等差数列及其性质

等差数列及其性质典型例题及练习(学生)

等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n +都成立。求证：c 的最大值为 2 9。

数列系列等差数列的性质

数列系列 等差数列的性质 一、思维导图 ????????????????????????????++++++++++--? ????=+=+=+=++=++=+????????? ??+=?? ? ??????=-=-+=+= -++成等差数列 成等差数列 成等差数列则是等差数列若片段和性质当心则时若则若下标和性质即的等差中项和是中等差数列或则成等差数列若等差中项等差数列的性质6425319638527412321212 2,,,,,}{:2,2,:2:}{2222 ,,a a a a a a a a a a a a a a a S S S S S ，a a a a a a a a p n m a a a a q p n m a a a ，a a ，a a a b A b a A b a A b a A ， b A a n n n n n n n n p n m q p n m n m n m n m n m n

二、例题精析 1、（2018商洛模拟）等差数列}{n a 中，,12031581=++a a a 则1092a a -的值为__________ [解析]：已知,24,1202338881581=∴=+=++a a a a a a 242,281091089==-∴+=a a a a a a 2、（2018温州模拟）已知等差数列}{n a 的公差不为零，且242a a =，则3 21642a a a a a a ++++的值是__________ [解析]：2323332 224321642=?==++++a a a a a a a a a a ，下标和性质 3、（2017中原区校级月考）已知}{n a 为等差数列，,7,22683==+a a a 则=5a __________ [解析]：已知1572222,22655683=-=-=∴=+=+a a a a a a ，下标和性质 4、（2018南关区校级期末）在等差数列}{n a 中，102,a a 是方程0722=--x x 的两根，则=6a __________ [解析]：已知4 1)(21,21211026102=+=∴=-- =+a a a a a ，下标和性质 5、（2018塑州期末）在等差数列}{n a 中，若,39741=++a a a ,33852=++a a a 则=++963a a a _____ [解析]：设27,39332,963=∴+=?∴=++x x x a a a ，片段和性质 6、（2017商丘期末）等差数列}{n a 中,0>n a 且,301021=+++a a a 则=+65a a __________ [解析]：已知,6,30)(5101651011021=+=+∴=+=+++a a a a a a a a a 下标和性质 7、（2018太原期末）在等差数列}{n a 中，若,9531=++a a a ,21654=++a a a 则=7a __________ [解析]：已知,3,9333531=∴==++a a a a a ,7,21355654=∴==++a a a a a 92357=-=a a a

等差数列的基本性质

等差数列 一、等差数列的定义以及证明方法： 1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. 注意一些等差数列的变形形式，如： 111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1 n a }为等差数列） d =(d 为常数，此时，数列??为等差数列) …… 2、证明方法： （1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2 （3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列. 【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i . (I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值. (II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.

3、等差数列的通项公式： （1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如() 1n n a a f n --=的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项法或者累加法，从而达到求a n 的目的. 变形形式： a n =a m +(n-m )d 由以上公式可以得到：n m a a d n m -= - （2）等差数列通项公式的一些性质： ①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则： 2n m p a a a +=； ②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列； ③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列； 【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项 01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++=Λ,则k =（ ） A . 22 B . 23 C . 24 D. 25 【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加 ()()()111111222 n n n n n n S a a a a n d na d -= +=++-=+???? （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=； （2）奇偶项问题： 在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ， 1 = m m S a S a +奇偶；

等差数列的性质

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式为S n =na 1+n （n ﹣1）d 或者S n = 性质：①若项数为() *2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1 n n S a S a +=奇偶． ②若项数为() *21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 【例题精讲】 例1、若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列 例2、等差数列{a n }前n 项和为S n ，且﹣ =3，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则 =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例4、在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B.－4 C ．5 D.－5

高二数学 等差数列的定义及性质

等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为

?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．

等差数列的性质总结

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

等差数列性质教案

等差数列的性质 民和高级中学 刘永宏 【教学目标】 知识目标： （1）理解和掌握等差数列性质，能选择更方便，快捷的解题方法。 （2）会用等差数列性质的解决一些相关问题。 能力目标： 学生在教师指导下，提高观察，发现规律的能力、提高学生分析探索能力。 情感目标: （1）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 （2）体验从特殊到一般认知规律。 【 教学重点和难点】 教学重点：等差数列的性质。 教学难点：能在实际应用中找出题目所用的性质。 【教学方法和学法指导】 教学方法：本节课采用“问题——探究”教学模式。 学法指导：以学生活动为主，引导学生在合作交流的基础上，充分调动学生学习的积极性和主动性。结合本课的实际需要，作如下指导：利用有个别到一般，进行归纳，猜想、在证明的思路学习本节知识，有助于加强对本节知识的理解和掌握。 【学案设计】 一、学前探究 1、在 数列{}n a 中，若1n n a a d +-=则数列为______ 3、在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，_____当m=n ，则____ 4、已知{n a } 、{n b }均为等差数列，p,q 为常数，则数列{n n pa qb +}，则数列为____ 二、学后测评 1、在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为______ 2、等差数列{}n a 中， 3737a a +=，则2468a a a a +++=______ 3、已知{}n a 为等差数列，5109,29a a ==求公差及通项 4、 2、在等差数列{}n a 中， ()n m a a n m d =+-，所以d=_____ {}.____),2(511,311=≥=-=-n n n n a n a a a a 则中，已知数列

等差数列的性质、求和知识点及训练

等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++

经典等差数列性质练习题(含答案)

等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．

等差数列的性质练习 含答案

时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．若一个数列的通项公式是a n＝k·n＋b(其中b，k为常数)，则下列说法中正确的是( ) A．数列{a n}一定不是等差数列 B．数列{a n}是以k为公差的等差数列 C．数列{a n}是以b为公差的等差数列 D．数列{a n}不一定是等差数列 【答案】B 【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k. 2．等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( ) A．100 B．120 C．140 D．160 【答案】B 【解析】∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，则a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝2×60＝120. 3．在等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________. 【答案】99 【解析】a15，a25，a35成等差数列， ∴a35＝2a25－a15＝99. 4．已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式． 【分析】关键是求出数列{a n}的首项和公差． 【解析】由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为

a －d ，a ，a ＋d ，于是可得??? ?? a －d ＋a ＋a ＋d ＝21， a －d a a ＋d ＝231， 即????? 3a ＝21， a a 2－d 2 ＝231， 即????? a ＝7， d 2 ＝16， 由于数列为单调递增数列，因此d ＝4，a 1＝3，从而{a n }的通项公式为a n ＝4n －1. 【规律方法】 此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量．一般来说，已知三个数成等差数列时，可设成：a －d ，a ，a ＋d ，四个数成等差数列时，可设成：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其余依此类推，如五个可设成： a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 9＝5，则a 7＝( ) A ．4 B ．－4 C ．7 D ．1 【答案】 A 【解析】 由题意知a 7为a 5，a 9的等差中项，故a 7＝12(a 5＋a 9)＝ 1 2×(3＋5)＝4. 2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13 的值为( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 【答案】 C 【解析】 ∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7，

2.2.2 等差数列的性质及应用

2.2 等差数列 第2 课时：等差数列的性质及应用 编写：皮旭光 【学习目标】 1． 进一步学习等差数列的项与序号之间的关系，探索发现等差数列的性质，掌握其应用技巧； 2． 能够灵活利用等差数列的性质解决综合问题。 【知识线索】 1．等差数列中的设元技巧：一般地，若三项成等差数列，我们常记该三项分别为 d a a d a +-,,； 四个数时,设为：a －3d,a －d ，a ＋d ，a ＋3d 。 2．等差数列的项与序号的关系：设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则 ① d m n a a m n )(-+= （第二通项公式）； ② 若k q p n m a a a a a k q p n m 2,2=+=+=+=+则 ),,,(*∈N q p n m 。 3．等差数列的其它性质： (1)若}{n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①}{c a n +(c 为任一常数)是公差为_____的等差数列； ②}{n a c ?(c 为非零常数)是公差为_______的等差数列； ③}{k n n a a ++是公差为_____的等差数列； ④}{n k a ?(k 为常数且* ∈N k )是公差为_______的等差数列。 （2）设}{n a ，}{n b 的公差分别为1d ，2d ，则}{n n qb pa +是公差为_______的等差数列（q p ,为常数）。 【知识建构】 1．已知数列}{n a 的公差为d ，你能证明： d m n a a m n =--吗？由此你能得出哪些变形式子； 2．回答教材P39页第5题中的问题，你能归纳其中的结论吗，有什么特点呢？ 3．回答教材P39页第４题中的问题，请你尝试探讨等差数列的性质。 【典例透析】 例1．在等差数列}{n a 中,（1）若3773=+a a ，则8642a a a a +++＝________； (2)若815=a ，2060=a ，则75a ＝________； （3)若===+n m n m a m a n a 则,,________。 高一必修5：第二章 数列 课时目标呈现 课前自主预习 课中师生互动

2015等差数列及其性质典型例题

热点考向一：等差数列的基本量 1.已知 {}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.1 2 D.2 2. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。 3、设 {}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 4．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 ,b 都是等差数列，则 =--1 212y y x x （） A ． 43 B ． 3 2 C ．1 D ． 3 4 5、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围 6、己知}{n a 为等差数列，1 22,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 热点考向二：等差数列的判定与证明. 1.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222 ,,依次成等差数列. 2：在数列{}n a 中，11a =，11 14n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：在数 列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有1n n a a +>. 3.已知数列{n a }中，1 35a = ，数列112,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足1 ()1 n n b n N a *=∈-（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数性质的应用 1.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）A ．72 B ．60 C ．48 D ．36 2.在等方程0)2)(2(22 =+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为 4 1 的等差数列，则|m －n|= 3．在等差数列 {}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ = 4．在等差数列}{n a 中，若4 681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= . 热点考向四：等差数列前n 项和重的基本运算 1．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，* n N ∈)，n S =336，则n 的值是 . 2.已知{}n a 是等差数列，12 4a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S ＝________. 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S ) A ．80 B ．120 C ．135D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S ( ) A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5.设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则 9 5 S S = 6.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 7．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ ＝________. 8. 已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和， 9. 1 2008a =-， 20072005220072005 S S -=，则2008S 的值为______________ 热点考向五：等差数列前n 项和中的最值问题 1、已知等差数列 {}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）

等差数列性质及习题

等差数列 1.定义：1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥ 2.等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 3.等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A += 4.等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1) 2 n n n S na d -=+ 5. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜 率为公差d ； 211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列， 若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。 （3）当w q p n m 2=+=+时,则有w q p n m a a a a a 2=+=+ （4）若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、* {}(,)p nq a p q N +∈、 232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列. （5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－，n n a a S S :1+=奇偶：； 项数为奇数21n -时，n a S S =-偶奇；n n S S :)1(+=偶奇：。 （6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且 ()n n A f n B =， 则 21 21 (21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. (7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 法一：由不等式组? ?? ? ? ????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）； 法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 *n N ∈。

等差数列的性质总结

等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1 （d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧：

等差数列的性质

课 题：3.1 等差数列等差数列的性质 教学目的： 1.明确等差中项的概念. 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式. 教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是在学习等差数列的概念、通项公式的基础上，推导等差数列前n 项和的公式，并突出等差数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便 教学过程： 一、复习引入 首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N + ），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =1 1--n a a n ③ d =m n a a m n -- 二、讲解新课： 问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即：2b a A += 反之，若2 b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2 b a b a A ?+=成等差数列

也就是说，A = 2 b a +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ 三、例题讲解 例1在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列 ∴ 1a +6a =4a +3a =9?3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5 ∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32 例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来 解：1a +5a =23a

等差数列性质

§ 等差数列 一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式：2 2111)()(n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质

已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和. (1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N * )，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列，其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的2 1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶,。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1+==-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则1 212--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系：