2019-2020学年广西桂林十八中高三(上)第一次月考数学试卷1(8月份) (含答案解析)

2019-2020学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷1（8

月份）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={x|x2?x?6?0},则?R A=()

A. {x|x≤?2或x≥3}

B. {x|x3}

C. {x|?2?x?3}

D. {x|?2

2.若iz=1?2i，则z=()

A. ?2?i

B. ?2+i

C. ?i

D. i

3.已知向量a?=(1,m+1),b? =(m,2)，则“a?//b? ”是“m=1”的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.若sin(α?π)=2

3

，则cos2α=()

A. 5

9B. 1

9

C. ?1

9

D.

?5

9

5.运行如图所示的程序框图，那么输出的k的最大值为()

A. 15

B. 17

C. 18

D. 20

6.已知向量a?=(1,√3)，向量a?,c?的夹角是π

3

，a??c?=2，则|c?|等于()

A. ?2

B. 4

C. 2

D. ?4

7.函数f(x)=x?ln|x|的图象可能是()

A. B.

C. D.

8. 函数g(x)的图象是由f(x)=sin(2x +π2)的图象向左平移π

6个单位得到，则g(x)的一条对称轴方程

是( )

A. x =?π

6

B. x =π

6 C. x =?π

12

D. x =

π12

9. 正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、B 1C 的中点，则EF 与平

面ABCD 所成的角的正切值为( )

A. 2

B. √2

C. 1

2

D. √2

2

10. 函数

在

上单调递增，则a 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

11. 已知双曲线C:x 2

a 2?y 2

b

2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的直线

与双曲线C 交于M ，N 两点，若|MN |=√2|F 1N |，则双曲线C 的离心率为( )

A. √2+1

B. 2

C. √3+1

D. 3

12. 已知函数

，且f(a)+f(a +1)>2，则实数a 的取值范围是( )

A.

B. (?1,?1

2)

C. (?1

2,0)

D. (?1

2,1)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若函数f(x)={x ?4,x ≥10,

f(x +5),x <10,则f(4)=____.

14. 若实数x,y 满足约束条件{

x +2y ≥0x ?y ≤0x ?2y +2≥0

，则z =3x ?y 的最小值等于______． 15. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5=?2，a 8=16，则S 6_______．

16. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).

已知在鳖臑P ?ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =AB =BC =2，M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为________

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B=√2b sin A．

(1)求B的大小；

(2)若cosC=√5

，求sin(A?C)的值．

5

18.在本市某机关今年的公务员考试成绩中随机抽取25名考生的笔试成绩，并分成5组，得到频率

分布直方图如图所示．已知成绩落在第2组[110,120)内的人数为8人．

(1)求m，n值；

(2)根据直方图估计这25名考生的平均成绩．

19. 如图，在三棱锥P ?ABC 中，

AC ⊥AB ，PH ⊥BC ，PA =PC =AC =AB =2，H 为AC 的中点 (1)求证：PA ⊥AB ；

(2)求点A 到平面PBC 的距离．

20. 已知椭圆C:

x 2a

2+

y 2b 2

=1(a >b >0)经过点P(2,√2)，一个焦点F 的坐标为(2,0)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l:y =kx +1与椭圆C 交于A,B 两点，O 为坐标原点，求OA ????? ·OB ?????? 的取值范围．

21. 已知函数f(x)=aln(x +1)+1

2x 2?ax +1(a >1)．

(1)、求函数y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)、当a >1时，求函数y =f(x)的单调区间和极值．

22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标

方程为ρcos 2θ=2asinθ(a >0)，过点P(?1,?2)的直线l 的参数方程为{

x =?1+√2

2t

y =?2+√2

2t (t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点．

(1)求C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2)若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求a 的值．

23. 已知函数f(x)=|x ?1|+|x ?2|

(1)求不等式f(x)≥2的解集；

(2)已知函数f(x)的最小值为M ，若实数a ，b >0且a +2b =Mab ，求2a +b 的最小值．

-------- 答案与解析 --------1.答案：D

解析：

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法和集合的运算，属于基础题．

解一元二次不等式求出A，即可求补集．

【解答】

解：由题意A={x|x≤?2或x≥3}，所以?R A={x|?2

故选D．

2.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查复数的四则运算，考查学生计算能力，属于基础题．

根据复数的四则运算法则计算即可．

【解答】

解：因为iz=1?2i，

所以z=1?2i

i =i(1?2i)

i2

=i?2i2

?1

=?2?i，

故选A．

3.答案：B

解析：

【分析】

本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，由向量共线则坐标对应成比例，可求出m的值，从而判断出结论．

【解答】

解：因为向量a→=(1,m+1),b→=(m,2)，“a?//b? ”，根据平面向量共线定理，

∴m(m+1)=2，解得m=1或m=?2，

所以“a?//b? ”是“m=1”的必要不充分条件；

故选B．

4.答案：B

解析：

【分析】本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式，属于基础题．先根据sin(α?π)=2

3

，求出sinα，再根据二倍角公式可得出答案．

【解答】解：由题意，知sin(α?π)=2

3

=?sinα，

则cos2α=1?2sin2α=1?2×4

9=1

9

．

故选B．

5.答案：B

解析：

【分析】

本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的y，k的值是解题的关键，属于基础题．

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的y，k的值．

【解答】

解：模拟执行程序框图，可得k=1，y=√2，满足y=√2，输出k=1，

同理，输出k=9，17，

输出的k的最大值为17.

故选B．

6.答案：C

解析：

【分析】

本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．

根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．

【解答】

解：∵向量a?=(1,√3)，

∴|a?|=√12+(√3)2=2；

又向量a?,c?的夹角是π

3

，a??c?=2，

∴|a?|?|c?|?cosπ

3=2|c?|?1

2

=2，

∴|c?|=2．故选：C．

解析： 【分析】

本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法． 判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可． 【解答】 解：因为

，

所以函数f(x)=x ?ln|x|是奇函数，排除选项A ，C ； 当x =1

e 时，

f (1

e )=?1

e ，对应点在x 轴下方，排除B ； 故选：D ．

8.答案：A

解析： 【分析】

本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g(x)的一条对称轴方程． 【解答】

解：把f(x)=sin(2x +π

2)的图象向左平移π

6个单位得到 g(x)=sin[2(x +π

6)+π

2]=sin(2x +5π6

)的图象，

令2x +

5π6

=kπ+π2，求得x =

kπ2?π

6，k ∈Z ，

可得g(x)的对称轴方程是x =

kπ

2

?π

6

，k ∈Z ， 再令k =0，可得g(x)的一条对称轴方程是x =?π

6， 故选：A ．

9.答案：D

解析： 【分析】

本题考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角，属于中档题．

取BC 中点O ，根据FO ⊥平面ABCD ，可得∠FEO 是EF 与平面ABCD 所成的角，从而可求EF 与平面ABCD 所成的角的正切值．

解：取BC中点O，连接OE，OF，

∵F是B1C的中点，

∴FO//B1B，

∴FO⊥平面ABCD，

∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角，

设正方体的棱长为2，则FO=1，EO=√2，

∴EF与平面ABCD所成的角的正切值为√2

，

2

故选D．

10.答案：D

解析：

【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.将函数在

+a?0在上恒成立，进而求解a的取值范围即可．上单调递增转化为f′(x)=e x?1

x

【解答】

解：由函数在上单调递增可得，

+a?0在上恒成立，

f′(x)=e x?1

x

+a在上单调递增可得，

又f′(x)=e x?1

x

f′(x)?f′(1)=e?1+a?0，

解得a?1?e．

选D．

11.答案：A

解析：

【分析】

本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．

直接利用双曲线的通径与∠MF1N=90°，得到a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．

【解答】

，因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为MN，

解：由题意可知，双曲线的通径为：2b2

a

|MN|，

根据双曲线的性质，可知|F1N|=|F1M|=√2

2

所以|F1N|2+|F1M|2=|MN|2

所以∠MF1N=90°，

所以2c=b2

a

，

所以2ca=c2?a2，

所以e2?2e?1=0，解得e=1±√2，因为e>1，

所以e=√2+1．

故选A．

12.答案：C

解析：

【分析】

本题主要考查函数的单调性以及奇偶性，属于中档题．

先判断出函数的奇偶性和单调性，然后把不等式进行转化即可．【解答】

解：因为，定义域为(?1,1)，

令g(x)=ln1+x

1?x

+x，x∈(?1,1)，

所以g(?x)=ln1?x

1+x ?x=?ln1+x

1?x

?x=?g(x)，

所以g(x)=ln1+x

1?x

+x为奇函数，

易知g(x)=ln1+x

1?x +x=ln(?1+2

1?x

)+x在(?1,1)上为增函数，

所以有对称中心(0,1)，

且在定义域(?1,1)上为增函数，

由f(a)+f(a+1)>2，

得f(a+1)>2?f(a)=f(?a)，

即?1

解得：?1

2

故选C．

13.答案：10

解析：

【分析】

本题主要考查了分段函数及其解析式，属于基础题．由函数推出f(4)=f(9)=f(14)，进而求得答案．【解答】

解：∵函数f(x)={x ?4,x ≥10,

f(x +5),x <10, ∴f(4)=f(9)=f(14)， ∵f(14)=14?4=10， ∴f(4)=10． 故答案为10．

14.答案：?7

2

解析： 【分析】

作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．

本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 【解答】

解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x ?z ，

则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大． 因为A ：{x +2y =0x ?2y +2=0

解得A(?1,12)，

所以z =3x ?y 的最小值z min =3?(?1)?1

2=?7

2． 故答案为：?7

2．

15.答案：21

8

解析： 【分析】

本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和． 【解答】

解：设数列的首项为a 1，公比为q ， 则有{a 1q 4=?2a 1q 7=16，解得

{a 1=?1

8

q =?2, 所以S 6=

a 1(1?q 6)1?q =

218

，

故答案为21

8．

16.答案：√2

解析： 【分析】

本题考查利用体积法求点到面的距离，属于中档题． 【解答】

解：由题意可知，V P?AMVB =1

2V p?ABC =1

6×1

2×23=2

3， AM =BM =1

2×√22+22+22=√3， ∴S △ABM =12×2×√3?1=√2， 设点P 到平面MAB 的距离为h ， 则1

3

S △ABM ?=√2

3

?=2

3

??=√2．

故答案为√2．

17.答案：解：(1)因为asin2B =√2bsinA ，

由正弦定理 a sinA =b

sinB 得2sinAsinBcosB = √2

sinBsinA ．

因为A ，B 为△ABC 的内角， 所以sinA ≠0，sinB ≠0， 所以cosB = √2

2

，

又因为B 为△ABC 的内角， 所以0

4，

(2)因为cosC =√55

，C ∈(0,π)，

所以sinC = √1?cos 2C = √1?( √5

5)2

=2√55，

sin2C =2sinCcosC =2×

2√5

5

×

√55

=4

5，

cos2C =2cos 2C ?1=2×(√

5

5)2?1=?3

5，

因为B =π4，所以A +C =

3π4

，

从而A ?C =(3π

4?C)?C =

3π4

?2C ，

因此sin(A ?C)=sin(3π

4?2C)=sin

3π4

cos2C ?cos

3π4

sin2C =

√22

×(?3

5)?(?

√22

)×45=√2

10．

解析：本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换在解三角形中的应用，属于基础题． (1)利用正弦定理化简，即可求出B;

(2)利用三角形内角和定理以及二倍角公式，两角和与差的公式即可求出．

18.答案：解：(1)∵25名考生的笔试成绩中成绩落在第2组[110,120)内的人数为8人，

故第2组[110,120)频率为：8

25

=0.32，

则m=0.32

10

=0.032，

由已知的频率分布直方图可得：

10×(0.016+0.032+2n+0.012)=1，

解得n=0.020，

(2)由(105×0.016+115×0.032+125×0.020+135×0.020+145×0.012)×10=123，

即这25名考生的平均成绩约为123分．

解析：(1)根据第2组[110,120)内的人数为8人先计算第二组的频率，再由矩形的高=频率

组距

得到答案，进而根据各组累积频率为1，求出第三，四组的频率及矩形的高n；

(2)数据的平均数是各组组中值与频率乘积的累加值，由已知中的频率分布直方图求出各组组中值及频率，代入可得答案．

本题考查的知识点是频率分布直方图，其中熟练掌握矩形的高=频率

组距

，及利用频率分布直方图估算平均数的方法是解答的关键．

19.答案：证明：(1)在等边△PAC中，H为AC中点，

∴PH⊥AC，

∵PH⊥BC，且AC∩BC=C，

AC,BC?面ABC

∴PH⊥面ABC，

∵AB?平面ABC，∴PH⊥AB，

∵AB⊥AC，PH∩AC=H，

PH,AC?面PAC，

∴AB⊥面PAC，

PA?面PAC，

∴PA⊥AB．

解：(2)在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=8，

∴BC=2√2，同理PB=2√2，

故在△PBC中，PC边上的高?

1

=√(2√2)2?1=√7，

设点A到平面PBC的距离为h，V P?ABC=V A?PBC，

∴1

3×PH×1

2

×AB×AC=1

3

×?×1

2

×PC×?1，

∴?=

PH×AB×AC PC×?1

=

√3×2×22×7

=

2√21

7， ∴点A 到平面PBC 的距离为2√21

7

．

解析：本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

(1)推导出PH ⊥AC ，PH ⊥BC ，从而PH ⊥面ABC ，进而PH ⊥AB ，AB ⊥AC ，由此能证明AB ⊥面PAC ，从而PA ⊥AB ．

(2)PC 边上的高?1=√(2√2)2?1=√7，设点A 到平面PBC 的距离为h ，V P?ABC =V A?PBC ，由此能求出点A 到平面PBC 的距离．

20.答案：解：(1)根据椭圆的定义，

2a =|PF 1|+|PF 2|=√(2+2)2+(√2)2+√2=4√2，解得a =2√2， 又c =2，∴b 2=a 2?c 2=(2√2)2?22=4， ∴所以椭圆C 的方程为

x 28

+

y 24

=1；

(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，

由{y =kx +1x 28

+y 24

=1

，消去y ，整理得(1+2k 2)x 2+4kx ?6=0；

又△=16k 2+24(1+2k 2)=64k 2+24>0，解得k ∈R ； 由根与系数的关系得x 1+x 2=?4k 1+2k 2,x 1x 2=?6

1+2k 2； ∴y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=

?6k 21+2k

2?

4k 21+2k

2+1=

1?8k 21+2k 2

，

OA ????? ?OB ?????? =x 1x 2+y 1y 2=?61+2k 2+1?8k 2

1+2k 2=?8k 2

?51+2k 2=?4?1

1+2k 2

； 又?1≤?1

1+2k 2<0，

∴OA ????? ?OB ?????? 的取值范围是[?5,?4)．

解析：(1)根据椭圆的定义求出2a 的值，得a 、c 与b 2，从而写出椭圆C 的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +1x 28+y 24=1，消去y 得关于x 的一元二次方程；

由判别式△和根与系数的关系，求出x 1x 2、y 1y 2的值，再求OA

????? ?OB ?????? 的取值范围． 本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了根与系数的关系与平面向量数量积的应用问题，是中档题．

21.答案：解：(1)f(0)=1，f′(x)=a x+1+x ?a =

x(x?a+1)x+1

，f′(0)=0，

所以函数y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1；

(2)函数的定义域为(?1,+∞)， 令f′(x)=0，即

x(x?a+1)x+1

=0．

解得x =0或x =a ?1．

当a >1时，f(x)，f′(x)随x 变化的情况如下：

和(a ?1,+∞)，极大值为f(0)=1，极小值为f(a ?1)=aln a ?1

2a 2+3

2．

解析：本题考查利用导数分析函数的单调性以及求函数的切线方程，注意掌握导数的几何意义． (1)根据题意，f(0)=1，计算可得切点的坐标，结合函数导数的几何意义分析切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案；

(2)根据题意，由函数的解析式求出函数的导数，则f′(x)=a

x+1+x ?a =x(x?a+1)x+1

，令f′(x)=0，列

表即可求出函数y =f(x)的单调区间和极值．

22.答案：解：(1)由ρcos 2θ=2asinθ(a >0)，

两边同乘ρ，得ρ2cos 2θ=2aρsinθ， ∴C 的直角坐标方程为x 2=2ay(a >0) {x =?1+√2

2t y =?2+√2

2t

(t 为参数)，

消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ?y ?1=0，

(2)把{x =?1+√2

2t y =?2+√2

2t

代入x 2=2ay ，整理得t 2?2√2(1+a)t +8a +2=0 ∴t 1+t 2=2√2(1+a),t 1t 2=8a +2． 由Δ=8(1+a)2?4(8a +2)>0， 得a >2或a <0． ∵a >0，∴a >2，

∴t 1t 2=8a +2>0

∵|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，

∴|AB|2=|PA|?|PB|

由t 的几何意义得(t 1?t 2)2=|t 1t 2|=t 1t 2， 即(t 1+t 2)2=5t 1t 2，

∴|2√2(1+a)|2=5(8a +2)，即4a 2?12a ?1=0，解得a =3±√10

2

， 又a >2， ∴a =3+√102

．

解析：本题考查曲线的直角坐标方程、普通方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)由ρcos 2θ=2asinθ，得ρ2cos 2θ=2aρsinθ，由此能求出C 的直角坐标方程；将直线l 的参数方程消去参数t ，能求出直线l 的普通方程．

(2)把{x =?1+√2

2t y =?2+√

22t

代入x 2=2ay ，得t 2?2√2(1+a)t +8a +2=0，从而t 1t 2=8a +2>0，再

由|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，得(t 1+t 2)2=5t 1t 2，由此能求出a 的值．

23.答案：解：(1)∵f(x)=|x ?1|+|x ?2|，

∴{

x ≥22x ?3≥2或{1

?2x +3≥2

，

解得：x ≥5

2或x ≤1

2，

∴不等式f(x)≥2的解集为{x|x ≥5

2或x ≤1

2}

(2)f(x)=|x ?1|+|x ?2|≥|x ?1?(x ?2)|=1

当且仅当(x ?1)(x ?2)≤0时取等， ∴函数f(x)的最小值为M =1 ∴a +2b =Mab =ab ， ∴2

a +1

b =1，

∵a ，b >0，∴2a +b =(2

a +1

b )?(2a +b)=5+2a b

+

2b a

≥5+4=9，

当且仅当a =b =3时等号成立 故2a +b 的最小值为9．

解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

(1)通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的解集，取并集即可；

(2)求出M 的值，得到2

a +1

b =1，根据基本不等式的性质求出2a +b 的最小值即可．