江苏省姜堰中学高三实验班数学培优训练(一)[原创][成套]苏教版

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高三数学培优训练（一）

姓名
1．某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选
取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只要随意按
下2，4位上的数字，则他按对2，4位上的数字的概率是 （ ）

A．52 B．51 C．101 D．1001

2．设命题P：函数f(x)=axx (a>0)在区间(1, 2)上单调递增；命题Q：不等式|x－1|－|x+2|<4a
对任意x∈R都成立。若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是
（ ）

A．431 D。0

3．由等式223144322314)1()1()1(xbxbxaxaxaxax
413
)1(bxb
定义),,,(),,,(43214321bbbbaaaaf，则),1,2,3,4(f等于 （ ）
（A）)4,3,2,1( （B）)0,4,3,0( （C）)2,2,0,1( （D）)1,4,3,0(

4．已知点F1、F2分别是双曲线22ax－22by=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲
线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ．

5．有两个向量1(1,0)e，2(0,1)e，今有动点P，从0(1,2)P开始沿着与向量12ee相同的
方向作匀速直线运动，速度为12||ee；另一动点Q，从0(2,1)Q开始沿着与向量1232ee相
同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|ee．设P、Q在时刻0t秒时分别在0P、0Q处，
则当00PQPQ时，t 秒．
6．已知：OF=（c，0）（c>0）,))(,(RnnnOG,FG最小值为1.若动点P同时满足下
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列条件①)0(caPEacPF②OFPE其中),0)(,(2RttcaOE③
动点P的轨迹C过点B(0,-1).
(1) 求c的值;
(2) 求曲线C的方程;

(3) 过点M(0,2)的直线l与曲线C的轨迹交于A,B两点,求MBMA的取值范围.

7．对数列na，规定na为数列na的一阶差分数列，其中)(*1Nnaaannn。
对正整数k，规定}{nka为na的k阶差分数列，其中
)(1111nknknknkaaaa
。
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（1） 若数列na首项11a，且满足nnnnaaa212，求数列na的通项公式；

（2） 对（1）中的数列na，是否存在等差数列nb，使得
nnnnnnaCbCbCb2211

对一切正整数*Nn都成立？若存在，求数列nb的通项公式；若不存在，请说明
理由；

（3） 令nnbnc)12(，设nnnacacacT2211，若MTn恒成立，求最小的正整
数M的值。

8．过P（1，0）做曲线)1,),,0((:kNkxxyCk的切线，切点为Q1，设Q
1

在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，„，

依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、„、Qn的横坐标为.na求证：

（Ⅰ）数列}{na是等比数列；

（Ⅱ）11knan；

（Ⅲ）nininiiaaaakkai12112).:(注
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9.（本小题满分14分）
函数)1,(122yNnxnxxy的最小值为,,nnba最大值为且14(),2nnncab数列

{}nC
的前n项和为nS．
（Ⅰ）求数列}{nc的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}nd是等差数列，且nnSdnc，求非零常数c；
（Ⅲ）若1()()(36)nndfnnNnd，求数列{()}fn的最大项．
高三数学培优训练（一）答案
1．D 2．C 3．D 4．（1，1+2） 5．2
6解:(1) 2)2(222)(222222ccncncnncnFG,

当2cn时, FG的最小值为1,122c,22c,2c.
(2)1222bba,1322ba, 曲线C的方程为1322yx.
（3）设直线l的方程为:2kxy.23322kxyyx0912)31(22kxxk(*)
由0得:0)31(94)12(22kk12k
2212
21
319,3112kxxkkxx



2
2
21221212211
31)1(9)1()2)(2()2,()2,(kkxxkyyxxyxyxMBMA



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2
3163k

,又12k,293MBMA
.

当k不存在时, MBMA=3,所以293MBMA.
7解（1）nnnnaaa212而nnnaaa12可得nnnaa2

n
nnaa221
，212211nnnnaa，}2{nna是首项为21，公差为21的等差数列，

21)1(2
1
2
n
a

n
n
，12nnna

（2）nnnnnnaCbCbCb2211即：122112nnnnnnnCbCbCb
而11knknCkkC )211110121nnnnnnnnnCnCnCnCCC
=11111012)(nnnnnnCCCn故可得nbn

存在等差数列}{nb,nbn使nnnnnnaCbCbCb2211对一切正整数*Nn都成立。
（3）由（2）知1nnnT2122523112 „„„ ①

nnnnnT21223225232121132
„„„ ②
①-②得：nnnnnnnT2122132122121211121222
621221613nnnnT

12212252311nnnT，}{nT递增 ，且521121653
6
T
。

满足条件的最小的正整数M的值为6
8解：（Ⅰ）,1kkxy若切点是),(knnnaaQ，

则切线方程为).(1nknknaxkaay
当1n时，切线过点P（1，0）即).1(01111akaakk得.11kka
当1n时，切线过点)0,(11nnaP即).(011nnknknaakaa得.11kkaann

∴数列}{na是首项为1kk，公比为1kk的等比数列. .)1(nnkka„6分
（Ⅱ）nnnnnnnnnkCkCkCCkkka)11()11(11)111()1(2210
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.111110knkCC
nn

（Ⅲ）记
nnnananaaS12121

，

则.1211132nnnananaaSkk
两式相减nnnnaaaaanaaaaSkk11111111)11(3211321

..11,1,].)1(1)[1(11])1(1[112kkSkSkkNkkkkkkkkkkSknnnnn





9.解：（Ⅰ）由222,(*,1),(1)01xxnynNyxyxynx得
 xR，1y，214(1)()0,44(1)410yynynyn即
由题意知：2,44(1)410nnabynyn是方程的两根，

1443,(*)nnnabnCnnN

（Ⅱ）cnnndnnSnn222,2，1231615,,123dddccc
{}nd为等差数列，2132ddd，220cc，10()2cc或舍
经检验12c时，{}nd是等差数列，2ndn
（Ⅲ）2111()36(36)(22)493723637nfnnnnn

36
6""1().49nnnfn当且仅当即时取

的最大值为