菲克定律

菲克第一定律[编辑]

假设从高浓度区域往低浓度流的通量大小与浓度梯度（空间导数）成正比，通过这个假设，菲克第一定律把扩散通量与浓度联系起来。在一维空间下的菲克定律如下：

其中

∙为“扩散通量”（于某单位时间内通过某单位面积的物质量），例如。量度在一段短时间内物质流过一小面积的量。

∙为扩散系数或扩散度，其量纲为[长度2时间−1]，例如

∙为浓度（假设为理想混合物），其量纲为[(物质的量) 长度−3]，例如

∙为位置[长度]，例如

根据斯托克斯-爱因斯坦关系，的大小取决于温度、流体黏度与分子大小，并与扩散分子流动的平均速度成正比。在稀的水溶液中，大部分离子的扩散系数都相近，在室温下其数值大概在0.6×10-9至2×10-9 m2/s。而生物分子的扩散系数一般介于10-11及10-12 m2/s之间。在二维或以上的情况下，我们必须使用（劈形或梯度算子）来把第一导数通用化，得

。

一维扩散的驱动力为，而对理想混合物而言，这股驱动力就是浓度的梯度。在非理想溶液或混合物的化学系统中，每一种物质的扩散驱动力则为各自种类的化学势梯度。此时菲克第一定律（一维状况）为：

其中标记i代表第i种物质，c为摩尔浓度(mol/m3)，R为通用气体常数(J/(K mol))，T为绝对温度(K)及μ为化学势(J/mol)。

菲克第二定律[编辑]

菲克第二定律预测扩散会如何使得浓度随时间改变：

其中

∙为浓度，其量纲为[(物质的量) 长度−3]，例如

∙为时间[s]

∙为扩散系数，其量纲为[长度2时间−1]，例如

∙为位置[长度]，例如

可从菲克第一定律及质量守恒定律导出菲克第二定律：

假设扩散常数D不变（常数），用链式法则展开，得：

由此可得上述的菲克方程。

对于二维或以上的扩散，其菲克第二定律为：

，

其形式跟热传导方程类似。

若扩散常数不是常数，但大小取决于座标及／或浓度，则菲克第二定律为：

其中一个重要的例子就是，当处于稳定态的时候，即浓度不会因时间而变动，因此方程的左边等于零。在D不变及一维的情况下，浓度会随位置x作线性的变动。在二维或以上情况则：

即拉普拉斯方程，数学家将该方程的解叫做调和函数。

例：一维解（扩散长度）[编辑]

在一维（x轴）扩散的情况下，设时间为t，初始点位于的边界上，该点浓度值为，则扩散情况为

。

其中erfc为互补误差函数。长度为扩散长度，用于量度浓度在x方向在时间t后传播了多远。

互补误差函数在泰勒级数展开后的首两项，可被用作的该函数的快捷近似：