数值分析上机作业1-1解析

数值计算方法上机题目1

1、实验1. 病态问题

实验目的：

算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：

考虑一个高次的代数多项式

∏=-=

---=20

1)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）

显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简

单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动

0)(19=+x x p ε (E1-2) 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19

x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：

为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数

u ＝roots （a ）

其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程

0...1121=++++-n n n n a x a x a x a

的全部根，而函数

b=poly(v)

的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.

ve=zeros(1,21); ve(2)=ess;

roots(poly(1:20))+ve)

上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。 实验要求：

（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？

（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成18

x ε或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？

实验步骤：

（1）程序

function t_charpt1_1

clc

result=inputdlg({'请输入扰动项:在[0 20]之间的整数:'},'charpt

1_1',1,{'19'});

Numb=str2num(char(result));

if((Numb>20)|(Numb<0))errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整

数!');return;end

result=inputdlg({'请输入(0 1)之间的扰动常数:'},'charpt

1_1',1,{'0.00001'});

ess=str2num(char(result));

ve=zeros(1,21);

ve(21-Numb)=ess;

root=roots(poly(1:20)+ve);

x0=real(root); y0=imag(root);

plot(x0',y0', '*');

disp(['对扰动项 ',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根

为:']);

disp(num2str(root));

二、实验结果分析

ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12.

对扰动项19加扰动1e-006得到的全部根为:

21.3025+1.56717i 21.3025-1.56717i 18.5028+3.6004i 18.5028-3.6004i 15.1651+3.76125i 15.1651-3.76125i 12.4866+2.88278i 12.4866-2.88278i 10.5225+1.71959i 10.5225-1.71959i 9.04485+0.594589i 9.04485-0.594589i 7.9489+0i 7.00247+0i 5.99995+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i 对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为:

19.9953+0i 19.0323+0i 17.8696+0i 17.2186+0i

15.4988+0.0211828i 15.4988-0.0211828i 13.7707+0i 13.1598+0i

11.9343+0i 11.029+0i 9.99073+0i 9.00247+0i 7.99952+0i 7.00007+0i 5.99999+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12的图像如下：

从实验的图形中可以看出，当ess 充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess 逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。

（2） 将扰动项加到x 18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x 19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到x 18上比加到x 19小一个数量级。对x 8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x 的扰动ess=10e10时没有出现复共轭，误差很小。因此，扰动作用到x n 上时，n 越小，扰动引起的误差越小。

2、实验2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge ）现象

问题提出：

考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，)(x L n 是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间]1,1[-上函数

2

2511

)(x x f +=

实验内容：

考虑区间]1,1[-的一个等距划分，分点为

n i n

i

x i ,...,2,1,0,21=+

-= 则拉格朗日插值多项式为

∑

=+=n

i i

i

n x l x x L 02)(2511

)( 其中的)(x l i ，n i ,...,2,1,0=是n 次拉格朗日插值基函数。 实验要求：

（l ）选择不断增大的分点数目,...3,2=n ，画出原函数)(x f 及插值多项式函数)(x L n 在

]1,1[-上的图像，比较并分析实验结果。

（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数

x x g x x

x h arctan )(,1)(4

=+= 重复上述的实验看其结果如何。

（3）区间],[b a 上切比雪夫点的定义为

1,...,2,1,)1(2()12(cos 22+=???

? ??+--++=

n k n k a

b a b x k π 以121,...,,+n x x x 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。 实验步骤：

（1） 试验程序：

function y=Lagrange(x0, y0, x); % Lagrange 插值

n= length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if (j ~= k)

p = p*(z - x0(j))/(x0(k) - x0(j)); end end

s = s + p*y0(k); end y(i) = s; end

function t_charpt2

promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};

titles = 'charpt_2';

result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'}); Nb_f = char(result);

if (Nb_f ~= 'f' & Nb_f ~= 'h' & Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误！');return ;end

result = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'}); Nd = str2num(char(result));

if (Nd <1)errordlg('结点输入错误！');return ;end

switch Nb_f

case'f'

f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;

case'h'

f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;

case'g'

f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;

end

x0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);

x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x);

fplot(f, [a b], 'co');

hold on;

plot(x, y, 'b--');

xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Ln(x)--');

增大分点n=2，3，…时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。

n=3 n=6

n=7 n=8

从图中可以看出，随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -1和x=1处出现了很大的振荡现象。通过分析图形，可以看出，当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。

（2）将原来的f(x)换为其他函数如h(x)、g(x)，结果如图所示。其中h(x), g(x)均定义在[-5，5]区间上，h(x)=x/(1+x4)，g(x)=arctan x。

h(x), n=7 h(x), n=8

h(x), n=9 h(x), n=10

g(x), n=8 g(x), n=9

g(x), n=12 g(x), n=13

分析两个函数的插值图形，可以看出：

随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -5和x=5处出现了很大的振荡现象。通过图形可以看出，当n为偶数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为奇数时，其振荡幅度变得很大。原因和上面f(x)的插值类似，h(x)、g(x)本身是奇函数，如果n为偶数，那么Lagrange插值函数L n(x)的最高次项x n-1是奇次幂，比较符合h(x)、g(x)本身是奇函数的性质；如果n为奇数，那么Lagrange插值函数L n(x)的最高次项x n-1是偶次幂，与h(x)、g(x)本身是奇函数的性质相反，因此振荡可能更

剧烈。

3、实验3。样条插值的收敛性

问题提出：

一般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，也超出了本课程的内容。通过本实验可以验证这一理论结果。

实验内容：

请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验2.中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用Matab的函数“sp line”作此函数的三次样条插值。在较新版本的Matlab中，还提供有spline工具箱，你可以找到极丰富的样条工具，包括B-样条。

实验要求：

（1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差变化情况。分析所得结果并与拉格朗目多项式插值比较。

（2）样条插值的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下问题：某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k

y0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 k

'

y0.8 0.2 k

实验步骤：

（1）程序：

function t_charpt2

promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};

titles = 'charpt_2';

result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});

Nb_f = char(result);

if(Nb_f ~= 'f' & Nb_f ~= 'h' & Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误！');return;end

result = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});

Nd = str2num(char(result));

if(Nd <1)errordlg('结点输入错误！');return;end

switch Nb_f

case'f'

f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;

case'h'

f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;

case'g'

f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;

end

x0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);

x = a:0.1:b;

cs = spline(x0, y0); y = ppval(cs, x);

plot(x0, y0, 'o'); hold on; plot(x, y, 'k-');

xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Spline(x)-');

实验结果：

如图所示。

f(x), n=5 n=10 n=20

h(x), n=5 h(x), n=10 n=20

g(x), n=5 n=10 n=20 图中可以看出，由于其采用了分段三次多项式拟合的方法，随着三次样条插值的插值结点的增加，并没有出现振荡现象。

（2）程序：

x0=0:10;

y0=[0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29];

x=0:0.1:10;

pp=csape(x0,y0,'complete',[0.8 0.2]);

y = ppval(pp, x);

plot(x0, y0, 'o'); hold on; plot(x, y, 'k-');

xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Spline(x)-');

车门的曲线如下图：