同角三角函数
同角三角函数的基本关系
N
P
x
O
M
又知tanα=
y x
,所以
sin cos
tan
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能
不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于形式α，2 ，6α等等都可以.
如sin24α+cos24α=1.
3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的 限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z.
证明：左边 cos x cos x
(1 sin x) cos x
1 sin2 x
(1 sin x) cos x
1 sin x cos x
=右边 ∴原等式成立.
证明等式的常用方法：
1.从等式的一边证得它等于另一边； 2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要 证明的等式成立；
3.利用作差(作商)的方法。
1.2.3同角三角函数的基本关系式
在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组 成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值， |OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，
根据勾股定理得sin2α+cos2α=1.
y
又根据三角函数的定
义有sinα= y,cosα= x
r
r
所以sin2α+cos2α=1.
sin cos tan
tan 2
sin2 1 sin2
cos sin tan
tan 2
1 cos2 cos2
例1 已知 sin 4 ，并且α是第二象限角，
5
求α的其他三角函数值．
分析：由平方关系可求cosα的值， 由已知条件和cosα的值可以求tanα的值， 进而用倒数关系求得cotα的值．
同角三角函数的基本关系
1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点 同角三角函数的基本关系式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × ) 提示 当α＝π2＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )题型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 －125解析 ∵sin α＋cos α＝713， ∴(sin α＋cos α)2＝49169， 即2sin αcos α＝－120169<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125. 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 反思感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．跟踪训练2 已知cos α＝－45，求sin α和tan α. 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝925， 因为cos α＝－45<0， 所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35， tan α＝sin αcos α＝－34； 当α是第三象限角时，sin α＝－35， tan α＝sin αcos α＝34. 题型二 齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求值解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式．跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值． (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求三角函数值解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. 三角函数式的化简与证明典例 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．[素养评析] (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 A解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45， ∴cos α＝－35，tan α＝－43. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35 B ．－15 C.15 D.35考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式化简、求三角函数值答案 A解析 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 3．(2018·江西上高第二中学高二期末)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简答案 B解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3. 4．已知tan x ＝－12，则sin 2x ＋3sin x cos x －1的值为( ) A.13B ．2C ．－2或2D ．－2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D5．已知：tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ . 答案 －53解析 由已知得：tan α＝12， ∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．一、选择题1．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于( ) A ．－55 B ．－15C ．－255D ．－45考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.2．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A ．－223 B ．－23 C.23 D.223考点 运用基本关系式求值题点 运用基本关系式求值答案 D解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.4．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α等于() A.45 B.35 C.25 D.15考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B解析 由4x 2＋x －3＝0得x ＝－1或x ＝34.又∵α是锐角，∴tan α>0，sin α>0， ∴tan α＝34.又∵tan α＝sin αcos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫43sin α2＝1，解得sin α＝35.5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为() A.23 B ．－23 C.13 D ．－13考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 A解析 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝23.6．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－310考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 C解析 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 7．若α为第二象限角，化简tan α·1sin 2α－1等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D.12考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 C解析 tan α·1sin 2α－1＝tan α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α|. 因为α为第二象限的角，所以cos α<0，sin α>0，原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 二、填空题8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简、求值 题点 运用基本关系式化简、求值答案 －13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 9．已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|. 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式＝0.10．(2018·九江高一检测)若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为 ． 考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 2 11．在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ .考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 π3解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 三、解答题12．化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α2－2sin α2cos α2＋cos 2α2＋sin 2α2＋2sin α2cos α2＋cos 2α2 ＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α2－sin α2>0，cos α2＋sin α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 13．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简证明 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1， 所以1cos 2α＝2cos 2β，即cos 2β＝2cos 2α， 所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.14．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈N *)的值为 ． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 1解析 ∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15．已知sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求m 及α的值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 因为sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根， 所以Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0且sin α＋cos α＝m ，sin αcos α＝2m －14. 代入(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，解得m ＝1±32. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α·cos α＝2m －14<0，m <12， 所以sin α＋cos α＝m ＝1－32， 所以sin α＝－32，cos α＝12. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以α＝－π3. 所以m ＝1－32，α＝－π3.。
同角三角函数的基本关系
复习引入
y 你能根据圆的几何性质，讨论一下 你能根据圆的几何性质， x
ห้องสมุดไป่ตู้
同一个角的不同三角函数关系。 同一个角的不同三角函数关系。
y ？ sinα=MP x Cosα=OM Tan α =AT
y
α
T α的终边
P(x , y)
A(1,0)
M
O
x
复习引入
想一想
你能根据三角函数的定义推导 出同一个角α的三个三角函数之间 有一些什么关系? 有一些什么关系
讲授新课
同角三角函数基本关系式: 同角三角函数基本关系式 (1) 平方关系： 平方关系：
sin α + cos α =1
2 2
讲授新课
同角三角函数基本关系式: 同角三角函数基本关系式 (2) 商数关系： 商数关系：
sinα tanα = cosα
注意
注意“同角” 至于角的形式无关重要， ⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要， 如sin24α＋cos24α＝1等. 等 ⑵注意这些关系式都是对于使它们有意义 的角而言的. 的角而言的 对这些关系式不仅要牢固掌握， ⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要 能灵活运用（正用、反用、变形用）， 能灵活运用（正用、反用、变形用），
方法小结: 方法小结: (3) 比较法 比较法:
左边 即 明: 左 −右 = 0 或 证 边 边 =1. 右边
将原等式转化为与其等价的式子加以 证明． 证明．
(4) 变式证明法： 变式证明法：
(5) 分析法． 分析法．
练习
小 结：
1. 整体代换 整体代换; 2. “1”的活用 的活用; 的活用 3. 正切化弦 正切化弦.
同角三角函数基本关系
二.新课讲解Biblioteka 1.同角三角函数的基本关系:
(1)平方关系：sin2 cos2 1
(2)商数关系：tan sin ，( k , k Z )
cos
2
文字叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角的正切.
二.新课讲解 思考1：你认为平方关系sin2 cos2 1可作哪些变形？
一.复习引入
问题1：设是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x, y),则角的三角函数是怎样定义的？
(1)sin y；(2) cos x；(3) tan y (x 0)
x 问题2：通过观察三角函数的定义, 你认为同一个角的
正弦sin与余弦cos有什么样的关系？
问题3：你认为同一个角的正弦sin、余弦cos和 正切tan 又有什么样的关系？
题型三：sin cos型求值问题
例3.已知sin cos 1 , (0, ),求：
5
(1) sin cos (2) sin cos
小结：sin cos, sin cos, sin cos三个式子中,
已知其中一个,可以求其它两个,即“知一求二”.
变式：在ABC中,角A满足sin A cos A 1 , 2
3
变式2：已知tan 3 ,求sin , cos的值.
4
三.例题讲解
题型二：弦化切
例2.已知 tan 2,求下面各式的值.
(1) sin cos sin cos
(2)
sin cos sin2 cos2
(3) sin cos
变式：已知sin cos 2,求 tan的值.
三.例题讲解
求sin A cos A和sin A cos A的值.
四.课堂总结
同角三角函数的基本关系
四、小结
我们学到了什么？ 我们学到了什么？ 1、知识小结： 两个公式 、知识小结： 2、同角关系的两种应用： 、同角关系的两种应用： (1)已知某角其中一个三角函数值，求其它三角 函数值； (2)齐次式求值转化为只含一个变元(tanα)的分式 处理. 作业：必做题：教材 作业：必做题：教材P21 习题10,11题 选做题：教材P21 习题 题 习题12题 选做题：教材
一、创境设问
问题1：任意角的三角函数是如何定义的？ 问题 ：任意角的三角函数是如何定义的？请结 合图形说明。 合图形说明。
sin α = y; cos α = x; y tan α = ( x ≠ 0). x
y α 0 P(x,y) 1 x
问题2：请根据定义探究 问题 ：请根据定义探究sinα, cosα, tanα之间的 之间的 关系？ 关系？
3 的值； 变式1 已知 sin α = − ，求 cos α , tan α的值； ： 5
3 变式 2：已知 tan α = ，求 sin α , cos α的值; 4
问题4：在利用公式求值中应该注意哪些方面？ 问题 ：在利用公式求值中应该注意哪些方面？ •符号判定准确； 符号判定准确； 符号判定准确 •恰当表述； 恰当表述； 恰当表述 •步骤清楚。 步骤清楚。 步骤清楚
1 1、 (选做 )已知 tan α = − ，求1 + 2 sin α cos α的值 . 2 1 π π 2、 (选做 )已知 sin α ⋅ cos α = ，且 < α < , 8 4 2 求 cos α − sin α的值 .
3 sin α + cos α 变式3：已知 tan α = , 求 的值; 4 sin α − cos α
同角三角函数的基本关系式
1.2.3 同角三角函数的基本关系式【课前准备】 1．课时目标（1）正确理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，tan α=ααcos sin ；（2）会利用同角三角函数关系式进行化简、求值与证明等；（3）特别注意确定三角函数值的符号；（4）掌握等价转化的思想方法，提高分析问题与解决问题的能力．2．基础预探同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=________（平方关系），tan α=________（商数关系）． 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin 24α+cos 24α=________等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，以后遇到的关系式（包括已证的和待证的）也是这样；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：sin 2α=________，sin α=________，cos α=________等．【知识训练】1．α是第四象限角，cos α=1312，则sin α=（ ） A ．135 B ．－135 C ．125 D ．－1252．已知sin α=55，则sin 4α－cos 4α的值为（ ） A ．－53 B ．－51 C ．51 D ．53 3．若sin θθ2sin +cos θθ2cos =－1（θ≠2πk ，k ∈Z ），则θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知tan α=－2，则ααααcos 3sin 2cos sin +-的值是________．5．已知sinθ＋cosθ＝22，求tanθ＋θtan 1的值．6．化简：（1）2sin 12sin 2cos 2sin 212-+-；（2）x x xx 4266sin sin cos sin 1---． 【学习引领】1．运用同角三角函数的基本关系，由一个角的一个三角函数值求这个角的其他三角函数值时，一般先用平方关系，然后两边开方，这时要考虑正负，要对角的象限加以讨论（特别，用平方关系求正弦（或余弦）时要考虑正负，要对角的象限加以讨论）．2．计算、化简或证明三角函数式时常用技巧有：①“1”的代换．为了解题的需要有时可以将1用sin 2α+cos 2α代替． ②切化弦．利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数． ③整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．3．应掌握公式的一些常见的等价变形，如sin 2α=1－cos 2α，sin α=tan αcos α等． 题型二：简单的求值问题例2．已知sin α= t 且|t|<1，求角α的余弦和正切值．思路导析：根据条件sin α= t 且|t|<1，可以确定角α可能为四个象限和x 轴上的轴线角，通过分类讨论加以确定相应的角α的余弦和正切值，这里的讨论可以根据余弦值的正负值加以分类，简化讨论类型．解析：∵sin α= t 且|t|<1，∴角α可能为四个象限和x 轴上的轴线角， （1）当α为第一、第四象限和x 轴非负半轴上时，有cos α=α2sin 1- =21t -，tan α=ααcos sin =21tt-；（2）当α为第二、第三象限和x 轴非正半轴上时，有 cos α=－α2sin 1- =－21t -，tan α=ααcos sin =－21tt -．点评：若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母给出的，且角所在的象限也没有指定时，这个角可能在四个象限（也可能是轴线角），这时，解这类问题不必按四个象限分别讨论，只须将四个象限角（可能含轴线角）的三角函数值分成两组去求，所以从形式上仍可看作是有两组结果．变式练习2：已知－2π<x<0，sinx+cosx=51，求sinx －cosx 的值．题型三：简单的证明问题 例3．证明：ααααcos sin 1)sin (cos 2++-=ααsin 1cos +－ααcos 1sin +．思路导析：由于等式的左右两边都较繁，结合同角三角函数基本关系式，可以多角度入手，加以证明与应用．证明：证法一：右边=)cos 1)(sin 1(sin sin cos cos 22αααααα++--+=ααααααααcos sin cos sin 1)sin cos 1)(sin (cos +++++-=)cos sin cos sin 1(2)sin cos 1)(sin (cos 2αααααααα+++++- =ααααααααααcos sin 2cos 2sin 2cos sin 1)sin cos 1)(sin (cos 222+++++++- =2)cos sin 1()cos sin 1)(sin (cos 2αααααα++++-=左边，所以原式成立．证法二：欲证等式ααααcos sin 1)sin (cos 2++-=ααsin 1cos +－ααcos 1sin +=)cos 1)(sin 1()cos sin 1)(sin (cos αααααα++++-，只需证：2（1+sin α）（1+cos α）=（1+sin α+cos α）2，即证：2+2sin α+2cos α+2sin αcos α=1+sin 2α+cos 2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α， 即1= sin 2α+cos 2α，显然成立．证法三：先转化命题改证：2（cos α－sin α）=（1+sin α+cos α）（ααsin 1cos +－ααcos 1sin +），接下来加以证明：因为（1+sin α+cos α）（ααsin 1cos +－ααcos 1sin +）=cos α+ααsin 1cos 2+－sin α－ααcos 1sin 2+= cos α+1－sin α－sin α－1+ cos α=2（cos α－sin α），所以原式成立．点评：证明等式常用方法：①左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简的原则）；②由两边向中间证；③分析法：欲证B A =DC，只证A·D=B·C 从而使分式化成整式． 变式练习3：求证：cos2x-sin2x cos2x+sin2x =1-tan2x1+tan2x．题型四：简单应用问题 例4．设α是第三象限的角，问是否存在实数m ，使sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．思路导析：综合利用同角三角函数基本关系式，方程存在实根的条件以及根与系数的关系加以综合应用有关的存在性问题．解析：假设存在实数m 满足条件，由题设得△＝36m 2－32（2m ＋1）≥0…①，sin α＋cos α＝－34m …②，sin αcos α＝18（2m ＋1）…③，由sin 2α＋cos 2α＝1，得（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α…④， 将②、③代入④整理得9m 2－8m －20＝0，解得m ＝2或m ＝－109，∵m ＝2不满足①，又α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，从而sin α＋cos α＜0， ∴m ＝－109不满足②，故满足条件的实数m 不存在．点评：此类问题一要注意灵活运用公式sin 2α＋cos 2α= 1解题；二不要忽视方程存在实根的条件；三要利用根与系数的关系列成混合组．变式练习4：已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα=32，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【随堂练习】1．若x ∈[0，2π），且1－cos 2x ＋1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是（ ）A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[0，3π2]D ．[3π2，2π）2．已知α是第二象限的角，tanα=21，则cosα=（ ） A ．552 B ．－552 C ．55 D ．－553．已知sin α+cos α=51，那么角α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限 B ．第三或第四象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 4．已知sin θ=a a +-11，cos θ=aa +-113，若θ是第二象限角，则实数a 的值为________． 5．已知sin α+cos α=57，且tan α＞1则cos α=________． 6．若cos α＝－35，且tan α＞0，求tan αcos 3α1－sin α的值．【课后作业】1．已知tanx=21，那么sinxcosx 的值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．542．如果关于x 的一元二次方程（3sin α）x 2－4（cos α）x+2=0有两个实数根，则sin α的取值范围是（ ）A ．－1≤sin α≤12B ．－2≤sin α≤12C ．1≤sin α<0或0<sin α≤12 D ．－1≤sin α<03．若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+，则α的取值范围是________．4．若2cos 2x+3cosxsinx －3sin 2x=1，则tanx=________．5．a 、b 为何值时，函数y ＝（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x 的值恒为2？6．已知角α为三角形内角，且sin α－cos α=51，求： （1）sin αcos α； （2）sin α+cos α； （3）sin 3α+cos 3α．答案：【课前准备】 2．基础预探1，ααcos sin ；1，1－cos 2α，tan αcos α，ααtan sin ； 【知识训练】1．B ；解析：由于α是第四象限角，cos α=1312，则sin α=－α2cos 1-=－135；2．A ；解析：由于sin α=55，则sin 4α－cos 4α=（sin 2α+cos 2α）（sin 2α－cos 2α）=sin 2α－cos 2α=2sin 2α－1=－53； 3．C ；解析：由于sin θθ2sin +cos θθ2cos =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|=－1，那么sin θ<0，cos θ<0，即θ所在象限是第三象限角；4．3；解析：由于cos α≠0（否则等式不成立），则分式同时除以cos α得ααααcos 3sin 2cos sin +-=3tan 21tan +-αα=3)2(212+-⨯--=3；5．解析：由sinθ＋cosθ＝22两边平方，得1＋2sinθcosθ＝12，即sinθcosθ＝－14， ∴tanθ＋θtan 1＝θθcos sin +θθsin cos =θθθθcos sin cos sin 22+=θθcos sin 1=－4．6．解析：（1）原式=2cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 222+-+=|2cos |2sin )2cos 2(sin 2+-，由于2∈（2π，π），则sin2>0，cos2<0，sin2－cos2>0， 则|2cos |2sin )2cos 2(sin 2+-=2cos 2sin 2cos 2sin --=1；（2）原式=)sin 1(sin )cos (sin 12266x x x x -+-=x x x x x x x x 22422422cos sin )cos cos sin )(sin cos (sin 1+-+-=x x x x x x 2222222cos sin ]cos sin 3)cos [(sin 1-+- =xx x x 2222cos sin cos sin 311+-=x x x x 2222cos sin cos sin 3=3．【典例导析】变式练习1：解析：原式=sin θcos θ（tanθ＋θtan 1）= sin θcos θ（θθcos sin +θθsin cos ）= sin 2θ+cos 2θ=1；变式练习2：解析：方法一：由sinx+cosx=51，平方得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=251，即2 sinxcosx=－2524，由于（sinx －cosx ）2=1－2 sinxcosx=2549， 又因为－2π<x<0，所以sinx<0，cosx>0，则有sinx －cosx<0，故sinx －cosx=－57． 方法二：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22x x x ，把sinx=51－cosx 将其代入得sin 2x+cos 2x=1，整理得25cos 2x －5cosx －12=0，所以解得cosx=－53或cosx=54，因为－2π<x<0，所以cosx>0，即cosx=54，此时sinx=51－cosx=51－54=－53，故sinx －cosx=－53－54=－57．变式练习3：证明：cos2x-sin2x cos2x+sin2x ＝cos2x-tan2xcos2x cos2x+tan2xcos2x ＝cos2x(1-tan2x)cos2x(1+tan2x)＝1-tan2x1+tan2x ，即cos2x-sin2x cos2x+sin2x =1-tan2x1+tan2x．变式练习4：B ；解析：由于sinα＋cosα=32，则（sinα＋cosα）2=94，即sinαcosα=－185<0，而由于α是三角形的一个内角，则0<α<π，那么sin α>0，cos α<0，则这个三角形是钝角三角形；【随堂练习】 1．B ；解析：由同角三角函数的基本关系式，原式化为：1－cos 2x ＋1－sin 2x ＝|sin x |＋|cos x |＝sin x －cos x ．故应有sin x ≥0，cos x ≤0，则x ∈[π2，π]；2．B ；解析：由于tanα=ααcos sin =21，则sin α=21cosα，代入sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=54，而知α是第二象限的角，则cosα=－552； 3．D ；解析：两边平方得1+2sin αcos α=251，∴sin αcos α=－2512＜0，∴α是第二或第四象限角；4．91；解析：依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++-<+-<-<+-<.11131101131111022）（）（，，a a a a a a a a解得a =91或a =1（舍去），故实数a =91； 5．53；解析：由sin α＋cos α=57，两边平方得：sin αcos α=2512，因此sin α＞0，cos α＞0，所以α为第一象限角又tan α＞1，所以sin α＞cos α，由sin α＋cos α与sin αcos α的值构造方程x 2－57x ＋2512=0，可得方程的根为：53、54，所以sin α=54，cos α=53；6．解析：由cos α=－35，且tan α＞0，知α在第三象限，由sin 2α+cos 2α=1，得sin 2α=1－cos 2α，sin α=－1－cos 2α=－45，∴tan αcos 3α1－sin α=tan αcos α·cos 2α1－sin α=sin α(1－sin 2α)1－sin α=sin α（1+sin α）=－45×（1－45）=－45×15=－425．【课后作业】1．B ；解析：由于sinxcosx=1cos sin x x =x x x x 22cos sin cos sin +=1tan tan 2+x x =14121+=52； 2．C ；解析：原方程有两个实数根，则应满足下列条件⎩⎨⎧ sin α≠0△=(-4cos α)2﹣4×(3sin α)×2≥0，即⎩⎨⎧sin α≠0-2≤sin α≤12，又－1≤sin α≤1，∴－1≤sin α≤12，但 sin α≠0，从而有1≤sin α<0或0<sin α≤12；3．（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ）；解析：∵ααsin sin 1-1+=)sin 1)(sin ()sin 1(2ααα+-1+=|cos |sin 1αα+=ααcos sin 1+，∴cos α＞0，∴α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ）； 4．1或－41；解析：由于2cos 2x+3cosxsinx －3sin 2x=1，则2cos 2x+3cosxsinx －3sin 2x －1=0，即cos 2x+3cosxsinx －4sin 2x=0，由于cos x ≠0（否则等式不成立），则两边都除以cos 2x 得1+3tanx －4tan 2x=0，解得tanx=1或tanx=－41； 5．解析：∵（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x ＝2，（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x ＝2·1， ∴（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x ＝2（sin 2x ＋cos 2x ），两边同时除以cos 2x ，可得（a －b ）tan 2x ＋a ＋b 2＝2tan 2x ＋2，即（a －b －2）tan 2x ＝2－a ＋b2，∵对任意tanx ，该式恒成立，则⎩⎨⎧a －b －2＝02－a ＋b 2＝0，解得a ＝3，b ＝1． 6．解析：（1）由于角α为三角形内角，则α∈（0，π），由sin α－cos α=51，平方得sin 2α－2sin αcos α+cos 2α=251， 则2sin αcos α=2524，即sin αcos α=2512；（2）由于sin αcos α=2512>0，且α∈（0，π），则可知角α为锐角， 那么sin α+cos α=2)cos (sin αα+=ααααcos sin 2cos sin 22++=57； （3）sin 3α+cos 3α=（sin α+cos α）（sin 2α－sin αcos α+cos 2α）=57×（1－2512）=12591．。
§1 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数之间的基本关系式sin2α＋cos2α＝ ，tan α＝ ．同角三角函数之间的基本关系式 ＋ ＝ 1 ＝ 2．三角函数的诱导公式 ． 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ＋α(k∈Z) k ＋ k sin α cosα tanα 二 π＋α ＋ －sinα －cosα tanα 三 －α －sinα cosα －tanα 四 π－α － sinα －cosα －tanα 五 －α cosα sinα cotα
4．证明三角恒等式的常用方法为：(1)从一边开始证得它等于另一边，一般 ．证明三角恒等式的常用方法为： 从一边开始证得它等于另一边， 从一边开始证得它等于另一边 由繁到简； 证明左 右两边都等于同一个式子或值． 证明左、 由繁到简；(2)证明左、右两边都等于同一个式子或值． 5．学会利用方程思想解三角函数题，对sin α＋cos α，sin α·cos α， ．学会利用方程思想解三角函数题， ＋ ， ， sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余两式的值都可以求出． 这三个式子， － 这三个式子 已知其中一个式子的值，其余两式的值都可以求出． 设sin α＋cos α＝t，t∈[ ＋ ＝，∈ sin αcos α＝ ＝ ]，两边平方，得1＋2sin αcos α＝t2⇒ ，两边平方， ＋ ＝ .
(3)sin α + 2sinα cosα − cos α
2 2
提示:sin α + cos α = 1
2 2
3．范例分析
例7.化简 1 − cos 620
2
o
3．范例分析
cos α 1 + sin α 例 8.求 证 = 1 − s in α cos α
【规律方法总结】 规律方法总结】
同角三角函数的基本关系
23 16
5sin 2cos 1 2 2 2 求（ ） 1 ；（2） sin cos 。 5cos 3sin 4 5 4、已知tanα =2，求下列各式的值. 1 5 ，（2） （） 10 2
1 1 1 （1） sin a ×cos a ；（2）1 - sin a + 1 + sin a
分母1换为 sin cos
2 2
注意：“1”的灵活代换，特别是关于sina 、 cosa齐次式
举一反三： 1、已知tanα=4，求值： 3cos sin 1 2 cos sin 2 sin 2 cos 2、已知 5, 求tan。 3 sin 5 cos 1 tan 1 3、已知 ， （ ） ；（2）7 1 12 1 tan 3 25
4、同角三角函数与一元二次方程
例4、已知 sin 、cos是方程3x 2 6kx 2k 1 0的两根， 求实数k的值.
三、典例练习
1.已知 tan 2, 则 2sin 3 cos （1） 5 sin 7 cos (2)4 sin 2 3 sin cos 5 cos2 2cos2 3 （3） sin cos 1
3、利用方程的思想解决三角问题
π 1 例 3、已知－ ＜x＜0，sinx＋cosx＝ . 2 5 (1)求 sinx－cosx 的值； sin2x＋2sin2x (2)求 的值． 1－tanx
1 解析： (1)由 sinx＋cosx＝ ， 平方得 sin2x＋2sinxcosx 5 ＋cos2x＝ 1 24 ，∴2sinxcosx＝－ . 25 25
sin cos 2 cos2 方法2分子分母同除以cos 原式 sin 2 cos2 2 cos cos2
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- 1 -
同角三角函数
三角函数是初中几何中最重要的基础知识之一，由于其理论性和
实用性都非常强，所以许多初学者对它望而生畏。
今天，我们就来好好的探讨一下“同角三角函数”。我将从五个
方面给大家讲解：同角三角函数的定义、同角三角函数图像的特点、
化简同角三角函数、同角三角函数的简单应用。 1。同角三角函数的
定义
首先讲锐角三角函数，由正弦、余弦、正切构成的锐角三角函数，
记为： sin(x+y)cos(y+x)，它们分别为： sinx、 cosy、 tanxy、 tanxy，
那么我们可以得出如下结论： sin(x+y)=sinx siny sinxy=cosx cosy
cosxy cosxy=tanxy 2。同角三角函数图像的特点
在这个世界上，几乎每个事物都有自己的特征，那么三角函数的
特征也不例外。我们首先来看第一种情况：当x=0时，因为
sin(x+y)=-sinx， cos(y+x)=-cosy， tan(xy)=-tanxy，那么，此时
sinx=0， cosy=0， tanxy=0。也就是说：当x = 0时，函数图像为
直线，此时应用到了诱导公式：斜率=直线与x轴交点的横坐标乘以
斜率，所以直线的方程为： y=x或y=axx。然后我们再来看第二种情
况：当x=0时，因为sin(x+y)=0， cos(y+x)=0， tan(xy)=0，而这
时的余弦值等于0，所以函数图像为双曲线，这时应用到了诱导公式：
可见直线的方程为： y=ax(-b/2ac)。 3。化简同角三角函数要使同
角三角函数的关系式得到完美的体现，化简同角三角函数是必不可少
的一步。化简时，我们需要对所求的同角三角函数关系式进行运算，
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这里可以运用到对称的思想，也可以采用降幂或升幂的方法进行化简。
比如sin(x+y)=cos(y+x)-sin(x+y)cos(y+x)，我们需要考虑到y=-2，
4， 3，所以sin(x+y)=-sin(y+x)-sin(x+y)cos(y+x)，而这里的x
为任意取值。又比如sin(x+y)=-sin(y+x)-sin(x+y)cos(y+x)，我们
只需要考虑到y=2， 3， -1所以
sin(x+y)=-sin(y+x)+sin(x+y)cos(y+x)，而这里的x为任意取值。
综合上述可以知道，我们可以通过运用反三角函数和旋转变换的手法，
快速地化简同角三角函数。这样，我们就得到了：
sin(x+y)=-sin(y+x)+sin(x+y)cos(y+x)。