【例题1】（2019贵州省毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（）A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0【例题2】（2019•江苏无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．【例题3】（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．一、选择题1.（2019•江苏扬州）若点P在一次函数4+-=xy的图像上，则点P一定不在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.（2019广西河池）函数2y x=-的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限专题典型题考法及解析专题典型训练题3.（2019年陕西省）对于正比例函数2y x =-，当自变量x 的值增加1时，函数y 的值增加（ ）．A ．2-B ．2C ．13-D ．13 4.（2019年陕西省）已知一次函数y kx b =+的图象经过点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且211x x =+时 212y y =-，则k 等于（ ）．A ．1B ．2C ．1-D ．2-5.（2019广西桂林）如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为(4,0)A -，(2,1)B --，(3,0)C ，(0,3)D ，当过点B 的直线l 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分时，直线l 所表示的函数表达式为( )A ．116105y x =+B ．2133y x =+C ．1y x =+D ．5342y x =+ 6.（2019广西梧州）直线31y x =+向下平移2个单位，所得直线的解析式是( )A ．33y x =+B ．32y x =-C ．32y x =+D ．31y x =-7.（2019湖南邵阳）一次函数111y k x b =+的图象1l 如图所示，将直线1l 向下平移若干个单位后得直线2l ，2l 的函数表达式为222y k x b =+．下列说法中错误的是( )A ．12k k =B ．12b b <C ．12b b >D ．当5x =时，12y y >8.（2019•浙江杭州）已知一次函数y 1＝ax +b 和y 2＝bx +a （a ≠b ），函数y 1和y 2的图象可能是（ ）A B C D二、填空题9.（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是．10.（2019贵州黔西南州）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为．11.（2019湖南郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期 1 2 3 4数量（瓶）120 125 130 135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为瓶．12.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y=3x和y=－3x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，33）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为____________．13.（2019辽宁本溪）函数y =5x 的图象经过的象限是 .14.（2019江苏徐州）函数y ＝x ＋1的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在x 轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 共有_________个.yxC 3C 4AO三、解答题15.（2019•河北）长为300m 的春游队伍，以v （m /s ）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v （m /s ），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为t （s ），排头与O 的距离为S 头（m ）．（1）当v ＝2时，解答：①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S 甲（m ）， 求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T （s ），求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．16.（2019•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．17.（2019•浙江湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA 和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）18.（2019北京市） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k =时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．19. （2019黑龙江省龙东地区）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明．小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y （米）与小强所用时间t （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求函数图象中a 的值；（2）求小强的速度；（3）求线段AB 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．x 分钟BA 12100300a y （米）20.（2019•贵州省安顺市）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千元）与每千元降价x （元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？21．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x ＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．。