【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型：专题4 三角函数与平面向量 第20练
2018版高考数学江苏理考前三个月配套课件 专题4 三角函数与平面向量 第17练 精品
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(2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再 把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 gπ6的值.
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(2)讨论 f(x)在π6，23π上的单调性. 解 当 x∈π6，23π时，0≤2x－π3≤π，从而 当 0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤51π2时，f(x)单调递增， 当π2≤2x－π3≤π，即51π2≤x≤23π时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在π6，51π2上单调递增；在51π2，23π上单调递减.
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9.已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意 x 都有 f
π6＋x＝f
π6－x，则 f
π 6
＝___±__2___.
解析 ∵f π6＋x＝f π6－x，
∴x＝π6是函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴.∴f π6＝±2.
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(2)求f(x)的单调递增区间. 解 由(1)得 f(x)＝ 2sin2x＋π4， 令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 解得－38π＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z， 即 f(x)的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ，k∈Z.
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题型三 三角函数图象的变换 例 3 (2015·湖 北 ) 某 同 பைடு நூலகம் 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋
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8.(2015·湖北)函数 f(x)＝4cos22xcosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为 ___2_____. 解析 f(x)＝4cos2x2sin x－2sin x－|ln(x＋1)| ＝2sin x·2cos22x－1－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|， 令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin 2x与函 数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示. 观察图象可知，两函数图象有2个交点， 故函数f(x)有2个零点.
2015江苏高考数学试卷及答案(完整版)
2015年江苏高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为___5____.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____6____.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为____5___.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____7____.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____65____.6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r1，，若()()98ma nb mn R +=-∈rr ，，则m-n的值为_-3_____.7.不等式224x x -<的解集为___()21，-_____.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为____3___.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为7。
10.在平面直角坐标系xOy中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()2122=+-y x 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为1120。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为22。
13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4。
【考前三个月】(江苏专用)高考数学 高考必会题型 专题1 集合与常用逻辑用语 第2练 常用逻辑用
第2练 常用逻辑用语中的“常考题型”题型一 充分必要条件问题例1 (1)若f(x)和g(x)都是定义在R 上的函数，则“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的________条件．(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．破题切入点 (1)增函数的性质以及互相推出的关键．(2)三角函数的图象和性质要熟练掌握．答案 (1)充分不必要 (2)必要不充分解析 (1)若f(x)与g(x)都为增函数，根据单调性的定义易知f(x)＋g(x)为增函数；反之f(x)＋g(x)为增函数时，例如f(x)＝－x ，g(x)＝2x ，f(x)＋g(x)＝x 为增函数，但f(x)为减函数，g(x)为增函数．故“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的充分不必要条件．(2)φ＝π2⇒f(x)＝Acos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－Asin ωx 为奇函数， ∴“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f(x)＝Acos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝π2＋kπ(k ∈Z)D/⇒φ＝π2.∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．即“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．题型二 逻辑联结词、命题真假的判定例2 下列叙述正确的个数是________．①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x ∈R ，x2－x ＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a·b<0，则a 与b 的夹角为钝角．破题切入点 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．答案 2解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是存在性命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a·b<0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2.总结提高 (1)充要条件的判断及选择：首先要弄清楚所要考查的相关知识并将其联系起来；其次充要条件与互相推出的关系，有时以集合形式给出时找集合间的包含关系．牵扯到比较复杂的问题时，要将条件转化之后再判断．(2)命题真假的判定方法，注意真值表的使用．(3)四种命题的改写及真假判断．(4)含有一个量词的命题的否定的改写方法．1．已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B”的________条件．答案 充分不必要解析 若a ＝3，则A ＝{1,3}⊆B ，故a ＝3是A ⊆B 的充分条件；而若A ⊆B ，则a 不一定为3，当a ＝2时，也有A ⊆B.故a ＝3不是A ⊆B 的必要条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．答案 若tan α≠1，则α≠π4解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.3．(2014·无锡模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是递增数列； p4：数列{an ＋3nd}是递增数列．其中，真命题为________．答案 p1，p4解析 如数列－2，－1,0,1,2，…，则1×a1＝2×a2，排除p2，如数列1,2,3，…，则an n ＝1，排除p3.4．已知p ：2x x －1<1，q ：(x －a)(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 2x x －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x<1.当a≥3时，q ：x<3或x>a ；当a<3时，q ：x<a 或x>3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且qp ，从而可推出a 的取值范围是a≥1.5．命题“对任意x ∈R ，都有x2≥0”的否定为________．答案 存在x ∈R ，使得x2<0解析 全称命题的否定是一个存在性命题．6．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x2＋2x>4x －3恒成立；②若log2x ＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则c a >c b ”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题． 其中，真命题为________．(填序号)答案 ①②③解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x ＋1log2x ≥2，得x>1；③中由a>b>0，得1a <1b ，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x2－x －1>0，由于x2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题．7．下列关于命题的说法中正确的是________．①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x2＋x ＋1≥0②“x ＝1”是“x2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件③命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x ＋2≠0”④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题答案 ①②③解析 对于①，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x2＋x ＋1≥0，因此①正确．对于②，由x ＝1可得x2－3x ＋2＝0；反过来，由x2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值也可能是2，因此“x ＝1”是“x2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，②正确．对于③，原命题的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x ＋2≠0”，因此③正确，④中，只要p 、q 其一为假就会满足p ∧q 为假，④错．8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x2－ln x －a≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a≤12x2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f(x)＝12x2－ln x ，f′(x)＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x，当1<x<2时，f′(x)>0，∴f(x)min ＝f(1)＝12，∴a≤12.9．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件．答案 充分而不必要解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，则曲线y ＝－sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，则曲线y ＝sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π” “曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”，所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．10．(2014·徐州模拟)下列命题中错误的是________．①命题“若x2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x ＋6≠0”②若x ，y ∈R ，则“x ＝y”是“xy≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件③已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假④对命题p ：∃x ∈R ，使得x2－2ax －a2<0，则綈p ：∀x ∈R ，x2－2ax －a2≥0答案 ③解析 易知①②④都正确；③中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故③错．11．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax2>－ax －1恒成立；命题q ：关于x 的方程x2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，0)∪(14，4)解析 若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a2－4a<0， 即0≤a<4；若q 为真命题，则(－1)2－4a≥0，即a≤14.因为“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，所以p ，q 中有且仅有一个为真命题．若p 真q 假，则14<a<4；若p 假q 真，则a<0.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．12．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________．①逆命题为“周期函数不是单调函数”②否命题为“单调函数是周期函数”③逆否命题为“周期函数是单调函数”④以上三者都不正确答案 ④解析 根据四种命题的构成可得①②③中结论均不正确．。
【考前三个月】(江苏专用)2015高考数学穿插滚动练(一)
穿插滚动练(一)1．(2013·某某改编)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是________． 答案 5解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.2．已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －x2)}，B ＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值X 围是________． 答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x|y ＝lg(x －x2)}＝{x|x －x2>0}＝(0,1)，B ＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c≥1.3．命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是________________． 答案 若cos α＝12，则α＝π3解析 命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．4．(2013·某某改编)设函数f(x)＝ln x ，g(x)＝x2－4x ＋4，则方程f(x)－g(x)＝0的实根个数是________． 答案 2解析 由f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)．在同一坐标系内作出函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象，由图知f(x)，g(x)的图象有两个交点．因此方程f(x)－g(x)＝0有两个不相等的实根．5．已知a ＝ 3.42log 5，b ＝ 3.64log 5，c ＝0.33log 1()5，则其大小顺序为________．答案 a>c>b解析a ＝ 3.42log 5，b ＝ 3.64log 5，c ＝0.33log 1()5＝1033log 5，又log23.4>1，log43.6<1，log3103>1， 故b<a ，b<c ，又log23.4>log3103，因此b<c<a.6．利民工厂某产品的年产量在100吨至300吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为________吨． 答案 200解析 由于每吨的成本与产量之间的函数关系式为g(x)＝y x ＝x 10＋4 000x －30(100≤x≤300)，由基本不等式得g(x)＝x 10＋4 000x －30≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x 时取等号，此时x ＝200.7．下列关于函数f(x)＝(2x －x2)·ex 的判断正确的是________． ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}； ②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)没有最小值，也没有最大值． 答案 ①②解析 f′(x)＝[(2x －x2)ex]′＝(2x －x2)ex ＋ex(2－2x)＝ex(2－x2)，令f′(x)＝0，则x ＝± 2.可得当x>2或x<－2时，f′(x)<0， 当－2<x<2时，f′(x)>0，据极值概念可得①②是正确的，结合图象可知函数有最大值．8．若a>1，设函数f(x)＝ax ＋x －4的零点为m ，函数g(x)＝logax ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为________． 答案 1解析 函数f(x)＝ax ＋x －4的零点是函数y ＝ax 与函数y ＝4－x 的图象交点A 的横坐标，函数g(x)＝logax ＋x －4的零点是函数y ＝logax 与函数y ＝4－x 的图象交点B 的横坐标．由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，且直线y ＝4－x 与直线y ＝x 垂直，故直线y ＝4－x 与直线y ＝x 的交点(2,2)即是线段AB 的中点，所以m ＋n ＝4，且m>0，n>0.所以1m ＋1n ＝14(m ＋n)(1m ＋1n )＝14(2＋m n ＋n m )≥1，当且仅当m ＝n ＝2时等号成立．9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x ＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值X 围是________．答案 (3，2)解析 由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1,1)内． 因为f′(x)＝3x2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2a )2－4×3×1>0，－1<－2a 6<1，f′(－1)＝3－2a ＋1>0，f′(1)＝3＋2a ＋1>0，又a>0，解得3<a<2，故填(3，2)．10．设函数y ＝f(x)在R 上有意义，对于给定的正数M ，定义函数fM(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤MM ，f (x )>M ，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M ＝1，则fM(0)的值为________．答案 1解析 由题意，当f(x)＝2－x2≤1，即x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2.当－1<x<1时，fM(x)＝1. ∴fM(0)＝1.11．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ex －1， x<1，x 13， x≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值X 围是________．答案 (－∞，8]解析 当x<1时，x －1<0，ex －1<e0＝1≤2， ∴当x<1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x 13≤2，x≤23＝8,1≤x≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 12．(2013·某某)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________． 答案 12解析 ∵(x ＋y ＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy ＋2yz ＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)， ∴a2＋4b2＋9c2≥13(a ＋2b ＋3c)2＝363＝12. ∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.13．(2013·某某)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k<12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.14．设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax ，若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值X 围为________． 答案 (－19，＋∞)解析 由f′(x)＝－x2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，得当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′(23)＝29＋2a.令29＋2a>0，得a>－19.所以a>－19时，f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间．15．设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f(x －2)＝f(x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f(x)＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f(x)－loga(x ＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值X 围是________． 答案 (34，2)解析 由f(x －2)＝f(x ＋2)，知f(x)是周期为4的周期函数，于是可得f(x)在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g(x)＝loga(x ＋2)(a>1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x ＋2)＝0(a>1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3，g (6)>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧loga4<3，loga8>3.解得34<a<2.16．设全集是实数集R ，A ＝{x|2x2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x2＋a<0}．(1)当a ＝－4时，求A∩B 和A ∪B ；(2)若(∁RA)∩B ＝B ，某某数a 的取值X 围． 解 (1)∵A ＝{x|12≤x≤3}， 当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}， ∴A∩B ＝{x|12≤x<2}， A ∪B ＝{x|－2<x≤3}． (2)∁RA ＝{x|x<12或x>3}，当(∁RA)∩B ＝B 时，B ⊆∁RA ，即A∩B ＝∅. ①当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁RA ；②当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B ⊆∁RA ，需－a ≤12， 解得－14≤a<0.综上可得，实数a 的取值X 围是[－14，＋∞)．17．设命题p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a2<0，其中a>0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x2－x －6≤0，x2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围． 解 (1)由x2－4ax ＋3a2<0， 得(x －3a)(x －a)<0. 又a>0，所以a<x<3a.当a ＝1时，1<x<3，即p 为真命题时， 实数x 的取值X 围是1<x<3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x2－x －6≤0，x2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x<－4或x>2，即2<x≤3.所以q 为真时实数x 的取值X 围是2<x≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，2<x≤3⇔2<x<3，所以实数x 的取值X 围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q 綈p.设A ＝{x|x≤a 或x≥3a}，B ＝{x|x≤2或x>3}，则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a 的取值X 围是(1,2]． 18．(2013·某某)已知函数f(x)＝x －aln x(a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax . (1)当a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ， f′(x)＝1－2x (x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f′(x)＝1－a x ＝x －ax ，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a.又当x ∈(0，a)时，f′(x)<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a －aln a ，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值． 19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值X 围．解 (1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A(3,4)时，z 取最小值－2，过C(1,0)时，z 取最大值1. ∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a<2.故所求a 的取值X 围为(－4,2)． 20．某商店预备在一个月内分批购入每X 价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x 为正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的费用和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台， 则共需分36x 批，每批价值为20x 元． 由题意得f(x)＝36x ·4＋k·20x ， 由x ＝4时，y ＝52得k ＝1680＝15， ∴f(x)＝144x ＋4x(0<x≤36，x ∈N*)． (2)由(1)知f(x)＝144x ＋4x(0<x≤36，x ∈N*)， ∴f(x)≥2144x ×4x ＝48(元)．当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立． 故只需每批购入6X 书桌，可以使资金够用．21．(2014·某某)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax ＋1(a ∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<0时，试讨论是否存在x0∈(0，12)∪(12，1)，使得f(x0)＝f(12)． 解 (1)f′(x)＝x2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a)．①当1－a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R 上单调递增．②当1－a>0时，即a<1时，令f′(x)＝0，解得x1＝－2－4(1－a )2＝－1－1－a ，x2＝－1＋1－a. 令f′(x)>0，解得x<－1－1－a 或x>－1＋1－a ； 令f′(x)<0，解得－1－1－a<x<－1＋1－a ；所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a ，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a)． 综上所述：当a≥1时，f(x)在R 上单调递增；当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a ，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a)． (2)当a<0时，x1＝－1－1－a<0，x2＝－1＋1－a>0.①当－1＋1－a ≥1，即a≤－3时，f(x)在(0,1)上单调递减，不满足题意；②当－1＋1－a<1，即－3<a<0时，f(x)在(0，－1＋1－a)上单调递减，在(－1＋1－a ，1)上单调递增，所以f(x)min ＝f(－1＋1－a)，由题意知－1＋1－a ≠12，所以a≠－54. f(x)max ＝max{f(0)，f(1)}；f(0)＝1，f(1)＝a ＋73. a ．当a ＋73≥1，即－43≤a<0时，f(x)max ＝f(1)． 令f(12)<f(0)，解得a<－712，又因为－43≤a<0，所以－43≤a<－712且a≠－54. b ．当a ＋73<1，即a<－43时，f(x)max ＝f(0)． 令f(12)<f(1)，解得－2512<a<－43.综上所述，当a ∈{a|－2512<a<－54或－54<a<－712}时，存在x0∈(0，12)∪(12，1)，使得f(x0)＝f(12)．。
2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档 专题4 三角函数与平面向量 第20练 含解析
第20练关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望］平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算,应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题,因此是高考必考内容，题型有填空题，也在解答题中出现,常与其他知识结合，进行综合考查．体验高考1．(2015·山东改编）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则错误!·错误!等于________．答案3 2 a2解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a,∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×错误!＝3a2,∴BD＝错误!a。
∴错误!·错误!＝|错误!｜｜错误!｜cos 30°＝错误!a2×错误!＝错误!a2. 2．(2015·重庆改编）若非零向量a，b满足|a｜＝错误!｜b｜,且(a－b）⊥（3a＋2b),则a与b的夹角为________．答案错误!解析由(a－b）⊥(3a＋2b)得（a－b）·(3a＋2b）＝0，即3a2－a·b －2b2＝0。
又∵|a|＝错误!|b｜，设<a，b>＝θ,即3|a｜2－|a｜·|b｜·cosθ－2｜b|2＝0，∴错误!|b|2－错误!｜b|2·cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝错误!.又∵0≤θ≤π,∴θ＝错误!。
3．（2015·陕西改编）对任意向量a，b,①|a·b|≤｜a||b|；②｜a －b｜≤｜|a|－｜b|｜;③（a＋b)2＝｜a＋b｜2;④（a＋b)·(a－b）＝a2－b2。
以上关系式中不恒成立的是______．答案②解析对于①,由|a·b|＝|｜a||b|cos a，b｜≤｜a||b|恒成立；对于②，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于③、④容易判断恒成立．4．（2016·课标全国乙)设向量a＝(m，1），b＝（1，2），且｜a＋b｜2＝|a|2＋|b｜2，则m＝________.答案－2解析由｜a＋b｜2＝｜a｜2＋|b｜2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.5．(2016·上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，－1），P是曲线y＝1－x2上一个动点，则错误!·错误!的取值范围是________．答案[0,1＋错误!]解析由题意知y＝错误!表示以原点为圆心，半径为1的上半圆．设P（cos α，sin α)，α∈［0，π]，错误!＝(1,1)，错误!＝(cos α，sin α＋1）．所以错误!·错误!＝cos α＋sin α＋1＝错误!sin(α＋错误!）＋1∈[0,1＋错误!]错误!·错误!的范围为[0,1＋错误!］．高考必会题型题型一平面向量数量积的基本运算例1 （1)（2015·四川改编)设四边形ABCD为平行四边形，｜错误!｜＝6，｜错误!|＝4，若点M，N满足错误!＝3错误!，错误!＝2错误!,则错误!·错误!＝________。
2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版(K12教育文档)
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2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，,则集合AB 中元素的个数为_______。
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位)，则z 的模为_______。
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球,2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________。
6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________。
8。
已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______。
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10。
在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。
【考前三个月】(江苏专用)2015高考数学 压轴大题突破练 立体几何
中档大题规X 练——立体几何1．如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．(1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC.(2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB.所以AP ⊥PB.又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC.因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC.又BC ⊥AC ，AC∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC.因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC.(3)解 由(2)知，可知MD ⊥平面PBC ， 所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，又AB ＝20，BC ＝4，△PMB 为正三角形，M ，D 分别为AB ，PB 的中点，经计算可得MD ＝53，DC ＝5，S △BCD ＝12×BC×BD×sin ∠CBD＝12×5×4×215＝221.所以VD －BCM ＝VM －DBC ＝13×S △BCD×MD＝13×221×53＝107.2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE.又BE∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB.(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE·PE·sin ∠PEB＝14xy≤14⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB.即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE·sin 30°＝2×12＝1.S 梯形EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴VP —BCFE ＝13×6×1＝2.3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD.(1)求证：DP ⊥平面EPC ；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连结PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC.∴DP ⊥PC.∵EP∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC.(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC.∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l.∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面FAB.∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角．∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC.4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A1B1C1中，D ，E 分别是AB ，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD ；(2)设AA1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A1DE 的体积．(1)证明 连结AC1交A1C 于点F ，则F 为AC1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC1∥DF.因为DF ⊂平面A1CD ，BC1⊄平面A1CD ，所以BC1∥平面A1CD.(2)解 因为ABC －A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A1D ＝6，DE ＝3，A1E ＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE ⊥A1D.所以VC －A1DE ＝13×S ED A 1 ×CD ＝13×12×6×3×2＝1.5．(2013·某某) 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)设Q 为PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC.证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC.又PA∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC.(2)连结OG 并延长交AC 于M ，连结QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点． 由Q 为PA 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC.因为QM∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC.所以平面QMO ∥平面PBC.因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC.6．(2014·某某)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC1A1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A1MC ？请证明你的结论．(1)证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB ，AA1⊥AC.因为AB∩AC ＝A ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA1⊥BC.又由已知，AC ⊥BC ，AA1∩AC ＝A ，AA1⊂平面ACC1A1，AC ⊂平面ACC1A1， 所以BC ⊥平面ACC1A1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连结A1M ，MC ，A1C ，AC1，设O 为A1C ，AC1的交点． 由题意知，O 为AC1的中点．连结MD ，OE ，OM ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE.从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO.因为直线DE ⊄平面A1MC ，MO ⊂平面A1MC ，所以直线DE ∥平面A1MC.即线段AB 上存在一点M(线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A1MC.。
(江苏专用)2015届高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第5练 如何用好基本不等式 理
第5练 如何用好基本不等式题型一 利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________．(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________． 破题切入点 (1)利用基本不等式确定z xy取得最小值时x ，y ，z 之间的关系，进而可求得x ＋2y －z 的最大值．(2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值． 答案 (1)2 (2)15 解析 (1)z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2x y ·4y x－3＝1， 当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2， 所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.(2)令t ＝x －1 ≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝t t 2＋t ＋4. 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)． 题型二 利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上．(1)求曲线C 的方程及t 的值；(2)记d ＝|AB |1＋4m2，求d 的最大值． 破题切入点 (1)依条件，构建关于p ，t 的方程；(2)建立直线AB 的斜率k 与线段AB 中点坐标间的关系，并表示弦AB 的长度，运用函数的性质或基本不等式求d 的最大值．解 (1)y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－p 2， ∴1－(－p 2)＝54，p ＝12， ∴抛物线C 的方程为y 2＝x .又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1.(2)由(1)知，点M (1,1)，从而n ＝m ，即点Q (m ，m )，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．且A (x 1，y 1)，B (x 2.y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ·2m ＝1，所以直线AB 的方程为y －m ＝12m(x －m )， 即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ， 整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋4m 2·4m －4m 2＝2(1＋4m 2)(m －m 2)∴d ＝|AB |1＋4m 2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1， 当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时，上式等号成立． 又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0，∴d 的最大值为1. 总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值．(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则a ，ab ，v 的大小关系为________．答案 a <v <ab解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a . 2．若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3解析 ∵x >2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2 ≥2(x －2)×1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，即a ＝3，f (x )min ＝4. 3．(2014·南通模拟)设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b， 即a ＝b ＝12时等号成立． 4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为________． 答案 m ≥n解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4(a >2)， 当且仅当a ＝3时，等号成立．由x ≥12得x 2≥14， ∴n ＝x －2＝1x2≤4即n ∈(0,4]，∴m ≥n . 5．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 答案 2解析 ∵x >0，y >0， ∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xy x ＋y， 而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y＝2， ∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max ＝2. ∴λ的最小值为2.6．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为________． 答案 16 解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16.7．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 ∵x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ， ∴22xy ＋6≤xy ，即xy －22xy －6≥0，解得xy ≥18.∴xy 的最小值是18.8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．答案 16解析 根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.9．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可． ∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0<1u ≤15，∴a ≥15. 10．(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值． 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )． ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.11．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x >0，又k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层 1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x ＝10(x 2＋71x ＋100)x＝10x ＋1 000x ＋710≥2 10x ·1 000x ＋710＝910. 当且仅当10x ＝1 000x ，即x ＝10时等号成立．综上，可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．。
【名校专用】通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4三角函数与平面向量第
第20练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望] 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查．体验高考1．(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示， 由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2．(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π 答案 A解析 由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 3．(2015·陕西)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2答案 B解析 对于A ，由|a ·b |＝||a ||ba ，b a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立．故选B.4．(2016·课标全国乙)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 答案 －2解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.5．(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A (1,0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是________． 答案 [0,1＋2]解析 由题意知y ＝1－x 2表示以原点为圆心， 半径为1的上半圆．设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，BA →＝(1,1)， BP →＝(cos α，sin α＋1)所以BP →·BA →＝cos α＋sin α＋1 ＝2sin(α＋π4)＋1∈[0,1＋2]BP →·BA →的范围为[0,1＋2]．高考必会题型题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A ．20 B. 15 C ．9 D ．6(2)(2015·福建)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 (1)C (2)A解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)建立如图所示坐标系，则 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0， AC →＝(0，t )，AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋ 4t(0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”．(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝23BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →等于( ) A ．2 3 B. 3 C.32 D.33答案 A解析 在△ABC 中，BC →＝23BD →， 所以AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD → ＝(AB →＋23BD →)·AD →， 又因为BD →＝AD →－AB →，所以AC →·AD →＝[(1－23)AB →＋23AD →]·AD → ＝(1－23)AB →·AD →＋23AD →·AD →＝(1－23)AB →·AD →＋23AD →2，因为AD ⊥AB ，所以AD →⊥AB →，所以AD →·AB →＝0， 所以AC →·AD →＝(1－23)×0＋23×1＝23，故选A. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4的所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D ．0(2)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π答案 (1)B (2)D解析 (1)设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，又0≤θ≤π，∴θ＝π3，故选B.(2)设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5，所以f ′(x )＝－6x2＋6|a |x ＋6a·b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4×(－6)×(6a·b )≤0，解得a·b ≤－14|a |2，因为a·b ＝|a||b |·cos θ，且|a |＝2|b |≠0，所以|a||b |cos θ＝12|a |2cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角．变式训练2 若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C解析 设a 与b 的夹角为θ，由题意得|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，可得2a ·b ＋b 2＝2|a |·|b |cos θ＋b 2＝2|a |·|a |cos θ＋|a |2＝0，解得cos θ＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，故选C.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝____________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)3 2 (2)5解析 (1)由|2a －b |＝10，则|2a －b |2＝10，及4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，又向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，所以4×1－4×1×|b |cos π4＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝3 2.(2)方法一 以点D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2DC 2→＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解．(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 已知向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝22，a 与b 的夹角为π4，(c －a )·(c－a )＝－1，则|c －a |的最大值为( ) A.2＋12 B.22＋1C.2＋12D.2＋1 答案 D解析 在平面直角坐标系中，取B (22，0)，A (22，22)，则OA →＝a ，OB →＝b ，设c ＝OC →＝(x ，y )，则(c －a )·(c －b )＝(x －22，y －22)·(x －22，y ) ＝(x －22)2＋y (y －22)＝－1， 即(x －22)2＋(y －2)2＝1， 所以点C (x ，y )在以D (22，2)为圆心，1为半径的圆上，|c －a |＝x －222＋y －222，最大值为|AD |＋1＝2＋1.故选D.高考题型精练1．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则EF →·DC →等于( ) A.14 B.34 C ．－34 D ．－14答案 D解析 由题四边形ABCD 的边和对角线的长都为1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则EF 平行于BD ，则EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12×1×1×cos 120°＝－14.2．(2016·课标全国丙)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 A解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1， cos∠ABC ＝BA →·BC→|BA →|·|BC →|＝32.又∵0°≤∠ABC ≤180°， ∴∠ABC ＝30°.3．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ， ∴AC 为圆的直径， 故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)， 设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )， 所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，－1≤x ≤1， ∴当x ＝－1时有最大值49＝7， 故选B.4．已知三点A (－1，－1)、B (3,1)、C (1,4)，则向量BC →在向量BA →方向上的投影为( ) A.55B ．－55C.21313 D ．－21313答案 A解析 BC →＝(－2,3)，BA →＝(－4，－2)，向量BC →在向量BA →方向上的投影为BC →·BA→|BA →|＝－－＋－－2＋－2＝55，故选A. 5．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ， 得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1， 所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.6．已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，12)B ．(12，＋∞)C ．(－2，23)∪(23，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(－2，12)答案 D解析 ∵a ，b 的夹角为锐角，∴a ·b ＝1×1＋(－2)λ＞0且1×(－2)－1×λ≠0， ∴λ∈(－∞，－2)∪(－2，12)，故选D.7．已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________． 答案5π6解析 ∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝3＋3×2cos〈a ，b 〉＝0， cos 〈a ，b 〉＝－32，又0≤〈a ，b 〉≤π， ∴a 和b 的夹角为5π6.8．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 答案 12解析 由已知可得，6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e | ＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立． ∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ， ∴a ·b ≤12.9．如图，在△ABC 中，点O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°， 所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60° ＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)， 即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.10．(2016·湖南衡阳八中第六次月考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，AB ＝8，AC ＝12，A ＝π3.若AO →＝xAB →＋yAC →，则6x ＋9y ＝________. 答案 5解析 如图，设点O 在AB ，AC 上的射影分别是点D ，E ，它们分别为AB ，AC 的中点， 连接OD ，OE .由数量积的几何意义，可得AB →·AO →＝|AB →|·|AD →|＝32，AC →·AO →＝|AC →|·|AE →|＝72， 依题意有AB →·AO →＝xAB →2＋yAC →·AB → ＝64x ＋48y ＝32， 即4x ＋3y ＝2，AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2＝48x ＋144y ＝72，即2x ＋6y ＝3，将两式相加可得6x ＋9y ＝5.11．设a ＝(－1,1)，b ＝(x,3)，c ＝(5，y )，d ＝(8,6)，且b ∥d ，(4a ＋d )⊥c .(1)求b 和c ；(2)求c 在a 方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解 (1)∵b ∥d ，∴6x －24＝0，∴x ＝4.∵4a ＋d ＝(4,10)，(4a ＋d )⊥c ，∴5×4＋10y ＝0，y ＝－2，∴b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)．(2)cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－5－22·29＝－75858， ∴c 在a 方向上的投影为|c |cos 〈a ，c 〉＝－722. (3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝－λ1＋4λ2，－2＝λ1＋3λ2，解得λ1＝－237，λ2＝37. 12．(2016·黄冈模拟)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →. (1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值．解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线， 可知|AD →|＝511|DB →|. 又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。
【考前三个月】(江苏专用)2015高考数学穿插滚动练(六)
穿插滚动练(六)1．已知集合A ＝{x|x2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x|log2x<m}，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________． 答案 11解析 由x2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x<2 014， 故A ＝{x|1<x<2 014}．由log2x<m ，解得0<x<2m ，故B ＝{x|0<x<2m}． 由A ⊆B ，可得2m≥2 014， 因为210＝1 024,211＝2 048， 所以整数m 的最小值为11.2．在复平面内，复数z ＝2＋i2 0151＋i 对应的点位于第________象限．答案 四解析 z ＝2＋i2 0151＋i ＝2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )2 ＝1－3i 2＝12－32i ，因此复数z 对应的点在第四象限． 3．(2014·某某改编) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2,3a5＝b3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有an ＝3logubn ＋v ，则u ＋v ＝______. 答案 6解析 设等差数列{an}的公差为d ， 等比数列{bn}的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋d ＝q ，3(3＋4d )＝q2，且d≠0，解得d ＝6，q ＝9， 所以an ＝6n －3，bn ＝9n －1，6n －3＝3nlogu9＋v －3logu9对任意正整数n 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧logu9＝2，v －3logu9＝－3，解得u ＝v ＝3，故u ＋v ＝6.5．若平面向量a ＝(2,3)和b ＝(x ＋2，－2)垂直，则|a －b|＝________. 答案 26解析 由a ⊥b ，可得a·b ＝2×(x ＋2)＋3×(－2)＝0，解得x ＝1. 故b ＝(3，－2)，所以a －b ＝(－1,5)．所以|a －b|＝(－1)2＋52＝26. 6．(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________． 答案 81π4解析 如图，设球心为O ，半径为r ， 则Rt △AOF 中， (4－r)2＋(2)2＝r2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr2＝4π×(94)2＝814π.7．(2014·某某改编)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________． 答案 45π解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为OD.又OD ＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.8．已知动点P(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥2|x|－1，y≤x ＋1，则z ＝|2x －3y －6|的最小值是________．答案 3解析 z ＝|2x －3y －6|的几何意义为可行域内的点到直线2x －3y －6＝0的距离的13倍，其可行域如图中阴影部分所示，由图知点C 到直线2x －3y －6＝0的距离最短．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，2x －y －1＝0，得点C(0，－1)，则zmin ＝13×|2×0－3×(－1)－6|13＝3.9．(2014·某某改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________． 答案 x25－y220＝1解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2. 又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a2＋b2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝5，b2＝20.故双曲线的方程为x25－y220＝1.10.(2014·课标全国Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________． 答案 23解析 两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b 表示，则Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b ，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b ，a1)，(b ，a1，a2)，(b ，a2，a1)}． 于是两本数学书相邻的情况有4种， 故所求概率为46＝23.11．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60 km/h 的汽车数量为________．答案 38解析 由直方图可得时速超过60 km/h 的汽车所占频率为10×(0.028＋0.010)＝0.38，又样本容量为100，故时速超过60 km/h 的汽车共有100×0.38＝38(辆)． 12.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________． 答案 15 m解析 依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ， ∠PAD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ， 所以∠APB ＝∠PBD －∠PAD ＝θ＝∠PAD. 所以PB ＝BA ＝30 m.同理可得PC ＝BC ＝103m. 在△BPC 中，由余弦定理，得co s 2θ＝(103)2＋302－(103)22×103×30＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC×sin 4θ＝103×32＝15(m)．13．已知集合M ＝{x|y ＝lg (x ＋2)3－x，x ∈R}，N ＝{x|x2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M∩N”的概率是________． 答案 15解析 因为M ＝{x|y ＝lg (x ＋2)3－x，x ∈R}＝(－2,3)，N ＝{x|x2－3x ＋2≤0}＝[1,2]， 所以M∩N ＝[1,2]．所以“x ∈M∩N”的概率P ＝2－13－(－2)＝15.14．(2014·某某)对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a－4b ＋5c 的最小值为________．答案 －2解析 设2a ＋b ＝x ，则2a ＝x －b ， ∴(x －b)2－b(x －b)＋4b2－c ＝0，x2－3bx ＋6b2－c ＝0，即6b2－3xb ＋x2－c ＝0， ∴Δ＝9x2－4×6×(x2－c)≥0， ∴3x2－8x2＋8c≥0，∴x2≤85c.当|2a ＋b|＝|x|取最大值时，有(2a ＋b)2＝85c ， ∴4a2＋4ab ＋b2＝85c ， 又∵4a2－2ab ＋4b2＝c ，① ∴b a ＝23，∴b ＝23a ，代入①得4a2－2a·23a ＋49a2·4＝c ， ∴a ＝32c10，b ＝c 10，或a ＝－32c10，b ＝－c 10.当a ＝32c10，b ＝c 10时，有3a －4b ＋5c ＝332c 10－4c 10＋5c ＝210c －410c ＋5c ＝5(1c－105)2－2≥－2，当1c ＝105，即c ＝52时等号成立． 此时a ＝34，b ＝12. 当a ＝－32c10，b ＝－c10时，3a －4b ＋5c ＝－210c ＋410c ＋5c ＝210c＋5c >0， 综上可知c ＝52，a ＝34，b ＝12时， (3a －4b ＋5c )min ＝－2.15．(2014·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a≠b ，c ＝3，cos2A －cos2B ＝3sin Acos A －3sin Bcos B. (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a≠b ，得A≠B.又A ＋B ∈(0，π)，得 2A －π6＋2B －π6＝π， 即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85. 由a<c ，得A<C ，从而cos A ＝35， 故sin B ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为 S ＝12acsin B ＝83＋1825.16．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD.(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积． 方法一 (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD.又∵CD ⊥BD ，AB∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD.(2)解 由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ， ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14. 由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A －MBC 的体积VA －MBC ＝VC －ABM ＝13S △ABM·h ＝112.方法二 (1)同方法一．(2)解 由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12. 又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1， ∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A －MBC 的体积VA －MBC ＝VA －BCD －VM －BCD ＝13AB·S △BCD －13MN·S △BCD ＝112. 17．已知等差数列{an}，公差d>0，前n 项和为Sn ，S3＝6，且满足a3－a1,2a2，a8成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1an·an ＋2，求数列{bn}的前n 项和Tn 的值．解 (1)由S3＝6，得a2＝2.∵a3－a1,2a2，a8成等比数列， ∴(2d)·(2＋6d)＝42， 解得d ＝1或d ＝－43，∵d>0，∴d ＝1.∴数列{an}的通项公式为an ＝n.(2)Tn ＝11·3＋12·4＋13·5＋…＋1n (n ＋2)＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)]＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2).18．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别A B C D E 人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6组别 A B C D E 人数5010015015050抽取人数 6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P ＝418＝29.19．(2014·某某)已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x<cex. 方法一 (1)解 由f(x)＝ex －ax ，得f′(x)＝ex －a. 又f′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f(x)＝ex －2x ，f′(x)＝ex －2. 令f′(x)＝0，得x ＝ln 2.当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．(2)证明 令g(x)＝ex －x2，则g′(x)＝ex －2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 即g′(x)>0.所以g(x)在R 上单调递增． 又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex. (3)证明 对任意给定的正数c ，取x0＝1c ， 由(2)知，当x>0时，x2<ex.所以当x>x0时，ex>x2>1c x ，即x<cex.因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x<cex.方法二 (1)同方法一 (2)同方法一(3)证明 令k ＝1c (k>0)，要使不等式x<cex 成立，只要ex>kx 成立． 而要使ex>kx 成立，则只需要x>ln(kx)，即x>ln x ＋ln k 成立． ①若0<k≤1，则ln k≤0，易知当x>0时，x>ln x≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x0＝0，当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x<cex. ②若k>1，令h(x)＝x －ln x －ln k ，则h′(x)＝1－1x ＝x －1x ， 所以当x>1时，h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)内单调递增． 取x0＝4k ，h(x0)＝4k －ln(4k)－ln k ＝2(k －ln k)＋2(k －ln 2)， 易知k>ln k ，k>ln 2，所以h(x0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x0＝4c ，当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x<cex. 综上，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x<cex. 方法三 (1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明 ①若c≥1，取x0＝0， 由(2)的证明过程知，ex>2x ，所以当x ∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex>2x>x ， 即x<cex. ②若0<c<1，令h(x)＝cex －x ，则h′(x)＝cex －1. 令h′(x)＝0得x ＝ln 1c .当x>ln 1c 时，h′(x)>0，h(x)单调递增．取x0＝2ln 2c ，h(x0)＝ce 22ln c－2ln 2c ＝2(2c －ln 2c )，易知2c －ln 2c >0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，所以当x ∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)>h(x0)>0， 即x<cex.综上，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x<cex.20．(2014·某某)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN 面积的最大值． 解 (1)由题意知a2－b2a ＝32，可得a2＝4b2.椭圆C 的方程可简化为x2＋4y2＝a2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1，所以椭圆C 的方程为x24＋y2＝1. (2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)， 则B(－x1，－y1)．因为直线AB 的斜率kAB ＝y1x1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x1y1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k≠0，m≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x24＋y2＝1可得(1＋4k2)x2＋8mkx ＋4m2－4＝0.所以x1＋x2＝－8mk 1＋4k2，因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m ＝2m1＋4k2.由题意知x1≠－x2，所以k1＝y1＋y2x1＋x2＝－14k ＝y14x1.所以直线BD 的方程为y ＋y1＝y14x1(x ＋x1)． 令y ＝0，得x ＝3x1，即M(3x1,0)， 可得k2＝－y12x1.所以k1＝－12k2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立． ②直线BD 的方程y ＋y1＝y14x1(x ＋x1)， 令x ＝0，得y ＝－34y1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y1.由①知M(3x1,0)，可得△OMN 的面积 S ＝12×3|x1|×34|y1|＝98|x1||y1|.word- 11 - / 11 因为|x1||y1|≤x214＋y21＝1，当且仅当|x1|2＝|y1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98.所以△OMN 面积的最大值为98.。