初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第13讲 怎样求最值
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
初中代数最值问题PPT课件
已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ， a2－ab＋b2=t.则t的最小值和最大值 分别是————，———— 。
6
已知函数y=x2+2x-3 且 0≤x≤ -2 ， 求函数的最值。
y
-10 1பைடு நூலகம்2
x
7
已知函数y=x2+2x-3 ， 且-3≤x≤ -2, 求函数的最值。
y
-3 -2 -1 0
13
个人观点供参考，欢迎讨论
3、若M=4x2-12xy+10y2+4y+9， 则当X=_____，Y=_____时， M的值最小，M的最小值为___。
3
4、设x为正实数，则函数
y x2 x 1 x
的最小值是多少？
4
如果a,b,c是实数，且满足关系式 b2＋c2=2a2＋16a＋14, bc=a2－4a－5， 那么a的最大值是______， 最小值是________ .
1.运用配方法求最值；
2.建立函数模型；
3.构造一元二次方程，在方程有解的条件 下，利用判别式求最值；
4.利用基本不等式a2＋b2 ≥ 2ab
或a＋b≥ 2 a b 求最值.
1
1、求代数式2x2 -3x+5的最小值
方法1、配方法 方法2、设y= 2x2 -3x+5，
求顶点纵坐标
2
2、求： 4x2+ y2 -2y-4x+15的最小值
求:函数y=
3 x 2 6 x 的5 最小值。
1 x2 x 1
2
11
y 4x 9
直接运用a2＋b2 ≥ 2ab
x
或a＋b≥ 2 求ab 最值
设x为正实数，则函数
中考导练讲义第13讲二次函数的应用
第13讲二次函数的应用【章节知识清单】【章节典例解析】【例题1】（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t ﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B．【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．【例题2】（2017•温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【考点】HE：二次函数的应用．【专题】153：代数几何综合题．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣x2+x+24，解得x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．故答案为：24﹣8．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．【例题3】（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，，解得，a=4，b=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；（2）∵点C在y轴上，所以C点横坐标x=0，∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标x P==，∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，∴y P=﹣3=，∴点P的坐标为（，）；（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为2×﹣0=，∴点C的坐标为（0，），∴BC==，∴sin∠OCB===．【例题4】（2017哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；=S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式；（2）根据S△ABC（3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBQ≌△OCH，△OSR≌△OGR，得到tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，﹣t﹣3），可得﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，求得t，再根据MN=d求解即可．【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，﹣3），∵y=x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，y=x2﹣2x﹣3，y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴∠ABC=45°，AC=，AB=4，∵PE⊥x轴，∴∠EMB=∠EBM=45°，∵点P的横坐标为1，∴EM=EB=3﹣t，连结AM，=S△AMC+S△AMB，∵S△ABC∴AB•OC=AC•MN+AB•EM，∴×4×3=×d+×4（3﹣t），∴d=t；（3）如图2，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为x=1，∴由抛物线对称性可得D（2，﹣3），∴CD=2，过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，∴四边形OCKB为正方形，∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，∴DK=1，∵BQ⊥CP，∴∠CQB=90°，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，∴四边形OHQI为矩形，∵∠OCQ+∠OBQ=180°，∴∠OBQ=∠OCH，∴△OBQ≌△OCH，∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，∴∠SOG=90°，∴∠ROG=45°，∵OR=OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR=GR，∴SR=CS+BR，∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，∴∠BOR=∠TBK，∴tan∠BOR=tan∠TBK，∴=，∴BR=TK，∵∠CTQ=∠BTK，∴∠QCT=∠TBK，∴tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，∵SK2+RK2=SR2，∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2，解得m1=﹣2（舍去），m2=；∴ST=TD=，TK=，∴tan∠TBK==÷3=，∴tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，∵CF′=OE′=t，∴PF′=t，∴PE′=t+3，∴P（t，﹣t﹣3），∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，解得t1=0（舍去），t2=．∴MN=d=t=×=．【章节典例习题】1.（2017湖北江汉）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．2.（2017四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b3.（2017日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤4.（2017江苏盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．5.（2017•黑龙江）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B 的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S=4S△ABD，求点P的坐标．△ABP6.（2017呼和浩特）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．【章节典例习题】1.（2017湖北江汉）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题．【解答】解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．故答案是：20．2.（2017四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故A正确；∵抛物线开口向上，∴a＜0，∵抛物线与y轴的负半轴，∴c＜0，∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，∴b＜0，∴abc＜0，故B正确；∵当x=1时，y=a+b+c＞0，∵4a＜0∴a+b+c＞4a，∴b+c＞3a，故C正确；∵当x=﹣1时y=a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＞c，∴a﹣b＞0，∴a＞b，故D错误；故选（D）3.（2017日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，∴﹣=2，c=0，∴b=﹣4a，c=0，∴4a+b+c=0，结论②正确；③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选C．4.（2017江苏盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．故选D．5.（2017•黑龙江）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B 的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．=4S△ABD，求点P的坐标．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2（2）由，得，，∴D（，﹣），=4S△ABD，∵S△ABP∴AB×|y P|=4×AB×，∴|y P|=9，y P=±9，当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解，当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+，x2=1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．6.（2017呼和浩特）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=，根据相似三角形的性质得到x=，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+，0），于是得到结论；（3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜时，③当＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．【解答】解：（1）∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为x=2．∵点M在直线l：y=﹣12x+16上，∴y M=﹣8．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．∴抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，∴OD=OA=，∵P点的横坐标是x，∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8，∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴，∴x=，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+，0），∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，∴当x=时，∠PCO=∠ACO，当2+＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；（3）解方程组，解得：，∴D（﹣1，28），∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，∵﹣1≤t＜0，；∴当t=﹣1时，S最大=18②当0＜t＜时，S=t•8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵0＜t＜，；∴当t=﹣1时，S最大=6③当＜t＜2时，S=t•8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，∵＜t＜2，∴此时S为最大值．。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
第13讲 圆中最值、定值的计算
A B CD一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分）1．在实数﹣5，0，4，﹣1中，最大的实数是A ．﹣5．B ．0．C ．﹣1．D ．4．2．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．x ＞2．B ．x ≤2．C ．x ≥2．D ．x ＜2．3．把a 3－42a +4a 分解因式正确的是A ．a (a 2－4)．B ．a (a －2)2C ．a (a ＋2)(a －2)D ．a (a ＋4)(a －4)．4．多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（）A.极差是47B.众数是42C.中位数是58D.每月阅读数量超过40的有4个月5．下列运算中，结果正确的是（）A.633·x x x = B.422523x x x =+ C.532)(x x =D ．222()x y x y +=+6．如图，线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B （8，2），以原点O 为位似中心，将线段AB 放大后得到线段CD ．若OB ＝2OD ，则端点C 的坐标为A ．（3，3）B ．（4，3）C ．（3，1）D ．（4，1）7．如图是五个棱长为“1”的立方块组成的一个几何体，不是三视图之一的是（）圆中计算——圆的定值、最值计算模块一实战模拟（20分钟）8．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此教育局对我市部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，下列说法错误的是：（）A．此次抽样调查中，共调查了200名学生；B．C级有30名学生；C．图②中B级所占的圆心角的度数是216°；D．我市近80000名九年级学生中大约不到10000名学生学习态度不达标（达标包括A级和B级）9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个，正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是（）A．388B．402C．466D．49910.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且A C⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD，EC=1，BE=3，则△ABC的面积等于。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
初二数学最值问题解题技巧
初二数学最值问题解题技巧
初二数学最值问题解题技巧
初中数学，其中一个重要的考点就是最值问题。
最值问题在各种不同的考试中都有出现，所以了解一点解题技巧有助于考生快速解题，取得优异的成绩。
Ⅰ、解最值问题步骤
1、首先，看出问题中求的是最大值或最小值，并根据问题进行
分析，总结出可以解决问题的变量；
2、然后，将变量的范围固定起来，用函数表示问题所求的大小
关系；
3、接着，构造函数表达式，将变量取值范围内的所有可能的值
代入函数中，求出最值；
4、最后，判定最值，确定答案或解出问题.
Ⅱ、解最值问题关键步骤
1、确定变量和其取值范围：根据问题的条件确定解最值问题所
用的变量及其取值范围；
2、确定大小关系：确定最大最小值的大小关系，并将其表示成
函数；
3、计算最值：枚举变量的取值，分别求出函数的值，确定函数
的最值（最大值或最小值）；
4、判断最值：判定最值是否满足条件，如果满足则为正确答案，如果不满足则继续枚举变量的取值，直到找到正确答案为止。
以上就是初二数学最值问题解题的技巧，希望考生在考试中可以灵活运用以上技巧，以解决最值问题，取得优异的成绩。
初中数学求最值的解法教案
初中数学求最值的解法教案教学目标：1. 理解求最值问题的意义和应用；2. 学会使用基本解法求解最值问题；3. 能够灵活运用各种解法解决实际问题。
教学内容：1. 求最值问题的定义和意义；2. 基本解法：解析法、图解法、代入法等；3. 实际问题中的应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入最值问题的概念，让学生举例说明最值问题的意义和应用；2. 引导学生思考最值问题的解决方法。
二、讲解基本解法（15分钟）1. 解析法：通过解析函数或方程，找到最值点；2. 图解法：通过绘制图形，找到最值点；3. 代入法：通过代入数值，找到最值。
三、实例讲解（20分钟）1. 举例讲解每个解法的具体步骤和应用；2. 让学生尝试解决一些实际的最值问题，并指导解题过程。
四、练习与讨论（15分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立解决；2. 组织学生进行小组讨论，分享解题方法和经验。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结求最值问题的解法及其应用；2. 提出一些拓展问题，激发学生的思考。
教学评价：1. 学生能够理解最值问题的意义和应用；2. 学生能够掌握基本解法，并能够灵活运用解决实际问题；3. 学生能够通过练习和讨论，提高解题能力和合作能力。
教学资源：1. 教材或教辅；2. 练习题；3. 图形绘制工具。
教学建议：1. 在教学中，要注重让学生理解最值问题的实际意义，举例说明其应用；2. 引导学生掌握基本解法，并能够灵活运用；3. 鼓励学生进行练习和讨论，提高解题能力和合作能力；4. 教师应注重学生的个体差异，给予不同的学生不同的指导和帮助。
初中数学最值问题
最值问题“最值"问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为两种情况:（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.一、利用函数模型求最值例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD ，设AB=x 米，由于实际需要矩形的宽只能在4m 和7m 之间.设花圃面积为y 平方米．求y 与x 之间的函数关系式和y 的最值.例2、如图（1），平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E 为BC 上一动点（不与B 重合)，作EF ⊥AB 于F ，设BE=x ，△DEF 的面积为S 当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？二、利用几何模型求最值例3、如图所示，已知AB 是⊙O 中一条长为4的弦，P 是⊙O 上一动点，且cos ∠APB ＝31，求△APB 的面积的最大值？例4、如图，已知Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠C=∠F=30°,AB=DE=a 。
当两三角形沿着直线FC 移动时,求图中阴影部分的面积的最大值。
ABCEFAOxyDCB 三、归入“两点之间的连线中，线段最短”思路:不管在什么背景下,有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短"，而例5、(1)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A 。
23 B.26 C.3 D 。
6 （2)如图,AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为___________．例6、几何模型：条件:如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ,使PA PB +的值最小．方法:作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ,则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知,B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________．（2）如图2，O ⊙的半径为2,点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥,60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值___________．（3）如图3,45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR△周长的最小值___________． 例7、如图,锐角△ABC 的边AB=42，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________．例8、如图（1），直线23+-=x y 与x 轴交于点C,与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D 。
初中数学几类最值求法
ABCDO S 2S 1初中数学中几类最值求法初中数学中有许多求最值的问题，其基本的思路和方法大致有以下三种。
一、一次函数与二次函数求最值一般来说一次函数(0)y kx b k =+≠,对自变量x 的取值范围没有限制，它不存在最值，若限制 自变量的取值范围为12x x x ≤≤，当0(0)k k ><时，1x x =取最小(大)值，2x x =时取最大(小)值。
对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,当0(0)a a ><,2bx a=-时在其顶点取最小(大)值,这类习题在教材中很多，这里不再举例赘述。
二、利用不等式“222a b ab +≥或a b +≥，此两不等式当且仅当a b =时取等号”求最值。
此两不等式的证明可由2()0a b -≥和20≥展开移项而得。
例1：如图4AOB S ∆=, 9COD S ∆=,则四边形ABCD 的面积最小值为___。
解：1AOD S S ∆=, 2COD S S ∆=因为21AOBCODSS OB S OD S ==, 所以 124936AOB COD S S S S ∆∆⋅=⋅=⨯=12AOB COD ABCD S S S S S ∆∆=+++四边形1249S S =+++因为 122612S S +≥=⨯= 所以 491225ABCD S ≥++=四边形例2：如图是一架不等臂天平，第一次在左侧放质量为m 克的物体，右侧放火50克法码，第二次在左侧放质量为50克的物体，右侧放m '克法码，则m m '+（ ）(A) 不小于100克 (B)大于100克 (C)不小于150克 (D)大于150克解：设1AO l =，2BO l =,由平衡原理可得1250m l l ⋅=, 1250l m l '⋅=,即2150l m l =, 1250lm l '= ∵21125050l l l l ≠,21125050100l l m m l l '∴+=+>=,所以选（B ）不等式“a b +≥，在求最小值时非常有用，但是要注意等号成立的条件,例如本题中由于12l l ≠，所以m m '+取值大于100，而不能取等号，这一点要特别注意。
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1
第十三讲 怎样求最值
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消
耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小
值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：
1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不等分析法求最值．
注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思
想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．
一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端
点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即：
对于cbxaxy2（0a）
(1)若a>0，则当abx2时，abacy442最小值；
(2)若a<0，则当abx2时， abacy442最大值．
【例题求解】
【例1】 设a、b为实数，那么bababa222的最小值是 ．
思路点拨 将原式整理成关于a的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设
tbababa2
22
，将等式整理成关于a的二次方程0)2()1(22tbbaba，利用
判别式求最小值．
【例2】若32211zyx，则222zyx可取得的最小值为( )
A．3 B．1459 C．29 D．6
思路点拨 设kzyx32211，则222zyx可用只含k的代数式表示，通过配方求最
小值．
【例3】 设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实根，当m为何值时，
222
1
xx
有最小值，并求这个最小值．
思路点拨 由韦达定理知2221xx是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小
值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．
2
注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：
(1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．
【例4】 甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的
合同规定向A提供45吨，向B提供75吨，向C提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地
可安排100吨．甲、乙与A、B、C的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如
何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．
思路点拨 设乙基地向A提供x吨，向B提供y吨，这样总运费就可用含x，y的代数式表
示；因为1000yx0，450x，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．
A B C
甲
10 5 6
乙
4 8 15
【例5】 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该
设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维
修费为[500)1(41x]元．
(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到
每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y(元)表示为使用天数x(天)的函数；
(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，
问该设备投入使用多少天应当报废?
思路点拨 在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a、b以及在正实数
范围内取值的变量x，一定有baxbaxbxxa22，即当且仅当bxxa时，bxxa有最小值
b
a
2
．
3
注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：
(1)02a； (2)abba222；（3）若0a，0b，则abba2； (4)若0a，0b，
0x
，则babxxa2．
以上各式等号当且仅当ba (或bxxa)时成立．
学历训练
1．当x变化时，分式12156322xxxx的最小值为 ．
2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗
子的长、宽各为 、 米．
3．已知实数a、b、c满足0cba，6222cba，则a的最大值为 ．
4．已知x、y、z为三个非负实数，且满足523zyx，2zyx，若zyxs2，
则s的最大值与最小值的和为( )
A．21 B．85 C．1 D．36
5．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=4，S△COD=9，则四边形
ABCD的面积S四边形ABCD的最小值为( )
A．2l B．25 C．26 D．36
6．正实数x、y满足1xy，那么44411yx的最小值为( )
A．21 B．85 C．1 D．45 E．2
7．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了
获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(万
元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且107107102xxy，如果把利润看作是销
售总额减去成本费和广告费：
(1)试写出年利润S (万元)与广告费x(万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公
司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?
(2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，
各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
4
项目
A B C D E F
每股(万元)
5 2 6 4 6 8
收益(万元) 0．55 0．4 0．6 0．5 0．9
l
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几
种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．
8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这
几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值
蔬菜 21 1100元
烟叶 31 750元
小麦 41 600元
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总
产值最多．
9．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为l0m)，围成中间隔有一
道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为sm2．
(1)求s与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，
请说明理由．
10．设1x、2x是关于x的一元二次方程22aaxx的两个实数根，则)2)(2(1221xxxx的
最大值为 ．
11．若抛物线1)1(2kxkxy与x轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积最小
值为
12．已知实数a、b满足122baba，且22baabt，则t的最大值为 ，最小
值为 ．
13．如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时
向南航行，且B船的速度为A船速度2倍，那么A、B两船的最近距离为 km．
14．销售某种商品，如果单价上涨m％，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售
金额最大，那么m的值应该确定为 ．
5
15．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车
的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每 月需要维护费150
元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出 辆车(直接填写答案)；
(2)设每辆车的月租金为x(x≥3000)元，用含x的代数式填空：
(3)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?
16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p(万元)和q(万元)，它
们与投入资金x(万元)的关系有经验公式xp51，xq53．
今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入
分别应为多少?能获得多大的利润?
链接
17．如图，城市A位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，
如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费
最低?
18．设1x，2x，„nx是整数，并满足：
（1）21ix，ni,2,1；
（2）1921nxxx；
（3）9922221nxxx．
求33231nxxx的最大值和最小值．
未租出的车辆数 租出的车辆数
所有未租出的车 辆每月的维护费 租出的车每
辆的月收益
6
参考答案
7