2018年北京各区高三上期末理科数学汇编--解析几何

2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---解析几何

1.（西城）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点(2,0)A

．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四

边形，求k 的值． 解：（Ⅰ）由题意得 2a =

，c e a =

=， 所以

c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2

214

x y +=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，

则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，

所以 (3,)P k

，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．

由

22

44,y kx x y ?=+??+=??

得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0?>，得 21

2

k >．

且12x x +=122

8

41

x x k =+． [ 9分] 所以

||MN =

= [10分]

因为 ||||PA MN =， 所以

整理得 42

1656330k k -+=， [12分]

解得

k =

k = [13分]

经检验均符合0?>

，但k =PAMN 是平行四边形，舍去． 所以

k =

，或

k = [14分]

2.（海淀）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程22

1x y m m

-=表示双曲线”的

A

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

3. （海淀）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ?为正三角形，则实数m 的值为 D

（A

（B

（C

或 （D

4.（海淀）已知点F 为抛物线C ：()2

20y

px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛

物线C 上，则下列说法错误．．

的是 C （A ）使得MFK ?为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ?为直角三角形的点M 有且仅有4个

（C ）使得4MKF π

∠=

的点M 有且仅有4个 （D ）使得6

MKF π

∠=的点M 有且仅有4个

5. （海淀）点(2,0)到双曲线2

214

x y -=的渐近线的距离是

6. （海淀）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于

A ，

B 两点，则OA OB += ．2

7. （海淀）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P .

（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.

解：（Ⅰ）C ：221

9

2

x y +=，故2

9a =，292b =，292c =，

有3a =，b c ==

分

椭圆C 的短轴长为2b =

……………..3分

离心率为2

c e a =

=

. ……………..5分

（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.

当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=

……………..7分

当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y

2229(1)

x y y k x ?+=?=-?，整理得：2222

(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分

22

2

2

2

(4)4(21)(29)64360k k k k ?=-+-=+>

故2122421k x x k +=+，2122

29

21

k x x k -=+ ……………..9分 PM PN ?uuu r uuu r

1212(2)(2)x x y y =--+ 21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++

222

2

222294(1)(2)42121

k k k k k k k -=+?-+?++++

2265

21

k k +=-+ 0<

……………..13分

故90MPN ∠>?，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <

（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.

当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=

……………..7分

当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y

2229(1)

x y y k x ?+=?=-?，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分

22

2

2

2

(4)4(21)(29)64360k k k k ?=-+-=+>

故2122421k x x k +=+，2122

29

21k x x k -=+ ……………..9分

2

12212()221

T k x x x k =+=+，2

(1)21T T k y k x k =-=-+ ……………..10分

2222422

2

2

22

222222

2(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T T

k k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++

……………..11分

222222

12121222224222222222

111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ??==+-=++-??-++++=+-?==++++

……………..12分

此时，4242422

2

222222

1625949412165

||||0(21)(21)(21)

k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++ ……………..13分

故||||TM TP >

8.（朝阳）已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是 B

A. 椭圆的一部分

B. 双曲线的一部分

C. 抛物线的一部分

D. 圆的一部分

9.（朝阳）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C

的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程

为 . y x =±

10.（朝阳）已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；

（Ⅱ）求证：FT MN ；

（Ⅲ）求线段FN 的长.

解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分 （Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得2

14

y x =

，则过点P 的切线l 的斜率为0012

x x k y x ='==

. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =

-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2

T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则0

2

MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合， 即FT

MN . …………6分

（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02

y x x =-

，00x ≠.直线PF 的方程为00

11y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N

N N N y x x y y x x ?=-??

?-?=+??

由（1）式得，02N N x x y =-

（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02N

N

y y y -=()0N y ≠.

又2

004x y =，化简得,2

2

(1)1N N x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）

即1FN =. …………14分

11.（通州）

已知点(2P 为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是 C A ．2 B

．．3 D ． 4 12.（通州）已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“1

2

a =”的B A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 13.（通州）已知点P

的坐标是()

，将OP 绕坐标原点顺时针旋转

至OQ ，那么点Q 的横坐O 3

π

标是

_______.

2

14. （通州）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-

，离心率2

e =（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分

MPN ∠ ，求m 的值．

解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-

，离心率2

e =

， 所以1b =

，

2

c a =……………………2分 所以由222a b c =+，得2 2.a =……………………3分

所以椭圆C 的标准方程是2

2 1.2

x y +=……………………4分 （Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.

联立方程组()22

1,1,2

y k x x y ?=-??+=?? 消去y ，得()2222

124220.k x k x k +-+-=

显然0.?>

设点()11,M x y ，()22,N x y ，

所以2122412k x x k +=+，2122

22

.12k x x k -?=

+……………………7分 因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分 所以

12120.y y x m x m

+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ?-+++=

所以()22

22

224220.1212k k k k km km k k -?

-++=++

所以

2

420.12k km

k -+=+……………………12分

所以420.k km -+= 因为0k ≠，

所以 2.m =……………………13分

15.（东城）已知双曲线C ：2

2

21(0)y x b b

-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则

b = ；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为 ．（写出一个答案即可）

1，222x y -=等

16. （东城）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：

，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点．

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；

(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

解：（I

）由题意得2212 1.

a a

b ?=???=+?

解得 1.a b ?=??

=?? 故椭圆C 的方程为2

212

x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.

由22

(1),1,2

y k x x y =+???+=??消去y 得2222

(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0?>.设1122(,),(,)M x y N x y ，

则21222

12241222.12k x x k k x x k ?-+=??+?-?=?+?

， 设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠，又等价于

① ②

“12120QM QN y y

k k x t x t

+=

+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-， 所以(20)Q -，.

当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等.

17.（顺义） 已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果

是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________,点

的横

坐标

______.（0，1）；3

18.（顺义）已知椭圆的离心率

，长轴的左右端点分别为

，

．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设动直线与曲线

有且只有一个公共点

，且与直线

相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以

为直径的圆恒过定点

，若

存在，求出

点坐标；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）由已知

————2分

，

椭圆

的方程为

；————4分

，即————10分

，

对满足恒成立，

，

故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分

19.（大兴）双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为（）A

A．y=±xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x

【考点】双曲线的标准方程．

【分析】双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，由此能求出结果．

【解答】解：x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，整理，得y=±x．故选：A．

20.（大兴）直线y=x被圆x2+y2﹣2y﹣3=0截得的弦长等于．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线y=x的距离d的值，再根据弦长公式求得弦长．【解答】解：圆x2+y2﹣2y﹣3=0即x2+（y﹣1）2=4，表示以C（0，1）为圆心，半径等于2的圆．

由于圆心到直线y=x 的距离为d=，故弦长为2=，故答案为：．

21.（大兴）已知椭圆G ：上的点到两焦点的距离之和等于．

（Ⅰ）求椭圆G 的方程；

（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m （不经过点M ）与椭圆交于A ，B 两点，与直线l ：x=4相交于C 点，记直线MA ，MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．求证：为定值．

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由椭圆定义知：

，即

，将点

的坐标代入椭圆

，求出

b 的值，则椭圆G 的方程可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）知右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），令x=4，得点C （4，

2k ），即可求出k 3的斜率，联立

，得到：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，由△＞0，设A （x 1，y 1），

B （x 2，y 2），再由根与系数的关系得到x 1+x 2和x 1?x 2，则k 1+k 2可求，进一步得到要证明的结论． 【解答】（Ⅰ）解：由椭圆定义知：

，∴

．∴椭圆

，将点

的坐

标代入得b 2=4．∴椭圆G 的方程为

；

（Ⅱ）证明：右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），

令x=4，得点C （4，2k ），∴； 又由

消元得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，

显然△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则

，

∴

==