16章二次根式知识点及例题
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理单选题1、√2×√8=（）A．4√2B．4C．√10D．2√2答案：B分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：√2×√8=√16=4．故选B．小提示：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2、如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4答案：D分析：根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．∵最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，∴3x−5=x+3，∴x=4，故选：D．小提示：本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．3、二次根式√2x+4中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2答案：D分析：根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．由题意，得2x+4≥0，解得x ≥-2，故选：D ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．4、已知a ＝√5−2，b ＝2+√5，则a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式答案：A分析：求出a 与b 的值即可求出答案．解：∵a ＝√5−2=√5+2(√5+2)(√5−2)＝√5+2，b ＝2+√5， ∴a ＝b ，故选：A ．小提示：本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．5、已知：a=2−√3，b=2+√3，则a 与b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等答案：C 因为a ×b =2−√32+√3=1,故选C.6、计算√8+√18的值等于（ ） A ．√26B ．4√2C ．5√2D ．2√2+2√3答案：C 分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C ．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、已知max {√x,x 2,x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max {√x,x 2,x}=max{√9,92,9}＝81．当max {√x,x 2,x}=12时，则x 的值为（ ） A ．−14B ．116C ．14D ．12答案：C分析：利用max {√x,x 2,x}的定义分情况讨论即可求解．解：当max {√x,x 2,x}=12时，x≥0①√x ＝12，解得：x ＝14，此时√x ＞x ＞x 2，符合题意； ②x 2＝12，解得：x ＝√22；此时√x ＞x ＞x 2，不合题意； ③x ＝12，√x ＞x ＞x 2，不合题意； 故只有x ＝14时，max {√x,x 2,x}=12． 故选：C ．小提示：此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．8、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9、观察下列等式：第1个等式：a 1=1+√2=√2−1， 第2个等式：a 2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋯+a n=（）A．√n+1−1B．√n+1−√n C．√n+1D．√n−1答案：A分析：首先根据题意，可得a1=1+√2=√2−1，a2=√2+√3=√3−√2，a3=√3+2=2−√3，a4=2+√5=√5−2⋯⋯a n=√n+1+√n=√n+1−√n，再相加即可得解．解：第1个等式：a1=1+√2=√2−1，第2个等式：a2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，……第n个等式：a n=√n+1+√n=√n+1−√n，∴a1+a2+a3+⋯⋯+a n=√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n=√n+1−1，故A正确．故选：A．小提示：本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．10、如图，数轴上的点可近似表示(4√6−√30)÷√6的值是( )A．点A B．点B C．点C D．点D答案：A分析：先化简原式得4−√5，再对√5进行估算，确定√5在哪两个相邻的整数之间，继而确定4−√5在哪两个相邻的整数之间即可．原式=4−√5，由于2＜√5＜3，∴1＜4−√5＜2．故选：A．小提示：本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．填空题11、若a+6√3=(m+n√3)2，当a，m，n均为正整数时，则√a的值为__________．答案：2√7或2√3##2√3或2√7分析：先利用完全平方公式将(m+n√3)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．解：∵a+6√3=(m+n√3)2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，2mn=6，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则√a=√28=2√7；当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则√a=√12=2√3．所以答案是：2√7或2√3．小提示：本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．12、将√45化为最简二次根式，其结果是 __．2答案：3√102分析：将分母有理化后进行化简即可．解：√452=√45×22×2=√3×3×5×22×2=3√102，所以答案是：3√102．小提示：本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．13、已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是__．答案：a>3．分析：把方程变形为√x+5=3−a，根据方程没有实数根可得3−a<0，解不等式即可．解：由√x+5+a=3得√x+5=3−a，∵√x+5有意义，且√x+5⩾0，∴方程√x+5=3−a没有实数根，即3−a<0，∴a>3，所以答案是：a>3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．14、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝___；（2）当y＝2时，n的值为_____．答案：32x 11 4分析：（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m；（2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值．解：（1）由图可得m=1x +12x=32x，所以答案是：32x；（2）∵y=m+n=(1x +12x)+(12x+3)=2x+3，y=2，∴2x+3=2，解得，x=−2，∴n=12x +3=114，所以答案是：114．小提示：本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．15、√27+√3的结果是_________．答案：4√3分析：直接化简二次根式进而合并得出答案．原式=3√3+√3=4√3．所以答案是：4√3.小提示：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．解答题16、在一个边长为（√3+√5）cm的正方形内部挖去一个边长为（√5−√3）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．答案：4√15( cm2)．分析：用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．解：剩余部分的面积为：（√3+√5）2-（√5-√3）2，=(√3+√5+√5−√3)(√3+√5−√5+√3)，=2√5×2√3，=4√15( cm2)．小提示：此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解本题的关键．17、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18、已知a满足|2021−a|+√a−2022=a．(1)√a−2022有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将|2021−a|去掉绝对值符号可得|2021−a|=______．(2)根据（1）的分析，求a−20212的值．答案：(1)a≥2022；a−2021(2)a−20212=2022分析：（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．（1）解：∵√a−2022有意义，∴a−2022≥0，∴a≥2022，∴2021−a<0，∴|2021−a|=a−2021；所以答案是：a≥2022；a−2021；（2）∵|2021−a|+√a−2022=a，∴a−2021+√a−2022=a，∴√a−2022=2021，∴a−2022=20212，∴a−20212=2022．小提示：本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．。
新人教版八年级数学第十六章二次根式知识点+测试题
第十六章 二次根式基本知识点1.二次根式的有关概念：（1）形如 的 式子叫做二次根式.（即一个 的算术平方根）二次根式有意义的条件: .（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：① ；② .（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质：（1） 非负性3.二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根号外的因数合并。
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律、公式）仍然适0()a ≥0 2(2)(0)a =≥ =(0,0)a b = ≥ ≥ (00)a b= ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>用二次根式提高测试题一、选择题1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ） ≤1 ≥1 ＞0 ＞﹣1 2．下列式子成立的是（ ） A ．331= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 3．化简8的结果是（ ）A ．2B ．4C ．22D ．±224．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A.2x B.8 C.2x D.12+x 5．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和，点A 关于点B 的对称点是点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．2－1B ．1+2C ．22－2D ．22－16．化简2723-的结果是（ ） A ．32-B ．32-C ．36-D ．2- 7．若代数式有意义，则x 的取值范围是（ ）≥﹣2且x ≠﹣1 ＞﹣2且x ≠﹣1≤2且x ≠﹣1 ＜2且x ≠﹣18．已知是整数，则实数n 的最大值是（ ）．A ．12B ．11C ．8D ．3二、填空题9．（3+7）（3﹣7）= ．10．已知a 、b 为两个连续的整数，且b <，则a+b=________．11()210n +=，则m ﹣n 的值为 ．12在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ．13．已知x=3+1，y=3﹣1，则代数式yx x y +的值是 ． 14．若x ，y 为实数，且0)31(32=-+-y x ，则xy= ．15. 若m 的值为 .16. 若0,0a b <>化简得 .三、计算题17．计算：272833.）1（-+-；22)2664.(）2（÷-；227614.）3（⨯÷；)7581()3125.0.(）4（---．18．计算：10)41(2)31(-+-+-四、解答题19．已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,b 的立方根是-2，求3a+b 的算术平方根.20．先化简，再求值：(1).2222()a b a b a b a b--÷+，其中a =b =(2).，其中．。
初二数学下册(人教版)第十六章二次根式16.1知识点总结含同步练习及答案
− − 1 2
)
C．√6 D．√8
B．√4
答案： C 解析： A 中被开方数含有分母，不是最简二次根式；B 中被开方数含有小数，不是最简二次根式；D 中
被开方数含有因数 25，能开方，所以不是最简二次根式，C 是最简二次根式．
− − − − 2. 若使二次根式 √− x − 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 (
A．x ⩾ 2
答案： A
)
D．x ⩽ 2
B．x > 2
C．x < 2
− − − − 3. 二次根式 √− x − 1 中字母 x 的取值范围是 (
A．x < 1
答案： D
)
C．x > 1 D．x ⩾ 1
B．x ⩽ 1
4. 已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 |1 − a| + √a2 的结果为 (
− −
⎧ a, ⎩
最简二次根式与同类二次根式 一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根 式（simplest quadratic radical）． 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次 根式．
−a,
a > 0, a 次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式．
√
下列根式中，与 √2 是同类二次根式的是（ ） − A. √6 B. √8 C. √9 D. √− 12 解：B．
四、课后作业
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1. 下列二次根式中，最简二次根式是 ( A．√
− −
)．
A．1
答案： A
B．−1
2020年春季人教版 八年级下数学第16章二次根式(知识点总结+例题+练习+答案)(含答案)
第16章二次根式一、二次根式的概念核心提要1．二次根式的定义：形如________(其中a≥0)的式子叫做二次根式．2．与二次根式相关的概念：(1)若x2＝a，则________是________的平方根；(2)a(a≥0)表示________的算术平方根．知识点1：平方根与算术平方根1．填空：(1)9的平方根是________；(2)25的算术平方根是________；(3)0的算术平方根是________；(4)a(a≥0)的算术平方根是________．知识点2：二次根式的定义2．下列式子中是二次根式的是()A．7B．3 7C．x D．－7知识点3：二次根式有意义的条件3．式子1x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x＜1B．x≤1 C．x＞1D．x≥1 4．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)x＋1；(2)2x；变式1填空：(1)5的平方根是________；(2)11的算术平方根是________；(3)－3________平方根是(填“有”或“没有”)；(4)a(a≥0)的平方根是________．变式2下列式子：①12；②－3；③－x2＋1；④327；⑤（－3）2是二次根式的有()A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤变式3式子x－1 x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥1B．x≥1且x≠2 C．x＞1D．x≤1且x≠2变式4当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3－x；(2)－4x；基础巩固1.下列各式①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3的是()A．2x－3B．1x－3C．x－3D．x－3 3．若使二次根式2x－6有意义，则x的取值范围是________ 4．若|3－a|＋2＋b＝0，则a＋b的值是________．5．若式子4－x－x－3有意义，求x的取值范围．6．若式子11－3a有意义，求a的取值范围．能力提升7．下列式子没有意义的是()A．－3B．0C．2D．（－1）28．若代数式11－x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥0B．x≥1C．x≠1D．x≥0 且x≠1 9．若a为实数，则下列各式中一定有意义的是()A.a＋3B．a2＋3C.a2－3D．a a2＋310．一个面积为18 cm2的矩形，它的长与宽之比为3∶2，求它的长与宽各是多少？培优训练11．若y＝x－3＋3－x3，求(x＋y)y的值．二、二次根式的性质核心提要二次根式的性质：1．(a)2＝________(a≥0)．2．a2＝________．知识点1：(a)2＝a(a≥0)1．计算：(1)(3)2＝________；(2)(7)2＝________；(3)(4)2＝________；(4)(0.3)2＝________；(5)(13)2＝________；(6)(23)2＝________．知识点2：a2＝a(a≥0)(一般地a2＝|a|)2．计算：(1)42＝________；(2)（－3）2＝________；(3)（13）2＝________；(4)（－0.2）2＝________．知识点3：双非负性a≥0(a≥0)3．已知实数x、y满足(5－x)2＋y＋6＝0，求代数式(x＋y)2 001的值．变式1计算：(1)(5)2＝________；(2)(8)2＝________；(3)(34)2＝________；(4)(0.6)2＝________；(5)(24)2＝________；(6)(－32)2＝________.变式2计算：(1)112＝________；(2)（－7）2＝________；(3)（－1.2）2＝________；(4)（－13）2＝________．变式3已知1＋a＋||b－7＝0，求a＋b的值．基础巩固1.计算（－4）2的结果是()A．－4B．4C．±4D．162．二次根式（3－2）2的值等于()A．3－2B．2－3C．±(3－2)D．2＋3 3．当x＜5时， (x－5)2的值是()A．x－5B．5－x C．5＋x D．－5－x 4．计算：(1)(9)2＝________；(2)－(5)2＝________；(3)32＝________；(4)－（－34）2＝________；5．若a、b、c分别是三角形的三边长，化简： (a＋b－c)2＋ (b－c－a)2＋ (b＋c－a)26．若(m＋1)2＋n－2＝0，求代数式m＋n的值．能力提升7.计算：(1－2)(1＋2)＝________．8．若（x－1）2＝1－x，则x的取值范围是________．9．在实数范围内分解因式：x2－2＝_____________．10．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（a－1）2＋a.培优训练11．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．三、二次根式的乘法核心提要二次根式的乘法公式a·b＝________(a≥0，b≥0)．知识点：a×b＝ab(a≥0，b≥0)1．计算：(1)5×6；(2)12×8.2．计算：(1)32×23；(2)212×(－3)；(3)a3·a；(4)x3·2 x.3.计算：ab·bc·cd·da.变式1计算：(1)3×5； (2)13×27.变式2 计算： (1)23×276； (2)2a7×(－14a )；(3)(5＋3)(5－3)； (4)()2－32. 变式3 计算：115×23×(－1210).巩固练习1．计算3×2的结果( )． A ．5 B ．6 C ．23D ．322．一个矩形的长和宽分别是36、23，则它的面积是( ) A ．203B ．182C．172D．1623．化简x－1x，正确的是()A．－x B．xC．－－x D．－x4．已知7·a的积是一个整数，则正整数a的最小值是()A．7B．2C．19D．55．若一个长方体的长为3 6 cm，宽为2 3 cm，高为 2 cm，则它的体积为________ cm3.6．计算：(1)2a·8a(a≥0)＝________；(2)43×(－12)＝________．(3)54×64125＝________．(4)－8x3×63x＝________．7．如图，在△ABC中，AD△BC于点D，BC＝42，AD＝2，求△ABC的面积．8．把代数式(a－1)11－a中的a－1移到根号内，则这个代数式等于()A．－1－a B．a－1C．1－a D．－a－1 9．化简：(1)0.4×(－ 3.6)＝________；(2)(3＋22)99(3－22)100＝________．10．计算：ab·5ab·(－ba)·(－1ab)．培优训练11．已知x＝3－2，求代数式(x＋1)2＋2(x＋1)＋1的值．四、积的算术平方根核心提要积的算术平方根ab＝________(a≥0，b≥0)．(此公式用于化简二次根式)知识点：ab＝a·b(a≥0，b≥0)1．化简：(1)4＝________；25＝________；81＝________；(2)9×16＝________；32×72＝________；(3)4×5＝________；16×3＝________；(4)8＝________；24＝________；32＝________；4a＝________．2．化简：(1) 1 000＝________；(2)9a3＝________；(3)5×15＝________；(4)4a2b＝________；(5)3a·6a＝________；(6)2y 3·8y＝________． 3．设正方形的边长为a ，面积为S . (1)如果a ＝2 5 cm ，则S ＝________cm 2； (2)如果S ＝32 cm 2，则a ＝________cm ； (3)如果S ＝50 cm 2，则a ＝________cm. 变式1化简：(1)9＝________；16＝________； 64＝________；(2) 32×52＝________；36×4＝________；(3)4×16＝________；3×49＝________； (4)12＝________；18＝________； 60＝________；36b ＝________． 变式2化简：(1)25b 3＝________； (2)10a ·5a ＝________； (3)28×(－36)＝________； (4)－16a 2b 3c ＝________； (5)2×23×12＝________； (6)133x 2y 3·12x 2y＝________.变式3已知非负实数a、b、c满足a2＋b2＝c2.(1)如果a＝3，b＝5，则c＝________；(2)如果c＝12，b＝10，则a＝________；(3)如果a＝32，b＝3，则c＝________．基础巩固－32×3的计算结果是()1．二次根式()A．33B．－33C．3D．92．若a＜0，b＞0，则－a3b化简得()A．－a－ab B．－a abC．a－ab D．a ab3．化简：(1)24＝________；(2)28＝________；(3)45＝________；(4)72＝________；(5)25a2(a>0)＝________；(6)80ab3(a>0，b>0)＝________．4．已知x>0，y>0，则xy2·x2y＝________．5．化简：（a2－b2）（a4－b4）(b＜a＜0)得_______________．6．计算：(1)32×224；(2)214x·4xy.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝12，AC＝18.求△ABC 的面积．能力提升8.已知12n是正整数，则满足条件的最小正整数n为()A．2B．3C．4D．59．计算：(1)62＋82＝________；(2)132－52＝________；(3)4－2＝________．10．先化简，再求值：x＋2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3＋2.培优训练11．先化简，再求值：(a2－b2a2－2ab＋b2＋ab－a)÷b2a2－ab，其中a、b满足1＋a＋||b－3＝0.五、二次根式的除法核心提要1．二次根式的除法法则为：ab＝________(a≥0，b>0)．2．最简二次根式同时满足下列条件：(1)________________________________________；(2)________________________________________．知识点1：二次根式的除法1．计算：(1)186；(2)8a÷2a.知识点2：化成最简二次根式2．将下列式子化成最简二次根式：(1)3100；(2)11336；(3)13； (4)35.知识点3：二次根式的乘除混合运算 3．计算：34÷112×24. 变式1 计算：(1)455； (2)243.变式2 将下列式子化成最简二次根式：(1)225； (2)112；(3)123； (4)a 1a变式3 计算：20×3515÷(－6)．基础巩固1．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12B ．0.2C ．2D ．202．化简－32×27的结果是( )A ．－23B ．－23C ．－66D ．－23．能使等式x x －2＝x x －2成立的x 的取值范围是( ) A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x ＞2D ．x ≥24．若长方形的宽为 2 cm ，面积为2 6 cm 2，则长方形的长为________．5．计算： (1)(－113)÷554；(2)512×34÷52；(3)12÷227×18.能力提升6．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：△ab＝ab，△ab·ba＝1，△ab÷ab＝－b，其中正确的是()A．△△B．△△C．△△D．△△△7．计算：(1)6－33＝________；(2)233－1＝________．8．先化简，再求值：a2＋3aa2＋4a＋4÷a＋3a＋2－2a＋2，其中a＝2－2.培优训练9．小芳在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此她认为一个化简过程：－20－5＝－20－5＝－5×4－5＝－5×4－5＝4＝2是正确的．△你认为她的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；△说明ab＝ab成立的条件．六、二次根式的加减法核心提要1．同类二次根式：把几个二次根式化成____________后，如果被开方数(即根号下的数或式)________，则这几个二次根式叫做同类二次根式．2．二次根式加减时，先将二次根式化为_______________，再将______________的二次根式进行合并．知识点：二次根式的加减1．计算：(1)4a－3a＝________；(2)5a＋6ab－a＋2ab＝________；(3)32－22＝________；(4)5ab－3ab＝________．2．计算：(1)35＋2－25－32；(2)3－12＋18.3．计算：22－23＋12.变式1计算：(1)5xy＋6xy＝________；(2)3x＋5xy－4x－xy＝________；(3)66－6＋26＝________；(4)7x－x＝________．变式2计算：(1)37－28＋7；(2)36－2＋24＋8.变式3计算：a＋a4－2a1a.基础巩固1．计算27－3的结果是()A．24B．26C．3D．232．下列根式中，与18为同类二次根式的是()A．2B．3C．5D．63．如果等腰三角形的底边长为8，腰长为18，则其周长为________．4．计算：(1)3－32＋33＋2；(2)16b－25b；(3) (48＋20)＋(12－5)；(4)28＋1417－700.能力提升5．已知2a －3＋5＝25，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．56．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x －y 的值是( ) A ．33－3 B ．3 C ．1D ．37．若x ＝12(a ＋b )，y ＝12(a －b )，则x ＋y 的值为________．8．若对实数a ，b ，c ，d 规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－38＝________．9．计算：(48－418)－(313－20.5)．培优训练10．已知x＝1＋3，求x2－x＋1的值．七、二次根式的混合运算核心提要二次根式的混合运算顺序：先算________，再算________，最后算________，有括号先算括号里面的．知识点1：化成最简二次根式1．化简：(1)8＝________；(2)32＝________；4(5)35＝________；(6)2a＝________．知识点2：二次根式的混合运算2．计算：(1)3×15＝________；(2)363＝________；(3)12＋3＝________；(4)28－63＝________．3．计算：13×(212－75).4．若x＝2＋1，求x2－2x＋1的值．变式1化简：(1)27＝________；(2)40＝________；(3)18a2＝________；(4)17＝________；168变式2计算：(1)2×98＝________；(2)40÷5＝________；(3)2＋18＝________；(4)27－75＝________．变式3计算：(248－327)÷ 3.变式4若m＝2＋3，n＝2－3，求mn2＋m2n的值．巩固练习1．下列运算错误的是()A．2＋3＝5B．2×3＝6C．8÷2＝2D．(－2)2＝22．估计32×12＋20的运算结果应在( ) A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间3．计算5×153的结果是________．4．一个矩形的长和宽分别为12 cm 和27 cm ，则这个矩形的周长为___________．5．计算：(1)(12＋58)×3；(2)(48＋36)÷27；(3)3＋33；(4)(3＋2)2－(3＋22)(3－22).能力提升6．计算：(2＋1)2 018×(2－1)2 019.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，CD△AB于D.AC＝3＋1，BC＝3－1，AB＝22，求CD的长．8．如图所示，在Rt△ABC中，△B＝90°，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为24平方厘米？(结果用最简二次根式表示)第十六章二次根式第1课时二次根式的概念【核心提要】1.a2．(1)x a (2)a【典例精讲】1．±3 5 0a2．A 3.C4．(1)x ≥－1 (2)x ≥0【变式训练】1．±511 没有 ±a 2．B 3.B4．(1)x ≤3 (2)x ≤0【基础巩固】1．B 2.D3．x ≥3 4.1 5.3≤x ≤4 6.a <13【能力提升】7．A 8.D 9.B10．长3 3 cm 宽2 3 cm【培优训练】11．1第2课时 二次根式的性质【核心提要】1．a 2.|a |【典例精讲】1．(1)3 (2)7 (3)4 (4)0.3 (5)13(6)12 2．(1)4 (2)3 (3)13(4)0.2 3.－1 【变式训练】1．(1)5 (2)8 (3)34(4)0.6 (5)16 (6)18 2．(1)11 (2)7 (3)1.2 (4)133.6 【基础巩固】1．B 2.B 3.B4．(1)9 (2)－5 (3)3 (4)－345．a ＋b ＋c 6.1【能力提升】7．－18．x ≤1 9.(x ＋2)(x －2) 10.1【培优训练】11．7＋42第3课时 二次根式的乘法【核心提要】ab【典例精讲】1．(1)30 (2)2 2.(1)66 (2)－12(3)a 2 (4)2x 3.1【变式训练】1．(1)15 (2)32．(1)3 (2)－2a(3)－4 (4)5－263．－6【基础巩固】1．B 2.B 3.C 4.A5．366．(1)4a (2)－4 (3)45 (4)－4x7．4【能力提升】8．A 9.(1)－1.2 (2)3－22 10.5【培优训练】11．3第4课时 积的算术平方根【核心提要】a ·b【典例精讲】1．(1)2 5 9 (2)12 21 (3)25 43 (4)22 26 42 2a2．(1)1010 (2)3a a (3)53(4)2a b (5)3a 2 (6)4y3．(1)20 (2)42 (3)52【变式训练】1．(1)3 4 8 (2)15 12 (3)8 73(4)23 32 215 6b 2．(1)5b b (2)5a 2 (3)－243(4)－4ab bc (5)122 (6)2x 2y3．(1)34 (2)211 (3)33【基础巩固】1．A 2.A3．(1)26 (2)27 (3)35 (4)62 (5)5a (6)4b 5ab4．xy xy5．(b 2－a 2)a 2＋b 26．(1)243 (2)2x y7．36【能力提升】8．B9．(1)10 (2)12 (3)1410.1x －2 33【培优训练】11.a b －33第5课时 二次根式的除法【核心提要】 1.a b2．(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(2)被开方数中不含分母【典例精讲】1．(1)3 (2)22．(1)310 (2)76 (3)33 (4)1553．66【变式训练】1．(1)3 (2)222．(1)25 (2)62 (3)36 (4)a 3．－32【基础巩固】1．C 2.C 3.C4．2 3 cm5．(1)－6105 (2)324(3)2 【能力提升】6．解析：∵ab ＞0，a ＋b ＜0，∴a ＜0，b ＜0.①a b ＝a b，被开方数应≥0，a ，b 不能作被开方数，(故①错误)， ②a b ·b a ＝1，a b ·b a ＝ab ＝a b ×b a ＝1＝1，(故②正确)， ③ab ÷a b ＝－b ，ab ÷a b ＝ab ÷ab －b ＝ab ×－b ab＝－b ，(故③正确)． 故选：B. 7．(1)2－1 (2)3＋3 8.1－22【培优训练】9．解：①化简不对，正确过程为－20－5＝205＝5×45＝4＝2； ②∵0作除数无意义，∴a b ＝a b 成立的条件：a ≥0，b ＞0. 第6课时 二次根式的加减法【核心提要】1．最简二次根式，相同2．最简二次根式，被开方数相同【典例精讲】1．(1)a (2)4a ＋8ab (3)2 (4)2ab 2．(1)5－22 (2)－3＋323.223【变式训练】1．(1)11xy (2)－x ＋4xy (3)76(4)6x2．(1)27(2)56＋23．－a 2【基础巩固】1．D 2.A3．824．(1)43－22(2)－b(3)63＋5(4)－67【能力提升】5．C 6.C7.a8.529.33【培优训练】10．解：∵x＝1＋3，∴x2－x＋1＝(1＋3)2－(1＋3)＋1＝1＋23＋3－1－3＋1＝3＋4；第7课时二次根式的混合运算【核心提要】乘方乘除加减【典例精讲】1．(1)22(2)42(3)2a6(4)3 2(5)155(6)2aa2．(1)35(2)23(3)33(4)－7 3．－1 4.2【变式训练】1．(1)33(2)210(3)3a2(4)7 7(5)22 (6)324 2．(1)32(2)22 (3)42 (4)－233．－1 4.4【基础巩固】1．A 2.C 3．5 4.10 3 cm 5．(1)6＋106 (2)43＋2 (3)3＋1 (4)4＋26 【能力提升】6.2－17.22【培优训练】8．解：设t 秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米，根据题意得： 12×2t ×t ＝24， 解得：t 1＝－26(不合题意舍去)，t 2＝2 6.答：26秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米．。
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第十六章二次根式知识点归纳一、形如▼（:工：）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是•二为二次根式的前提条件,二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“J ”；第二，被开方数是正数或0.三、二次根式「■'（二兰「）的双重非负性：1被开方数卫⑺非负2、,a的值非负。
四、二次根式的化简。
1化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.\ a2= I a I①若a是正数，贝UI a I等于a本身；②若a是负数，贝UI a I等于a的相反数-a,③若a是0,贝UI a I等于0.2、V a =a （a > 0）.3、被开方数是乘积用• ab = a• '、b（a》0，b>0）化，4、被开方数是商的形式用£ =芈（a》0，b>0）或i医=丄JabVb v b b5、最简二次根式应满足的条件：（五）二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
（六）二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c,那么a2+ b2=c2。
或者：直角三角形的两条直角的平方和等于斜边的平方勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C 90，则c . a2 b2， b C_a2,a ..c2~b2)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+ b2=c2。
人教版初中八年级数学下册第十六章《二次根式》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．已知x+y ＝﹣5，xy ＝4，则 ） A ．4 B ．﹣4 C ．2 D ．﹣22．下列二次根式的运算：===，2=-；其中运算正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．下列式子中无意义的是（ ）A ．B ．C ．D ．4． ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．n 为（ ）. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 7．下列各式计算正确的是（ ）A +=B ．26=（C 4=D =8．下列计算正确的是（ ）A =B =C ．216=D 1= 9．下列计算中，正确的是（）A ．=B ．10==C ．(33+-=-D ．2a b =+ 10．下列各式不是最简二次根式的是（ ）A B C ．4 D 11．下列运算正确的是（ ）A +=B 132= CD ．1)1=12．=x 可取的整数值有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 13．下列计算正确的是（ ）A ．3236362⨯==B 4=±C ．()()15242⎛⎫-÷-⨯-=± ⎪⎝⎭D ．(223410-⨯++= 14．下列计算正确的是（ ）A =B ．8-=C =D 4=15． ）．A ．1x ≤B ．1x <C ．1≥xD ．1x ≠二、填空题16．已知a ﹣1＝20202+20212＝__．17．_____．18．23()a -＝______（a≠0），2-=______，1-=______．19．计算：21|2|2-⎛⎫--= ⎪⎝⎭_________． 20．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a+b ＝___．21．已知5ab =，则=__．22．若1＜x ＜4=___________23．已知3y =，则()x x y +的值为_________．24．在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．25．11|1()2--+的值是_____26．已知2160x x-=，则x 的值为________． 三、解答题27．先化简，再求值：（221111a a a ++--）÷a ，其中a ． 28．计算：（1）（2）0|1(3)1)π+--．29．计算：30．计算：。
沪教版八年级数学第十六章二次根式及经典习题与答案
二次根式的知识点汇总第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． 2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ；②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；④)0,0(>≥=b a ba b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0）n ≥0)知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.4.二次根式的性质：（1)（a)2=a (a≥0); (2）==aa25。
二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式,再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘(除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=0）．（4）有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a（a＞0）a-（a＜0）0 （a=0）；【典型例题】1、 概念与性质例1、下列各式1）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1)，最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3） 4） C ．1） 3） D ．1) 4）例4、已知:的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x y y x x x y例5、已知数a ，b，若=b －a,则 （ ）A 。
a>bB 。
a<bC 。
a≥bD 。
a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 （ ）A 。
； B. －； C 。
－； D 。
例2。
把（a －b ）错误!化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中51+，51-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1)、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >,>a b <<例1、 比较与.（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <.例2、比较（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
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第十六章 二次根式知识点一、二次根式1.定义：一般地，我们把形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“”．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0． (3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如(0)b a a ≥的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积． 例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．(1)327 (2)9- (3)23a (4)21x + (5)221a a ++ (6)1212x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ (7)2816a a -+-2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A .7-B .12+x （x 为任意实数）C .m （m 为任意实数）D .33 练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．(1)33 (2)4 (3)21x - (4)(0,0)x y x y +≥≥ (5)238a + (6)2612x x --- 2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A .9-B .21x -（x 为任意实数）C .2m （m 为任意实数）D .35 知识点二、二次根式有意义的条件1.从总体上描述：在二次根式a 中，当0a ≥时，a 有意义，当0a <时，a 无意义．2.从具体的情况总结，如下：(1)单个二次根式如A 有意义的条件：0A ≥；(2)多个二次根式相加A +B N +⋅⋅⋅+有意义的条件：000A B N ≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；(3)二次根式作为分式的分母如B A有意义的条件：0A >；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义． (1)31x - (2)1x -- (3)12x x -+ (4)1211x x +++ (5)21x + (6)223x x ---2.函数1y x =+自变量的取值范围是（ ）A . 1x ≥-B . 1x >-C . 0x ≥D . 0x ≠ 3.若12x -有意义，则x 的取值范围是_______．练习：1.若式子3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A . 3x ≥B . 3x ≤C . 3x >D . 3x < 2.下列四个式子中，x 的取值范围为2≥x 的是（ ） A .2x - B .2x - C .12x - D .22x x -- 3.21x x +-有意义的x 的取值范围是_______．知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质1：式子(0)a a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根， 具体描述为：(1)a 是非负数，a 的最小值是0；(2)a 的被开方数a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0． 例题：1.(2015.外国语期末卷)若012=++-y x ，则y x +=_______．2.若22(1)0x y -++=，则x y -=_______．3.若232(1)0x z y -+++-=，则2015()x y z ++=_______．4.若225y x x =-+-+，求yx 的值______． 5.若3260x y x y +-+-+=，求x ，y 的值．1. (2015.铜盘中学期末卷)若x ，y 为实数，且错误！未找到引用源。
,则2015)(yx 的值为________．2.若23210x y y -+++=，则2()x y +=_______．3.已知a ,b 为实数，且521024a a b -+-=+，求a ，b 的值．4.若2231210a a b b -++-+=，求221a b a +-的值．性质2：2()(0)a a a =≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身． 注意：不能忽略0a ≥这一限制条件，导致类似()244-=-的错误．性质3：2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为2(0)a a a =≥；当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为2(0)a a a =-<． 注意：不要认为a 一定是非负数，从而出现如2(2)2-=-的错误． 2a 与2()a 的区别与联系：表达式 2()a a =2a a =区别意义不同 2()a 表示非负数a 的算式平方根的平方2a 表示实数2a 的算术平方根 取值范围不同0a ≥a 为任意实数运算结果不同2()(0)a a a =≥2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩运算顺序不同2()a 表示非负数a 先开平方再作平方2a 表示对实数a 先平方再开平方运算联系 2a 与2()a 均为非负数，且当0a ≥时，22()a a =例题：(1) 23()5 (2)22(10)- (3) 22(3)3- (4)21(14)22.计算：(1)23()5 (2)23()5- (3)2(6)- (4)2(3.14)π-3.当m <3时，2(3)m -=_______．4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----． 练习： 1.计算：(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3) 2(3)π- (4) 2(4)π-2.若23a <<，则22(2)(3)a a ---等于（ ）A . 52a -B . 12a -C . 25a -D . 21a - 3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()a b a b +-．4.已知a 为实数，求代数式2224a a a ++-+-的值．知识点四、二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则：(0,0)a b ab a b =≥≥．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的． 推广：a bcd abcd =()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．2.ab ab =的逆运用：ab ab =（0,0a b ≥≥）．例题： 1.计算：(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-(4))33)(31(+- (5) 338xy y (6)378x y y2.化简：(1)1259⨯ (2) 24323.(1)比较35与43的大小__________， (2)比较3655与的大小__________． 练习： 1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+- (3) 23249x y y (4) 359x y xy2.化简：(1)12116⨯ (2) 96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________． 3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：单项二次根式有理化因式两项二次根式有理化因式 aab a +b a -b a + b a + b a + b a -b a - b a - b n a m + b n a m -分母有理化的方法与步骤：（1）现将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例题： 1.ba -1化简为（ ）A . b a -B .b a + C .b a ba -- D .ba ba -+2.下列各式中正确的是（ ） A .12121-=- B .52501=C . 5101000=D . 60204032=3.已知a=65+，b=561-，则a 与b 的大小关系式是a b.5.将下列各式分母有理化.(1)51 (2)8121 (3) 2235123c b a （4）133+ （5）3252- （6）nm n m +-（m ≠n ）练习：1.已知a=23+，b=231-，则a 与b 的关系是（ ）A . a=bB . ab=1C . a=-bD . ab=-1 2.满足不等式234+<x<354-的整数共有（ ）个A . 4B . 5C . 6D . 7 3.52-的倒数是 . 4.设231327-=+==c ,b ,a ，则a 、b 、c 从小到大的顺序是 .5.将下列各式分母有理化. （1）xyy 422 （2）ba a +2 （3）5020.. （4）yx -24.二次根式的除法法则：(0,0)a aa b bb =≥>． 提示：乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． 例题：1.计算：(1)648÷ (2)107514÷(3)2343ab b a ÷ 练习：1.计算：(1)858÷ (2)15452÷(3)232348b a b a ÷4.最简二次根式：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母，小数；(3)分母中不含根式．例题：1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A .2.0 B .22b a - C .x1D . a 42.(2014.华伦单元卷)把1a a-根号外的因式移动到根号内的结果是（ ） A .a - B . a -- C . a D . a -3.24n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）A .4B . 5C . 6D . 7 练习：1.下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.2 B .6 C.8 D .10 2.下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A .21x + B . y xx C . 12 D . 1123.化简二次根式21aa a +-的结果是（ ） A .--a 1 B . ---a 1 C . a +1 D . --+a 14.已知a <b ，则化简3a b -的结果正确的是（ ）A . a ab --B . a ab -C . a abD . a ab - 5.n 48是整数，则正整数n 的最小值是（ ）A . 3B . 4C . 5D . 6 6.李明的作业本上有四道题：(1)24416a a =，(2)51052a a a =， (4)211aa a a a==，(4)a a a =-23，如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是（ ）A . (1)B . (2)C . (3)D . (4) 知识点五、二次根式的加减1.加减法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，例如2和32。