2020年高考理科数学全国各地最新模拟试题分类汇编06 数列及答案解析
2020年普通高等学校全国统一考试数学(模拟卷)(带答案解析)
数列第17题解答题中题干的条件让学生自由选择，很多题目不再拘泥于固定题型的固定解题思路，可以对一个问题从不同的思维角度进行一题多解，发散性较强，考查知识点的深度和广度都有所增加。
三、复习建议
重视基础是关键:本次模拟卷非常注重基础题的考查，比例达到了60%，中档题的比例增加，达到了30%，难题比例10%左右。整体难度介于全国高考文数和理数之间，符合新高考数学不分文理的要求。
又由 ， ，且 ，得 .
因为 ，从而知 ，即
所以 .
又由于 ，
从而 .
故选：C.
【点睛】
本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
6 . 已知点 为曲线 上的动点， 为圆 上的动点，则 的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，并设点A到圆 的圆心C距离的平方为 ，利用导数求最值即可.
2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）
数学试卷
一、整体分析：
本次山东模拟试卷考查全面，涵盖高中数学的重点内容，布局合理，难易得当，包含基础题，中档题，综合题及创新题，考查对基础知识、基本技能、基本运算的掌握。试题对高中数学课程的主干知识，如函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、统计概率等内容，保持了较高比例的考查，其中在题型方面有较大的变化，增加了多选题，并且删除了选做题。
故选：A
【点睛】
本题考查两动点间距离的最值问题，考查利用导数求最值，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题.
7 . 设命题 所有正方形都是平行四边形，则 为（ ）
A．所有正方形都不是平行四边形
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (20)
1 高三理科数学模拟试卷 一、单项选择题： 1.已知集合{1,2}A，{|1}Bxax，若BA，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A. 11,2 B. 11,2 C. 10,1,2 D. 11,0,2 【答案】D
【解析】 【分析】 分B为空集和B不为空集两种情况讨论，分别求出a的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A，{|1}Bxax，BA， 若B为空集，则方程1ax无解，解得0a； 若B不为空集，则0a；由1ax解得1xa，所以11a或12a，解得1a或12a，
综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为11,0,2
.
故选D 【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型. 2.若1izi（其中i是虚数单位），则复数z
的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】 分析：变形1izi，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标即可得结论. 详解：由i1iz，
得21ii1i1iiiz，1zi
复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为1,1，
位于第四象限，故选D. 点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 2
3.函数()22lnxxfxx的图象大致为（ ）
A. B.
C. D. 【答案】B
【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除D；根据0,1x时，0fx，排除,AC，从而得到正确选项. 【详解】fxQ定义域为0xx，且22ln22lnxxxxfxxxfx fx为偶函数，关于y轴对称，排除D；
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编考点01 数列的增减性1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ．3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（2020∙北京∙高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项考点02 递推数列及数列的通项公式1．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（ ） A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立 B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立 C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立 D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ．3．（2022∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（ ）A ．100521002a <<B ．100510032a << C ．100731002a <<D ．100710042a << 4．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 5．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 ．6．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = .7．（2019∙浙江∙高考真题）设,a b R ∈，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（ ） A ．72B ．73 C ．13-D ．711-2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ） A ．2-B ．73C ．1D ．293．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（ ） A ．25B ．22C ．20D ．154．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ）A ．－1B ．12-C ．0D ．125．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2020∙浙江∙高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =8．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-二、填空题 15．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d = ． 17．（2020∙山东∙高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为 ．18．（2020∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S = ．19．（2019∙江苏∙高考真题）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .20．（2019∙北京∙高考真题）设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5= ，Sn 的最小值为 ．21．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S = . 22．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S = .考点04 等比数列及其前n 项和一、单选题 1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ） A ．158B ．658C ．15D ．402．（2023∙天津∙高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,22N n n a a S n *+==+∈，则4a =（ ）A ．16B ．32C ．54D ．1623．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）． A ．120B ．85C ．85-D ．120-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A ．14B ．12C ．6D ．35．（2021∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．106．（2020∙全国∙高考真题）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12B ．24C ．30D ．327．（2020∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n nS a =（ ）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –18．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=- ，则 k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 11．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为 ． 12．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a = . 13．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4= ． 14．（2019∙全国∙高考真题）记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5= ．考点05 数列中的数学文化1．（2023∙北京∙高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a = ；数列{}n a 所有项的和为 ．2．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么1nk k S ==∑ 2dm .4．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 ．5．（2020∙全国∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A ．11010B ．11011C ．10001D ．110016．（2020∙全国∙高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块考点06 数列求和1．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（ ） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nn ω-=3．（2020∙江苏∙高考真题）设{an }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已知数列{an +bn }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ．参考答案考点01 数列的增减性1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <【答案】D【详细分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【答案详解】[方法一]:常规解法因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.[方法二]：特值法不妨设1,n a =则1234567835813213455b 2,b b ,b b ,b b ,b 2358132134========，，，47b b <故D 正确.2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n nS a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=， 因为20a >，解得2332a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错； 当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对； 假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=， 所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【名师点评】关键点名师点评：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2020∙北京∙高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【详细分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【答案详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ， 且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈， 由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【名师点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.考点02 递推数列及数列的通项公式1．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（ ） A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立 B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立 C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立 D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立【答案】B【详细分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B 的正误. 法2：构造()()31664x f x x =-+-，利用导数求得()f x 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间，从而判断{}n a 的单调性；对于A ，构造()()32192647342h x x x x x =-+-≤，判断得11n n a a +<-，进而取[]4m M =-+推得n a M >不恒成立；对于B ，证明n a 所在区间同时证得后续结论；对于C ，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+推得n a M >不恒成立；对于D ，构造()()32192649942g x x x x x =-+-≥，判断得11n n a a +>+，进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立. 【答案详解】法1：因为()311664n n a a +=-+，故()311646n n a a +=--，对于A ，若13a =，可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤， 证明：当1n =时，1363a -=≤--，此时不等关系3n a ≤成立； 设当n k =时，63k a -≤-成立， 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭，故136k a +≤--成立， 由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦， ()20144651149n a --=-≥>，60n a -<，故10n n a a +-<，故1n n a a +<， 故{}n a 为减数列，注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--，结合160n a +-<，所以()16694n n a a +--≥，故19634n n a +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故19634nn a +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，若存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，则9634nM ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故6934nM -⎛⎫> ⎪⎝⎭，故946log 3M n -<，故n a M >恒成立仅对部分n 成立， 故A 不成立.对于B ，若15,a =可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<， 证明：当1n =时，10611a ---≤≤=，此时不等关系56n a ≤<成立； 设当n k =时，56k a ≤<成立， 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-，故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦， ()201416n a --<，60n a -<，故10n n a a +->，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列， 若6M =，则6n a <恒成立，故B 正确.对于C ，当17a =时， 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤， 证明：当1n =时，1061a <-≤，此时不等关系成立； 设当n k =时，67k a <≤成立， 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-，故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列，又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-，结合160n a +->可得：()111664n n a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若存在常数6M >，使得n a M >恒成立，则164nM ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，故()14log 6n M ≤-，n 的个数有限，矛盾，故C 错误.对于D ，当19a =时， 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥， 证明：当1n =时，1633a -=≥，此时不等关系成立； 设当n k =时，9k a ≥成立，则()3162764143k k a a +-≥=>-，故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列，又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--，结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ，所以114963n n a -+⎛⎫⎪⎭≥+⎝，若存在常数0M >，使得n a M <恒成立，则19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故946log 13M n -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误.故选：B.法2：因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-， 令()3219264842f x x x x =-+-，则()239264f x x x =-+'，令()0f x ¢>，得06x <<6x >+；令()0f x '<，得66x << 所以()f x在,6⎛-∞ ⎝⎭和63⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在633⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 令()0f x =，则32192648042x x x -+-=，即()()()146804x x x ---=，解得4x =或6x =或8x =，注意到465<<，768<<， 所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <，在()4,6和()8,+∞上()0f x >， 对于A ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，当1n =时，13a =，()32116643a a =--<-，则23a <， 假设当n k =时，3k a <， 当1n k =+时，()()331311646364k k a a +<---<-=，则13k a +<， 综上：3n a ≤，即(),4n a ∈-∞，因为在(),4-∞上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列， 因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-， 令()()32192647342h x x x x x =-+-≤，则()239264h x x x '=-+，因为()h x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯， 所以()h x '在(],3-∞上单调递减，故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>，所以()h x 在(],3-∞上单调递增，故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<，故110n n a a +-+<，即11n n a a +<-， 假设存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，取[]14m M =-+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +<-，所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- ， 上式相加得，[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=， 则[]14m M a a M +=<，与n a M >恒成立矛盾，故A 错误； 对于B ，因为15a =， 当1n =时，156a =<，()()33211166566644a a =-+=⨯-+<， 假设当n k =时，6k a <，当1n k =+时，因为6k a <，所以60k a -<，则()360k a -<， 所以()3116664k k a a +=-+<， 又当1n =时，()()332111615610445a a =-+=⨯+-->，即25a >， 假设当n k =时，5k a ≥，当1n k =+时，因为5k a ≥，所以61k a -≥-，则()361k a -≥-， 所以()3116654k k a a +=-+≥， 综上：56n a ≤<，因为在()4,6上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列， 此时，取6M =，满足题意，故B 正确；对于C ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，注意到当17a =时，()3216617644a =-+=+，3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝，143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时，)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当2n =与3n =时，2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，假设当n k =时，)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当1n k =+时，所以()())13113131122311666116664444k k k k a a +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=， 综上：()()13121624n n a n - =⎛⎫+≥⎪⎝⎭，易知310n->，则)13121014n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故()()()1312166,724n n a n -⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭，所以(],67n a ∈，因为在()6,8上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列， 假设存在常数6M >，使得n a M >恒成立，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+，其中[]*00001,N m m m m -<≤∈，则()0142log 6133m mM ->=+， 故()()14log 61312m M ->-，所以()1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭，即)1312164m M -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝， 所以m a M <，故n a M >不恒成立，故C 错误； 对于D ，因为19a =， 当1n =时，()32116427634a a ==->-，则29a >， 假设当n k =时，3k a ≥， 当1n k =+时，()()331116936644k k a a +≥=-->-，则19k a +>，综上：9n a ≥，因为在()8,+∞上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列， 因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-， 令()()32192649942g x x x x x =-+-≥，则()239264g x x x '=-+， 因为()g x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯， 所以()g x '在[)9,+∞上单调递增，故()()2399992604g x g ≥=⨯-⨯+'>'，所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->， 故110n n a a +-->，即11n n a a +>+， 假设存在常数0M >，使得n a M <恒成立， 取[]21m M =+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +>+，所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ ， 上式相加得，[][]1191M a a M M M +>+>+->， 则[]21m M a a M +=>，与n a M <恒成立矛盾，故D 错误. 故选：B.【名师点评】关键名师点评：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.2．（2022∙北京∙高考真题）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=， 因为20a >，解得2332a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错； 当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对； 假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=， 所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【名师点评】关键点名师点评：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.3．（2022∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（ ）A ．100521002a <<B ．100510032a << C ．100731002a <<D ．100710042a << 【答案】B【详细分析】先通过递推关系式确定{}n a 除去1a ，其他项都在()0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133n n n a a a +-=>-，累加可求出11(2)3n n a >+，得出1001003a <，再利用11111111333132n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+ ⎪-+⎝⎭-+，累加可求出()111111113323nn a n ⎛⎫-<-++++ ⎪⎝⎭ ，再次放缩可得出10051002a >． 【答案详解】∵11a =，易得()220,13a =∈，依次类推可得()0,1n a ∈ 由题意，1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1131133n n n n na a a a a +==+--，∴1111133n n n a a a +-=>-， 即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->≥， 累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+≥， ∴()3,22n a n n <≥+，即100134a <，100100100334a <<, 又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+， ∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，…，111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭， 累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭ ，∴100111111111333349639323100326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 即100140a <，∴100140a >，即10051002a >； 综上：100510032a <<． 故选：B ．【名师点评】关键点名师点评：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩. 4．（2021∙浙江∙高考真题）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A【详细分析】显然可知，10032S >，利用倒数法得到21111124n n a a +⎛⎫==+-⎪⎪⎭，再放缩可得12<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由1n a +=113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【答案详解】因为)111,N n a a n *+==∈，所以0n a >，10032S >．由211111124n n n a a a ++⎛⎫=⇒=+=+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<⇒<⎪⎪⎭12<()111,222n n n -+<+=≥，当1n =112+=，12n +≤，当且仅当1n =时等号成立，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得()6,2(1)(2)n a n n n ≤≥++，且16(11)(12)a =++，则6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ．【名师点评】的不等关系，再由累加法可求得24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．5．（2020∙浙江∙高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 ．【答案】10【详细分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【答案详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10.【名师点评】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = .【答案】7【详细分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【答案详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++135********()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.【名师点评】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.7．（2019∙浙江∙高考真题）设,a b R ∈，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确.【答案详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<， 故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥ ，且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>， 故选项A 正确； 选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =，则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为=1x -或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2， 同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =， 同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A.【名师点评】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（ ） A ．72B ．73 C ．13-D ．711-【答案】B【详细分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【答案详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =， 则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ） A ．2-B ．73C ．1D ．29【答案】D【详细分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【答案详解】方法一：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=. 故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（ ） A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【详细分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项，再根据前n 项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式的性质即可解出． 【答案详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==， 所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=． 故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=， 所以53520S a ==． 故选：C.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ） A ．－1B ．12-C ．0D ．12【答案】B【详细分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素详细分析、推理作答.【答案详解】依题意，等差数列{}n a 中，112π2π2π(1)()333n a a n n a =+-⋅=+-， 显然函数12π2πcos[()]33y n a =+-的周期为3，而N n *∈，即cos n a 最多3个不同取值，又{cos |N }{,}n a n a b *∈=，则在123cos ,cos ,cos a a a 中，123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=， 于是有2πcos cos()3θθ=+，即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈，解得ππ,Z 3k k θ=-∈， 所以Z k ∈，2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-.故选：B5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a nn n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C6．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.7．（2020∙浙江∙高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D【详细分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【答案详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++， ()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.【名师点评】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．8．（2019∙全国∙高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (1)
高三理科数学模拟试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{0,2,}A a =，{}21,Ba a =-，若A B I 只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 2 D. 2-【答案】B 【解析】分析：先利用两集合有公共元素得到a 值，再通过集合元素的互异性和公共元素的唯一性进行验证． 详解：因为A B I 只有一个元素，所以1a =或2a a a =-或22a a -=或20a a -=，解得1a =或0a =或2a =或1a =-，当1a =时，{}{}{}0,2,1,1,0,0,1A B A B ==⋂=（舍）， 当0a =时，集合A 与互异性矛盾（舍）， 当2a =时，集合A 与互异性矛盾（舍），当1a =-时，{}{}{}0,2,1,1,2,2AB A B =-=⋂=（符合题意）， 即1a =-．点睛：本题考查集合的交集运算、集合元素的性质等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、分类讨论能力和基本计算能力． 2.已知复数ii (,,)2ia x y a xy +=+∈+R ，则2x y += A. 1 B.35C. 35-D. 1-【答案】A 【解析】由题得()(2)2(2)21a i x y i i x y x y i x y +=++=-++∴+=，故选A.3.已知p ：2a >，q ：x R ∀∈，210x a x ++≥是假命题，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：通过一元二次不等式恒成立的条件，判别式不大于零，求出参数a 的范围，之后根据其为假命题，求其补集得到命题q 为真命题是对应的参数a 的范围，之后利用集合的包含关系判断即可.详解：如果不等式210x a x ++≥恒成立， 则240a ∆=-≤，解得22a -≤≤， 因为其是假命题，则有(,2)(2,)a ∈-∞-+∞U ，又因为(2,)+∞是(,2)(2,)-∞-+∞U 的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.点睛：该题所考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要根据一元二次不等式解集的形式，对其判别式的符号进行判断，求得结果，下一步的任务就是需要判断两个命题对应的参数的取值所构成的集合间的包含关系求得结果.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()n nS a n =-∈N ，则2018a =（ ） A. 20162 B. 20172 C. 20182 D. 20192【答案】B 【解析】21,2n n Sa n Nn Q （），+=-∈∴≥时，112121n n n n n a S S a a --=-=---（）， 化为：12n n a a -=． 1n =时，1121a a =-，解得12a =． ∴数列{}n a 是等比数列，首项为1，,公比为2．12018120172018222.n n a a ．--∴=∴== 故选B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，解题时应注意11 n =1 n 2nn n S a S S -⎧∴=⎨-≥⎩. 5.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点，当2AB C D =时，双曲线的离心率为（ ） A. 2【答案】C 【解析】∵双曲()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F∴(2,0)F ，2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点 ∴令2x =，则216y =，即4y =±. ∴8AB =∵2AB C D = ∴4CD =将2x =代入到双曲线的方程可得241y ba =±-，则24214b a-=. ∵2224a b c +== ∴51a =-∴双曲线的离心率为5151ce a +===- 故选C.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．6.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587C. 0.1586D. 0.1585【答案】B 【解析】试题分析：正态分布曲线关于对称，因为,故选B ．考点：正态分布7.如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.424π++ B. 2422π++ C. 2424π++ D. 2224π++ 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．详解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 其直观图如下所示：其表面积S=2×12π•12+2×12×2×1+1212π⨯⨯ +()2+222⨯﹣2+4，故选C ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d c a f x x ⎰B.()d caf x x⎰C. ()d ()d bcabf x x f x x +⎰⎰D. ()d ()d cbbaf x x f x x -⎰⎰【答案】D 【解析】试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫b c f （x ）dx ﹣∫a b f （x ）dx ，然后根据定积分的意义进行选择即可． 详解：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X 轴的面积代数和． 即∫b c f （x ）dx ﹣∫a b f （x ）dx 选项D 正确． 故选D ．点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．注意积分并不等于面积，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数.9.执行如图所示的程序框图，令()y f x=，若()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,2)(2,5]-∞⋃B. (,1)(1,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (,1)(1,5]-∞-⋃【答案】D 【解析】分析：先根据程序框图得()f x 解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果.详解：因为2,2()=23,251,5x x f x x x x x ⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a >得25225112311a a a a a a>⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或 所以11225115a a a a a <-<≤<≤∴<-<≤或或或， 因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.将函数sin ()3y x π=-的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移3π个单位，得到函数()y f x=的图象，则函数()'()f x y f x =在区间[0,2]π上的对称中心为（ ） A. (,0)π，(2,0)π B. (,0)πC. (0,0)，(,0)πD. (0,0)，(,0)π，(2,0)π 【答案】D 【解析】 函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得1s in ()23y x π=-，再向右平移3π个单位，得到函数1()s i n ()22f x x π=-的图象，由111()s i n ()'()c o s ().22222f x x fx x ππ=-⇒=-故()12t a n ()'()22f x x f x π=-，令122x π- =(1)(),2k x k k Z ππ⇒=+∈故k 所有可能的取值为1,0,1-，故所求对称中心为()()()0,0,,0,2,0ππ，故选D.11.已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PFF ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120P F F <∠<o o，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. 1)2C. 1(,1)2D. 1(0,)2【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣2c ．设∠PF 1F 2 =θ，则1260120P F F <∠<o o ，故﹣12＜cosθ＜12，再由余弦定理，求得e 的范围． 详解：由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣PF 1=2a ﹣2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则1260120P F F <∠<o o，∴﹣12＜cosθ＜12．△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cosθ=222c 22a acc -+ ，由﹣12＜cosθ＜12 可得e 的范围12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 故答案为：B.点睛：本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a=-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).12.已知()2,0,0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，若()2f x a ⎡⎤=⎣⎦恰有两个根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,-+∞ B. ()1,2l n 22--C. (],2l n 22-∞-D. (],22l n 2-∞-【答案】C 【解析】试题分析：根据f （x ）的图象判断a 的范围，用a 表示出x 1，x 2，得出x 1+x 2关于a 的函数，从而可得出x 1+x 2的取值范围． 详解：作出f （x ）的函数图象如图所示：由[f （x ）]2=a 可得f （x ）=a ， ∴a ＞1，即a ＞1．不妨设x 1＜x 2，则x 12=eaa （t ＞1），则x 1=t ，x 2=lnt ，∴x 1+x 2=lnt t ，令g （t ）=lnt t ，则g′（t ）=12t2-t ，∴当1＜t ＜4时，g′（t ）＞0，当t ＞4时，g′（t ）＜0， ∴当t=4时，g （t ）取得最大值g （4）=ln4﹣2=2ln2﹣2． ∴x 1+x 2≤2ln2﹣2． 故选C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,)a λ=r ，(3,1)b =r ，(1,2)c =r ，若向量2a b -r r 与c r 共线，则向量a r在向量c r 方向上的投影为______． 【答案】0.【解析】【详解】试题分析：根据向量共线求出λ，计算a c r rg ，代入投影公式即可．详解：向量a r =（1，λ），b r=（3，1）， 向量2a r ﹣b r=（﹣1，2λ﹣1）， ∵向量2a r ﹣b r 与c r=（1，2）共线， ∴2λ﹣1=﹣2，即λ=1-2．∴向量=（1，1-2）， ∴向量a r 在向量c r 方向上的投影为|a r |•cos ＜a r ，c r ＞=112·203a c c-⨯==r r r 故答案为0．点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．14.若不等式组002600x y x y x y m ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,3][0,6)-∞-⋃.【解析】先画部分可行域00260x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，设直线0x y m -+=与x 轴的交点为(,0)m -，另外(3,0),(0,6)A B ， 由图形可知：当(,3][0,6)m ∈-∞-⋃时，可行域为三角形，故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．点睛：本题考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，以及简单的线性规划的应用问题，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.15.在三棱锥A B C D -中，A B C ∆与B C D ∆都是正三角形，平面A B C ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2，则A B C ∆的边长为__________． 【答案】6. 【解析】试题分析：取AD ，BC 中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，DF ，求出EF ，判断三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接OA ，OC ，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的体积． 详解：取AD ，BC 中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，DF ，由题意知AF ⊥DF ，设三角形的边长为2a,，该三棱锥的外接球的体积为2,∴EF=12，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上， 连接OA ，OC ，有R 2=AE 2+OE 2，R 2=CF 2+OF 2，∴R 2=）2+OE 2，R 2=a 2+﹣OE ）2，∴3a =∴三棱锥的边长为6． 故答案为6．点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 16.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且ME ，则AB =__________． 【答案】6. 【解析】分析：解决该题需要将点,F E 的坐标求出，之后设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元，写出M 的坐标，应用两点间距离公式求得2k 的值，应用焦点弦长公式求得结果.详解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是(1,0)F ，设直线:(1)l y kx =-，将直线与抛物线方程联立24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元可得2222(24)0k x k x k -++=，从而可得212224k x x k ++=，从而求得2222(,)k M k k+，求得(1,0)E -，根据M E ，可得222224(1)11k k k+++=，求得22k =，而1224226A Bx x p k =++=++=，所以答案是6.点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长问题，解决问题的关键是需要设出直线的方程，联立求得弦中点坐标，之后应用两点间距离公式建立等量关系式，最后应用焦点弦长公式求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足112a =，*1112()n nn N a a +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：222212312n a a a a +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)12n a n=. (2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n a n =；（2）依题可知22211124n a n n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 1111114141nn n n ⎛⎫<⋅⋅=- ⎪--⎝⎭，裂项求和即可. 详解：（1）由条件可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n a n =. （2）依题可知22211124n a n n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 1111114141nn n n ⎛⎫<⋅⋅=- ⎪--⎝⎭，所以2222123na a a a +++⋅⋅⋅+ 1111111142231n n ⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭ 1124n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故222212312n a a a a +++⋅⋅⋅+<.点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18.（山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟考试）如图，在四棱锥P A B C D -中， 222P A P D A D C D B C =====，且90==︒∠∠A D C B C D ．（1）当2P B =时，证明：平面P A D ⊥平面A B C D ； （2）当四棱锥P A B C D -的体积为34，且二面角PA DB --为钝角时，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）313【解析】试题分析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接,P O B O ，由正三角形的性质可得O P A D⊥，由勾股定理可得P O O B ⊥，根据线面垂直的判定定理可得P O ⊥平面A B C D ，从而根据面面垂直的判定定理可得平面P A D ⊥平面AB C D ；（Ⅱ）根据四棱锥P A B C D -的体积为34，可得3P O =，∴2293342O E P O P E =-=-=，以O 为坐标原点，以,OAO B 为x 轴，y 轴．在平面POB 内过点O 作垂直于平面AOB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O x y z -，算出直线PA 的方向向量与平面PCD 的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接,PO B O ， ∵P A D ∆为正三角形，∴OP A D ⊥，∵90A D C B C D ∠=∠=︒，∴//B C A D ， ∵112B C A D ==，∴B C O D=， ∴四边形B C D O 为矩形，∴1O BC D ==， 在P O B ∆中，P O ，1O B =，2P B =，∴90P O B ∠=︒，∴P O O B ⊥， ∵A D O BO ⋂=，∴P O ⊥平面A B C D ， ∵P O ⊂平面PAD ，∴平面P A D ⊥平面A B C D ． （Ⅱ）∵A D P O ⊥，A D O B ⊥，P O B O O⋂=， ,P O B O ⊂平面POB ，∴A D ⊥平面POB ，∵A D ⊂平面AB C D ，∴平面P O B ⊥平面A B C D ， ∴过点P 作P E ⊥平面A B C D ，垂足E 一定落在平面POB 与平面A B C D 的交线B O 上． ∵四棱锥P A B C D-的体积为34， ∴()111323P A B C DV P E A D B C C D -=⨯⨯⨯+⨯= ()113211224P E P E ⨯⨯⨯+⨯==，∴32P E =，∵P O，∴2O=．如图，以O 为坐标原点，以,OAO B 为x 轴，y 轴． 在平面POB 内过点O 作垂直于平面AOB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O x y z -， 由题意可知()1,0,0A，30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0D -，()1,1,0C -，31,2D P u u u v ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0D C =uu u v ， 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩uuu v v uuu v v ，得3020x y z y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 令1x =，则23z =-，∴21,0,3n v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32P A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，设直线PA 与平面PCD 所成角为θ， 则s i n c o s ,P A n u u u v v θ=·3P An P A n=⨯u u u v v u u u v v则直线PA 与平面PCD所成角的正弦值为31313．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度x ︒C21 23 24 27 29 32产卵数y 个 6 11 20 27 5777经计算得： 611266i i x x ===∑， 611336i i y y ===∑， ()61()557i i i x x y y =--=∑， ()62184i i x x =-=∑，621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和621()236.ˆ64i i i y y =-=∑，e 8.0605≈3167，其中x i , y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy =ˆb x +ˆa （精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 回归方程为ˆy =0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522. （i ）试与（1）中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好；（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.参考公式：^221112222111()()()ˆˆˆ,1()()=，======----==-=----∑∑∑∑∑∑nnni i i i i ii i i n n ni i i i i i x xy y x y n x y y y b a yb x R x x x n x y y【答案】(Ⅰ)ˆy =6.6x −138.6．(Ⅱ)(i)答案见解析；(2)190. 【解析】分析：（1）由题中所给数据求出ˆˆ,b a 后可得线性回归方程．（2）①由（1）中的方程可求得相关指数R 2=0.9398，与所给的数据比较可得结论．②根据所选模型中的方程进行估计即可．详解：（1）由题意得，()()()616215576.8ˆ6,4i i i ii x x y y b x x ==--==≈-∑∑ ∴ ˆa=33−6.6⨯26=−138.6， ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆy =6.6x −138.6．（2） ① 由所给数据求得的线性回归方程为ˆy =6.6x −138.6，相关指数为R 2=()()621621236.641110.06020.9398.3930ˆii i ii y y y y ==--=-≈-=-∑∑ 因为0.9398＜0.9522，所以回归方程ˆy =0.060.2303x e 比线性回归方程ˆy 6.6138.6x =-拟合效果更好．② 由①得当温度035x C =时，ˆy 0.2303358.06050.060.06e e ⨯==， 又 8.06053167e ≈， ∴ ˆy 0.063167190≈⨯≈， 即当温度为35 0C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.点睛：相关指数R 2是用来判断回归方程拟合程度的量，当R 2大时说明方程的拟合程度较好，当R 2小时说明方程的拟合程度较差．20.已知抛物线C ：22(0)y p x p =>的焦点F 与椭圆T ：2212x y +=的一个焦点重合，点0(,2)M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求抛物线C 的标准方程以及M F 的值.（2）记抛物线的准线'l 与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得A F F Bλ=u u u v u u u v，且22854H A H B +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)24y x =；2MF =. (2) 存在λ满足条件，且λ的值为2或12. 【解析】试题分析：（1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标()0,1F ，则可得12p=，即可求得p 的值，求得拋物线方程，利用拋物线的焦点弦公式即可求得MF 的值； （2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得2142t λλ=+-，利用韦达定理以两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数入的值.试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆T ：2212x y +=中，222,1a b ==，故2221c a b =-=，故()0,1F ，故12p =，则24p =，故抛物线C 方程为24y x =，将()0,2M x 代入24y x =，记得01x =，故122pMF =+=. （Ⅱ）依题意，()0,1F ，设:1l x t y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y t y --=.∴121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩① 且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又A F F B λ=u u u v u u u v则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入① 得()222144y t y λλ⎧-=⎨-=-⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，且()1,0H -， 则()()222222112211H A H B x yx y +=+++++ ()222212121222x x x x yy =++++++ ()()()222212121211222t y t y t y t y y y =+++++++++ ()()()2221212148t yy t y y =+++++ ()()221168448t t t t =+++⋅+ 42164016t t =++.由42851640164t t ++=， 解得218t =或2218t =-（舍），故2λ=或12.21.已知函数()l n f x x x =，2()(3)xg x x a x e=-+-（a 为实数）. （1）当5a =时，求函数()g x 的图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 在区间[,2](0)tt t +>上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,[,e]x x e∈，使方程()2()xg x ef x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)4e 3e y x =-.(2) 当1t e ≥时, m i n ()()l n fx ft t t ==；当10t e <<时,m i n11()()f x f e e==- (3)1(4,32)e e+-. 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到()'14g e =，()1g e =，所以切线方程为()41y e ex -=-，即43y e x e =-；（2）当1t e ≥时，()f x 为增函数可得到函数最值，当10t e <<时，在区间1,t e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内，()f x 为减函数，在区间1,2t e ⎛⎤+⎥⎝⎦上，()f x 为增函数，进而得到最值；（3）原式子等价于32l n a x x x =++，令()32l n h x x x x=++，研究函数的单调性得到函数的图像进而得到零点情况. 详解：（1）当5a =时，()()253xg x x x e =-+-，()1g e =，()()2'32xgx x x e =-++，故切线的斜率为()'14g e =，所以切线方程为()41y e ex -=-，即43y e x e =-. （2）∵()'l n 1f x x =+，当1t e ≥时，在区间[],2t t +上，()f x 为增函数，所以()()m i nl n f x f t t t ==，当10t e <<时，在区间1,t e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内，()f x 为减函数，在区间1,2t e ⎛⎤+⎥⎝⎦上，()f x 为增函数，所以()m i n 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（3）由()()2xgx ef x =，可得22l n 3x x x a x =-+-，则32l n a x x x =++，令()32l n h x x x x=++， 则()()()223123'1x x hx x x x+-=+-=.因为1132h e e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，()14h =，所以()12420he h e e e⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴()1h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围为14,32e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现，同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xO y 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2s i n ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程；（2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.【答案】(1) 2240x y x +-=；(0)y x >(2) 112CP QS ∆-． 【解析】分析：第一问利用三种方程的转化方法，求出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程，第二问设出点,P Q 的坐标，代入相应的方程，求得对应的ρ，利用极坐标中ρ的几何意义，求得底边P Q 的长，再结合图形的特征，求得对应的高，之后求得三角形的面积.详解：(1)曲线1C 的普通方程()2224x y -+=，即2240x y x +-= 所以1C 的极坐标方程为24c o s 0ρρθ-=，即4c o s ρθ=. 曲线3C 的直角坐标方程：(0)y x x > （2）依题意，设点,P Q 的坐标分别为1,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入4c o s ρθ=，得1ρ=将6πθ=代入2s i n ρθ=，得21ρ= 所以121P Q ρρ=-，依题意得，点1C 到曲线6πθ=的距离为1s i n 16d O C π== 所以)111322C P Q S P Q d ∆=⋅=-. 点睛：该题属于选修内容，在解题的过程中，第一问比较常规，按照公式就能求得结果，第二问在解题的过程中，用极坐标中ρ的几何意义来求得三角形的底边长，是比较新颖 的，在求高的时候紧抓图形的特征，解法好.23.已知()1f x x xm =++-. （1）若()2f x ≥，求m 的取值范围.（2）已知1m >，若()1,1x ∃∈-使()23f x x m x ≥++成立，求m 的取值范围. 【答案】(1) m 1≥或3m ≤-. (2)31(1)2x ≤<． 【解析】分析：（1）根据绝对值三角不等式，可得()1f x m ≥+，求解12m +≥即可得出m 的取值范围；（2）()1,1x ∃∈-使()23f x x m x ≥++成立等价于()23f x x m x ≥++即()212m x x -≥+成立，再构造()221x g x x+=-，然后利用基本不等式即可求m 的取值范围. 详解：（1）∵()11fx x x m m =++-≥+ ∴只需要12m +≥ ∴12m +≥或12m +≤- ∴m 的取值范围为是1m ≥或3m ≤-. （2）∵1m >∴当()1,1x ∈-时，()1f x m=+ ∴不等式()23f x x m x ≥++即22m x m x ≥++ ∴()212m x x -≥+，221x m x+≥-， 令()()()()2212132312111x x x g x x x x x---++===-+----.∵012x <-<∴()311x x-+≥-（当1x =时取“=”）∴()m i n2gx∴2m ≥. 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合的思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活使用.。
2020年高考理科数学模拟卷及答案详细解析
日平均睡眠时间分组
[4，5）
[5，6）
[6，7）
[7，8）
[8，9）
[9，10]
频数
13
28
49
56
42
12
（1）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为给市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；
年龄在区间[20，40）
绝密★启用前
2020年高考理科数学模拟卷及答案解析
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一．选择题（共12小题）
1．已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x∈N|﹣1＜x＜3}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2的一个根，则实数m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
3．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）
（1）证明：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；
（2）求平面AB1C1与平面ADE所成角二面角的余弦值．
专题06 数列-【中职专用】河南省近十年对口高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题06数列1.（2021年河南对口高考）若工厂每年的总产值以10％的速度增长，如果2021年的总产值为1000万元，那么2024年该厂的总产值为（）A.1331万元B.1320万元C.1310万元D.1300万元2.（2021年河南对口高考）在等差数列{}n a 中，13a =，1715a=，则数列{}n a 的公差d 为.3.（2021年河南对口高考）在等比数列{}n a 中，0n a ＞，24a =，4128S a -=，求数列{}n a 的公比q 为.4.（2020年河南对口高考）在等差数列{}n a 中，知3412a a +=，则数列{}n a 的前6项和6S 等于（）A.18B.45C.36D.725.（2020年河南对口高考）在等比数列{}n a 中，23a =，53a =-，则数列{}n a 的公比q 为.6.（2020年河南对口高考）已知等比数列{}n a 中，公比1q ≠，且1n a +，n a ，2n a +成等差数列，求证：等比数列{}n a 的公比2q =-.7.（2019年河南对口高考）已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若32132S S -=，则数列{}n a 的公差d 的值为（）A.12B.1-C.2D.38.（2019年河南对口高考）等比数列{}n a 中，公比1q ≠，它的前项和为n S ，若66332S =，且2a ，4a ，3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（2）求数列{}n a 的前n 项和nS 9.（2019年河南对口）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为.10.（2018年河南对口高考）设首项为1，公比为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.12-=n n a SB.23-=n n a SC.nn a S 34-= D.nn a S 23-=11.（2018年河南对口高考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则公差=d .12.（2018年河南对口）已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且116a ，49a ，72a 成等差数列，求3S 的值.13.（2017年河南对口高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5151912a a S ，则+==A.114B.228C.216D.10814.（2017年河南对口高考）在等差数列{}n a 中，若24351016a a a a ，+=+=，则通项n a =.15.（2017年河南对口）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（）A ．2B ．7C ．14D ．2816.（2016年河南对口高考）若数列数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则6a =.17.（2016年河南对口高考）在等差数列{}n a 中，若610a =，1420a=，则10a =.18.（2016年河南对口高考）在等比数列{a n }中，若311a a -=，422a a -=，求首项1a 及公比q .19.（2015年河南对口高考）等比数列{}n a 中，若62=a ，123=a ，则6S 等于（）A ．186B ．192C ．189D ．19520.（2015年河南对口高考）已知三个数成等差数列，其和为18，其平方和为126，求此三个数.21.（2015年河南对口）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=．22.（2014年河南对口高考）等差数列{}n a 中，若35a =，59a =，则6S 等于（）A ．38B ．36C ．48D ．4623.（2014年河南对口高考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =和21n n S a =-（其中n N *∈）.（1）求数列{}n a 的前四项；（2）求数列{}n a 的通项公式.24.（2014年河南对口）已知数列{}n a 满足211a a -=，其前n 项和为n S ，当2n ≥时，11n S --，n S ，1n S +成等差数列，求证：{}n a 为等差数列.25.（2013年河南对口高考）等比数列{}n a 中，若210a =，320a =，则5S 等于（）A ．155B ．150C ．160D ．16526.（2013年河南对口高考）有四个数，前三个数成等差数列，公差为10，后三个数成等比数列，公比为3，求这四个数．27.（2013年河南对口）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若418a =，3134-=S a ，则4S =（）A ．116B ．18C ．3116D ．15828.（2012年河南对口高考）在等差数列{}n a 中,若31710a a +=,则19S 等于（）A ．65B ．75C ．85D ．9529.（2012年河南对口高考）设{}n a 是公比为q 的等比数列，且243,,a a a 成等差数列,则q =.30.（2012年河南对口）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若471S a =+，474a a +=，则10a =（）A ．133B ．4C ．113D ．143。
2020年高考数学(理科)模拟试题01～05套Word版含答案及解析
2020年高考数学（理科）模拟试题01～05套2020年高考数学（理科）模拟试题（01）时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =U （） A. (]1,2 B. ()1,+∞ C. ()1,2 D. [)1,+∞2.复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（） A. 1i -B. 1i +C. 2D. -23.等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A. 18B. 24C. 36D. 724.已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u r（）A. 4B. 6C. D. 5.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距，则双曲线的渐近线方程为（）A. y =B. y =C. y x =±D. 2y x =±6.定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A. -1B. 0C. 1D. 27.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+(股-勾)24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A. 866B. 500C. 300D. 1348.函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A. C.12D. 12-9.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60︒的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则MN =（）B. 10.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥外接球表面积是（）A. B. 20π C. 4π D. 12π12.已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A. a b ab +=B. 4a b +>C. ()()22112a b -+-< D. 228a b +>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13.的展开式中的系数是__________． 14.在中，，，且的面积为，则__________．15.已知四棱锥中，底面是矩形，，是等边三角形，且平面平面，若四棱锥的外接球的表面积为，则__________．16.已知函数，若的所有零点之和为-2，则实数的取值范围为___．三、解答题：共70分。
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $z=1+i$，则 $z^2-2z=$A。
0B。
1C。
2D。
22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq 0\}$，且 $AB=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。
$-4$B。
$-2$C。
2D。
43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$B。
$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$C。
$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$D。
$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。
2B。
3C。
6D。
95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2.20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。
$y=a+bx$B。
$y=a+bx^2$C。
$y=a+be^x$D。
$y=a+b\ln x$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。
$y=-2x-1$B。
$y=-2x+1$C。
$y=2x-3$D。
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2020年高考理科数学全国各地最新模拟试题
分类汇编
06 数列
一．选择题（共28小题）
1．（2020•涪城区校级模拟）已知等比数列
{}
na的各项均为正数，设其前n项和n
S
，若
*14()n
nnaanN
，则5(S )
A．30 B．312 C．152 D．62
2．（2020•眉山模拟）已知数列
{}
na的前n项和为nS，且14121nnSan，1
1a
，*nN，则
{}na的通项公式(na
)
A．n B．1n C．21n D．21n
3．（2020•龙岩一模）已知数列
{}
na满足2124nnnaaa，则12020
aa
的最大值是(
)
A．422 B．82 C．422 D．82
4．（2020•涪城区校级模拟）已知数列
{}
na中，12a，2
1a
，且满足
11112(2)111nnnnaaa
…
，则
(
n
a
)
A．
51nn
B．22n C．3n D．62n
5．（2020•涪城区校级模拟）已知等差数列
{}
na的前n项和为nS，且43a，12
24S
，若
0(ijaai
，*jN，且1)ij剟，则i的取值集合是( )
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4，5} C．{6，7，8} D．{6，7，8，9，10}
6．（2020•眉山模拟）已知等差数列
{}
na的前n项和为nS，且4763aaa，则9
(S
)
A．27 B．
27
2
C．9 D．3
7．（2020•眉山模拟）已知数列
{}
na为正项的递增等比数列，16
12aa
，2520aa，则