高考数学小题训练17
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
2020年全国高考新课标1卷理科数学试题(word文档完整版小题也有详解)
2020年全国高考新课标1卷理科数学试题一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若z =1+i ，则|z 2–2z |=( )A ．0B ．1C 2D ．22．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =( )A ．–4B ．–2C ．2D ．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．514B ．512C ．514D ．5124．已知A 为抛物线C ：y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下 进行种子发芽实验，由实验数据 (x i . y i )(i =1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之 间，下面四个回归方程类型中最 适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是( )D A ．y=a+bx B ．y=a+bx 2 C ．y=a+be x D ．y=a+b ln x 6．函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1, f (1))处的切线方程为( )A ．y=-2x -1B ．y=-2x +1C ．y=2x -3D ．y=2x +17．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8．25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α= ( )A ．53B ．23C ．13D ．5910．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线P A,PB，切点为A,B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( ) A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0 C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=012．若2a+log2a=4b+2log4b，则( )A．a>2b B．a<2b C．a>b2D．a<b2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．若x,y满足约束条件220,10,10,x yx yy+-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z=x+7y的最大值为.14．设为a b，单位向量，且|+a b|=1，则|-a b|= .15．已知F为双曲线C：22221x ya b-=(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴. 若AB的斜率为3，则C的离心率为. 16．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=3 AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
解析几何小题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(学生版)
解析几何小题基础练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·福建莆田·统考二模)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，A 为C 上的一点，AF 中点的横坐标为2，则|AF |=()A.3B.4C.5D.62.(2023·广东惠州·统考模拟预测)“m >2”是“方程x 22-m +y 2m +1=1表示双曲线”的( )条件A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2023·浙江·统考一模)设直线y =2x 与抛物线y =x -3 2交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 的横坐标是()A.3B.4C.5D.64.(2023·浙江·校联考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的半焦距为c ，若a -c =4，b =6，则C 的离心率为()A.512B.35C.513D.12135.(2023·江苏·统考一模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F c ,0 ，点P ，Q 在直线x =a 2c 上，FP ⊥FQ ，O 为坐标原点，若OP ⋅OQ =2OF 2，则该椭圆的离心率为()A.23B.63C.22D.326.(2023·广东肇庆·统考二模)已知F 为双曲线C :x 24-y 25=1的左焦点，P 为其右支上一点，点A 0,-6 ，则△APF 周长的最小值为()A.4+62B.4+65C.6+62D.6+657.(2023·广东佛山·统考一模)已知双曲线C 的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线4x +3y -20=0与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为()A.54B.43C.53D.748.(2023·江苏常州·校考一模)设点A -2,3 ,B 0,a ，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是()A.13,32B.-∞,13 ∪32+∞ C.12,1D.-∞,12 ∪1+∞二、多选题9.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知双曲线x 2-y 23=1的右顶点为A ，右焦点为F ，双曲线上一点P 满足PA =2，则PF 的长度可能为()A.2B.3C.4D.510.(2023·山东枣庄·统考二模)已知曲线C 1：5x 2+y 2=5，C 2：x 2-4y 2=4，则()A.C 1的长轴长为5B.C 2的渐近线方程为x ±2y =0C.C 1与C 2的离心率互为倒数D.C 1与C 2的焦点相同11.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)若椭圆x 2m 2+2+y 2m2=1(m >0)的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有()A.5B.7C.2D.212.(2023·湖北·校联考模拟预测)已知F 1,F 2是椭圆E :y 24+x 23=1的两个焦点，点P 在椭圆E 上，则()A.点F 1,F 2在x 轴上B.椭圆E 的长轴长为4C.椭圆E 的离心率为12D.使得△F 1PF 2为直角三角形的点P 恰有6个13.(2023·湖南长沙·统考一模)已知双曲线的方程为y 264-x 216=1，则()A.渐近线方程为y =±12xB.焦距为85C.离心率为52D.焦点到渐近线的距离为814.(2023·湖南·模拟预测)已知圆C 1：x -1 2+y -3 2=12与圆C 2：x +1 2+y -m 2=4，则下列说法正确的是()A.若圆C 2与x 轴相切，则m =±4B.直线kx -y -2k +1=0与圆C 1始终有两个交点C.若m =-3，则圆C 1与圆C 2相离D.若圆C 1与圆C 2存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x +6-2m y +m 2+2=015.(2023·广东江门·统考一模)已知曲线C :x 2sin α+y 2cos α=10≤α<π ，则下列说法正确的是()A.若曲线C 表示两条平行线，则α=0B.若曲线C 表示双曲线，则π2<α<πC.若0<α<π2，则曲线C 表示椭圆 D.若0<α<π4，则曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆16.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知圆O 1:(x -1)2+y 2=4，圆O 2:(x -5)2+y 2=4m ，下列说法正确的是()A.若m =4，则圆O 1与圆O 2相交B.若m =4，则圆O 1与圆O 2外离C.若直线x -y =0与圆O 2相交，则m >258D.若直线x -y =0与圆O 1相交于M ，N 两点，则|MN |=142三、填空题17.(2023·山东青岛·统考一模)已知O 为坐标原点，在抛物线y 2=2px p >0 上存在两点E ，F ，使得△OEF 是边长为4的正三角形，则p =．18.(2023·浙江·统考一模)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a2-y 2=1a >0 的左右焦点，且C 上存在点P 使得PF 1 =4PF 2 ，则a 的取值范围是．19.(2023·浙江温州·统考二模)已知抛物线y 2=4x 和椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点，且抛物线的焦点F 也是椭圆的焦点，若直线AB 过点F ，则椭圆的离心率是．20.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)直线y =23x 与双曲线x 2a2-y 28=1(a >0)相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的横坐标之积为-9，则离心率e =.21.(2023·江苏泰州·统考一模)已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ,B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为.22.(2023·江苏·统考一模)已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0，过点T 2,0 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C 上，若CP ∥AB ，PA ⋅PB =12，则AB =23.(2023·江苏·统考一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为.24.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知圆M 满足与直线l :x -6=0和圆N :x -1 2+y -2 2=9都相切，且直线MN 与l 垂直，请写出一个符合条件的圆M 的标准方程．25.(2023·湖北·校联考模拟预测)过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的射线与抛物线交于点A ，与准线交于点B ，若|AF |=2,|BF |=6，则p 的值为.26.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)若两条直线l 1:y =3x +m ,l 2:y =3x +n 与圆x 2+y 2+3x +y +k =0的四个交点能构成矩形，则m +n =.27.(2023·广东茂名·统考一模)过四点-1,1 、1,-1 、2,2 、3,1 中的三点的一个圆的方程为(写出一个即可).28.(2023·广东·统考一模)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的边AB 所在直线斜率为23，则边AC 所在直线斜率的一个可能值为.29.(2023·广东·统考一模)已知动圆N 经过点A -6,0 及原点O ,点P 是圆N 与圆M :x 2+(y -4)2=4的一个公共点,则当∠OPA最小时,圆N的半径为.30.(2023·浙江温州·统考模拟预测)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且MF1的最大⋅MF2值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为．。
成人高考高起点数学考试真题和答案解析
2017年成考高起点数学理真题及答案第1卷选择题,共85分一、选择题本大题共17小题,每小题5分,共85分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设集合M={1,2,3,4,5,N={2,4,6,则M∩N=A．{2,4}B．{2,4,6}C．{1,3,5}D．{1,2,3,4,5,6}2．函数的最小正周期是A．8πB．4πC．2πD．3．函数的定义域为A．B．C．D．4．设a,b,C为实数,且a>b,则A．B．C．D．5．若A．B．C．D．6．函数的最大值为A．1B．2C．6D．37．右图是二次函数Y=X2+bx+C的部分图像,则A．b>0,C>0B．b>0,C<0C．b<0,C>0D．b<0,c<08．已知点A4,1,B2,3,则线段AB的垂直平分线方程为A．z-Y+1=0B．x+y-5=0C．x-Y-1=0D．x-2y+1=09．函数A．奇函数,且在0,+∞单调递增B．偶函数,且在0,+∞单调递减C．奇函数,且在-∞,0单调递减D．偶函数,且在-∞,0单调递增10．一个圆上有5个不同的点,以这5个点中任意3个为顶点的三角形共有A．60个B．15个C．5个D．10个11．若A．5mB．1-mC．2mD．m+112．设fx+1一xx+1,则f2=A．1B．3C．2D．613．函数y=2x的图像与直线x+3=0的交点坐标为A．B．C．D．14．双曲线的焦距为A．1B．4C．2D．根号215．已知三角形的两个顶点是椭圆的两个焦点,第三个顶点在C上,则该三角形的周长为A．10B．20C．16D．2616．在等比数列{a n}中,若a3a4=l0,则a l a6+a2a5=A．100B．40C．10D．2017．若l名女牛和3名男生随机地站成一列,则从前面数第2名是女生的概率为A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题,共65分二、填空题本大题共4小题,每小题4分;共16分18．已知平面向量a=1,2,b=一2,3,2a+3b=____19．已知直线关于直线z=一2对称,则l的斜率为________．20．若5条鱼的平均质量为0．8 kg,其中3条的质量分别为0．75 kg,0．83 kg和0．78 kg,则其余2条的平均质量为____kg．21．若不等式的解集为,则a=_________．三、解答题本大题共4小题,共49分．解答应写出推理、演算步骤22．本小题满分12分设{a n为等差数列,且a2+a4-2a1=8．1求{a n的公差d；2若a1=2,求{a n前8项的和S8．23.本小题满分12分设直线y=x+1是曲线y=x3+3x2+4x+a的切线,求切点坐标和a的值24．本小题满分12分如图,AB与半径为l的相切于A点,AB=3,AB与的弦AC的夹角为50°．求1AC；2△ABC的面积．精确到0．0125．本小题满分13分已知关于x,y的方程1证明：无论θ为何值,方程均表示半径为定长的圆；2当时,判断该圆与直线y=x的位置关系．参考答案一、选择题1．答案A考情点拨本题主要考查的知识点为交集．应试指导M n N={2,4}．2．答案A考情点拨本题主要考查的知识点为最小正周期．应试指导3．答案D考情点拨本题主要考查的知识点为定义域．应试指导xx1≥o时,原函数有意义,即 z≥1或x≤0．4．答案A考情点拨本题主要考查的知识点为不等式的性质．应试指导a>b,则a—c>b—C．5．答案B考情点拨本题主要考查的知识点为三角函数．6．答案D考情点拨本题主要考查的知识点为函数的最大值．7．答案A考情点拨本题主要考查的知识点为二次函数图像．8．答案C考情点拨本题主要考查的知识点为垂直平分线方程．9．答案C考情点拨本题主要考查的知识点为函数的奇偶性及单调性．10．答案D考情点拨本题主要考查的知识点为数列组合．11．答案B考情点拨本题主要考查的知识点为对数函数．12．答案C考情点拨本题主要考查的知识点为函数．13．答案B考情点拨本题主要考查的知识点为线的交点．14．答案B考情点拨本题主要考查的知识点为双曲线的焦距．15．答案C考情点拨本题主要考查的知识点为糖两的性质．16．答案D考情点拨本题主要考查的知识点为等比数列．17．答案A考情点拨本题主要考查的知识点为随机事件的概率．二、填空题18．答案一4,13考情点拨本题主要考查的知识点为平面向量．19．答案-1考情点拨本题主要考查的知识点为直线的挂质．20．答案0．82考情点拨本题主要考查的知识点为平均数．21．答案2考情点拨本题主要考查的知识点为不等式的解集．三、解答题22．因为{an}为等差数列,所以23．因为直线y=x+1是曲线的切线24．1连结0A,作0D⊥AC于D．25．1证明：化简原方程得。
1993年全国统一高考数学试卷(文科)
1993年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）（1993•全国）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．2．（4分）（1993•全国）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．23．（4分）（1993•全国）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=04．（4分）（1993•全国）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．45．（4分）（1993•全国）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数6．（4分）（1993•全国）的值为（）A．B．C．D．7．（4分）（2002•江苏）已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊃N C．M⊂N D．M∩N=∅8．（4分）（1993•全国）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．9．（4分）（1993•全国）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．110．（4分）（1993•全国）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．11．（4分）（1993•全国）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线12．（4分）（1993•全国）如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为（）A．B．C．D．13．（4分）（1993•全国）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．4514．（4分）（1993•全国）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．15．（4分）（1993•全国）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16．（4分）（1993•全国）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．（4分）（1993•全国）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种 B．9种 C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）（1993•全国）设a＞1，则=．19．（4分）（1993•全国）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为．20．（4分）（1993•全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有种取法（用数字作答）．21．（4分）（1993•全国）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=．22．（4分）（1993•全国）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为．23．（4分）（1993•全国）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）（1993•全国）求tan20°+4sin20°的值．25．（12分）（1993•全国）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．26．（12分）（1993•全国）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．27．（12分）（1993•全国）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．28．（12分）（1993•全国）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．1993年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）（1993•全国）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．【考点】H1：三角函数的周期性．【分析】把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选：A．【点评】本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）（1993•全国）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（1993•全国）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．【解答】解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．故选：B．【点评】本题是直线的对称问题，一般要用垂直平分解答；本题方法较多，由于对称轴是坐标轴，所以借助斜率，比较简单．4．（4分）（1993•全国）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】A5：复数的运算．【分析】利用i的幂的运算性质，对n为奇数和偶数分类讨论，可以得到结果．【解答】解：因为i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i；由复数i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3=2（i2n+1+i2n+3），当n是偶数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i+i3）=0；当n是奇数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i3+i）=0．故选：B．【点评】本题考查复数i的幂的运算，复数代数形式的运算，是基础题．5．（4分）（1993•全国）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【考点】4X：幂函数的性质．【专题】31 ：数形结合．【分析】做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性．【解答】解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．故选：A．【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）（1993•全国）的值为（）A．B．C．D．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．【解答】解：==．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•江苏）已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊃N C．M⊂N D．M∩N=∅【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】首先分析M、N的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案．【解答】解：对于M的元素，有x=π，其分子为π的奇数倍；对于N的元素，有x=π，其分子为π的整数倍；分析易得，M⊂N；故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系．8．（4分）（1993•全国）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．【解答】解：原式=]==，故选：A．【点评】在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）（1993•全国）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．1【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．10．（4分）（1993•全国）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】72：不等式比较大小．【专题】15 ：综合题．【分析】由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．【解答】解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＜0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选：D．【点评】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）（1993•全国）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【考点】KA：双曲线的定义．【专题】11 ：计算题．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）（1993•全国）如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．【解答】解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，当R=，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR2﹣2πR3=故选：A．【点评】本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（1993•全国）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45【考点】DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题．【分析】先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．【解答】解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r+1∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选：D．【点评】本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）（1993•全国）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．【解答】解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选：D．【点评】本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）（1993•全国）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定【考点】87：等比数列的性质．【分析】用作差法比较即可．【解答】解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0另解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4），由各项都大于零的等比数列，公式q≠1，不管q＞1还是0＜q＜1，即可判断a1+a8﹣（a4+a5）＞0．故选：A．【点评】本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（1993•全国）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．【解答】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）（1993•全国）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种 B．9种 C．11种D．23种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）（1993•全国）设a＞1，则=﹣a2．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】当n→∞时，a n→∞．由此能够推导出=的值．【解答】解：===﹣a2．【点评】本题考查极限的应用，解题时要注意等价转化的前提条件．19．（4分）（1993•全国）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或} ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．【解答】解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．【点评】熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）（1993•全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．【考点】D5：组合及组合数公式；D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．【解答】解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．【点评】本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）（1993•全国）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．【解答】解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）（1993•全国）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．【分析】欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x 的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．【解答】解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）（1993•全国）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．【解答】解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．【点评】本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）（1993•全国）求tan20°+4sin20°的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11 ：计算题．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°=======2sin60°=．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力．25．（12分）（1993•全国）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．【考点】4K：对数函数的定义域；3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）由对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．【解答】解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x ∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．【点评】本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．26．（12分）（1993•全国）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【专题】14 ：证明题．【分析】观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．【解答】解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立【点评】本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．27．（12分）（1993•全国）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．【考点】LW：直线与平面垂直．【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．【解答】证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b ∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．【点评】本题考查证明线面垂直的证明方法．28．（12分）（1993•全国）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．【解答】解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．=1，∴c=，即P点坐标为．由题设条件S△MNP由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．【点评】本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q 是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y=x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．4．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y=log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．5．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】。
——成人高考数学真题(理工类).pdf
A . y = x + 2 B . y = x −1 C . y = −x + 3 D . y = −x + 2
6 .函数 y = 2x +1的反函数为
A . y = x +1 B . y = x −1 C . y = 2x −1 D . y =1− 2x
2
2
7 .若 a,b, c 为实数，且 a 0 .
23 .解：(Ⅰ)由余弦定理 BC 2 = AB2 + AC2 − 2 AB• AC • cos A
又已知 A = 30, BC = 1, AB = 3AC ，得 AC2 = 1,所以 AC = 1，从而 AB = 3 .
(Ⅱ) ABC 的面积 S = 1 AB • AC • sin A = 3 .
A . y = x3 B . y = sin x C . y = −x3 D . y = cos x
3 .不等式| x | 1的解集为
A . x | x 1 B .x | x 1 C . x | −1 x 1 D .x | x −1
4 .函数 f (x) = 1+ cos x 的最小正周期是
4
4
2
2
10 .设 a b 1，则
A . a4 b4 B . log a 4 log b 4 C . a−2 b−2 D . 4a 4b
11.已知平面向量 a = (1,1)， b = (1,−1)，则两向量的夹角为
A. B. C . D.
64
32
12. ( x − 1 )3 的展开式中的常数项为 x
25 .(本小题满分 13 分)
已知函数
f
(x)
=
(x
+
高考数学小题狂做
高中数学小题狂做小题训练11.设集合A=｛1,2,３,4},B=｛０,1,２},则A U B＝（Ａ){0，1,2,３,4} （B）{0，1,2）（Ｃ)｛１，2｝（D){3，4｝2.siｎ570０=(A)12(B)-12（C)32（D）-323.如图是一个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成,则这个旋转体的休积是（A）83π(B）73π（C）2π（D）53π4.设正项等比数列的前ｎ项和为，且满足,则S4的值为(A)１5 (Ｂ)1４（C)1２（D)85.执行如图所示的程序框图,输出的结果为(A)７(B）9 （Ｃ) 11（D) 1３6.在某市举行“市民奥运会”期间.组委会将甲，乙, 丙，丁四位志愿者全部分配到A,B,Ｃ三个场馆执勤.若每个场馆至少分配一人,则不同分配方案的种数是(A）96 (Ｂ)７2(Ｃ)36 (D) 247．某设备的使用年限x（单位:年)与所支付的维修费用ｙ（单位：千元）的一组数据如下表:从散点图分析.Y与ｘ线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程中的=1.54．由此预测该设备的使用年限为６年时需支付的维修费用约是(Ａ)７.２千元(B)７.８千元(C）9．1千元(D）9.5千元８.已知m，n是平面外的两条不同的直线.若ｍ,ｎ在平面内的射影分别是两条直线的（A）充分但不必要条件(Ｂ)必要但不充分条件（C)充要条件(D)既不充分也不必要条件９.已知函数f(x)=Inｘ-2［ｘ] ＋3，其中［x］表示不大于x的最大整数（如[１.6] =１，[-2.1]＝一3).则函数f(ｘ)的零点个数是(A)ｌ(B）2 （C）３(D)４1０．如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置Ｃ到AＢ的距离是（A)22m(B)23ｍ(Ｃ）4 m （Ｄ)6 m11、计算：log62十21ｏg63＋(0.1）一1=＿12．已知关于x的不等式ｘ2-aｘ－4 >0在时无解，则实数a的取值范围是１3．若二项式的展开式中含有的项,则正整n的最小值为·14.已知直线l:ｘ+y＋m=０(m R）与圆C:(x+2)2＋(y-1）2＝4相交于A,B两点，则的最大值为.Ｉ5.已知集合．对于中的任意两个元素，定义A与B之间的距离为现有下列命题：①若；②若；③若＝p（p是常数）,则d(A，Ｂ）不大于２ｐ;④若，则有2015个不同的实数a满足.其中的真命题有(写出所有真命题的序号）小题训练21．设集合Ｍ={﹣１，0,１｝，N={x|ｘ2≤x}，则Ｍ∩N=( )A.{０｝Ｂ.{0，1}Ｃ．{﹣1,1｝D．{﹣１,0，1｝2．复数ｚ满足(1+i)2•z=﹣１＋ｉ，其中ｉ是虚数单位.则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数y＝的值域是（)Ａ.［0，+∞）Ｂ.[0,4]C．[０，4)Ｄ.（0,4）4．已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点，且,那么（) A． B. C.D．５．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ）A．①②B．①③C.①④D．②④６.在数列{ａn}中,a１=1，a2=５，a n+2=ａｎ＋1﹣a n（n∈N）,则a100等于（）A．１Ｂ．﹣1C．2Ｄ．07．已知球的直径SＣ=4,A,B是该球球面上的两点,AB=，∠ASC＝∠ＢSC=３0°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B.2C．D．１8．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2＝２,x3＝3，=２,则输出的数等于( ）A．Ｂ． C.D．9．已知椭圆(a＞ｂ＞0）的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点,且,则该椭圆的离心率是（)A.B． C. D.10.已知函数f(x)=ｘ3+２bx2+ｃx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈［﹣２,﹣1]，x2∈[１,2]，则f(﹣１)的取值范围是（)Ａ．,3]Ｂ．,6]C．［3，12］D．,12]11.（x﹣2)6的展开式中ｘ3的系数是．（用数字作答）12．若点p(1，1）为圆（x﹣3）2+ｙ２＝９的弦MＮ的中点，则弦MN所在直线方程为．13．方程x2＋3ax+3a+1=0（a>2)两根tanα、tａｎβ,且α，β∈（﹣,），则α+β=.14．已知函数f(ｘ）=ｌoｇa(x２﹣ax+２）在（２,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围为１５.设f（x)是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈Ｒ,都有f（x)•f(ｙ）=f（ｘ＋ｙ)，若,则数列{a n}的前n项和的取值范围是.小题训练31.设集合A＝｛4，5,7，9｝,B＝{3,4,7，8，９},全集U=A∪Ｂ，则集合∁U（A∩B)中的元素共有()Ａ.3个B．4个Ｃ．5个Ｄ．６个2.已知(x+i）(１﹣i)=y,则实数x,y分别为（)A．x＝﹣1，y=1B.ｘ=﹣1,y=２C.x＝1，ｙ=1D．ｘ=1，ｙ=23.命题“∀x∈Ｒ,ｘ２﹣2x+3≤０”的否定是( )A.∀ｘ∈R，x２﹣2ｘ+３≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0C．∀ｘ∈R，x2﹣2x＋3≤０D.∃x∉Ｒ,x2﹣2x＋3＞05.过点M(2，０)作圆x2+ｙ2=1的两条切线MA，MＢ(A,B为切点）,则•=（) Ａ.B．C．D．6.已知ｘ>0，ｙ>0，x+2y＋2xy＝8,则x+２y的最小值是（）Ａ．3B．4C．Ｄ.7.若函数f（x)=2ｓｉｎ（ωx+）（ω>０）与g（x)＝2cｏs(2x﹣）的对称轴完全相同,则函数f（ｘ)＝2ｓiｎ(ωx+)（ω>0）在[０，π]上的递增区间是( ）A．[0，]B．[0,]C.[,π］D.[,π]8．如图所示正方体ABＣＤ﹣Ａ1Ｂ1C１D1，设M是底面正方形ABCＤ内的一个动点,且满足直线C1D与直线C1M所成的角等于30°,则以下说法正确的是( )A.点M的轨迹是圆的一部分B.点M的轨迹是椭圆的一部分C.点Ｍ的轨迹是双曲线的一部分D.点Ｍ的轨迹是抛物线的一部分9.如图,给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（１）处和执行框中的(2)处应填的语句是( ）A.i＞１00,n=n+1B．i>１00,n=n+2C.i＞５0，ｎ=n+2D.i≤5０，n=ｎ+210．对于函数ｆ（ｘ）,若∀a,ｂ，c∈R,f(a），f(b）,ｆ（ｃ)为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )A.[０,+∞）B.[０,1］C.[１，2]D.11．函数ｆ（ｘ)＝的定义域为．１２.若对任意x＞0，≤ａ恒成立,则a的取值范围是.１3.在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则ａ＝．１４.已知直线m，l，平面α,β，且ｍ⊥α，l⊂β，给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l；②若α⊥β，则m∥ｌ；③若ｍ⊥l，则α∥β④若ｍ∥l,则α⊥β其中正确的命题的序号是.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．15．已知f(x)=cosx，g（ｘ）=sｉnx，记S n=２﹣,T m=S１+Ｓ2＋…＋S m,若Ｔm<11,则ｍ的最大值为.小题训练41．集合1222x A x Z⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭，}{cos ,B y y x x A ==∈,则B A =( ） A ．｛0}B.｛1}C.{0，1}D.｛-1,０,1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位)，则复数z 所对应的点所在象限为（)A.第一象限 Ｂ.第二象限 C ．第三象限D.第四象限3．左下图是某高三学生进入高三来的12次数学考试成绩的茎叶图,第1次到第１２次的考试成绩依次记为：1212,,,A A A 。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若z=−1+√3i，则zzz−−1=()A. −1+√3iB. −1−√3iC. −13+√33i D. −13−√33i2.（5分）命题“∀x∈R，∃x∈N，使得n⩾x2+1”的否定形式是()A. ∀x∈R，∃x∈N，使得n<x2+1B. ∀x∈R，∀x∈N，使得n<x2+1C. ∃x∈R，∃x∈N，使得n<x2+1D. ∃x∈R，∀x∈N，使得n<x2+13.（5分）已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)= f(x)−log5|x−1|，则函数的所有零点之和为()A. 8B. 6C. 4D. 104.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x为整数，且运行四次后退出循环，则输入的x的值可以是()A. 1B. 2C. 3D. 45.（5分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，且AE=8，AB=10．在上述条件下，给出下列四个结论：①DE=BD；②ΔBDF≌ΔCDE；③CE=2；④DE2=AF⋅BF，则所有正确结论的序号是()A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④6.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则()A. 函数f(x)的最小正周期是2πB. 函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减C. 函数f(x)的图象与y轴的交点为(0,−12)D. 点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心7.（5分）213，log26，3log32的大小关系是A. 213<log26<3log32 B. 213<3log32<log26C. 3log32<213<log26 D. 3log32<log26<2138.（5分）设函数y=ax2与函数y=|ln x+1ax|的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为()A. (√33e,√e) B. (−√33e,0)∪(0,√33e)C. (0,√33e) D. (√e1)∪{√33e}二、填空题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）设A，B是非空集合，定义：A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x⩾0}，则A⊗B=__________.10.（5分）某中学组织了“党史知识竞赛”活动，已知该校共有高中学生2000人，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为50的样本参加活动，其中高一年级抽取了6人，则该校高一年级学生人数为 ______.11.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．12.（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=12，a42=a6，则S4=______．13.（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|，O为坐标原点，则该双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共72分）14.（12分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？15.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)求sin(2B+π6)的值．16.（12分）如图，ΔABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是AC、AB的中点，将ΔADE沿DE折起成ΔPDE，使面PDE⊥面BCDE，H、F分别是边PD和BE的中点，平面BCH与PE、PF分别交于点I、G．(Ⅰ)求证：IH//BC；(Ⅱ)求二面角P−GI−C的余弦值．17.（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，a2=18，且S1+116，S2，S3成等差数列，数列{b n}满足b n=2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，若对任意n∈N∗，不等式c1+c2+⋯+c n⩾12λ+2S n−1恒成立，求λ的取值范围．18.（12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，点A的坐标为(−a,0).(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅰ)若|AB|=4√2，求直线l的倾斜角．519.（12分）已知a为实数，函数f(x)=a ln x+x2−4x．(1)是否存在实数a，使得f(x)在x=1处取得极值？证明你的结论；,e]，使得f(x0)⩽g(x0)成立，求实数a的取值范围．(2)设g(x)=(a−2)x，若∃x0∈[1e答案和解析1.【答案】C;【解析】解：∵z =−1+√3i ，∴z ·z −=|z|2=(√(−1)2+(√3)2)2=4， 则zzz −−1=−1+√3i 4−1=−13+√33i. 故选：C.由已知求得z ·z −，代入zzz −−1，则答案可求．此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D;【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃x ∈N ，使得n ⩾x 2+1”的否定形式为∃x ∈R ，∀x ∈N ，使得n <x 2+1”． 故选：D.直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．此题主要考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.【答案】A; 【解析】该题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键． 分别作出函数y =f(x)、y =log 5|x −1|的图象，结合函数的对称性，即可求得结论．解：当x ∈[0,2]时，f(x)=(x −1)2，函数y =f(x)的周期为2，图象关于y 轴对称的偶函数y =log 5|x|向右平移一个单位得到函数y =log 5|x −1|， 则y =log 5|x −1|关于x =1对称，可作出函数的图象：函数y =g(x)的零点，即为函数图象交点横坐标， 当x >6时，y =log 5|x −1|>1，此时函数图象无交点，又两函数在(1,6]上有4个交点，由对称性知它们在[−4,1)上也有4个交点，且它们关于直线x=1对称，所以函数y=g(x)的所有零点之和为：4×2=8，故选：A．4.【答案】A;【解析】解：依题意，S随着x的增大而增大，当x⩾2时，第一次循环时S⩾4，第二次循环时S⩾4+42=20，第三次循环时S⩾20+82=84⩾64，脱离循环，故x<2，故选：A．根据S和x的关系，S随着x的增大而增大，验证当x⩾2时的情况，即可得到结果．此题主要考查了程序框图，考查了循环结构．属于基础题．本题的难点在于逆推x的值，需要借助不等式来完成．5.【答案】B;【解析】解：∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，DC=DB，∴ΔBDF≌ΔCDE，所以①不正确，②正确；∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，∴AE=AF=8．又∵ΔBDF≌ΔCDE，∴CE=BF=AB−AF=10−8=2，故③正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°．又∵DF⊥AB，∴ΔDBF∽ΔADF，∴DFAF =BFDF，即DF2=AF⋅BF，∴DE2=AF⋅BF，故④正确；故选：B．利用角平分线的性质和全等三角形的判定可以判断①②的正误；利用排除法可以判断③④的正误．此题主要考查了相似三角形的判定与性质．解题时，利用了角平分线的性质和圆周角定理，难度不大．6.【答案】D;【解析】解：由函数图可象知T4=5π12−π6=π4，所以T=π，因为T=2πω，∴ω=2，所以最小正周期为π，故A错误；又函数过点(5π12,1)，所以f(5π12)=sin(2×5π12+φ)=1，所以5π6+φ=π2+2kπ，(k∈Z)，解得φ=−π3+2kπ，(k∈Z)，∵|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(x)=sin(2x−π3)，当x∈(π2,π)，所以2x−π3∈(2π3,5π3)，因为y=sinx在x∈(2π3,5π3)上不单调，故B错误；令x=1，则f(0)=sin(−π3)=−√32，所以与y轴交点为(0,−√32)，故C错误；若点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，则f(7π6)=0，当x=7π6时，f(7π6)=sin(2×7π6−π3)=sin2π=0，所以点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，故D正确，故选：D.根据函数图像求出函数解析式，再结合选项一一判断即可．此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合与函数思想，属于中档题．7.【答案】B;【解析】此题主要考查了指数函数与对数函数的大小比较问题，属于基础题.首先根据单调性，将指数值与32比较，其次根据对数函数的递增性质得到两个对数值与2、32大小关系，答案易得.解：213<212<32，3log32=32log34>32,3log32=log38<log39=2，log26>log24=2，所以213<3log32<log26.故选B.8.【答案】C;【解析】解：令ax2=|ln x+1ax|得a2x3=|ln x+1|，显然a>0，x>0．作出y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象，如图所示：设a=a0时，y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象相切，切点为(x0,y0)，则{3a02x02=1x0a02x03=ln x0+1，解得x0=e−23，y0=13，a0=√3e3．∴当0<a<√3e3时，y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象有三个交点．故选：C．令ax2=|ln x+1ax|得a2x3=|ln x+1|，作出y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的a0，则0<a<a0．此题主要考查了函数图象的交点个数判断，借助函数图象求出临界值是关键．9.【答案】{x|x=0或x⩾2};【解析】此题主要考查集合的新定义，是基础题由集合A={x|0<x<2}，B={x|x⩾0}，可得A∪B={x|x⩾0}，A∩B={x|0<x<2}，则A⊗B={x|x=0或x⩾2}.10.【答案】240;【解析】解：设该校高一年级学生人数为n，则6n =502000，即n=240，故答案为：240.由分层抽样方法，按比例抽样即可．此题主要考查了分层抽样方法，重点考查了阅读能力，属基础题．11.【答案】16+8√2;【解析】解：由三视图知：几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图：其中直棱柱的侧棱长为8，底面为直角三角形，且AB=BC=2，SA=2，SB=2√2，AC=2√2，∴几何体的表面积S=12×2×2+12×2×2√2+4+22×2√2+4+22×2+4×2=16+8√2．故答案为：16+8√2．几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，结合直观图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．此题主要考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．12.【答案】152;【解析】解：∵a1=12，a42=a6，∴(12q3)2=12q5，解可得，q=2，则S4=12(1−24)1−2=152．故答案为：152．由已知结合等比数列的通项公式可求公比，然后结合等比数列的求和公式即可求解．这道题主要考查了等比数列的公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．13.【答案】√3+1;【解析】解：过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|=c，∠AOx=60°，则A(c2,√3c 2)所以c 24a2−3c24b2=1，c2 4a2−3c24(c2−a2)=1，可得e 24−3e24e2−4=1，可得e4−8e2+4=0．解得e=1+√3．故答案为：√3+1．利用已知条件求出A的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式，求解即可．此题主要考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y⩽300，5x+10y⩽110，x⩾0，y⩾0，x、y均为整数由图知直线y=−34x+18P过M(4,9)时，纵截距最大，这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96(百元).故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．;【解析】此题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．15.【答案】解：(Ⅰ)在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，所以bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，又因为b +c =2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a=−14；(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√1−co s 2B =√154，从而sin2B =2sinBcosB =−√158， cos2B =cos 2B −sin 2B =−78，故sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．; 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． (Ⅰ)根据正余弦定理可得；(Ⅱ)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．16.【答案】证明：（Ⅰ）∵D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，∴DE ∥BC ， ∵BC ⊄平面PED ，ED ⊂平面PED ， ∴BC ⊂平面BCH ， ∴IH ∥BC ．解：（Ⅱ）如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得：D （0，0，0），E （2，0，0），P （0，0，1），F （3，12，0），C （0，1，0），H （0，0，12），∴EP →=（-2，0，1），EF →=（1，12，0），CH →=（0，-1，12），HI →=12DE →=（1，0，0）， 设平面PGI 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{EP →.n →=−2x +z =0EF →.n →=x +12y =0，令x=1，解得y=-2，z=2，∴n →=（1，-2，2）， 设平面CHI 的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{CH →.m →=−b +12c =0HI →.m →=a =0，取b=1，得m →=（0，1，2）， 设二面角P-GI-C 的平面角为θ， 则cosθ=|m →.n →||m →|.|n →|=3×√5=2√1515．∴二面角P-GI-C的余弦值为2√1515．;【解析】(Ⅰ)推导出DE//BC，从而BC⊂平面BCH，由此能证明IH//BC．(Ⅱ)以D为原点，DE，DC，DP为x，y，z轴，建立空间右手直角坐标系，利用向量法能求出二面角P−GI−C的余弦值．该题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：(1)设公比为q的等比数列{ an}的前n项和为S n，a2=18，且S1+116，S2，S3成等差数列，所以：{a1q=182S2=S1+116+S3，解得：a1=14，q=12，所以S n=14(1−12n)1−12=12(1−12n)，故a n=14.(12)n−1=(12)n+1，(2)由于：a n=(12)n+1，数列{b n}满足b n=2n.则：C n=a n b n=n2n，则：T n=12+222+323+⋯+n2n①，1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1②，①−②得：12T n=(121+122+⋯+12n)−n2n+1，解得：T n=2−2+n2n，由于S n=14(1−12n)1−12=12(1−12n)，所以不等式c1+c2+⋯+c n⩾12λ+2S n−1恒成立，即2−2+n2n ⩾1−12n+12λ−1，则2−n+12n⩾12λ恒成立，令f(n)=n+12n，则f(n +1)−f(n)=n+22n+1−n+12n=−n2n+1<0，所以f(n)关于n 单调递减， 所以(2−n+12n )min=2−1+12，则2−22⩾12λ 解得：λ⩽2.故：λ的取值范围为(−∞,2].;【解析】此题主要考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难题．(1)直接利用递推关系式和建立的方程组进一步求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和，最后利用恒成立问题求出参数的取值范围．18.【答案】解：（1）∵椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率e=√32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4， ∴a=2，c=√3，b=1， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 21=1，（2）∵设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，点A 的坐标为（-a ，0）． ∴点A 的坐标为（-2，0）， ∴直线l 的方程为：y=k （x+2），（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2，0）． 设点B 的坐标为（x 1，y 1），直线l 的斜率为k ． 则直线l 的方程为y=k （x+2）．于是A 、B 两点的坐标满足方程组{y =k(x +2)x 24+y 21=1消去y 并整理，得（1+4k 2）x 2+16k 2x+（16k 2-4）=0． 由-2x 1=16k 2−41+4k 2，得x 1=2−8k 21+4k 2．从而y 1=4k1+4k 2． 所以|AB|=4√1+k 21+4k 2 由|AB|=4√25，得4√1+k 21+4k 2=4√25整理得32k 4-9k 2-23=0，即（k 2-1）（32k 2+23）=0，解得k=±1． 所以直线l 的倾斜角为π4或3π4．;【解析】(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)根据a 2=b 2+c 2，ca =√32，2a =4，求解．(2)联立方程组{y =k(x +2)x 24+y 21=1消去y 并整理，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +(16k 2−4)=0，运用韦达定理，弦长公式求解．此题主要考查了椭圆和直线的位置关系，联立方程组结合弦长公式求解．19.【答案】解：（1）函数f （x ）定义域为（0，+∞），f′（x ）=ax +2x-4=2x 2−4x +ax假设存在实数a ，使f （x ）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…（2分） 此时，f′（x ）=2(x−1)2x，当x ＞0时，f′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在（0，+∞）递增．…（4分） ∴x=1不是f （x ）的极值点．故不存在实数a ，使得f （x ）在x=1处取极值．…（5分） （2）由f （x 0）≤g （x 0） 得：（x 0-ln x 0）a≥x 02-2x 0 …（6分） 记F （x ）=x-lnx （x ＞0），∴F′（x ）=x−1x（x ＞0），．…（7分）∴当0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，F （x ）递减；当x ＞1时，F′（x ）＞0，F （x ）递增． ∴F （x ）≥F （1）=1＞0．…（8分） ∴a≥x 02−2x 0x0−ln x 0，记G （x ）=x 2−2xx−lnx ，x ∈[1e ，e]∴G′（x ）=(2x −2)(x−lnx )−(x−2)(x−1)(x−lnx )2=(x−1)(x−2lnx +2)(x−lnx )2…（9分）∵x ∈[1e，e]，∴2-2lnx=2（1-lnx ）≥0，∴x-2lnx+2＞0∴x ∈（1e ，1）时，G′（x ）＜0，G （x ）递减；x ∈（1，e ）时，G′（x ）＞0，G （x ）递增…（10分）∴G （x ）min =G （1）=-1∴a≥G （x ）min =-1．…（11分） 故实数a 的取值范围为[-1，+∞）． …（12分）; 【解析】(1)求出函数f(x)定义域，函数的导函数f′(x)，假设存在实数a ，使f(x)在x =1处取极值，则f′(1)=0，求出a ，验证推出结果．(2)由f (x 0)⩽g(x 0) 得：(x 0−ln x 0)a ⩾x 02−2x 0，记F(x)=x −ln x(x >0)，求出F′(x)，推出F(x)⩾F(1)=1>0，转化a ⩾x 02−2x 0x 0−ln x 0，记G(x)=x 2−2x x−ln x，x ∈[1e,e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．该题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》(含解析)
2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β②若m//α，m//β，则α//β③若m//α，n//α，则m//n④若m⊥α.n⊥α，则m//n上述命题中，所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.（5分）直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，下列命题正确的是：A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交3.（5分）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB. 若m//α，α∩β=n，，则m//nC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β4.（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n①m//n，m//α⇒n//α①α//β，m//n，m⊥α，⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α．A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.（5分）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.（5分）若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是()A. 若m⊂α，l∩α=A，且A∉m，则l与m不共面B. 若m，l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥αC. 若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//βD. 若l//α，m//β，α//β，则l//m8.（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l//n，则l//β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α．A. 0B. 1C. 2D. 39.（5分）已知a，b为两条不同直线，α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α，b//α，则a与b共面B. 若a⊥α，α//β，则a⊥βC. 若a⊥α，α⊥β，则a//βD. 若α//b，β//b，则α//β10.（5分）若直线l平行于平面α，则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.（5分）在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面．下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l//α，α//β，则l//βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β12.（5分）直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m//n，则l与n异面；②若l//α，α//β，则l//β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m//α，m//n，则n//α．其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.（5分）作直线a、b和平面α，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组：“a//b”和“a⊥b”；B组：“a、b为异面直线”和“a⊥b”；C组：“a//α或a⊂α”和“a与α相交”．15.（5分）已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m//α且n//α，则m//n；②若m⊥β且m⊥n，则n//β；③若m⊥α且m//β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______．16.（5分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．17.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=1AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC2与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP//平面BEF；(2)求证：GH//平面PAD.19.（12分）用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.（12分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点．判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由．22.（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF。
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高三数学小题训练十七
1.已知等差数列}{na的公差0d，且931,,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa的值
为 ．1316
2.设等比数列na的前ｎ项和为12161,,4nSSSSS48且则＝ 1340
3.2:()ln21xpfxexxmx在(0,)内单调递增，:5qm，则p是q的
_____________条件。 必要不充分
4.设数列}{na满足: )1(11,312naaaannn, 则2009a= . 21
5.在数列{an}中，a1 = 1，a2 = 2，且an +2－an = 1 + (－1)n（n∈N*），则S50 = ．675
6.已知121,,,4aa成等差数列，1231,,,,4bbb成等比数列，则212aab的值是 12
7.已知ABC是边长为4的正三角形，D、P是ABC内部两点，且满足
11
(),48ADABACAPADBC
，则APD的面积为 43
8.已知21)125sin()12sin(3)12(sin)(2xxxxf)0(在区间
]8,6[
上的最小值为-1，则的最小值为 .23
9．已知数列{}na的每一项都是非负实数，且对任意m, nN*有0mnmnaaa+--=或
1mnmnaaa+--=.又知23990,0,33aaa=>=
. 则3a=____1_____, 10a=____3_____.
10．如果有穷数列a1 , a2 , „ , an (n为正整数)满足条件a1 = an , a2 = an–1„,an = a1,
即ak = an–k+1 (k = 1 , 2 „, n )，我们称其为“对称数列”。设{bn}是项数为7的“对称
数列”，其中b1 , b2 , b3 , b4成等差数列，且b1 = 2 , b2 + b4 = 16，依次．．写出{bn}的每．一
项____________
答案：2，5，8,11,8,5,2
11.已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足22nmnmnmaaaa，则
a
119
= ．－1
12.等差数列na中，若7320aa，则20092001aa . 40
13.已知数列1,,nnnann为奇数为偶数则1100aa＿100＿＿＿ ,
123499100
aaaaaa
＿＿＿＿． 5000；
14.对于等差数列{na}有如下命题：“若{na}是等差数列,1a=0,s、t是互不相等的正整数,
则有(s-1)ta-(t-1)sa=O”.类比此命题,给出等比数列{nb}相应的一个正确命题是
“_________________若{nb}是等差数列,11b ,s、t是互不相等的正整数,则有
011tsstbb
______________________________”.