2007年高考数学试题汇编——立体几何(二)
2007年高考数学试题汇编——立体几何(三)
2007年高考数学试题汇编——立体几何（三）28．（全国Ⅱ?理?19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；【解答】解法一：（1）作交于点，则为的中点．连结，又，故为平行四边形．，又平面平面．所以平面．（2）不妨设，则为等腰直角三角形．取中点，连结，则．又平面，所以，而，所以面．取中点，连结，则．连结，则．故为二面角的平面角．所以二面角的大小为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．（2）不妨设，则．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角．．所以二面角的大小为．29．（北京?理?16题）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值．【解答】解法一：（I）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．（III）同解法一30．（安徽?理?17题）如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）；【解答】本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有．（Ⅰ）证明：．．与平行，与平行，于是与共面，与共面．（Ⅱ）证明：，，，．与是平面内的两条相交直线．平面．又平面过．平面平面．（Ⅲ）解：．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．．二面角的大小为．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：平面，平面．，，平面平面．于是，．设分别为的中点，连结，有．，于是．由，得，故，与共面．过点作平面于点，则，连结，于是，，．，．，．所以点在上，故与共面．（Ⅱ）证明：平面，，又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，平面．又平面过，平面平面．（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，根据三垂线定理，有．过点在平面内作于，连结，则平面，于是，所以，是二面角的一个平面角．根据勾股定理，有．，有，，，．，，二面角的大小为。
2007年高考试题——数学理(全国卷2)
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学（必修 + 选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、本试题卷上答题无效.6．考试结束、将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径),,2,1,0()1()(n k P P C k P k n k kn n =-=-一、选择题 （1）=210sin（A ）23 （B ）23-（C ）21 （D ）21-（2）函数|sin |x y =的一个单调增区间是（A ）)4,4(ππ-（B ）)43,4(ππ（C ）)23,(ππ （D ）)2,23(ππ（3）设复数z 满足==+z i zi 则,21 （A ）－2+i （B ）－2－i （C ）2－i（D ）2+i （4）下列四个数中最大的是（A ）2)2(ln（B ）)2ln(ln（C ）2ln（D ）2ln（5）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=+==λλ则,31,2（A ）32 （B ）31 （C ）31-（D ）32-（6）不等式0412>--x x 的解集是 （A ）（－2，1） （B ）（2，+∞） （C ）),2()1,2(+∞- （D ）),1()2,(+∞--∞（7）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 所成的角的正弦值等于（A ）46 （B ）410 （C ）22 （D ）23 （8）已知双曲线x x y ln 342-=的一条切的斜率为21，则切点的横坐标为（A ）3 （B ）2 （C ）1（D ）21（9）把函数x e y =的图像按向量a =（2,3）平移,得到)(x f y =的图像,则=)(x f（A ）23+-x e（B ）23-+x e（C ）32+-x e（D ）32-+x e（10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）120种（11）设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使||3||902121AF AF AF F ==∠且 ，则双曲线的离心率为（A ）25（B ）210（C ）215（D ）5（12）设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA ，则=++||||||FC FB FA（A ）9（B ）6（C ）4（D ）3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）82)1)(21(xx x -+的展开式中常数项为 ① .（用数字作答） （14）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布).0)(,1(2>σσN 若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为 ② .（15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ③ cm 2. （16）已知数列的通项25+-=n a n ，其前n 项和为S n ，则2limn S nx ∞→= ④ .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）在△ABC 中，已知内角,32,3==BC A 边π设内角B =x ，周长为y .（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值.（18）（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）=0.96.（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为AB 、SC 的中点.（Ⅰ）证明EF//平面SAD .（Ⅱ）设SD =2DC . 求二面角A —EF —D 的大小.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、的取值范围.（21）（本小题满分12分）设数列}{n a 的首项.,4,3,2,23),1,0(11 =-=∈-n a a a n n （Ⅰ）求}{n a 的通项公式;（Ⅱ）设,,231+<-=n n n n n b b a a b 证明其中n 为正整数. （22）（本小题满分12分）已知函数x x x f -=3)(.（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程；（Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明： ).(a f b a <<-2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3．解答右段所注分数,表示考生正确做到这一步应得到累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（1）D （2）C （3）C （4）D （5）A （6）C （7）A （8）A （9）C （10）B （11）B （12）B 二、填空题（13）－42 （14）0.8 （15）2+42 （16）25 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）△ABC 的内角和A+B+C =π,由.3200,0,3ππ<<>>=B C B A 得 应用正弦定理,知,sin 4sin 3sin32sin sin x x B ABC AC ===π).32sin(4sin sin x C A BC AB -==π因为 ,AC BC AB y ++= 所以 ).320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y （Ⅱ）因为 32)s i n 21c o s 23(s i n4+++=x x x y =),6566(32)6sin(34ππππ<+<++x x 所以,当26ππ=+x ,即y x ,3时π=取得最大值36.（18）解（Ⅰ）记A 0表示事件“取出2件产品中无二等品”,A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则A 0,A 1互斥,A =A 0+A 1,故P （A ）=P （A 0+A 1）=P （A 0）+P （A 1） =)1()1(122p p C p -+-21p -=于是 0.9621p -=解得 2.02.021-==p P （舍去） （Ⅱ）ξ的可能取值为0,1,2.若该批产品共100件,由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件,故.495316)0(2100280===C C P ξ.495160)1(2100130180===C C C P ξ.49519)2(2100220===C C P ξ所以ξ的分布列为（19（Ⅰ）作FG//DC 交SD 于点G ,则G 为SD 的中点.连结AG FG ////,21CD CD 又AB , 故FG //AE,AEFG 为平行四边形.EF//AG ,又AG ⊂平面SAD,EF ⊄平面SAD . 所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设DC =2,则SD =4,DG =2,△ADG 为等腰直角三角形. 取AG 中点H ,连结DH ,则DH ⊥AG .又AB ⊥平面SAD ,所以AB ⊥DH ,而AB AG =A .所以DH ⊥面AEF .取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF . 连结DM ，则DM ⊥EF .故∠DMH 为二面角A —EF —D 的平面角.212tan ===∠HM DH DMH所以二面有A —EF —D 的大小为arctan 2 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系D —xyz设A (a ,0,0),S(0,0,b ),则)2,2,0(),0,2,(),0,,0(),0,,(ba F a a E a C a a B ,)2,0,(b a -=,取SD 的中点)2,0,0(bG ,则)2,0,(ba AG -=,,,,//,SAD EF SAD AG AG EF 平面平面⊄⊂=所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设A (1,0,0),则 B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,2),E(1,21,0),F (0, 21,1). EF 中点M (21,21,21),.,0,),1,0,1(),21,21,21(EF MD EF ⊥=-=---= 又EF EA EF EA EA ⊥=⋅-=,0),0,21,0(,所以向量和的夹角等于二面角A —EF —D 的平面角，33,cos =<，所以二面角A —EF —D 的大小为arccos 33.（20）解：（Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即 2314=+=r得圆O 的方程为422=+y x .（Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121=<x x x x B x A 由即得 A （－2，0），B （2，0） 设),(y x P ，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得222222)2()2(y x y x y x +=+-⋅++即 .222=-y x).1(24),2(),2(222-=+-=--⋅---=⋅y y x y x y x内于点P 在圆O 内做⎪⎩⎪⎨⎧=-<+24222y x y x由此得：y 2<1所以 ⋅的取值范围为).0,2[- （21）解：（Ⅰ）由 ,4,3,2231=-=-n a a n n ，， 整理得 ).1(2111---=-n n a a 又 }1{011n a a -≠-，所以是首项为11a -，公比为21-的等比数列，得 11)21)(1(1----=n n a a（Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）可知.0230><<n n b a ，故 那么， 221n n b b -+2222121)1(49)23()2323()23()23()23(-=---⨯--=---=++n n n n n n n n n n a aa a a a a a a a 又由（Ⅰ）知010221>-≠>+n n n n b b a a ，故且，因此 1+<n n b b ，n 为正整数. 方法二：由（Ⅰ）可知 .1230≠<<n n a a ， 因为 231nn a a -=+ 所以 .2)3(23111nn n n n a a a a b -=-=+++由2)23()23(1n n n n a a a a -<-≠可得 即n n n n a a a a 22)23()23(-<- 两边开平方得.2323n nn n a a a a -<-即 n b b n n ，1+<为正整数. （22）解：（Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2-='x x f 曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为：))(()(t x t f t f y -'==即 .2)13(32t x t y --=（Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使322)13(t a t b --=于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程03223=++-b a at t有三个相异的实数根，记 ,32)(23b a at t t g ++-= 则 at t t g 66)(2-=' )(6a t t -=当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表：由)(t g 的单调性，当极大值0<+b a 或极小值0)(>-a f b 时，方程0)(=t g 最多有一个实数根；当0=+b a 时，解方程2300)(at t t g ===，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根；当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得20)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则⎩⎨⎧<->+0)(0a fb b a 即 ).(a f b a <<-。
2007年高考理科数学试题及参考答案(安徽卷)
高一数学期中考试（不等式、立体几何、数列）1：不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2)(B)(2,+∞)(C) (-∞,-3)∪(2,+∞)(D) (-∞,-2)∪(3,+∞) :2：不等式252(1)x x +-≥的解集是（ ）A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，3：若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（ ）A ．3B ．27C ．4D ．294：6.已知a 、b 均为正数，且a+b=1，则b a +的最大值为( )A.22B.2C.2D.4 5：2.设a 、b ∈R ，且a ≠b, a+b=2，则必有( )A.2122b a ab +≤≤B. 2122b a ab +<<C. 1222<+<b a ab D.1222<<+ab b a 6：在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（ ）7. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为( )C 238:已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．3C D ．239:已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为()(A)3 (B) 3 (C) 310:如果数列{}n a 是等差数列，则( )(A) 1845a a a a +=+ (B)1845a a a a +<+(C) 1845a a a a +>+(D) 1845a a a a =11:在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )18912:设等差数列{}n a 的公差为d ，如果它的前n 项和Sn=－n 2，那么 （ ）A 、2,12-=-=d n a nB 、2,12=-=d n a nC 、 2,12-=+-=d n a nD 、2,12=+-=d n a n13. 直三棱柱111A B C A B C -的各顶点都在同一球面上，若12A B A C A A===, 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2007年高考理科数学(全国二卷)真题
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长 为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm 2 ．
Sn n→ n 2
16．已知数列的通项 an 5n 2 ，其前 n 项和为 S n ，则 lim
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17．（本小题满分 10 分） 在 △ ABC 中，已知内角 A
2007 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)
理科数学
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 球的表面积公式
P ( A B ) P ( A) P ( B )
如果事件 A，B 相互独立，那么
3．设复数 z 满足 A． 2 i
1 2i i ，则 z （ z
） C． 2 i ） D． 2 i
B． 2 i
4．下列四个数中最大的是（
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A． (ln 2) 2
B． ln(ln 2)
C． ln 2
D． ln 2
1 CD CA CB ，则 5．在 △ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD 2DB， 3
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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 卷Ⅱ)理科数学参考答案
一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B
二、填空题 13． 42 三、解答题
2 17．解：（1） △ ABC 的内角和 A B C ，由 A ，B 0，C 0 得 0 B ．
2007年高考数学试题全国2卷(理科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)理科数学(必修+选修II)全解全析注意事项:1． 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟. 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。
5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
6． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一．选择题 1．sin2100 = (A)23 (B) -23 (C)21 (D) -212．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)（－4π，4π） (B) （4π，43π） (C) （π，23π） (D) （23π，2π）3．设复数z 满足zi 21+=i ，则z =(A) -2+i (B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i4．以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2(B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln25．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径(A)32(B)31 (C) -31 (D) -326．不等式:412--x x >0的解集为 (A)( -2, 1)(B) ( 2, +∞)(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞)(D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)7．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于(A)4(B)4(C) 2(D)28．已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为(A)3 (B) 2(C) 1(D) 129．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2 (B) e x +3－2 (C) e x -2+3 (D) e x +2－310．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种(B) 60种(C) 100种 (D) 120种11．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点。
2007年高考试题与答案-全国卷2数学理2007年高考试题与答案-全国卷2数学理
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学（必修 + 选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、本试题卷上答题无效.6．考试结束、将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径),,2,1,0()1()(n k P P C k P k n k k n n =-=-一、选择题 （1）=210sin（A ）23 （B ）23-（C ）21 （D ）21-（2）函数|sin |x y =的一个单调增区间是 （A ）)4,4(ππ- （B ）)43,4(ππ（C ）)23,(ππ（D ）)2,23(ππ（3）设复数z 满足==+z i zi 则,21 （A ）－2+i （B ）－2－i（C ）2－i（D ）2+i （4）下列四个数中最大的是（A ）2)2(ln（B ）)2ln(ln（C ）2ln（D ）2ln（5）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=+==λλ则,31,2CB CA CD DB AD（A ）32 （B ）31 （C ）31-（D ）32-（6）不等式0412>--x x 的解集是 （A ）（－2，1） （B ）（2，+∞） （C ）),2()1,2(+∞- （D ）),1()2,(+∞--∞（7）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 所成的角的正弦值等于（A ）46 （B ）410 （C ）22 （D ）23 （8）已知双曲线x x y ln 342-=的一条切的斜率为21，则切点的横坐标为（A ）3 （B ）2 （C ）1（D ）21（9）把函数x e y =的图像按向量a =（2,3）平移,得到)(x f y =的图像,则=)(x f（A ）23+-x e（B ）23-+x e（C ）32+-x e（D ）32-+x e（10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）120种（11）设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使 ||3||902121AF AF AF F ==∠且 ，则双曲线的离心率为（A ）25（B ）210（C ）215（D ）5（12）设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA ，则=++||||||FC FB FA（A ）9（B ）6（C ）4（D ）3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）82)1)(21(xx x -+的展开式中常数项为 ① .（用数字作答）（14）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布).0)(,1(2>σσN 若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为 ② .（15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ③ cm 2.（16）已知数列的通项25+-=n a n ，其前n 项和为S n ，则2limn S nx ∞→= ④ .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）在△ABC 中，已知内角,32,3==BC A 边π设内角B =x ，周长为y .（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值.（18）（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）=0.96.（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为AB 、SC 的中点.（Ⅰ）证明EF//平面SAD .（Ⅱ）设SD =2DC . 求二面角A —EF —D 的大小.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求PA 、PB 的取值范围.（21）（本小题满分12分）设数列}{n a 的首项.,4,3,2,23),1,0(11 =-=∈-n a a a n n （Ⅰ）求}{n a 的通项公式;（Ⅱ）设,,231+<-=n n n n n b b a a b 证明其中n 为正整数. （22）（本小题满分12分）已知函数x x x f -=3)(.（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程；（Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明：).-a<<(afb2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3．解答右段所注分数,表示考生正确做到这一步应得到累加分数.4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题（1）D （2）C （3）C （4）D （5）A （6）C（7）A （8）A （9）C （10）B （11）B （12）B二、填空题5（13）－42 （14）0.8 （15）2+42（16）2三、解答题（17）解：（Ⅰ）△ABC 的内角和A+B+C =π,由.3200,0,3ππ<<>>=B C B A 得 应用正弦定理,知,sin 4sin 3sin32sin sin x x B ABC AC ===π).32sin(4sin sin x C A BC AB -==π因为 ,AC BC AB y ++= 所以 ).320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y （Ⅱ）因为 32)sin 21cos 23(sin 4+++=x x x y =),6566(32)6sin(34ππππ<+<++x x 所以,当26ππ=+x ,即y x ,3时π=取得最大值36.（18）解（Ⅰ）记A 0表示事件“取出2件产品中无二等品”,A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品” 则A 0,A 1互斥,A =A 0+A 1,故P （A ）=P （A 0+A 1）=P （A 0）+P （A 1） =)1()1(122p p C p -+-21p -=于是 0.9621p -=解得 2.02.021-==p P （舍去） （Ⅱ）ξ的可能取值为0,1,2.若该批产品共100件,由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件,故.495316)0(2100280===C C P ξ.495160)1(2100130180===C C C P ξ.49519)2(2100220===C C P ξ所以ξ的分布列为ξ0 1 2P49531649516049519（19）解法一（Ⅰ）作FG//DC 交SD 于点G ,则G 为SD 的中点.连结AG FG ////,21CD CD 又AB , 故FG //AE,AEFG 为平行四边形.EF//AG ,又AG ⊂平面SAD,EF ⊄平面SAD . 所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设DC =2,则SD =4,DG =2,△ADG 为等腰直角三角形.取AG 中点H ,连结DH ,则DH ⊥AG .又AB ⊥平面SAD ,所以AB ⊥DH ,而AB AG =A . 所以DH ⊥面AEF .取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF . 连结DM ，则DM ⊥EF .故∠DMH 为二面角A —EF —D 的平面角.212tan ===∠HM DH DMH 所以二面有A —EF —D 的大小为arctan 2 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系D —xyz设A (a ,0,0),S(0,0,b ),则)2,2,0(),0,2,(),0,,0(),0,,(ba F a a E a C a a B ,)2,0,(b a EF -=,取SD 的中点)2,0,0(bG ,则)2,0,(ba AG -=,,,,//,SAD EF SAD AG AG EF AG EF 平面平面⊄⊂=所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设A (1,0,0),则 B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,2),E(1,21,0),F (0, 21,1).EF 中点M (21,21,21),.,0,),1,0,1(),21,21,21(EF MD EF MD EF MD ⊥=-=---= 又EF EA EF EA EA ⊥=⋅-=,0),0,21,0(,所以向量EA MD 和的夹角等于二面角A —EF —D 的平面角，33||||,cos =⋅<EA MD EA MD ，所以二面角A —EF —D 的大小为arccos 33.（20）解：（Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即 2314=+=r得圆O 的方程为422=+y x .（Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121=<x x x x B x A 由即得 A （－2，0），B （2，0） 设),(y x P ，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得222222)2()2(y x y x y x +=+-⋅++即 .222=-y x).1(24),2(),2(222-=+-=--⋅---=⋅y y x y x y x PB PA内于点P 在圆O 内做⎪⎩⎪⎨⎧=-<+24222y x y x由此得：y 2<1所以 PB PA ⋅的取值范围为).0,2[- （21）解：（Ⅰ）由 ,4,3,2231=-=-n a a n n ，， 整理得 ).1(2111---=-n n a a 又 }1{011n a a -≠-，所以是首项为11a -，公比为21-的等比数列，得 11)21)(1(1----=n n a a（Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）可知.0230><<n n b a ，故 那么， 221n n b b -+2222121)1(49)23()2323()23()23()23(-=---⨯--=---=++n n n n n n n n n n a aa a a a a a a a 又由（Ⅰ）知010221>-≠>+n n n n b b a a ，故且，因此 1+<n n b b ，n 为正整数. 方法二：由（Ⅰ）可知 .1230≠<<n n a a ， 因为 231nn a a -=+ 所以 .2)3(23111nn n n n a a a a b -=-=+++由2)23()23(1n n n n a a a a -<-≠可得 即n n n n a a a a 22)23()23(-<- 两边开平方得.2323n nn n a a a a -<-即 n b b n n ，1+<为正整数. （22）解：（Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2-='x x f 曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为：))(()(t x t f t f y -'==即 .2)13(32t x t y --=（Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使322)13(t a t b --=于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程03223=++-b a at t有三个相异的实数根，记 ,32)(23b a at t t g ++-= 则 at t t g 66)(2-=' )(6a t t -=当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表：由)(t g 的单调性，当极大值0<+b a 或极小值0)(>-a f b 时，方程0)(=t g 最多有一个实数根；当0=+b a 时，解方程2300)(at t t g ===，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根；当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得20)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则⎩⎨⎧<->+0)(0a fb b a 即 ).(a f b a <<-。
2007年高考数学试题汇编
2007年高考数学试题汇编——排列、组合、二项式1．（全国Ⅰ卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，，当n=6时，，选D。
2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种【解答】甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C。
3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B）A．40种 B．60种 C．100种 D．120种【解答】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。
4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种【解答】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D。
5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种【解答】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B。
6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个【解答】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A。
2007年高考数学专题复习材料专题三立体几何
2007年高考数学专题复习材料专题三立体几何一、考纲要求9（A）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 考试要求：（1）掌握平面的基本性质。
2013最新题库大全2007年高考数学(理)试题分项 专题08 立体几何
专题08 立体几何一、选择题1．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．542．（全国Ⅱ•理•7题）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ A ）A ．BCD 3．（北京•理•3题）平面α∥平面β的一个充分条件是（ D ）A ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．（安徽•理•2题）设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m⊥且“l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（福建•理•10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝，则A 、C 两点间的球面距离为（B ）A ．4πB ．2πC D ．9．（湖南•理•8题）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ D ）A B ．1C ．21 D10．（江苏•理•4题）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ C ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 11．（江西•理•7题）如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ D ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 12．（辽宁•理•7题）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= n βγ= ，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥ 13．（陕西•理•6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．12314．（四川•理•4题）如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ D ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60°15．(宁夏•理•8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ B ）Ａ．34000cm 3 Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cmＣ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥18．（浙江•理•6题）若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（ B ）A ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与,l m都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与,l m都异面二、填空题正视图侧视图俯视图19．（全国Ⅰ•理•16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。
2007年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1．sin 210= （ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-， B ．(2)+∞， C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，，7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A ．64B ．104C ．22D ．328．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e 2x -+B ．3e 2x +-C ．2e 3x -+D ．2e 3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．102C ．152D ．512．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++= （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2． 16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面A B C D为正方形，侧棱SD⊥底面A B C D E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设32n n n b a a =-，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析: 一、选择题 1.答案：D解析：sin2100 =1sin 302-︒=-，选D 。
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2007年高考数学试题汇编——立体几何（二）
二、填空题
19．（全国Ⅰ?理?16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱
上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。
【解答】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠
EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，
∴ 斜边EF的长为2。
20．（全国Ⅱ?理?15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果
正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2。
【解答】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的
长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，
解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.
21．（安徽?理?15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体
的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三
角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。
【解答】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几
何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，
有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如
ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形
的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。
22．（江苏?理?14题）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点
侧面的距离是 ．
【解答】设P在 底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底
长为a,则 设侧棱为b则 斜高 。
面积法求 到侧面的距离
23．（辽宁?理?15题）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都
一个平面上，则此球的体积为 ．
【解答】根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由
得R=，球体积为
24．（上海?理?10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两
交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写
与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 平行，
交 。
【解答】作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与
交”或“，并且与相交”。
25．（四川?理?14题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角
的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 ．
【解答】，点到平面的距离为，∴，．
26．（天津?理?12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三
条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
【解答】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由
27．（浙江?理?16题）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。
若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是
____
____。
【解答】设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只
有作于H, 则面,故为
三、解答题
27．（全国Ⅰ?理?19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥
底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。
(Ⅰ)证明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；
【解答】解法一：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面
．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
，．
的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
，
解得．
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平
面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则
与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的角为．