13级研究生数值分析习题

13级研究生数值分析习题
第一章 误差及相关问题
内容及纲目：
1） 舍入误差和截断误差
2） 绝对误差和相对误差
3） 误差的传播和计算函数值
4） 算法的数值稳定性
5） 计算中需要注意的问题
1. 用x 近似,sin x 即,sin x x ≈δδ],,0[∈x 最大为多少时，该近似计算的截断误差不超过10－7
. 2. 设,0>x x 的相对误差为δ，求x ln 的绝对误差。

3.的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？
解：知识点：有效数字和相对误差间的关系。

4，设近视数*x 有n 位有效数字，所以有： *11|()|1024n r e x -≤
⨯⨯，令：11100.1%24n -⨯≤⨯，解得： 3.097,n ≥所以有4位有效数字。

4. 227
作为=3.1415926π有几位有效数字? 5. 误差的来源?计算中需要注意的几个问题.
第二章 函数插值
内容及纲目：
1） 插值多项式的存在性与唯一性
2） 插值多项式的构造方法（lagrange 插值，Newton 插值，等距
节点的插值）
3） 带导数的插值函数构造，Hermite 插值，误差估计和构造方法
4） 差分和差商的定义、性质和联系
5） 三次样条插值公式及误差估计
1. ]2,,2,2,2,[]2,,2,2,2,[,13)(72162147 x f x f x x x x f 和求+++=。

2. 已知12144,11121,10100===，分别用线性插值和抛物插值法，求115的近似值。

3. （分三次Hermite 插值）,仅给定10,x x 和相应的函数值10,y y 及其微商10,m m ,构造插值函数)(x H ,)(x H 满足条件：1).)(x H 是不超过三次的多项式；
2). ,)(,)(1100y x H y x H ==1100)(,)(m x H m x H ='='。

4. 构造 不超过3次的插值多项式，使其满足：.3)1(;0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f
5. 设f(x) ∈C 2[a,b],且)(a f = )(b f =0,求证：b x a x f ≤≤|)(|max )(81a b -≤ 2 b
x a x f ≤≤|)(''|max 。

6. 已知插值节点数据（-2，17），（0，1），（1，2），（2，17），构造三次Lagrange 插值多项式)(3x L .
7. 依据下列函数表建立不超过三次的Lagrange 插值多项式及Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。

8.求一个次数不超过3的多项式3()p x ,满足条件：(1)2,(2)4,(3)12,(2)3f f f f '====,并求插值误差。

9. 求一个次数不高于4的多项式4()P x ，使它满足1)2(,1)1()1(,0)0()0(44444=='=='=P P P P P ，并求插值误差。

10. 求满足条件1)2(,1)1(,3)2(,2)1(-='='==f f f f 的Hermite 插值多项式，并求插值误差。

11.给定数据(0)0,(1)1,(0)0,(1)1,(1)0,f f f f f ''''=====构造次数不高于4的多项式4()P x 及插值余项。

12给出数据(1)2,(0)3,(1)4,(f f f f -====试求三次样条函数()S x ，并满足(1)5,(3)29S S ''-==。

并计算(2)?S =
13. 设x 0, x 1,…… x n 为n ＋1个相异的插值点，)(x l i (i=0,1,2,……,n)为Lagrange 插值基函数， 证明：（1）∑≡n i i x l ;1)((2) ),,2,1,0(,)(n k x x x l k k
i n
i i ==∑ 第三章 函数与数据的逼近
内容及纲目：
1) 范数、内积 定义
2) 正交多项式的性质及构造
3) 常用的正交多项式
4) 离散数据的最小二乘曲线拟合
1.求,a b 值使得 ⎰--2
0]sin [π
x b ax 2达到最小.
2.给定一组数据,,,2,1),,(m i y x i i =用最小二乘法做拟合直线bx a x p +=)(，求出.,b a
3.求[0,1]区间上关于权函数是x x ln )(-=ρ的正交多项式系的前三项。

4.给出关于点集{-2，-1,0,1,2}的首项系数为1的正交多项式系的前四项。

5、判定函数3
1,,12-
x x 在]1,1[-上两两正交，并求一个三次多项式，使其在]1,1[-上与上述函数两两正交 6. 1) 用最小二乘法求解矛盾方程组：⎪⎩
⎪⎨⎧===+-1y -2x -94y -x 13y 2x
2)求解下列矛盾方程组的最小二乘解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-=-433
22212
12
12121x x x x x x x x 7. 在]1,25.0[的所有连续函数的集合]1,25.0[C 中，给定,)(x x f =子集},,1{x span =φ对于]1,25.0[)(),(C x g x f ∈，定义内积⎰
=125.0)()(),(dx x g x f g f ，试在φ中寻找一个线性函数bx a +，使它为x 的最佳平方逼近函数 8.求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2(){1,,}x span x x Φ=上的最佳平方逼近多项式，并给出平方误差。

9.利用正交化方法求[0,1]上带权1()ln
x x ρ=的前三个正交多项式012(),(),()p x p x p x 。

10.求函数3f(x)x =在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式*2().S x
11. 写出Legendre 多项式的表达式,证明Legendre 多项式的正交性.并用Legendre 多项式构造4f(x)x =在[1,1]-上的二次最佳平方逼近多项式*
2().S x 并估计平方逼近误差2
2||||.δ
第四章 数值积分和数值微分
内容及纲目：
1） 插值型求积公式
2） Guass 求积公式
3） 复合数值求积公式
4） 外推方法
5） 数值微分
1.用复化Simpson 公式计算积分 dx x ⎰21ln 的近似值时，为使结果具有4位有效数字，需要取多少个节点处的函数值。

2．计算积分
⎰10dx e x ，如用复化梯形公式，问区间应分多少等份才能保证计算结果有五位有效数字。

3．确定下列求积公式的参数101,,A A A -，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度。

⎰++-=--h h h f A f A h f A dx x f )()0()()().1(101.
)].()0([)]()0([2)().2(2
h f f h h f f h dx x f h '-'++⎰≈α （3） 1201()[(1)2()3()].3
h
f x dx f f x f x ≈-++⎰求12??x x == （4） 确定下列求积公式的参数D C B A ,,,，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的
代数精度。

)]()([)]()([)()(103102010x f D x f C h x Bf x Af h dx x f x x x x
'+'+⎰+≈- 其中01x x h -=
4.建立Guass 求积公式
1
0011()()().f x dx A f x A f x ≈+⎰ 5.求10,A A 及10,x x 使
⎰-+≈1
11100)()()(x f A x f A dx x f 达到最大的代数精度。

6. 利用复合梯形求积公式计算积分：
⎰10sin dx x x ，使截断误差不超过31021-⨯。

取同样步长，改用复合
Simpson 求积公式计算，问截断误差界是多少？
7. 已知 .43,21,41310===
x x x 1）
推导一这3个点作为求积节点在]1,0[上的插值型求积公式。

2）
指明求积公式的代数精度； 3） 用所求公式计算dx x ⎰1
02
8.用三点公式求2)1(1
)(x x f +=在
2.1,1.1,0.1=x 的导数值，并估计误差。

9．推导4点数值微分公式001231()[111892]6f x f f f f h '=-+-+3
(4)().4
h f ξ-. 其中10 3.(0,1,2),i i h x x i x x ξ+=-=<<
10. 用4n =的复化梯形公式和2n =的复化Simpson
公式计算积分9
1的近似值.。